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文档简介
2024届北京市部分区重点中学中考数学模试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他
答案.作答非选择题,必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟,它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为()
A.5.6x10।B.5.6x10-2C.5.6xl()3D.0.56x101
2.如图,某计算机中有口、回、田三个按键,以下是这三个按键的功能.
(1).口:将荧幕显示的数变成它的正平方根,例如:荧幕显示的数为49时,按下匚二]后会变成1.
(2).回:将荧幕显示的数变成它的倒数,例如:荧幕显示的数为25时,按下回后会变成0.2.
(3).0:将荧幕显示的数变成它的平方,例如:荧幕显示的数为6时,按下回后会变成3.
若荧幕显示的数为100时,小刘第一下按D,第二下按回,第三下按回,之后以口、回、回的顺序轮
流按,贝!当他按了第100下后荧幕显示的数是多少()
囚叵)叵1回日
|■叵1口臼臼|
A.0.01B.0.1C.10D.100
3.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为()
A.8.23x106B.8.23x10-7C.8.23x106D.8.23x107
4.的倒数的绝对值是()
5.如图,等腰△A8C的底边与底边上的高4。相等,高在数轴上,其中点A,。分别对应数轴上的实数・2,
2,则AC的长度为()
A.2B.4C.275D.475
6.计算3a2—az的结果是()
A.4a2B.3a2C.2a2D.3
7.运用乘法公式计算(4+x)(4-x)的结果是()
A.x2-16B.16-x2C.16-8x+x2D.8-x2
8.己知,如图,AB是。。的直径,点D,C在。O上,连接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。,那么NC的度
数是()
9.已知一元二次方程x'8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为()
A.13B.11或13C.11D.12
10.甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的
乙船相遇,水流的速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度可列方程为()
180120180120
A.------=-------B.-------=-------
x+6x-6x-6x+6
18012018()120
C.------=一D.——=-------
x+6xxx-6
11.”算5—1)3—2)的结果为()
A.x2+2B.x2—3x+2C.x2-3x_3D.x2-2x+2
12.已知,C是线段AB的黄金分割点,AC<BC,若AB=2,则BC二()
A.3-召B.(75+1)C.逐-1D.;(6-1)
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,将三角形AOC绕点。顺时针旋转120。得三角形5O&,已知OA=4,OC=lt那么图中阴影部分的面积为
.(结果保留兀)
14.在1()个外观相同的产品中,有2个不合格产品,现从中任意抽取1个进行检测,抽到合格产品的概率是
15.计算历一4二
16.如图,在RtAABC中,ZA=90°,ZABC的平分线B」D交AC于点D,DE是BC的垂直平分线,点E是垂足.若
DC=2,AD=1,贝!JBE的长为
17.如图.AD是仆ARC的角平分线.DE,DF分别是△ABD^flAACD的高.得到下面四个结论:①OA=OD:②AD_LEF:
③当NBAC=90。时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是.(填序号)
18.有5张背面看上去无差别的扑克牌,正面分别写着5,6,7,8,9,洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取2
张,抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是一.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图,点E,尸在〃C上,BE=CF,NA=NO,N8=NC,4尸与OE交于点O.
20.(6分)关于x的一元二次方程(%+3)x+24+2=0.求证;方程总有两个实数根;若方程有一根小于1,求A
的取值范围.
21.(6分)如图,AC是。O的直径,BC是。O的弦,点P是。。外一点,连接PA、PB、AB、OP,已知PB是。O
的切线.
(1)求证:NPBA=NC;
(2)若OP〃BC,且OP=9,。。的半径为3及,求BC的长.
22.(8分)某厂按用户的月需求量工(件)完成一种产品的生产,其中x>0.每件的售价为18万元,每件的成本〉(万
元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量工(件)成反比.经市场调研发现,月需求量X与
月份;.(;为整数,1£〃£匕)符合关系式X二%:-£,9伏(氏为常数),且得到了表中的数据.
月份〃(月)12
成本)'(万元/件)1112
需求量工(件/月)120100
(1)求】与X满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
⑵求A,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
⑶在这一年12个月中,若第巾个月和第个月的利润相差最大,求叨.
23.(8分)如图,甲、乙用4张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,
抽出的牌不放回,甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的
机会是否相同.
24.(10分)如图,直线I是线段MN的垂直平分线.交线段MN干点O.在MN下方的直线1卜取一点P・连接PN.
以线段PN为边,在PN上方作正方形NPAB,射线MA交直线I于点C,连接BC.
(1)设/ONP=a,求NAMN的度数;
(2)写出线段AM、BC之间的等量关系,并证明.
25.(10分)对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函
数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只
有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
⑴分别判断函数产x”,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
⑵函数y=2x2-hx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若10区3,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数y=x'2x(xNm)的图象为Gi,将Gi沿x=m翻折后得到的函数图象记为Gz,函数G的图象由G1和G2两部
分组成,若其不变长度q满足0<q<3,JMm的取值范围为.
26.(12分)我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,
某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点
的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示
的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为W万元.(毛利润=销售额■生产费用)
(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
(2)求W与x之间的函数关系式;(写出自变量x的取值范围);并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛
利润是多少?
(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?
27.(12分)在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角
形)的顶点A、C的坐标分别是(・2,0),(-3,3).
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系,写出点B的坐标;
(2)把AABC绕坐标原点O顺时针旋转90。得到△AiBiCi,画出A写出点
Bi的坐标;
(3)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,把AA1BIC1放大为原来的2倍,得到2c2画出△AzB2c2,
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、B
【解析】
0.056用科学记数法表示为:0.056=5.6x10-2,故选B.
2、B
【解析】
根据题中的按键顺序确定出显示的数即可.
【详解】
解:根据题意得:Vioo=40,
—=0.4,
10
0.42=0.04,
V(H)T=0.4,
1
—=40,
0.1
402=400.
400-6=46...4,
则第400次为0.4.
故选B.
【点睛】
此题考查了计算器■数的平方,弄清按键顺序是解本题的关键.
3、B
【解析】
分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使
用的是负指数塞,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
详解:0.000000823=8.23x101.
故选B.
点睛:本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为axlO』,其中10al<10,n为由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定.
4、D
【解析】
直接利用倒数的定义结合绝对值的性质分析得出答案.
【详解】
2555
解:-二的倒数为-大,则-1的绝对值是:
5222
故答案选:D.
【点睛】
本题考查了倒数的定义与绝对值的性质,解题的关键是熟练的掌握倒数的定义与绝对值的性质.
5、C
【解析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可.
【详解】
解:•:点A,。分别对应数轴上的实数・2,2,
:.AD=4f
•・,等腰AABC的底边BC与底边上的高AD相等,
・・・3C=4,
:.CD=2t
在RS4CD中,4C=J仍+CD?=次+2?=2后,
故选:C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质,注意等腰三角形的三线合一,熟练运用勾股定理.
6、C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得.
【详解】3a2-a2
=(3-1)a2
=2a2,
故选C.
【点睛】本题考查了合并同类项,熟记合并同类项的法则是解题的关键.合并同类项就是把同类项的系数相加减,字母
和字母的指数不变.
7、B
【解析】
根据平方差公式计算即可得解.
【详解】
(4+X)(4-A:)=42-x2=I6-x2,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式,熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.
8、B
【解析】
因为AB是。O的直径,所以求得NADB=90。,进而求得NB的度数,又因为NB=NC,所以NC的度数可求出.
解:TAB是。O的直径,
AZADB=90o.
VZBAD=25°,
r.ZB=65°,
/.ZC=ZB=65°(同弧所对的圆周角相等).
故选B.
9、B
【解析】
试题解析:x2-8x+15=0,
分解因式得:(x-3)(x-5)=0,
可得x-3=0或x-5=0,
解得:xi=3,X2=5,
若3为底边,5为腰时,三边长分别为3,5,5,周长为3+5+5=1;
若3为腰,5为底边时,三边长分别为3,3,5,周长为3+3+5=11,
综上,△ABC的周长为11或1.
故选B.
考点:1.解一元二次方程-因式分解法;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的性质.
10、A
【解析】
分析:直接利用两船的行驶距离除以速度=时间,得出等式求出答案.
18()_120
详解:设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度可列方程为:
x+6x-6
故选A.
点睛:此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确表示出行驶的时间和速度是解题关键.
11、B
【解析】
根据多项式的乘法法则计算即可.
【详解】
(X—l)(x-2)
=X2-2x-x+2
=/-3x+2.
故选B.
【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加.
12、C
【解析】
根据黄金分割点的定义,知BC为较长线段;则BC二避二1AB,代入数据即可得出BC的值.
2
【详解】
解:由于C为线段AB=2的黄金分割点,且ACVBC,BC为较长线段;
贝!]BC=2x2^zl=75-l.
2
故答案为:逐
【点睛】
本题考查了黄金分割,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的三史倍,较长的线段=原线段的避二1
22
倍.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、5n
【解析】
根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积二扇形OAB的面积-扇形OCD的面积,利用扇形的面积公式计算即可求解.
【详解】
I7()xTTX4217()x7rxl2
•••△AOCgaBQD,・•・阴影部分的面积=扇形OAB的面积一扇形OCD的面积=上丝三匕一上二5小
360360
故答案为:57r.
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,正确理解:阴影部分的面积=扇形。45的面积-扇形OCO的面积是解
题的关键.
4
14、一
5
【解析】
10-24
试题分析:根据概率的意义,用符合条件的数量除以总数即可,即一而一=《•
考点:概率
15、1
【解析】
试题解析:V27-V4=3-2=1.
16、y/3
【解析】
〈DE是BC的垂直平分线,
.\DB=DC=2,
〈BD是NABC的平分线,ZA=90°,DE±BC,
.*.DE=AD=1,
•••BE=ylsif-DE2=V3,
故答案为G.
点睛:本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等是解题的关键.
17、
【解析】
试题解析:根据已知条件不能推出OA=OD,・,.①错误;
TAD是AABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
/.DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,
在RtAAED和RtAAFD中,
AD-AD
DE=DF'
/.RtAAED^RtAAFD(HL),
AAE=AF,
VAD平分NBAC,
AAD±EF,・,•②正确;
VZBAC=90,ZAED=ZAFD=90°,
,四边形AEDF是矩形,
VAE=AF,
二四边形AEDF是正方形,,③正确;
VAE=AF,DE=DF,
AAE2+DF2=AF2+DE2,,④正确;
・・・②③④正确,
2
18、-
5
【解析】
列表得出所有等可能的情况数,找出恰好是两个连续整数的情况数,即可求出所求概率.
【详解】
解:列表如下:
56789
5---(6、5)(7、5)(8、5)(9、5)
6(5、6)---(7、6)(8、6)(9、6)
7(5、7)(6、7)---(8、7)(9、7)
8(5、8)(6、8)(7、8)---(9、8)
9(5、9)(6、9)(7、9)(8、9)---
所有等可能的情况有20种,其中恰好是两个连续整数的情况有8种,
Q2
则P(恰好是两个连续整数)=^=-.
2
故答案为彳.
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法,概率=所求情况数与总情况数之比.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)证明略
(2)等腰三角形,理由略
【解析】
证明:(1)VBE=CF,
ABE4-EF=CF+EF,即BF=CE.
又・.・NA=ND,ZB=ZC,
AAABF^ADCE(AAS),
AAB=DC.
(2)ZkOEF为等腰三角形
理由如下:VAABF^ADCE,
AZAFB=ZDEC.
AOE=OF.
AAOEF为等腰三角形.
20、(2)见解析;(2)k<2.
【解析】
(2)根据方程的系数结合根的判别式,可得△=(k-2)2>2,由此可证出方程总有两个实数根;
(2)利用分解因式法解一元二次方程,可得出、尸2、x2=k+2,根据方程有一根小于2,即可得出关于k的一元一次
不等式,解之即可得出k的取值范围.
【详解】
(2)证明:,・•在方程/一(左+3)X+24+2=0中,△=[-(k+3)]2-4X2X(2k+2)=k2-2k+2=(k-2)2>2,
・,•方程总有两个实数根.
(2)Vx2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-2>=2,
/.X)=2,X2=k+2.
•••方程有一根小于2,
/.k+2<2,解得:k<2,
・・・k的取值范围为kv2.
【点睛】
此题考食根的判别式,解题关键在于掌握运算公式.
21、(1)证明见解析;(2)BC=1.
【解析】
(1)连接OB,根据切线的性质和圆周角定理求出NPBO=NABC=90。,即可求出答案;
(2)求出AABCs^PBO,得出比例式,代人求出即可.
【详解】
⑴连接OB,
•・・PB是0O的切线,APB1OB,AZPBA+ZOBA=90°,
••'AC是GO的直杼,・・・/ARC=90。,ZC+ZBAC=90°,
VOA=OB,AZOBA=ZBAO,.a.ZPBA=ZC;
(2)・・・。0的半径是3a,
,OB=3及,AC=6及,VOPZ/BC,AZBOP=ZOBC,
VOB=OC,AZOBC=ZC,AZBOP=ZC,VZABC=ZPBO=90°,
.BC_AC.BC6X/2
•・△ABCS/XPBO,••一f••-------.\BC=I.
BOOP3V29
【点睛】
本题考查平行线的性质,切线的性质,相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知识点,能综合运用知识点进行推理
是解题关键.
600
22、(l)y«6-------,不可能;(2)不存在;(3)1或11.
X
【解析】
试题分析:(1)根据每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量X(件)成反比,
结合表格,用待定系数法求y与x之间的函数关系式,再列方程求解,检验所得结果是还符合题意;(2)将表格中的n,
对应的x值,代入到<=>『-2七・9伏-3),求出k,根据某个月既无盈利也不亏损,得到一个关于n的一元二次
方程,判断根的情况;(3)用含m的代数式表示出第m个月,第(m+1)个月的利润,再对它们的差的情况讨论.
试题解析:(1)由题意设:==-三,由表中数据,得
x
..b
600
"'F解傕得加得燧西.・-…-6-—
由题意,若二8廿等则6竽00
0.
600
Vx>0,1------->0A
二不可能.
⑵将n=Lx=120代入丫-才-Wit-3l,得
120=2・2k+9k+27.解得k=13.
将n=2,x=10()代入叶-争产鼻混弁1端也符合.
/.k=13.
600
由题意,得18=6+—二一,求得x=50.
A50=3^-黎两打烈”即力・13”仃・0・
•:、£雷,「勤・・・方程无实数根.
・,•不存在.
(必0、,、.、
⑶第m个月的利润为w=xil8・川,18XT;6-二-卜12工-乂|"-13k--
・••第(m+1)个月的利润为
W,=24«(w*1T-131F747]-24]相—lDit*35|.
若WNW,,W・W,=48(6・m),m取最小1,W・W,=240最大.
若WVW,,VVr-W=48(m-6),m+1<12,m取最大H,W〈W=240最大.
或11.
考点:待定系数法,一元二次方程根的判别式,二次函数的性质,二次函数的应用.
23、甲、乙获胜的机会不相同.
【解析】试题分析:先画出树状图列举出所有情况,再分别算出甲、乙获胜的概率,比较即可判断
zAAAA
□455255245245
・・・甲、乙获胜的机会不相同.
考点:可能性大小的判断
点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握概率的求法,即可完成.
24、(1)45°(2)AM=6BC,理由见解析
【解析】
(1)由线段的垂直平分线的性质可得PM=PN,PO±MN,由等腰三角形的性质可得NPMN=NPNM=a,由正方
形的性质可得AP=PN,ZAPN=90°,可得NAPO=a,由三角形内角和定理可求NAMN的度数;
(2)由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得MN=J^CN,AN=6BN,ZMNC=ZANB=45°,可证
△CBN^AMAN,可得
【详解】
解:(1)如图,连接MP,
•・•直线1是线段MN的垂直平分线,
.\PM=PN,PO±MN
AZPMN=ZPNM=a
:.ZMPO=NNPO=90°-a,
V四边形ABNP是正方形
AAP=PN,ZAPN=90°
AAP=MP,ZAPO=9()°-(90°-a)=a
/.ZAPM=ZMPO-ZAPO=(90°-a)-a=90°-2a,
VAP=PM
:.NPM4=ZPAA/=180°-^9Q°-26^=45。+a,
2
AZAMN=ZAMP-ZPMN=45°4-a-a=45°
⑵AM=y/iBC
埋由如卜:
如图,连接AN,CN,
•・•直线1是线段MN的垂直平分线,
ACM=CN,
,ZCMN=ZCNM=45°,
AZMCN=90o
JMN=及CN,
丁四边形APNR是正方形
r.ZANB=ZB/1N=45°
:・AN=6BN,ZMNC=ZANB=45°
AZANM=ZBNC
又•必=d
CNBN
AACBN^AMAN
BCCN
,AM=41BC
【点睛】
本题考查了正方形的性质,线段垂直平分线的性质,相似三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造相似三角形是本
题的关键.
25、详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据定义分别求解即可求得答案;
(1)①首先由函数尸13■必=x,求得x(lx-Zi-1)=2,然后由其不变长度为零,求得答案;
②由①,利用14W3,可求得其不变长度g的取值范围;
(3)由记函数产x-Lr(x>m)的图象为Gi,将G1沿尸山翻折后得到的函数图象记为G,可得函数G的图象关于
尸盟对称,然后根据定义分别求得函数的不变值,再分类讨论即可求得答案.
试题解析:解:(1)•・,函数产X-1,令yr,则X-l=x,无解;
,函数产x・l没有不变值;
*»y=x'i=—,令产X,则x=L解得:x=±l,・•.函数尸’的不变值为±1,q=l-(-1)=1.,函数令尸x,
xxx
则x=x>解得:X1=2,X1=L,函数)=3的不变值为:2或1,q=l-2=1;
(1)①函数y=W■5X,令尸X,则-力x,整理得:x(Ix-Z>-1)=2.,:q=2,,*=2且lx-5-1=2,解得:
b=-1;
②由①知:x1)=2,・・・x=2或lx-》・1=2,解得:xi=2,»=上也.Vl<^<3,/.l<xi<bAl-2<^<1-2,
(3)・・•记函数尸1x(后m)的图象为G,将G沿-m翻折后得到的函数图象记为Gi,・・・函数G的图象关于x=m
X2-2x(x>m)
对称,:.G:产<V当3・lx=x时,X3=2,n=3;
(.2〃I)2_2(2〃LX)(X<〃7)
当(1,〃-x)1-1(1〃Lx)=x时,△=1+8,〃,当4V2,即,〃V---时,q=xa-4=3;
8
、lzan、1I4/w-1+Jl+8〃14/H—1—Jl+8〃?
当AN2,即mN-6n时,xs=---------/-------,X6=---------Y-------•
o-
①当・:W〃W2时,X3=2,n=3,.•.XGVZ,;・工4-X6>3(不符合题意,舍去);
8
②V当X5=X4时,m=L当X6=X3时,/〃=3;
XG
当2V〃1V1时,X3=2(舍去),X4=3,此时2Vx5Vx4,x(f<2,q=xA->3(舍去);
当1三〃?三3时,xj=2(舍去),X4=3,此时2VxsVX4,X6>2,q=X4-xt<3;
当机>3时,X3=2(舍去),X4=3(舍去),此时注>3,X6<2,q=xs-X6
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