2024届北京市部分区重点中学中考数学模试卷含解析

2024届北京市部分区重点中学中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为（）

A.5.6x10।B.5.6x10-2C.5.6xl（）3D.0.56x101

2.如图，某计算机中有口、回、田三个按键，以下是这三个按键的功能.

（1）.口：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下匚二］后会变成1.

（2）.回：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下回后会变成0.2.

（3）.0：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下回后会变成3.

若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按D，第二下按回,第三下按回，之后以口、回、回的顺序轮

流按，贝!当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（）

囚叵）叵1回日

|■叵1口臼臼|

A.0.01B.0.1C.10D.100

3.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A.8.23x106B.8.23x10-7C.8.23x106D.8.23x107

4.的倒数的绝对值是（）

5.如图，等腰△A8C的底边与底边上的高4。相等，高在数轴上，其中点A,。分别对应数轴上的实数・2,

2,则AC的长度为（）

A.2B.4C.275D.475

6.计算3a2—az的结果是（）

A.4a2B.3a2C.2a2D.3

7.运用乘法公式计算（4+x）（4-x）的结果是（）

A.x2-16B.16-x2C.16-8x+x2D.8-x2

8.己知，如图，AB是。。的直径，点D,C在。O上，连接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。，那么NC的度

数是（）

9.已知一元二次方程x'8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）

A.13B.11或13C.11D.12

10.甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的

乙船相遇,水流的速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度可列方程为（）

180120180120

A.------=-------B.-------=-------

x+6x-6x-6x+6

18012018（）120

C.------=一D.——=-------

x+6xxx-6

11.”算5—1）3—2）的结果为（）

A.x2+2B.x2—3x+2C.x2-3x_3D.x2-2x+2

12.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC<BC,若AB=2,则BC二（）

A.3-召B.（75+1）C.逐-1D.；（6-1）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，将三角形AOC绕点。顺时针旋转120。得三角形5O&,已知OA=4,OC=lt那么图中阴影部分的面积为

.（结果保留兀）

14.在1（）个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是

15.计算历一4二

16.如图，在RtAABC中，ZA=90°,ZABC的平分线B」D交AC于点D,DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.若

DC=2,AD=1,贝!JBE的长为

17.如图.AD是仆ARC的角平分线.DE,DF分别是△ABD^flAACD的高.得到下面四个结论:①OA=OD：②AD_LEF：

③当NBAC=90。时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是.（填序号）

18.有5张背面看上去无差别的扑克牌，正面分别写着5,6,7,8,9,洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2

张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是一.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，点E,尸在〃C上，BE=CF,NA=NO,N8=NC,4尸与OE交于点O.

20.（6分）关于x的一元二次方程（%+3）x+24+2=0.求证；方程总有两个实数根；若方程有一根小于1,求A

的取值范围.

21.（6分）如图，AC是。O的直径，BC是。O的弦，点P是。。外一点，连接PA、PB、AB、OP,已知PB是。O

的切线.

（1）求证：NPBA=NC；

（2）若OP〃BC,且OP=9,。。的半径为3及，求BC的长.

22.（8分）某厂按用户的月需求量工（件）完成一种产品的生产，其中x>0.每件的售价为18万元，每件的成本〉（万

元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量工（件）成反比.经市场调研发现，月需求量X与

月份;.（；为整数，1£〃£匕）符合关系式X二％:-£,9伏（氏为常数），且得到了表中的数据.

月份〃（月）12

成本）'（万元/件）1112

需求量工（件/月）120100

（1）求】与X满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

⑵求A，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

⑶在这一年12个月中，若第巾个月和第个月的利润相差最大，求叨.

23.（8分）如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽,

抽出的牌不放回,甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的

机会是否相同.

24.（10分）如图,直线I是线段MN的垂直平分线.交线段MN干点O.在MN下方的直线1卜取一点P・连接PN.

以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB,射线MA交直线I于点C,连接BC.

（1）设/ONP=a,求NAMN的度数；

（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明.

25.（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p,当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函

数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只

有一个不变值时，其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值，其不变长度q等于1.

⑴分别判断函数产x”,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；

⑵函数y=2x2-hx.

①若其不变长度为零，求b的值；

②若10区3,求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y=x'2x（xNm）的图象为Gi,将Gi沿x=m翻折后得到的函数图象记为Gz,函数G的图象由G1和G2两部

分组成，若其不变长度q满足0<q<3,JMm的取值范围为.

26.（12分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，

某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点

的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示

的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元.（毛利润=销售额■生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛

利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

27.（12分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角

形）的顶点A、C的坐标分别是（・2,0）,（-3,3）.

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，写出点B的坐标；

（2）把AABC绕坐标原点O顺时针旋转90。得到△AiBiCi,画出A写出点

Bi的坐标；

（3）以坐标原点O为位似中心，相似比为2,把AA1BIC1放大为原来的2倍,得到2c2画出△AzB2c2,

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

0.056用科学记数法表示为：0.056=5.6x10-2,故选B.

2、B

【解析】

根据题中的按键顺序确定出显示的数即可.

【详解】

解：根据题意得：Vioo=40,

—=0.4,

10

0.42=0.04,

V（H）T=0.4,

1

—=40,

0.1

402=400.

400-6=46...4,

则第400次为0.4.

故选B.

【点睛】

此题考查了计算器■数的平方，弄清按键顺序是解本题的关键.

3、B

【解析】

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

详解：0.000000823=8.23x101.

故选B.

点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO』，其中10al<10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

4、D

【解析】

直接利用倒数的定义结合绝对值的性质分析得出答案.

【详解】

2555

解：-二的倒数为-大,则-1的绝对值是：

5222

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了倒数的定义与绝对值的性质，解题的关键是熟练的掌握倒数的定义与绝对值的性质.

5、C

【解析】

根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可.

【详解】

解：•：点A,。分别对应数轴上的实数・2,2,

：.AD=4f

•・,等腰AABC的底边BC与底边上的高AD相等，

・・・3C=4,

：.CD=2t

在RS4CD中，4C=J仍+CD?=次+2?=2后,

故选：C.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理.

6、C

【解析】

【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得.

【详解】3a2-a2

=(3-1)a2

=2a2,

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键.合并同类项就是把同类项的系数相加减，字母

和字母的指数不变.

7、B

【解析】

根据平方差公式计算即可得解.

【详解】

(4+X)(4-A:)=42-x2=I6-x2,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.

8、B

【解析】

因为AB是。O的直径，所以求得NADB=90。，进而求得NB的度数，又因为NB=NC,所以NC的度数可求出.

解：TAB是。O的直径，

AZADB=90o.

VZBAD=25°,

r.ZB=65°,

/.ZC=ZB=65°(同弧所对的圆周角相等).

故选B.

9、B

【解析】

试题解析：x2-8x+15=0,

分解因式得：(x-3)(x-5)=0,

可得x-3=0或x-5=0,

解得：xi=3,X2=5,

若3为底边，5为腰时，三边长分别为3,5,5,周长为3+5+5=1；

若3为腰，5为底边时，三边长分别为3,3,5,周长为3+3+5=11,

综上，△ABC的周长为11或1.

故选B.

考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质.

10、A

【解析】

分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案.

18()_120

详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度可列方程为:

x+6x-6

故选A.

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键.

11、B

【解析】

根据多项式的乘法法则计算即可.

【详解】

（X—l）（x-2）

=X2-2x-x+2

=/-3x+2.

故选B.

【点睛】

本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一

项，再把所得的积相加.

12、C

【解析】

根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC二避二1AB,代入数据即可得出BC的值.

2

【详解】

解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且ACVBC,BC为较长线段；

贝！］BC=2x2^zl=75-l.

2

故答案为：逐

【点睛】

本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的三史倍，较长的线段=原线段的避二1

22

倍.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、5n

【解析】

根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积二扇形OAB的面积-扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解.

【详解】

I7()xTTX4217()x7rxl2

•••△AOCgaBQD,・•・阴影部分的面积=扇形OAB的面积一扇形OCD的面积=上丝三匕一上二5小

360360

故答案为：57r.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形。45的面积-扇形OCO的面积是解

题的关键.

4

14、一

5

【解析】

10-24

试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即一而一=《•

考点：概率

15、1

【解析】

试题解析：V27-V4=3-2=1.

16、y/3

【解析】

〈DE是BC的垂直平分线，

.\DB=DC=2,

〈BD是NABC的平分线，ZA=90°,DE±BC,

.*.DE=AD=1,

•••BE=ylsif-DE2=V3，

故答案为G.

点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

17、

【解析】

试题解析：根据已知条件不能推出OA=OD,・,.①错误；

TAD是AABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，

/.DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在RtAAED和RtAAFD中，

AD-AD

DE=DF'

/.RtAAED^RtAAFD(HL),

AAE=AF,

VAD平分NBAC,

AAD±EF,・,•②正确；

VZBAC=90,ZAED=ZAFD=90°,

，四边形AEDF是矩形，

VAE=AF,

二四边形AEDF是正方形，，③正确；

VAE=AF,DE=DF,

AAE2+DF2=AF2+DE2,，④正确；

・・・②③④正确，

2

18、-

5

【解析】

列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个连续整数的情况数，即可求出所求概率.

【详解】

解：列表如下：

56789

5---（6、5）（7、5）（8、5）（9、5）

6（5、6）---（7、6）（8、6）（9、6）

7（5、7）（6、7）---（8、7）（9、7）

8（5、8）（6、8）（7、8）---（9、8）

9（5、9）（6、9）（7、9）（8、9）---

所有等可能的情况有20种，其中恰好是两个连续整数的情况有8种,

Q2

则P(恰好是两个连续整数)=^=-.

2

故答案为彳.

【点睛】

此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明略

(2)等腰三角形，理由略

【解析】

证明：(1)VBE=CF,

ABE4-EF=CF+EF,即BF=CE.

又・.・NA=ND,ZB=ZC,

AAABF^ADCE(AAS),

AAB=DC.

(2)ZkOEF为等腰三角形

理由如下：VAABF^ADCE,

AZAFB=ZDEC.

AOE=OF.

AAOEF为等腰三角形.

20、(2)见解析；(2)k<2.

【解析】

(2)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(k-2)2>2,由此可证出方程总有两个实数根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出、尸2、x2=k+2,根据方程有一根小于2,即可得出关于k的一元一次

不等式，解之即可得出k的取值范围.

【详解】

(2)证明:,・•在方程/一(左+3)X+24+2=0中,△=[-(k+3)]2-4X2X(2k+2)=k2-2k+2=(k-2)2>2,

・,•方程总有两个实数根.

(2)Vx2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-2>=2,

/.X)=2,X2=k+2.

•••方程有一根小于2,

/.k+2<2,解得：k<2,

・・・k的取值范围为kv2.

【点睛】

此题考食根的判别式，解题关键在于掌握运算公式.

21、（1）证明见解析；（2）BC=1.

【解析】

（1）连接OB,根据切线的性质和圆周角定理求出NPBO=NABC=90。，即可求出答案;

（2）求出AABCs^PBO,得出比例式，代人求出即可.

【详解】

⑴连接OB,

•・・PB是0O的切线，APB1OB,AZPBA+ZOBA=90°,

••'AC是GO的直杼，・・・/ARC=90。，ZC+ZBAC=90°,

VOA=OB,AZOBA=ZBAO,.a.ZPBA=ZC；

(2)・・・。0的半径是3a,

，OB=3及，AC=6及，VOPZ/BC,AZBOP=ZOBC,

VOB=OC,AZOBC=ZC,AZBOP=ZC,VZABC=ZPBO=90°,

.BC_AC.BC6X/2

•・△ABCS/XPBO,••一f••-------.\BC=I.

BOOP3V29

【点睛】

本题考查平行线的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理

是解题关键.

600

22、（l）y«6-------,不可能；（2）不存在；（3）1或11.

X

【解析】

试题分析：（1）根据每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量X（件）成反比,

结合表格，用待定系数法求y与x之间的函数关系式，再列方程求解，检验所得结果是还符合题意；（2）将表格中的n,

对应的x值，代入到<=>『-2七・9伏-3），求出k,根据某个月既无盈利也不亏损，得到一个关于n的一元二次

方程，判断根的情况；（3）用含m的代数式表示出第m个月，第（m+1）个月的利润，再对它们的差的情况讨论.

试题解析：（1）由题意设：==-三，由表中数据，得

x

..b

600

"'F解傕得加得燧西.・-…-6-—

由题意，若二8廿等则6竽00

0.

600

Vx>0,1------->0A

二不可能.

⑵将n=Lx=120代入丫-才-Wit-3l,得

120=2・2k+9k+27.解得k=13.

将n=2,x=10()代入叶-争产鼻混弁1端也符合.

/.k=13.

600

由题意，得18=6+—二一，求得x=50.

A50=3^-黎两打烈”即力・13”仃・0・

•:、£雷,「勤・・・方程无实数根.

・,•不存在.

(必0、，、.、

⑶第m个月的利润为w=xil8・川,18XT；6-二-卜12工-乂|"-13k--

・••第(m+1)个月的利润为

W,=24«(w*1T-131F747]-24]相—lDit*35|.

若WNW，，W・W，=48(6・m),m取最小1,W・W，=240最大.

若WVW，，VVr-W=48(m-6),m+1<12,m取最大H,W〈W=240最大.

或11.

考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用.

23、甲、乙获胜的机会不相同.

【解析】试题分析：先画出树状图列举出所有情况，再分别算出甲、乙获胜的概率，比较即可判断

zAAAA

□455255245245

・・・甲、乙获胜的机会不相同.

考点：可能性大小的判断

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成.

24、(1)45°(2)AM=6BC，理由见解析

【解析】

（1）由线段的垂直平分线的性质可得PM=PN,PO±MN,由等腰三角形的性质可得NPMN=NPNM=a,由正方

形的性质可得AP=PN,ZAPN=90°,可得NAPO=a,由三角形内角和定理可求NAMN的度数；

（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得MN=J^CN，AN=6BN，ZMNC=ZANB=45°,可证

△CBN^AMAN,可得

【详解】

解：（1）如图，连接MP,

•・•直线1是线段MN的垂直平分线，

.\PM=PN,PO±MN

AZPMN=ZPNM=a

:.ZMPO=NNPO=90°-a,

V四边形ABNP是正方形

AAP=PN,ZAPN=90°

AAP=MP,ZAPO=9()°-(90°-a)=a

/.ZAPM=ZMPO-ZAPO=(90°-a)-a=90°-2a,

VAP=PM

:.NPM4=ZPAA/=180°-^9Q°-26^=45。+a,

2

AZAMN=ZAMP-ZPMN=45°4-a-a=45°

⑵AM=y/iBC

埋由如卜:

如图，连接AN,CN,

•・•直线1是线段MN的垂直平分线,

ACM=CN,

，ZCMN=ZCNM=45°,

AZMCN=90o

JMN=及CN，

丁四边形APNR是正方形

r.ZANB=ZB/1N=45°

:・AN=6BN，ZMNC=ZANB=45°

AZANM=ZBNC

又•必=d

CNBN

AACBN^AMAN

BCCN

，AM=41BC

【点睛】

本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本

题的关键.

25、详见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据定义分别求解即可求得答案；

(1)①首先由函数尸13■必=x,求得x(lx-Zi-1)=2,然后由其不变长度为零，求得答案；

②由①，利用14W3,可求得其不变长度g的取值范围；

(3)由记函数产x-Lr(x>m)的图象为Gi,将G1沿尸山翻折后得到的函数图象记为G,可得函数G的图象关于

尸盟对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案.

试题解析：解：（1）•・,函数产X-1,令yr,则X-l=x,无解；

，函数产x・l没有不变值；

*»y=x'i=—,令产X,则x=L解得：x=±l,・•.函数尸’的不变值为±1,q=l-（-1）=1.,函数令尸x,

xxx

则x=x>解得：X1=2,X1=L,函数）=3的不变值为：2或1,q=l-2=1；

（1）①函数y=W■5X,令尸X,则-力x,整理得：x（Ix-Z>-1）=2.，：q=2,，*=2且lx-5-1=2,解得：

b=-1；

②由①知：x1)=2,・・・x=2或lx-》・1=2,解得：xi=2,»=上也.Vl<^<3,/.l<xi<bAl-2<^<1-2,

（3）・・•记函数尸1x（后m）的图象为G,将G沿-m翻折后得到的函数图象记为Gi,・・・函数G的图象关于x=m

X2-2x(x>m)

对称，：.G：产<V当3・lx=x时,X3=2,n=3；

(.2〃I)2_2(2〃LX)(X<〃7)

当(1，〃-x)1-1(1〃Lx)=x时，△=1+8，〃，当4V2,即，〃V---时，q=xa-4=3；

8

、lzan、1I4/w-1+Jl+8〃14/H—1—Jl+8〃?

当AN2,即mN-6n时，xs=---------/-------，X6=---------Y-------•

o-

①当・：W〃W2时，X3=2,n=3,.•.XGVZ,；・工4-X6>3(不符合题意，舍去)；

8

②V当X5=X4时，m=L当X6=X3时，/〃=3；

XG

当2V〃1V1时，X3=2（舍去），X4=3,此时2Vx5Vx4,x（f<2,q=xA->3（舍去）；

当1三〃?三3时，xj=2（舍去），X4=3,此时2VxsVX4,X6>2,q=X4-xt<3；

当机>3时，X3=2（舍去），X4=3（舍去），此时注>3,X6<2,q=xs-X6