高中数学立体几何知识点框架图

高中数学立体几何知识点框架图篇一:高考立体几何知识点总结(详细)高考立体几何知识点总结一、空间几何体(一)空间几何体的类型1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。(二)几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征1.1棱柱的定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2棱柱的分类图1-1棱柱底面是四边形1底面是平行四边形侧棱垂直于底面棱柱底面是矩形四棱柱底面是正方形平行六面体棱长都相等直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质:?、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等;?、两底面是全等多边形且互相平行;?、平行于底面的截面和底面全等;1.3棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧?ch(c是底周长，h是高)S直棱柱表面=c?h+2S底V棱柱=S底?h2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义(1)棱锥:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。(2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底2面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2.2正棱锥的结构特征?、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;?、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形;正棱锥侧面积:S正棱椎?1ch'(c为底周长，h'为斜高)2OP体积:V棱椎?1Sh(S为底面积，h为高)3C正四面体:对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为2a(正方体的边长)232a的正方体问题。2对棱间的距离为正四面体的高62a(?l正方体体对角线)3231a(V正方体?4V小三棱锥?V正方体)3正四面体的体积为正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3(?11l正方体体对角线l正方体体对角线)623、棱台的结构特征3.1棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形;(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;(4)各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。44.2圆柱的性质(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2π?r?h(r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全=2πrh+2πr2V圆柱=S底h=πr2h5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2圆锥的结构特征(1)平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;(2)轴截面是等腰三角形;(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6、圆台的结构特征6.1圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间5图1-5圆锥的部分称为圆台。6.2圆台的结构特征?圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;?圆台的截面是等腰梯形;?圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=π?(R+r)?l(r、R为上下底面半径)S圆台全=π?r2+π?R2+π?(R+r)?lV圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的高)7球的结构特征7.1球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7-2球的结构特征?球心与截面圆心的连线垂直于截面;?截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2=R2–d2?7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是:?根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形;?找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图;?将立体问题转化为平面几何6中圆与多边形的问题;?注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体，球直径等于正方体对角线;球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7-4球的面积和体积公式S球面=4πR2(R为球半径)V球=4/3πR3(三)空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和圆柱的表面积:S?2?rl?2?r2圆锥的表面积:S??rl??r222S??rl??r??Rl??R圆台的表面积:球的表面积:S?4?R扇形的面积公式S扇形2n?R211??lr=?r2(其中l表示弧长，r表示半径，?表示弧度)36022空间几何体的体积柱体的体积:V?S底?h1锥体的体积:V?S底?h317台体的体积:V?S上3球体的体积:V??下S)?h43?R3(四)空间几何体的三视图和直观图正视图:光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。?画三视图的原则:正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形直观图:斜二测画法斜二测画法的步骤:(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2)平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变;(3)画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图二、点、直线、平面之间的关系(一)、立体几何网络图:1、线线平行的判断:(1)、平行于同一直线的两直线平行。8(3)、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。(6)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(12)、垂直于同一平面的两直线平行。2、线线垂直的判断:(7)、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。(8)、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。篇二:高中数学立体几何知识点复习总结高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体?空间几何体的类型1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。?几种空间几何体的结构特征1棱柱的结构特征1.1棱柱的定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边9形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2棱柱的分类图1-1棱柱图1-1棱柱1.3棱柱的性质?侧棱都相等，侧面是平行四边形;?两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;?过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;?直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。1.4长方体的性质?长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和:AC12=AB2+AC2+AA12?长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么:cos2α+cos2β+cos2γ=1sin2α+sin2β+sin2γ=2?长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则:cos2α+cos2β+cos2γ=2sin2α+sin2β+sin2γ=11.5棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。图1-2长方体,1.6棱柱的面积和体积公式10S直棱柱侧面=c?h(c为底面周长，h为棱柱的高)S直棱柱全=c?h+2S底V棱柱=S底?h2圆柱的结构特征2-1圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。2-2圆柱的性质?上、下底及平行于底面的截面都是等圆;?过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。2-3圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。2-4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2π?r?h(r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全=2πrh+2πr2V圆柱=S底h=πr2h3棱锥的结构特征3-1棱锥的定义?棱锥:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。?正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3-2正棱锥的结构特征?平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;?正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形;?正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面11边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。3-3正棱锥的侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。3-4正棱锥的面积和体积公式S正棱锥侧=0.5ch’(c为底面周长，h’为侧面斜高)S正棱锥全=0.5ch’+S底面V棱锥=1/3S底面?h(h为棱锥的高)4圆锥的结构特征,图1-4棱锥图1-3圆柱4-1圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。4-2圆锥的结构特征?平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;?轴截面是等腰三角形;?母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2=r2+h24-3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4-4圆锥的面积和体积的公式12S圆锥侧=πr?l(r为底面半径，l为母线长)S圆锥全=πr?(r+l)V圆锥=1/3πr2?h(h为圆锥高)5棱台的结构特征5.1棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。5.2正棱台的结构特征?各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形;?正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;?正棱台的对角面也是等腰梯形;?棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。5-3正棱台的面积和体积公式S棱台侧=n/2(a+b)?h’(a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)S棱台全=S上底+S下底+S侧V棱台=6圆台的结构特征6-1圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。6-2圆台的结构特征?圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;?圆台的截面是等腰梯形;?圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6-3圆台的面积和体积公式13S圆台侧=π?(R+r)?l(r、R为上下底面半径),图1-7圆台图1-6棱台图1-5圆锥S圆台全=π?r2+π?R2+π?(R+r)?lV圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的高)7球的结构特征7-1球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7-2球的结构特征?球心与截面圆心的连线垂直于截面;?截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2=R2–d2?7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是:?根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形;?找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图;?将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题;?注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体，球直径14等于正方体对角线;球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7-4球的面积和体积公式S球面=4πR2(R为球半径)V球=4/3πR3?空间几何体的视图1三视图:观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。正视图:光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。注意:?俯视图画在正视图的下方，―长度‖与正视图相等;侧视图画在正视图的右方，―高度‖与正视图相等，―宽度‖与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)?正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。2直观图2-1直观图的定义:是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。2-2斜二测法做空间几何体的直观图?在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取?xOy=90?;?画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取?x’O’y’=45?或135?，它们确定的15,图1-8球平面表示水平平面;?在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变;平行于x轴的线段保持长度不变;平行于y轴的线段长度减半。结论:采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的2-3解决关于直观图问题的注意事项?由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑―俯视图‖;?由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二点、直线、平面之间的关系?平面的基本性质1立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化,篇三:立体几何知识点总结完整版立体几何知识点总结完整版【2013考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及16角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法(如:直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。【知识络构建】【重点知识整合】171(空间几何体的三视图(1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;(2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;(3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图(几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图(2(斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系;(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使?x′Oy′,45?(或135?)，它们确定的平面表示水平平面;(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变;在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半;(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)(3.体积与表面积公式:18(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式:V锥?台体的体积公式:V棱台?1Sh;314h(S?S?);球的体积公式:V球??r3.332(2)球的表面积公式:S球?4?R.【高频考点突破】考点一空间几何体与三视图1(一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样(即―长对正、高平齐、宽相等‖(2(画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半(例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析:如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B.答案:D【方法技巧】该类问题主要有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原成几何体(解决该类问题的关19键是找准投影面及三个视图之间的关系(抓住―正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽‖的特点作出判断.考点二空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:圆柱的表面积公式:S,2πr2，2πrl,2πr(r，l)