2017年山西省晋中市高二(上)期末数学文科试卷((含答案))

2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A． B． C． D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3） C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B． C． D．4+212．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）=ex﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．

2016-2017年山西省晋中市高二上期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A． B． C． D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心（2，2），半径是2，圆心到直线x+y﹣6=0的距离：d==＜2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3．故选B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，直线y=kx+2k过定点A（﹣2，0），由圆心到直线的距离d==1，可得k=±，若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则0≤k＜，故选B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3） C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：设P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），则+=1，∴=．则c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化为：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故选：C．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，∴椭圆的标准方程为，F1（﹣2，0），F2（2，0），可设A（0，2），P（x，y），则=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分线，且，∴•=（x，y﹣2）•（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②联立，解得x=y=2．∴点P的坐标一定满足x2+y2=8．故选：A．11．（5分）已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B． C． D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为2．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=ex﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为a＜2．【解答】解：函数g（x）=ex﹣2函数是增函数，g（x）＞﹣2，函数f（x）=ex﹣2+a有零点，可得a=2﹣ex，可得a＜2．故答案为：a＜2．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为1．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），kPA=，kPA•kPB=，又=1，∴，∴kPA•kPB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图所示，△ABD为正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵MP⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．SABCD===2．∴VP﹣ABCD==×=1．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．由点到直线的距离公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故当x=﹣时，f（x）有极大值c+，当x=1时，f（x）有极小值c﹣，若对x∈R，f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）依题意，得，解得，∴椭圆的方程为+=1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为y=x+m，则有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BC的距离，则d==|m|，∴S△ABC=|BC|•d=．∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，