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2016-2017学年山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(5分)圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是()A. B. C. D.3.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线BC1与EF所成角的余弦值是()A. B. C. D.4.(5分)已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a⊥c则b∥c;②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;③若a∥b,b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.(5分)若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是()A. B. C. D.6.(5分)已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)7.(5分)如果圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=8上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是()A.(﹣3,﹣1)∪(1,3) B.(﹣3,3) C.[﹣1,1] D.(﹣3,﹣1]∪[1,3)8.(5分)已知三棱锥P﹣ABC中,PA=4,AB=AC=2,BC=6,PA⊥面ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.16π B.32π C.64π D.128π9.(5分)已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,点P(不在x轴上)为椭圆上的一点,且满足,则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.10.(5分)已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1,F2,A为椭圆上的任意一点,AP是∠F1AF2的外角平分线,且,则点P的坐标一定满足()A.x2+y2=8 B.x2+y2=1 C.x2﹣y2=1 D.11.(5分)已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为()A.6 B. C. D.4+212.(5分)设奇函数f(x)在R上存在导数f′(x),且在(0,+∞)上f′(x)<x2,若f(1﹣m)﹣f(m)≥,则实数m的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.14.(5分)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积的最大值为.15.(5分)已知函数f(x)=ex﹣2+a有零点,则实数a的取值范围为.16.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB斜倾角分别为α,β,则|tanα﹣tanβ|的最小值为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知集合,若t∈A是t∈B的充分不必要条件,求实数m的取值范围.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面为BC上一点,且.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABCD的体积.19.(12分)已知线段AB的端点B的坐标为(1,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.(1)求线段AB的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D.当CA⊥CD时,求L的斜率.20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若对x∈R,f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,又点在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,求△ABC的最大面积.22.(12分)已知函数.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)﹣ax+1,求函数g(x)的极大值;(3)若a=﹣2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:.

2016-2017年山西省晋中市高二上期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解:因为a,b都是实数,由a>b,不一定有a2>b2,如﹣2>﹣3,但(﹣2)2<(﹣3)2,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件;反之,由a2>b2也不一定得a>b,如(﹣3)2>(﹣2)2,但﹣3<﹣2,所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件.故选D2.(5分)圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是()A. B. C. D.【解答】解:圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心(2,2),半径是2,圆心到直线x+y﹣6=0的距离:d==<2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3.故选B.3.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线BC1与EF所成角的余弦值是()A. B. C. D.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,则E(2,1,0),F(2,2,1),B(2,2,0),C1(0,2,2),=(﹣2,0,2),=(0,1,1),设直线BC1与EF所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|===.∴直线BC1与EF所成角的余弦值是.故选:B.4.(5分)已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a⊥c则b∥c;②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;③若a∥b,b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解:两条直线都与第三条直线垂直,只两条直线之间的位置关系不能确定,故①②不正确,若a∥b,b⊥c则a⊥c,这里符合两条直线的关系,是我们求两条直线的夹角的方法,故③正确,综上可知有一个正确的说法,故选B.5.(5分)若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是()A. B. C. D.【解答】解:由得x2+y2=1,(y≥0),对应的轨迹为上半圆,直线y=kx+2k过定点A(﹣2,0),由圆心到直线的距离d==1,可得k=±,若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点,则0≤k<,故选B.6.(5分)已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)【解答】解:对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立则当x>0时,f'(x)≥2恒成立f'(x)=+x≥2在(0,+∞)上恒成立则a≥(2x﹣x2)max=1故选D.7.(5分)如果圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=8上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是()A.(﹣3,﹣1)∪(1,3) B.(﹣3,3) C.[﹣1,1] D.(﹣3,﹣1]∪[1,3)【解答】解:问题可转化为圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=8和圆x2+y2=2相交,两圆圆心距d==|a|,由R﹣r<|OO1|<R+r得,解得:1<|a|<3,即a∈(﹣3,﹣1)∪(1,3)故选A.8.(5分)已知三棱锥P﹣ABC中,PA=4,AB=AC=2,BC=6,PA⊥面ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.16π B.32π C.64π D.128π【解答】解:∵底面△ABC中,AB=AC=2,BC=6,∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=,∴△ABC的外接圆半径r==2,所以三棱锥外接球的半径R2=r2+()2=(2)2+22=16,所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π.故选:C.9.(5分)已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,点P(不在x轴上)为椭圆上的一点,且满足,则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【解答】解:设P(x0,y0),(﹣a<x0<a),则+=1,∴=.则c2==(﹣c﹣x0)(c﹣x0)+,∴2c2=+,化为:3c2=a2+,∴=∈[0,1),解得:,解得≤e.故选:C.10.(5分)已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1,F2,A为椭圆上的任意一点,AP是∠F1AF2的外角平分线,且,则点P的坐标一定满足()A.x2+y2=8 B.x2+y2=1 C.x2﹣y2=1 D.【解答】解:∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1,F2,A为椭圆上的任意一点,∴椭圆的标准方程为,F1(﹣2,0),F2(2,0),可设A(0,2),P(x,y),则=(x,y﹣2),=(2,﹣2),=(2,2),=(x﹣2,y),∵AP是∠F1AF2的外角平分线,且,∴•=(x,y﹣2)•(x﹣2,y)=x2﹣2x+y2﹣2y=0,①cos<>=cos<,>,即=,②①②联立,解得x=y=2.∴点P的坐标一定满足x2+y2=8.故选:A.11.(5分)已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为()A.6 B. C. D.4+2【解答】解:∵|AF|=4,由抛物线的定义得,∴A到准线的距离为4,即A点的横坐标为﹣2,又点A在抛物线上,∴从而点A的坐标A(﹣2,4);坐标原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)则|PA|+|PO|的最小值为:|AB|==故选C.12.(5分)设奇函数f(x)在R上存在导数f′(x),且在(0,+∞)上f′(x)<x2,若f(1﹣m)﹣f(m)≥,则实数m的取值范围为()A. B. C. D.【解答】解:令,∵,∴函数g(x)为奇函数,∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x2<0,函数g(x)在x∈(0,+∞)为减函数,又由题可知,f(0)=0,g(0)=0,所以函数g(x)在R上为减函数,,即g(1﹣m)≥g(m),∴1﹣m≤m,∴.故选B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=1.【解答】解:函数f(x)=ax3+x+1的导数为:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,而f(1)=a+2,切线方程为:y﹣a﹣2=(3a+1)(x﹣1),因为切线方程经过(2,7),所以7﹣a﹣2=(3a+1)(2﹣1),解得a=1.故答案为:1.14.(5分)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积的最大值为2.【解答】解:由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD,其中SC⊥平面ABCD;四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大,三角形SBD是边长为2的等边三角形,所以此四面体的四个面中面积最大的为=2.故答案为2.15.(5分)已知函数f(x)=ex﹣2+a有零点,则实数a的取值范围为a<2.【解答】解:函数g(x)=ex﹣2函数是增函数,g(x)>﹣2,函数f(x)=ex﹣2+a有零点,可得a=2﹣ex,可得a<2.故答案为:a<2.16.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB斜倾角分别为α,β,则|tanα﹣tanβ|的最小值为1.【解答】解:∵离心率e===,∴=.设P(x0,y0),椭圆顶点A(﹣a,0),B(a,0),kPA=,kPA•kPB=,又=1,∴,∴kPA•kPB=﹣,即tanαtanβ=﹣=﹣,∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1.当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号.∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1,故答案为:1.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知集合,若t∈A是t∈B的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【解答】解:对于A:,f(x)=y=+,=2,f(2)=2,∴f(x)∈=A.对于B:x≥1+m或x≤m﹣1.即B=(﹣∞,m﹣1]∪[m+1,+∞).∵t∈A是t∈B的充分不必要条件,∴≥m+1,或2≤m﹣1,解得m≤﹣,或m≥3.∴实数m的取值范围是∪[3,+∞).18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面为BC上一点,且.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABCD的体积.【解答】(1)证明:如图所示,△ABD为正三角形,∴OB=BD=1.在△OBM中,由余弦定理可得:OM2=×=,∴OM2+BM2=OB2=1,∴OM⊥BC.∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BC.由PO∩OM=O,∴BC⊥平面POM.(2)解:由(1)可得:OP⊥OM,OP⊥OA,∴MP2=OP2+,AP2=.在△ABM中,由余弦定理可得:AM2=22+﹣=.∵MP⊥AP,∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=,∴OP=.SABCD===2.∴VP﹣ABCD==×=1.19.(12分)已知线段AB的端点B的坐标为(1,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.(1)求线段AB的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D.当CA⊥CD时,求L的斜率.【解答】解(1)设A(x1,y1),M(x,y),由中点公式得x1=2x﹣1,y1=2y﹣3因为A在圆C上,所以(2x)2+(2y﹣3)2=4,即x2+(y﹣1.5)2=1.点M的轨迹是以(0,1.5)为圆心,1为半径的圆;(2)设L的斜率为k,则L的方程为y﹣3=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD,△CAD为等腰直角三角形,由题意知,圆心C(﹣1,0)到L的距离为.由点到直线的距离公式得=,∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0,解得k=3±.20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若对x∈R,f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.【解答】解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax+b由已知有,解得a=﹣,b=﹣2;(2)由(1)得:f(x)=x3﹣x2﹣2x+c,f′(x)=由f'(x)>0得x>1或x<﹣,由f'(x)<0得﹣<x<1,故当x=﹣时,f(x)有极大值c+,当x=1时,f(x)有极小值c﹣,若对x∈R,f(x)有三个零点,则,解得:﹣<c<.21.(12分)已知椭圆的离心率为,又点在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,求△ABC的最大面积.【解答】解:(1)依题意,得,解得,∴椭圆的方程为+=1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的方程为y=x+m,则有,整理,得4x2+2mx+(m2﹣4)=0,由△=(2m)2﹣16(m2﹣4)=﹣8m2+64>0,解得﹣2<m<2,由根与系数的关系,得:x1+x2=﹣m,x1x2=,|BC|==|x1﹣x2|=,设d为点A到直线BC的距离,则d==|m|,∴S△ABC=|BC|•d=.∵≤=4,当且仅当m=±2时取等号,∴当m=±2时,

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