2017-2018学年双鸭山高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）椭圆+=1的一个焦点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（，0） D．（0，）2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C． D．3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，24．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（）种不同的投放的方式．A．4 B．12 C．64 D．815．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．116．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（）A．9 B．3 C．7 D．147．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．129．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=± B．y= C．x= D．y=10．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥9 B．a≤9 C．a≤8 D．a≥812．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（）A．（1，+∞） B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程是．15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得，则y0的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．19．（12分）已知椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标．

2017-2018学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）椭圆+=1的一个焦点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（，0） D．（0，）【解答】解：椭圆+=1的焦点在x轴上的椭圆，a=3，b=，c=2，椭圆的焦点坐标是（±2，0），故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C． D．【解答】解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“”，．故选：C．3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2【解答】解：∵公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴从公司抽取30个人进行身体健康检查，每个个体被抽到的概率是=，∴中级管理人员30×=6人，高级管理人员10×=2人，故选：D．4．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（）种不同的投放的方式．A．4 B．12 C．64 D．81【解答】解：根据题意，把四封不同的信投到三个不同的信箱里，每封信都有3种不同的投放的方式，则四封不同的信有3×3×3×3=81种不同的投放的方式，故选：D．5．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．11【解答】解：110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6（10）故选：A．6．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（）A．9 B．3 C．7 D．14【解答】解：由a=63，b=98，不满足a＞b，则b变为98﹣63=35，由b＜a，则a变为63﹣35=28，由a＜b，则，b=35﹣28=7，由b＜a，则，b=28﹣7=21，由b＜a，则，b=21﹣7=14，由b＜a，则，b=14﹣7=7，由a=b=7，退出循环，则输出的a的值为7．故选：C．7．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，点A（5，3）在抛物线内部，丨FA丨==5．P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|；∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5﹣（﹣1）=6，则（|PA|+|PF|）min=6．△PAF周长的最小值为：6+5=11．故选C．9．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=± B．y= C．x= D．y=【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D10．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：将方程转化为：半圆，与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有k=∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时．直线y=kx+3﹣2k=k（x﹣2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（﹣2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈故选D11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥9 B．a≤9 C．a≤8 D．a≥8【解答】解：命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max=9．∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8．故选：D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（）A．（1，+∞） B． C． D．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=8，即有m=8，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，则c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2+1＞+1=．∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：214．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程是．【解答】解：由题意可设：，（a＞0，b＞0），则，解得．∴双曲线的标准方程是．故答案为．15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，易求，∴．故答案为：16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得，则y0的取值范围是[﹣2，0]．【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=，则∠OMR≥．∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02+4x0+4，∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0．∴x0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）．18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．【解答】解：（Ⅰ）设回归直线的方程是：，，∴==0.5，=0.4，∴y对销售额x的回归直线方程为：=0.5x+0.4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，利润额为：=0.5×4+0.4=2.4（千万元）．﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，则，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）∵c=，F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），则•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3，∵+y2=1，∴•=x2+y2﹣3=x2+1﹣﹣3=（3x2﹣8）≤，解得﹣≤x≤，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x≤，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．【解答】解：（1）∵，（2分）∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（4分）（2）男生抽取的人数有：（人）（5分）女生抽取的人数有：（人）（6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种．（8分）其中满足条件的基本事件有：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）共6种，（10分）∴恰有一男一女的概率为P==．（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC