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2017-2018学年黑龙江省双鸭山高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(5分)椭圆+=1的一个焦点坐标是()A.(0,2) B.(2,0) C.(,0) D.(0,)2.(5分)命题“∀x∈R,2x2+1>0”的否定是()A.∀x∈R,2x2+1≤0 B.C. D.3.(5分)已知某公司现有职员150人,其中中级管理人员30人,高级管理人员10人,要从公司抽取30个人进行身体健康检查,如果采用分层抽样的方法,则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为()A.8,2 B.8,3 C.6,3 D.6,24.(5分)把四封不同的信投到三个不同的信箱里,有()种不同的投放的方式.A.4 B.12 C.64 D.815.(5分)与二进制数110(2)相等的十进制数是()A.6 B.7 C.10 D.116.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为63,98,则输出的a=()A.9 B.3 C.7 D.147.(5分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°8.(5分)已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9 B.10 C.11 D.129.(5分)已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是()A.x=± B.y= C.x= D.y=10.(5分)若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.11.(5分)命题“对任意实数x∈[2,3],关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a≥9 B.a≤9 C.a≤8 D.a≥812.(5分)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左,右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=8,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1•e2+1的取值范围是()A.(1,+∞) B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的弦,其中最短的弦长为.14.(5分)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是.15.(5分)如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.16.(5分)已知圆O:x2+y2=1,点M(x0,y0)是直线x﹣y+2=0上一点,若圆O上存在一点N,使得,则y0的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共70分.17.(10分)已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:商店名称ABCDE销售额x(千万元)35679利润额y(千万元)23345(Ⅰ)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程;(Ⅱ)当销售额为4(千万元)时,估计利润额的大小.附:线性回归方程中,,.19.(12分)已知椭圆经过点,F1,F2是椭圆C的两个焦点,,P是椭圆C上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且,求点P的横坐标的取值范围.20.(12分)为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生,得到如下2×2列联表:喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”?(2)若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人,则男生和女生抽取的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从中随机抽取2人,求恰有一男一女的概率.21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上异于原点的任意一点,过点P的直线l交C于另一点Q,交x轴的正半轴于点S,且有|FP|=|FS|.当点P的横坐标为3时,|PF|=|PS|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,l1和C有且只有一个公共点E,(ⅰ)△OPE的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由;(ⅱ)证明直线PE过定点,并求出定点坐标.
2017-2018学年黑龙江省双鸭山高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(5分)椭圆+=1的一个焦点坐标是()A.(0,2) B.(2,0) C.(,0) D.(0,)【解答】解:椭圆+=1的焦点在x轴上的椭圆,a=3,b=,c=2,椭圆的焦点坐标是(±2,0),故选:B.2.(5分)命题“∀x∈R,2x2+1>0”的否定是()A.∀x∈R,2x2+1≤0 B.C. D.【解答】解:∵命题∀x∈R,2x2+1>0是全称命题,∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是:“”,.故选:C.3.(5分)已知某公司现有职员150人,其中中级管理人员30人,高级管理人员10人,要从公司抽取30个人进行身体健康检查,如果采用分层抽样的方法,则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为()A.8,2 B.8,3 C.6,3 D.6,2【解答】解:∵公司现有职员150人,其中中级管理人员30人,高级管理人员10人,∴从公司抽取30个人进行身体健康检查,每个个体被抽到的概率是=,∴中级管理人员30×=6人,高级管理人员10×=2人,故选:D.4.(5分)把四封不同的信投到三个不同的信箱里,有()种不同的投放的方式.A.4 B.12 C.64 D.81【解答】解:根据题意,把四封不同的信投到三个不同的信箱里,每封信都有3种不同的投放的方式,则四封不同的信有3×3×3×3=81种不同的投放的方式,故选:D.5.(5分)与二进制数110(2)相等的十进制数是()A.6 B.7 C.10 D.11【解答】解:110(2)=0+1×2+1×22=2+4=6(10)故选:A.6.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为63,98,则输出的a=()A.9 B.3 C.7 D.14【解答】解:由a=63,b=98,不满足a>b,则b变为98﹣63=35,由b<a,则a变为63﹣35=28,由a<b,则,b=35﹣28=7,由b<a,则,b=28﹣7=21,由b<a,则,b=21﹣7=14,由b<a,则,b=14﹣7=7,由a=b=7,退出循环,则输出的a的值为7.故选:C.7.(5分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解:A中因为BD∥B1D1,正确;B中因为AC⊥BD,由三垂线定理知正确;C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,故正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D8.(5分)已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9 B.10 C.11 D.12【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=﹣1,点A(5,3)在抛物线内部,丨FA丨==5.P是抛物线上的动点,PD⊥l交l于D,由抛物线的定义可知|PF|=|PD|;∴要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小,当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为5﹣(﹣1)=6,则(|PA|+|PF|)min=6.△PAF周长的最小值为:6+5=11.故选C.9.(5分)已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是()A.x=± B.y= C.x= D.y=【解答】解:∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2,整理得m2=8n2,∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D10.(5分)若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.【解答】解:将方程转化为:半圆,与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点.当直线与半圆相切时,有k=∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时.直线y=kx+3﹣2k=k(x﹣2)+3,一定过(2,3),由图象知直线过(﹣2,0)时直线的斜率k取最大值为k∈故选D11.(5分)命题“对任意实数x∈[2,3],关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a≥9 B.a≤9 C.a≤8 D.a≥8【解答】解:命题“对任意实数x∈[2,3],关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题,∴a≥[x2]max=9.∴命题“对任意实数x∈[2,3],关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8.故选:D.12.(5分)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左,右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=8,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1•e2+1的取值范围是()A.(1,+∞) B. C. D.【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n),由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=8,即有m=8,n=2c,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m﹣n=2a2,即有a1=4+c,a2=4﹣c,(c<4),再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c=4c>8,则c>2,即有2<c<4.由离心率公式可得e1•e2=•==,由于1<<4,则有>.则e1•e2+1>+1=.∴e1•e2+1的取值范围为(,+∞).故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的弦,其中最短的弦长为2.【解答】解:根据题意得:圆心(2,2),半径r=2,∵=<2,∴(3,1)在圆内,∵圆心到此点的距离d=,r=2,∴最短的弦长为2=2.故答案为:214.(5分)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是.【解答】解:由题意可设:,(a>0,b>0),则,解得.∴双曲线的标准方程是.故答案为.15.(5分)如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.【解答】解:∵A1C1∥AC,∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1,易求,∴.故答案为:16.(5分)已知圆O:x2+y2=1,点M(x0,y0)是直线x﹣y+2=0上一点,若圆O上存在一点N,使得,则y0的取值范围是[﹣2,0].【解答】解:过M作⊙O切线交⊙C于R,根据圆的切线性质,有∠OMR≥∠OMN.反过来,如果∠OMR≥,则⊙O上存在一点N使得∠OMN=.∴若圆O上存在点N,使∠OMN=,则∠OMR≥.∵|OR|=1,OR⊥MR,∴|OM|≤2.又∵M(x0,2+x0),|OM|2=x02+y02=x02+(2+x0)2=2x02+4x0+4,∴2x02+4x0+4≤4,解得,﹣2≤x0≤0.∴x0的取值范围是[﹣2,0],故答案为:[﹣2,0].三、解答题:本大题共6小题,共70分.17.(10分)已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.【解答】解:∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴0<m+1<3﹣m,解得:﹣1<m<1,∴若命题p为真命题,求实数m的取值范围是(﹣1,1);若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,则判别式△=4m2﹣4(2m+3)<0,即m2﹣2m﹣3<0,得﹣1<m<3.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则p,q为一个真命题,一个假命题,若p真q假,则,此时无解,柔p假q真,则,得1≤m<3.综上,实数m的取值范围是[1,3).18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:商店名称ABCDE销售额x(千万元)35679利润额y(千万元)23345(Ⅰ)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程;(Ⅱ)当销售额为4(千万元)时,估计利润额的大小.附:线性回归方程中,,.【解答】解:(Ⅰ)设回归直线的方程是:,,∴==0.5,=0.4,∴y对销售额x的回归直线方程为:=0.5x+0.4;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)(Ⅱ)当销售额为4(千万元)时,利润额为:=0.5×4+0.4=2.4(千万元).﹣﹣﹣(12分)19.(12分)已知椭圆经过点,F1,F2是椭圆C的两个焦点,,P是椭圆C上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且,求点P的横坐标的取值范围.【解答】解:(1)∵椭圆经过点,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2,则,解得a=2,b=1,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)∵c=,F1(﹣,0),F2(,0),设P(x,y),则•=(﹣﹣x,﹣y)•(﹣x,﹣y)=x2+y2﹣3,∵+y2=1,∴•=x2+y2﹣3=x2+1﹣﹣3=(3x2﹣8)≤,解得﹣≤x≤,∵点P在第一象限,∴x>0,∴0<x≤,∴点P的横坐标的取值范围是(0,].20.(12分)为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生,得到如下2×2列联表:喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”?(2)若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人,则男生和女生抽取的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从中随机抽取2人,求恰有一男一女的概率.【解答】解:(1)∵,(2分)∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.(4分)(2)男生抽取的人数有:(人)(5分)女生抽取的人数有:(人)(6分)(3)由(2)可知,男生抽取的人数为3人,设为a,b,c,女生抽取的人数为2人,设为d,e,则所有基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种.(8分)其中满足条件的基本事件有:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)共6种,(10分)∴恰有一男一女的概率为P==.(12分)21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.【解答】(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,所以EFAD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD,∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,∴直线CE∥平面PAB;(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,设AD=2,则AB=BC
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