2017-2018学年人教a版必修三阶段通关训练(三)含解析-(高一数学)

阶段通关训练(三)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5)的概率约是()A.QUOTE1616B.QUOTE1313C.QUOTE1212D.QUOTE2323【解题指南】利用频率是概率的近似值解此题.【解析】选B.由条件可知,落在[31.5,43.5)的数据有12+7+3=22(个),故所求概率约为QUOTE22662266=QUOTE1313.2.(2016·开封高一检测)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么,互斥而不对立的事件是()A.至少有一个红球;都是红球B.至少有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;至少有一个白球D.恰有一个红球;恰有两个红球【解析】选D.可以先考虑哪几对事件是互斥的,然后从中排除还是对立的事件后,即可获得互斥而不对立的事件.在各选项所涉及的四对事件中,仅选项B和D中的两对事件是互斥事件.同时,又可以发现选项B所涉及事件是一对对立事件,而D中的这对事件可以都不发生,故不是对立事件.【补偿训练】从1,2,…,9中任取两个数,其中(1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数.(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数.(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数.(4)至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.(1)B.(2)(4)C.(3)D.(1)(3)【解析】选C.对立事件是不可能同时发生且和事件为必然事件,由条件知(3)是对立事件.3.如图,正方形ABCD的边长为2,△EBC为正三角形.若向正方形ABCD内随机投掷一个质点,则它落在△EBC内的概率为()A.QUOTE3232 B.QUOTE3434 C.QUOTE1212 D.QUOTE1414【解析】选B.正方形的面积为4,S△EBC=QUOTE1212×2×QUOTE33=QUOTE33,所以质点落在△EBC内的概率为QUOTE3434.4.有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组,第一组有1个数为1,第二组有2个数为3,5,第三组有3个数为7,9,11,…,以此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为()A.QUOTE110110 B.QUOTE310310 C.QUOTE1515 D.QUOTE3535【解析】选B.由已知可得前九组共有1+2+3+…+9=45个奇数,第十组共有10个奇数,分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字,其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个,故所求概率为P=QUOTE310310.【误区警示】本题首先需要找到分组的规律,然后准确算出前九组奇数的个数,从而找出第十组的所有奇数,否则会读不懂题或计算马虎而导致错误.5.(2016·江苏高考改编)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是()A.QUOTE5656 B.QUOTE2323 C.QUOTE1313 D.QUOTE1212【解析】选A.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次向上的点数有36种结果,其中点数之和小于10的有30种,故所求概率为P=QUOTE30363036=QUOTE5656.6.如图的矩形长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为()A.QUOTE235235 B.QUOTE23502350 C.10D.不能估计【解析】选A.利用几何概型的概率计算公式,得阴影部分的面积约为QUOTE138300138300×(5×2)=QUOTE235235.二、填空题(每小题5分,共20分)7.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为QUOTE2222的概率是________.【解析】从五点中随机取两点,共有10种情况.如图,在正方形ABCD中,O为中心,因为正方形的边长为1,所以两点距离为QUOTE2222的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)共4种,故P=QUOTE410410=QUOTE2525.答案:QUOTE25258.(2016·广州高一检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为________.【解析】满足log2xy=1的x,y有(1,2),(2,4),(3,6)这3种情况,而总的可能数为36种,所以P=QUOTE336336=QUOTE112112.答案:QUOTE1121129.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},则P(A)=________;P(B)=________;P(C∪D)=________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE820820=QUOTE2525,P(B)=QUOTE320320,P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE420420+QUOTE520520=QUOTE920920.答案:QUOTE2525QUOTE320320QUOTE92092010.设p在[0,5]上随机地取值,则方程x2+px+QUOTEp4p4+QUOTE1212=0有实根的概率为________.【解析】一元二次方程有实数根⇔Δ≥0,而Δ=p2-4QUOTEp4+12p解得p≤-1或p≥2,故所求概率为P=QUOTE[0,5]⋂{(-∞,-1]⋃[2,+∞)}的长度[0,5]的长度[0,5]⋂{(-∞,-1]⋃[2,+∞)}的长度[0,5]的长度=QUOTE35答案:QUOTE3535三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=QUOTE310310,P(B)=QUOTE1212,求“3个球中既有红球又有白球”的概率.【解析】记事件C为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A“3个球中有1个红球,2个白球”和事件B“3个球中有2个红球,1个白球”,而且事件A与事件B是互斥的,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=QUOTE310310+QUOTE1212=QUOTE4545.12.(12分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C.(2)B与E.(3)B与D.(4)B与C.(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B发生会导致事件E一定不发生,且事件B不发生会导致事件E一定发生,故B与E还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.13.(13分)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率(用两种方法).【解析】方法一:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得:P(A)=QUOTESASSAS=QUOTE602-452602602-4所以两人能会面的概率是QUOTE716716.方法二:设事件A={两人能会面}.(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过伸缩变换,x=x160,y=y160,得到两组[0,60]上的均匀随机数.(3)统计出试验总次数N和满足条件|x-y|≤15的点(x,y)的个数N1.(4)计算频率fn(A)=QUOTEN1NN1N14.(13分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:x12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值.(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【解析】(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=QUOTE320320=0.15.等级系数为5的恰有2件,所以c=QUOTE220220=0.1.从而a=0.35-b-c=0.1,所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},即基本事件的总数为10.设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4个.故所求的概率P(A)=QUOTE410410=0.4.【能力挑战题】将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为a,b.(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率.(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.【解析】(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.因为直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切,所以有QUOTE5a2+b25a2+由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}.所以,满足条件的情况只有a=3,b=4或a=4,b=3两种情况.所以,直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是QUOTE236236=QUOTE118118.(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.因为,三角形的一边长为5,所以,当a=1时,b=5,(