2017-2018学年人教a版必修三单元质量评估试卷(三)含解析-(高一数学)

单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为QUOTEmnmn,当n很大时,P(A)与QUOTEmnmn的关系是()A.P(A)≈QUOTEmnmn B.P(A)<QUOTEmnmnC.P(A)>QUOTEmnmn D.P(A)=QUOTEmnmn【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是()(1)恰好有1件次品和恰好有两件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.3.(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)=QUOTE610610=0.6.4.(2016·临沂高一检测)在区域QUOTE0≤x≤1,0≤y≤10≤x≤1,0≤y≤1内任意取一点P(x,y),则x2+y2A.0 B.QUOTEπ4π4-QUOTE1212 C.QUOTEπ4π4 D.1-QUOTEπ4π4【解题指南】本题为几何概型,首先画出所有可能构成的区域,再画出事件所满足的区域,根据几何概型的概率公式计算.【解析】选C.所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形,而满足条件的点构成的区域为圆心在原点,半径为1的圆在第一象限的部分即QUOTE1414的圆,所以P=QUOTE1414×QUOTEπ×1212π×1212=QUOTEπ45.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是()A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68【解析】选C.质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32-0.3=0.02.6.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.QUOTE1313 B.QUOTE1212 C.QUOTE2323 D.QUOTE5656【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为QUOTE2323.【补偿训练】(2016·杭州高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.QUOTE4545 B.QUOTE3535 C.QUOTE2525D.QUOTE1515【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3,所以P=QUOTE315315=QUOTE1515.7.设一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为()A.QUOTE112112 B.QUOTE736736 C.QUOTE13361336 D.QUOTE19361936【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,Δ=b2-4c≥0,显然b≠1.当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是QUOTE19361936.【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组QUOTEax+by=3,x+2y=2ax+by=3,x+2y=2A.QUOTE512512B.QUOTE11121112C.QUOTE513513D.QUOTE913913【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有6×6=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即QUOTEa1a1≠QUOTEb2b2,即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组QUOTEax+by=3,x+2y=2ax+by=3,x+2y=2只有一个解的概率为QUOTE33363336=QUOTE11121112.8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A.QUOTE1515 B.QUOTE2525 C.QUOTE3535 D.QUOTE4545【解析】选A.由题意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)=QUOTE2-12-(-3)2-12-(-3)=QUOTE1515.9.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.QUOTE4nm4nm B.QUOTE2nm2nm C.QUOTE4mn4mn D.QUOTE2mn【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知QUOTEπ41π41=QUOTEmnmn,所以π=QUOTE4mn4mn10.(2016·石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以QUOTE710710为概率的事件是()A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=QUOTE610610,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=QUOTE310310,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-QUOTE310310=QUOTE710710.11.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.QUOTE91009100 B.QUOTE350350 C.QUOTE31003100 D.QUOTE2929【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为QUOTE91009100.12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα,x∈[0,+∞)是增函数的概率为()A.QUOTE3737 B.QUOTE4545 C.QUOTE3535 D.QUOTE3434【解析】选C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A={-1,0,3,8,15},因为α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上为增函数的α的值为3,8,15,故所求概率P=QUOTE3535.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为QUOTE2626=QUOTE1313.答案:QUOTE131314.(2016·潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.【解析】由题可知,白球的个数为100×0.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P=QUOTE3210032100=0.32.答案:0.3215.(2016·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=QUOTE|5k|k2+1|即-QUOTE3434<k<QUOTE3434,所以所求概率P=QUOTE34--341-(-1)34--341-(-1)=QUOTE答案:QUOTE3434【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x∈[1,3],若在区间x∈[1,3]上随机取一点,则使得-1≤f(x0)≤1的概率为________.【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集.【解析】由函数-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈QUOTE12,212,2,又函数f(x)的定义域为x∈[1,3],所以不等式的最终解集为x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率为P=QUOTE2-13-12-13-1=QUOTE1212答案:QUOTE1212【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果错误.16.已知集合A={-1,0,1,3},从集合A中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为.【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件构成的集合为{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P=QUOTE416416=QUOTE1414.答案:QUOTE1414三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是QUOTE1717,从中取出2粒都是白子的概率是QUOTE12351235,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为QUOTE1717+QUOTE12351235=QUOTE17351735.18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:(1)恰有一枚出现正面的概率.(2)至少有两枚出现正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件:则A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.因此P(A)=QUOTE3838.(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件,则B={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正)},因此P(B)=QUOTE4848=QUOTE1212.19.(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-QUOTEnnx+m=0有实根的概率.【解析】在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示m,n的值,因为m,n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A表示方程x2-QUOTEnnx+m=0有实根,则事件A=QUOTE(m,n)n-4m≥0,0<m<1,0<n<1,(m,n)n-4m≥0,0<m<1,0<n<1,,所对应的区域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为QUOTE1818,故P(A)=QUOTES阴影S正方形S阴影S正方形=QUOTE1818,即关于x的一元二次方程x2-QUOTEnnx+m=0有实根的概率为QUOTE1818.20.(12分)(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【解题指南】(1)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①一一列举,共15种;②符合条件的结果有9种,所以PQUOTEAA=QUOTE915915=QUOTE3535.【解析】(1)应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种,所以事件A发生的概率PQUOTEAA=QUOTE915915=QUOTE3535.21.(12分)(2016·武汉高一检测)2015年全国两会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y,且x<y”.(1)共有多少个基本事件?并列举出来.(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.【解析】(1)共有36个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36个.(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x<y”,由(1)可知事件A共含有15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.故P(A)+P(B)=QUOTE15361536+QUOTE10361036=QUOTE25362536.【误区警示】用列举法列出基本事件时,必须做到不重不漏,且要注意题中要求(x,y)表示事件“抽到的两名记者的