2017-2018学年哈尔滨高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥mC．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A． B． C． D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）49544354821737932378873520964384173491645724550688770474476721763350258392120676A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B． C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份20102011201220132014科研费用x（百万元）1.61.71.81.92.0公司所获利润y（百万元）11.522.53（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥mC．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A． B． C． D．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）49544354821737932378873520964384173491645724550688770474476721763350258392120676A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2]．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份20102011201220132014科研费用x（百万元）1.61.71.81.92.0公司所获利润y（百万元）11.522.53（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，xiyi=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．（2）设P（ρ1，θ1），则有，设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC