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2016-2017学年广东省深圳市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(5分)函数的零点为1,则实数a的值为()A.﹣2 B. C. D.22.(5分)下列方程表示的直线倾斜角为135°的是()A.y=x﹣1 B.y﹣1=(x+2) C.+=1 D.x+2y=03.(5分)设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题①若a⊥b,a⊥α,则b∥α②若a∥α,α⊥β,则a⊥β③a⊥β,α⊥β,则a∥α④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β其中正确的命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.(5分)以下四个命题中,正确命题是()A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面5.(5分)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是()A. B.1 C. D.6.(5分)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(﹣∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数是()A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=x2﹣1 C.f(x)=2x D.f(x)=ln(﹣x)7.(5分)已知三棱锥的四个面中,最多共有()个直角三角形?A.4 B.3 C.2 D.18.(5分)一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A.8πcm2 B.12πcm2 C.16πcm2 D.20πcm29.(5分)2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示.下列函数模型中,最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()A.y=ax2+bx+c B.y=aex+b C.y=aax+b D.y=alnx+b10.(5分)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.4 B.2 C. D.811.(5分)函数f(x)=ln,则f(x)是()A.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减B.奇函数,且在(0,+∞)上单凋递增C.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减D.偶函数,且在(0,+∞)上单凋递增12.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.有无数条 B.有2条 C.有1条 D.不存在二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若AD的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线MN与BD所成角的大小是.14.(5分)已知A(3,2),B(﹣4,1),C(0,﹣1),点Q线段AB上的点,则直线CQ的斜率取值范围是.15.(5分)边长为2的两个等边△ABD,△CBD所在的平面互相垂直,则四面体ABCD的体积是.16.(5分)在函数①y=2x;②y=2﹣2x;③f(x)=x+x﹣1;④f(x)=x﹣x﹣3中,存在零点且为奇函数的序号是.三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(10分)已知A(5,﹣1),B(m,m),C(2,3)三点.(1)若AB⊥BC,求m的值;(2)求线段AC的中垂线方程.18.(12分)已知集合A={a|一次函数y=(4a﹣1)x+b在R上是增函数},集合B=.(1)求集合A,B;(2)设集合,求函数f(x)=x﹣在A∩C上的值域.19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图.(1)求证:AD⊥PC;(2)求四棱锥P﹣ABCD的侧面积.20.(12分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,设平面PAD∩平面PBC=l.(Ⅰ)求证:l∥平面ABCD;(Ⅱ)求证:PB⊥BC.21.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:平面PAC⊥平面PBC;(II)若AC=1,PA=1,求圆心O到平面PBC的距离.22.(12分)已知函数f(x)=lg(a>0)为奇函数,函数g(x)=+b(b∈R).(Ⅰ)求a;(Ⅱ)若b>1,讨论方徎g(x)=ln|x|实数根的个数;(Ⅲ)当x∈[,]时,关于x的不等式f(1﹣x)≤lgg(x)有解,求b的取值范围.2016-2017学年广东省深圳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(5分)函数的零点为1,则实数a的值为()A.﹣2 B. C. D.2【解答】解:∵函数的零点为1,即解得a=﹣,故选B.2.(5分)下列方程表示的直线倾斜角为135°的是()A.y=x﹣1 B.y﹣1=(x+2) C.+=1 D.x+2y=0【解答】解:根据题意,若直线倾斜角为135°,则其斜率k=tan135°=﹣1,依次分析选项:对于A、其斜率k=1,不合题意,对于B、其斜率k=,不合题意,对于C、将+=1变形可得y=﹣x+5,其斜率k=﹣1,符合题意,对于D、将x+2y=0变形可得y=﹣x,其斜率k=﹣,不合题意,故选:C.3.(5分)设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题①若a⊥b,a⊥α,则b∥α②若a∥α,α⊥β,则a⊥β③a⊥β,α⊥β,则a∥α④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β其中正确的命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解:①可能b∈α,命题错误②若α⊥β,只有a与α,β的交线垂直,才能够推出a⊥β,命题错误③a可能在平面α内,命题错误④命题正确.故选B.4.(5分)以下四个命题中,正确命题是()A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面【解答】解:不共面的四点中,其中任意三点不共线,故A为真命题;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E可能不共面,故B为假命题;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能不共面,故C为假命题;依次首尾相接的四条线段可能不共面,故D为假命题;故选:A5.(5分)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是()A. B.1 C. D.【解答】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2,∴直角三角形的直角边长是,∴直角三角形的面积是,∴原平面图形的面积是1×2=2故选D.6.(5分)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(﹣∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数是()A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=x2﹣1 C.f(x)=2x D.f(x)=ln(﹣x)【解答】解:根据已知条件知f(x)需在(﹣∞,0)上为增函数;一次函数f(x)=﹣x+1在(﹣∞,0)上为减函数;二次函数f(x)=x2﹣1在(﹣∞,0)上为减函数;指数函数f(x)=2x在(﹣∞,0)上为增函数;根据减函数的定义及对数函数的单调性,f(x)=ln(﹣x)在(﹣∞,0)上为减函数;∴C正确.故选C.7.(5分)已知三棱锥的四个面中,最多共有()个直角三角形?A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解:如果一个三棱锥V﹣ABC中,侧棱VA⊥底面ABC,并且△ABC中∠B是直角.因为BC垂直于VA的射影AB,所以VA垂直于平面ABC的斜线VB,所以∠VBC是直角.由VA⊥底面ABC,所以∠VAB,∠VAC都是直角.因此三棱锥的四个面中∠ABC;∠VAB;∠VAC;∠VBC都是直角.所以三棱锥最多四个面都是直角三角形.故选:A8.(5分)一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A.8πcm2 B.12πcm2 C.16πcm2 D.20πcm2【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,体对角线为=2,即为球的直径,所以半径为,表面积为4π2=12π.故选B.9.(5分)2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示.下列函数模型中,最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()A.y=ax2+bx+c B.y=aex+b C.y=aax+b D.y=alnx+b【解答】解:根据图象得出单调性的规律,单调递增,速度越来越快,y=ax2+bx+c,单调递增,速度越来越快,y=aex+b,指数型函数增大很快,y=eax+b,指数型函数增大很快,y=alnx+b,对数型函数增大速度越来越慢,所以A,B,C都有可能,D不可能.故选:D.10.(5分)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.4 B.2 C. D.8【解答】解:三视图复原的几何体是长方体,长方体长、宽、高分别是:2,2,3,所以这个几何体的体积是2×2×3=12,长方体被一个平面所截,得到的几何体的是长方体的,如图所示,则这个几何体的体积为12×=8.故选D.11.(5分)函数f(x)=ln,则f(x)是()A.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减B.奇函数,且在(0,+∞)上单凋递增C.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减D.偶函数,且在(0,+∞)上单凋递增【解答】解:由x(ex﹣e﹣x)>0,得f(x)的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞),而f(﹣x)=ln=ln=f(x),∴f(x)是偶函数,x>0时,y=x(ex﹣e﹣x)递增,故f(x)在(0,+∞)递增,故选:D.12.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.有无数条 B.有2条 C.有1条 D.不存在【解答】解:由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行;故选A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若AD的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线MN与BD所成角的大小是60°.【解答】解:如图,连接BC1,DC1,则:MN∥BC1,且△BDC1为等边三角形;∴MN与BD所成角等于BC1与BD所成角的大小;又∠DBC1=60°;∴异面直线MN与BD所成角的大小是60°.故答案为:60°.14.(5分)已知A(3,2),B(﹣4,1),C(0,﹣1),点Q线段AB上的点,则直线CQ的斜率取值范围是.【解答】解:kCA==1,kCB==.∵点Q线段AB上的点,则直线CQ的斜率取值范围是:.故答案为:.15.(5分)边长为2的两个等边△ABD,△CBD所在的平面互相垂直,则四面体ABCD的体积是1.【解答】解:如图,取DB中点O,连结AO,CO,∵△ABD,△CBD边长为2的两个等边△‘∴AO⊥BD,CO⊥BD,又∵面ABD⊥面BDC;∴AO⊥面BCD,AO=,四面体ABCD的体积v=,故答案为:1.16.(5分)在函数①y=2x;②y=2﹣2x;③f(x)=x+x﹣1;④f(x)=x﹣x﹣3中,存在零点且为奇函数的序号是④.【解答】解:函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数,故不满足条件;函数②y=2﹣2x存在零点1,但为非奇非偶函数,故不满足条件;函数③f(x)=x+x﹣1不存在零点,为奇函数,故不满足条件;函数④f(x)=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数,故满足条件;故答案为:④.三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(10分)已知A(5,﹣1),B(m,m),C(2,3)三点.(1)若AB⊥BC,求m的值;(2)求线段AC的中垂线方程.【解答】解:(1),…(2分)…(5分)(2)…(6分)中垂线的斜率…(7分)AC的中点是()…(8分)中垂线的方徎是化为6x﹣8y﹣13=0…(10分)18.(12分)已知集合A={a|一次函数y=(4a﹣1)x+b在R上是增函数},集合B=.(1)求集合A,B;(2)设集合,求函数f(x)=x﹣在A∩C上的值域.【解答】解:(1)∵集合A={a|一次函数y=(4a﹣1)x+b在R上是增函数},∴4a﹣1>0,解得:a>,故…(1分),由得:当0<a<1时,loga<1=logaa,解得:0<a<,当a>1时,loga<1=logaa,解得:a>,而a>1,故a>1,∴…(6分)(2)…(7分)∵函数y=x在(0,+∞)是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴在(0,+∞)是增函数…(9分)所以当时…(12分)有…(11分)即函数的值域是…(12分)19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图.(1)求证:AD⊥PC;(2)求四棱锥P﹣ABCD的侧面积.【解答】(1)证明:依题意,可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E,连接PE,则PE⊥平面ABCD.…(1分)∵AD⊂平面ABCD,∴AD⊥PE.…(2分)∵AD⊥CD,CD∩PE=E,CD⊂平面PCD,PE⊂平面PCD,∴AD⊥平面PCD.…(4分)∵PC⊂平面PCD,∴AD⊥PC.…(5分)(2)解:依题意,在等腰三角形PCD中,PC=PD=3,DE=EC=2,在Rt△PED中,,…(6分)过E作EF⊥AB,垂足为F,连接PF,∵PE⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥PE.∵EF⊂平面PEF,PE⊂平面PEF,EF∩PE=E,∴AB⊥平面PEF.∵PF⊂平面PEF,∴AB⊥PF.依题意得EF=AD=2.在Rt△PEF中,,…(9分)∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积.…(12分)20.(12分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,设平面PAD∩平面PBC=l.(Ⅰ)求证:l∥平面ABCD;(Ⅱ)求证:PB⊥BC.【解答】(本题满分为12分)证明:(Ⅰ)∵BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,AD∥BC,∴BC∥平面PAD…(2分)又BC⊂平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,∴BC∥l.…(4分)又∵l⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴l∥平面ABCD.…(6分)(Ⅱ)取AD中点O,连OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥

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