2023届北京市朝阳区高三年级上册数学期末试题（解析版）

2023届北京市朝阳区高三上学期数学期末试题

一、单选题

1.已知全集。={上>0},集合A={x[l<x<2},则44=()

A.(fl]52,w)B.(0,l]U[2,+oo)

C.(f1)52收)D.(0」)U(2,M)

【答案】B

【分析】由补集的定义即可求解.

【详解】因为全集。={41>0},集合A={M1<XV2},

由补集的运算可得①A={X0<xW1或2},

对应区间为(0JU[2,+oo).

故选：B.

2.在复平面内，复数(l+i)S-i)对应的点在第三象限，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(fl)C.(-1收)D.(l,+a))

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0联立不等式组求解.

【详解】(l+i)(a-i)=(a+l)+(a-l)i在复平面内Xj应的点在第三象限，

。+1<0

即a<-\.

实数。的取值范围是(F,T).

故选:A.

3.函数的零点的个数为()

c—2,x>()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分别求出xWO和x>0时，/(力的零点个数即可得出答案.

【详解】当xWO时，令/(力二丁+2工一3=0,

则(x—l)(x+3)=0,解得：x=i(舍去)或广―3,

当x>（）H寸，令炉一2-0，解得：x=ln2,

所以/（"的零点个数为2.

故选：C.

4.已如双曲线的一条渐近线的倾斜角为60。，则双曲线的离心率为（）

A.好B.友C.万D.2

23

【答案】D

【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即2=6,从而求出离心率.

a

【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率2=tan6（）o=G,

a

所以双曲线周心率e=—=J1+与=J1+3-2.

故选：D

5.在48C中，“疝24=疝2犷'是“"（？为等腰三角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据sin2A=sin28得到A=8或A+5=],充分性不成立，必要性可举出反例，从而得到

结论.

【详解】sin2A=sin2B,则2A=28或2A+28=>,

故A=8或4+3=1，

故48C为等腰三角形或直角三角形，

（.ABC为等腰三角形，不一定推出sin2A=sin2B,

比如8=C=70。，此时不能得到sin2A=sin2B,

故"sin2A=sin2G”是“ABC为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

6.过直线），=履-2上任意一点，总存在直线与圆f+y2=]相切，则出的最大值为（）

A.GB.&C,1D.且

3

【答案】A

【分析】根据题意，设尸为直线），=依-2上任意一点，判断点尸与圆的位置关系以及直线与圆的位

置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得我的最大值.

【详解】设P为直线丁=履-2上任意一点

因为过直线y=fcx-2上任意一点，总存在直线与圆x2+/=l相切

所以点夕在圆外或圆上,

即直线y=履-2与圆f+丁=।相离或相切，

则页即&2+1”，解得丘［-

故A的最大值为

故选:A.

7.已知函数/(x)=sin(8+e),>0,l8l<gj,若g")♦/(X)=1,且函数g(x)的部分图象如图所示，则

。等于()

【答案】B

佃二1

【分析】结合图象即可得到进而求得,结合正弦型函数的性质可求得周

期和。，从而求得答案.

【详解】由图可知，函数g(x)过点6」)和点停-1

又因为ga）/a）=i,所以

结合正弦型函数的性质可知，，解得了二兀,

263

2n

所以时=兀，解得。=±2,因为。＞0,所以。=2

所以f(x)=sin(2x+*),所以sin(2xg+0)=1,

J

即？+0=?+2E,kwZ

解得eT+2E,keZ

6

因为Iskg,所以9=一^

2O

故选:B.

8.2022年10月31H,长征五号B遥四运载火箭带着中华美族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将

中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度-（单位:

km/s）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量加单位:t）的关系满足u=20001n1+一,

1m；

M,，〃，u之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）

B.当知=2,m<600时・，v<7.9

C.当M>5,/〃=800时，v>ll.2D.当M>3,〃0600时，v>ll.2

【答案】C

（M\

【分析】由题及图象关系可知，在u=20001n1+一中，当用一定时，用越大，贝心越大,

inJ

当用一定时，川越小，则口越大，代入对应的逐项判断选项即可得到答案.

【详解】由题及图象关系可知，在y=20001n(l+*)中，当〃?一定时，例越大，贝N越大,

当M一定时，加越小,则】，越大,

♦803、

对于A,当"=3,〃?=800时，v=20001n(1+—|=2000In之7.49,故A错误.

(800J<800；

「602、

对于B,当M=2,，〃<600时，v>2000ln[1+—|=20001n«6.66,故B错误.

I600J

v>20001n^l+^J=20(X)ln|，805]

对于C,当M>5,m=800时,<806j«12.46>11.2,故C正确

对于D,因为M>3,〃?>600,令M=4,〃?=1000,

4A(10041

v=20()0In1+——=2000In«7.98<11.2,

IOOOJuoooj

故选：C.

9.已知A,&。是单位圆上不同的三点，AB=AC,则冲•混的最小值为()

A.0B.—C.—D.—I

42

【答案】C

【分析】画出图形，设出A(Q1),B(cosa,sina),C(-cosdZ,sina),。｛[(),2兀)，表达出

inniimi/IA21

AC=2sin%-2sina=2卜ina-gj--,结合ae[0r,2?:)的范围求出最小值.

【详解】如图所示：不妨令4(04)，设5(cos%sina),«G[0,2TI),

由于A3=AC,所以。(一85&©11£),

muHUM、、

则Ab-AC=(cosa,sincr-i)(-cosa,sin«-!)=-cos2a+(sina-1)

=2sin2a-2sina=2sine————♦

I2j2

因为aw[0,2;i),所以当sina=；时，联.混取得最小值，最小值为-

故选：C

10.在数列｛〃“｝中，6=la+i=S；+l(〃£N.),若存在常数C,对任意的"eW,都有成立,

则正数左的最大值为()

A.—B.-C.-D.；

5432

【答案】B

【分析】由4.1=3+1(〃€2)可得-—凡21-1,可得凡之1+(〃-用极限思想和数学

4kI4k/

归纳法的思想分析计算即可得到正数人的最大值.

【详解】因为4.1=kz；+l(，?cN・),&>0,

所以q+1一4

""(nkn4k2

所以%=《+£(—-q“)zi+(〃T)1一：，〃之2,

/w=iQK/

由于4=1满足上式，故外之1+(〃一1)(1一2｝

1fIA

当左>:时，有”趋近于+8时，(H-1)1—趋近于+<»

4I4k)

此时4没有最大值，故不满足题意，舍去;

所以AY1

当人安时，可证对任意的〃eN,都有％」

由题知，若存在常数。，对任意的〃wN*,都有%<c成立，则c>l,

以下进行证明：存在常数c=2,对任意的〃cN',都有q<2成立.

当〃=1时，q=1<2,结论成立

假设〃=m(m>1)时结论成立，即1<%<2

则1-4+1=立J1<11：X2?=2,

则存在常数c=2,对任意的都的为＜2成立

故正数人的最大值为g.

4

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考杳数列的递推关系和数列中参数最大值的求解，属于难题，解题的关键

是要把递推关系进行转化求解，结合数列中的极限思想和数学归纳法的思想进而求解问题.

二、填空题

II.(21+工丫展开式的常数项是__________.(用数字作答)

IX)

【答案】24

【分析】写出展开式通项公式，确定常数项的项数后可得.

【详解】=C：24fx4-2、4-2r=0,r=2,

常数项为(=C：X22=24.

故答案为：24.

12.若函数y=cos%-sinx在区间10,0上是严格减函数，则实数〃的最大值为

【答案】

【分析】化简y=cosx—sinx得至ljy=夜cos(x+f］,结合y=cosx的单调递减区间得到。+£«江,

I4J4

即可求出结果.

［详解］因为N=cosx-sinx=&cos(x+?),

又因为在区间10,0上是严格减函数，

且y=8Sx的单调递减区间为［2*乃,乃+2女司仕eZ),

所以。+£«乃，即。4芬，所以实数。的最大值为寻，

444

故答案为：—.

4

13.如图，在棱长为。的正方体48CO-AqCQ中，P,。分别为AC”Ag的中点，点了在正方体

的表面上运动，满足

给出卜列四个结论：

①点/可以是梭OR的中点;

②线段长度的最小值为

③点r的轨迹是矩形；

④点7的轨迹围成的多边形的面积为.

其中所有正确结论的序号是

【答案】②③④

【分析】以c点为坐标原点建立空间直角坐标系，令正方体ABC。-A4G。棱长。=2可简化计算,

得到对应点和向量的坐标，通过空间向量数量积的运算即可判断对应的垂直关系，通过计算和几何

关系得点了的轨迹为四边形EFGH,通过证明得到则点7.的轨迹为矩形EFGH,即可求解点7的轨迹

围成的多边形的面枳和线段PT长度的最小值，从而得到答案.

【详解】由题知，以C点为坐标原点，以CDC&CC；所在直线分别为K)，,z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，令正方体ABC。-4瓦G2棱长〃=2

则C(0.0,0),D(2,0,0),3(020),A(2,2,0),q(0,0,2),A(2,0,2),

(0,2,2),A(2,2,2),0(1,2,2),设7(x,y,z),

对于①，当点了为棱。。的中点时，丁(2.0.1).

则P7=(l,—l,0),8Q=(l,0,2),P"8Q=l+0+0=l/0

不满足尸丁_L8Q,所以点7不是棱。，的中点，故①错误.

PT=(x-l,y-l,z-l),因为PT_LBQ

所以x—l+2(z—l)=0,

当X=U时，z=g,当x=2时，z=!

22

取E(2,0,g}/(二2,；}G(0,2,1),W^O,O,|j,

连结跖，FG,GH,HE,

则"="G=(0,2,0),EH=FG=(-2,4,l),EFEH=O,即痔

所以四边形EFG”为矩形，

因为EFBQ=O,EHBQ=U,

所以EFJ.BQ,EHJ.BQ,

乂EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，

所以6Q_L平面EFG”，

所以。为EG的中点.则"<=立面

为使「丁_L8。，必有点TG平面EFGH,

又点丁在正方体表面上运动，所以点7的轨迹为四边形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=4,

所以EFrEH,则点7的轨迹为矩形EFGH,故③正确

面积为2、6=26，即或故④正确

2

又因为8Q=(l,0,2),PT=(x-l,y-l,z-l),PTA.BQ,

则x-l+2(z-1)=0,即x+2z-3=0,

所以x=3-2z,点/在正方体表面运动，

13

则0W3-2z42,解得二Wz妥，

22

所以|P7|=7(x-l)2+(y-l)2-».(z-l)2=75(z-l)2+(y-l)2，

结合点7的轨迹为矩形EFGH,

分类讨论下列两种可能取得最小值的情况

当z=l,)，=0或丁=2时，|叼=1,

当y=l,z=/或z=T时，|PT|=当

因为17亚，所以当Z-1,3一0或y-2时，/7取得最小值为1,即L，故②正确.

22

综上所述；正确结论的序号是②③④

故答案为：②③④.

【点睛】本题以正方体为载体，考查空间向量在立体几何中的综合运用和空间几何关系的证明，属

于难题，解题的关键是建立空间直角坐标系，设极长为数值可简化运算，通过空间向量即可证明和

求解对应项.

三、双空题

14.已知等差数列｛《｝的公差（/工0,6=4,且44吗成等比数列，则为=；其前〃项和

S”的最大值为.

【答案】5-〃10

【分析】由《冯⑼成等比数列列式求出公差,则通项公式可求;写出等差数列的前〃项和，由二次函数

的对称性求得S.取得最大值.

【详解】由4吗，4成等比数列，得（4+2d）2=q（4+3d），解得d=-%d=-l.

则%=a1+-l）d=4_-1）=5-；

?:（«-1）,2（,?-l）x（-I）n29

S=na.+---------d=4〃+------------------=------+-n

n2222

对称轴方程为〃=4.5,

i2a

•••〃€N=5=4或5时，S“取最大值，最大值为S4=S'=—万+/4=10.

故答案为：5-n,10

15.抛物线C:y=f的准线/的方程为.若点尸是抛物线。上的动点，/与），轴交于点A,

则/。4尸（。是坐标原点）的最大值为.

【答案】y=~；7

44

【分析】由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角,

此时NOAP取最大值.

【详解】抛物线C：y=V即C：Y=y的准线/的方程为）,=一；；

/与1y轴交于点人，则有A（0,-q），则当4尸与抛物线相切时NQ4Q最大，

设切点为（。,〃），y'=2x,，切线方程为丁-/=2〃（1-〃），切线过点4,则-；-/=2a（0-。），

解得"土提

工切线斜率为2。=±1,即倾斜角为；或半，故NQ4P的最大值为;.

444

故答案为：y=~~：?

44

四、解答题

16.在s/WC中，csinB->/3/>cosC.

⑴求NC：

⑵若〃+方=6,求。的最小值.

【答案】（1）。=1;

（2）3.

【分析】（1）由正弦定理可得sinCsinB=V5sin/3cosC,从而得tanC=G，即可得。=1;

（2）由余弦定理可得/=36-3",再由基本不等式即可求得「的最小值.

【详解】（1）解：因为csin8=>/J〃cosC,

所以sinCsinB=百sin8cosc,

又因为sin8工0,

所以sinC=GcosC,

即有tanC=>/3,

又因为CG(O,TO,

所以c=§;

(2)解：因为C=1,a+〃=6,

所以/=/J+/-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=36-3ab>36-3x(~~)2=9,

当a=〃=3时，等号成立，

所以cN3,

故c的最小值为：3.

17.跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规

定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜

奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级

各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：

高三（1）班:142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三(2)班：137,126,116,108；

高三（3）班:163,134,112,103；

高三（4）班:158,132,130,127,110,106.

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立.

（1）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；

（2）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；

（3）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

【答案】⑴g

（2）?

（3）高三（3）班

【分析】（1）用古典概型概率“算公式即可求解.

（2）分别记三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖

II1O

为事件A、B、C、，则P（A）=JP（8）=5、P（C）=-,P（D）=-,由题意得X的取值为0,1,23%

乙乙乙J

分别计算出对应概率即可求解数学期望

（3）高三（3）班：163,134,112,103的数据中163为最大数据且134为较大数据即可判断.

【详解】（I）记高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件A.

由题知高三（I）班在2分钟内的跳绳个数超过120个的有5次，用频率估计概率，估计高三（1）

班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为P（A）=得=g

（2）分别记高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件A、C、

。，

I17

则。（8）=5、P（C）=5、P（D）=w，

乙乙D

由题意得X的取值为0,12,3,4

所以P（X=O）=P（板历）=「（可尸（w©p（0

尸（X=1）=P[ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

II111I1II11111I25

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=——

222322232223222324

p（x=2）=p（ABCD+Alien4-AiiCD+ABCD+A8CD+ABCD）

-P[ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD）IP（ABCD^iP（ABCD）

111111111112

=­X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—

222322232223

1111111211123

+—X—X—x—+—X—X—X—+—X—X—X—=—

2223222322238

X=3）=P（ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（AI3CD）+P（AKD）+P（ABCD]

11111112111211127

=XXX|XXX|XXX|XXX=

222322232223222324

P（X=4）=P（A8C0=P（4）P（B）P（C）P（0=；X：X：X£=A

乙乙乙JIN

则X的分布列如下表

X01234

1571

P3

2424824Y2

所以£口）=0乂-!-+1乂工+2乂3+3乂工+4乂-!-13

V7242482412

(3)在此次跳长绳比赛中，高三(3)班获得冠军的概率估计值最大

18.如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面A8CO为正方形，平面1。_1平面488,45=4,"=。，

E,〃分别为BC,PD的中点.

⑴求证：EPP平面Q43；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角厂-座-A的余弦值.

条件①：PD±EF；

2

条件②：PD=-EF.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第-个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）辞，详情见解析

【分析】（1）设小中点为G,连接GRC",由三角形中位线性质可得G产〃AD,且G尸=24。从而

可得四边形8瓦G为平行四边形，再由G3即可证得QP平面叫B：

⑵按照条件①、条件②的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出PH的长，以及证得尸”_L

平面A8CO,再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角/-8E-A的余弦值.

【评解】（1）如图（1）,设小中点为G,连接GRGB,

底面48CQ为正方形，E,尸分别为8C,P。的中点.

:.GF〃AD,且G/n,AQ,而又8石〃AO,BE=-AD,

22

・•.G且=，，四边形2EFG为平行四边形，

・.EFGB,又"二平面AW,GAu平面RA4,

「•"P平面E4&

(1)

（2）选条件①：连结过尸作P，_LAO交于点〃，又因为小=也＞,所以点H也是AO中点,

连结

PD±EF,"为尸。的中点，则庄=。£,又,,底面A8CO为正方形，DC=HE=AB=4、EC=2,

PE=DE=>l42+22=275.

在_PHE中,PH=XIPE2-HE2=>/20-16=2»

「平面PAD_L平面ABCD,AB=4,PA=PDf平面QAOc平面ABCD=AD,「.PH1AD.:.PH1平

面ABC。，

如图（2）以〃为原点，所在直线分别作x轴，》轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

H（0,0,0）,A（2,0,0）,8（2,4,0）苫（0,4,0）,尸（-1,0,1）,夕（0,0,2）,

ra=(3,4,-1),EB=(2,0,0),

QP”_L平面A8CO,•.〃夕是平面ABC。的一个法向量，HP=（0,0,2）;

设平面8E尸的•个法向量为〃=（x,y,z）,则有

n-FB=03x+4y-z=0.、

=2x=0'令尸1，则z=4,"(0J4)；

n-EB=0

|"R〃|0+0+8_4_4行

,cos(尸-BE-A)=

2V17"Tn--!?"

故二面角F-BE-A的余弦值为&叵.

⑵

选择条件②：取人。的中点为连结PH,HE,又平面平面48CDA8=4JA=PD,平面

EADc平面A8C£）=AO,..。“，八。,「./7/_1平面48。。,

过尸作包_LH/）交于点L,连结L石，又；尸是PD中点，所以点L也是“。中点,

此_1_平面A8CD,LEu平面ABCD,，FL工LE,

设PH=2h,则也=/?「,,AO=A3=4,.1.HD=2HL=2^-LE==Vl7，

PD=7（2/?）2+22=2V/r+1，PD.EF,二EF=：PD=3〃，+1,故在Rl“L七中，

FE2=FI3+LE29（/?2+1）=A2+17,解得〃=1,即尸”=23=2,

如图（3）以“为原点，所在直线分别作工轴，5轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

H（0,0,0）,4（2,0,0）,监4,0）,E（0,4,0）,尸（T,0,l）,P（0,0,2）,

电（3,4,-1）&=（2,0,0）,

QPH_L平面A4CQ,是平面48co的一个法向量，HP=（0,0,2）;

设平面8E尸的一个法向量为〃=（x,y,z）,则有

〃,必=0j3x+4)，-z=0

令y=l,则z=4,/?=(0,1,4)；

〃EB=()2x=0

\HP-n\o+o+844yf\7

COS{F-HE-A)=

|研卜「2x/17-717-17,

故二面角F-BE-A的余弦值为勺叵.

22

19.已知椭圆C:二+==1（。>〃>0）的右顶点42,0）,P为帏圆C上的动点，且点P不在x轴上,

a'b"

。是坐标原点，&4OP面积的最大值为1.

（1）求椭圆。的方程及离心率；

（2）过点〃（-1,0）的直线Pa与桶圆。交于另一点Q,直线A/VAQ分别与），轴相交于点E,?当|K〃|-2

时，求直线PH的方程..

【答案】（1）［+）尸=1,立

42

Q）瓜工_6y+瓜=0或遍、+6），+指=0

【分析】（1）由椭圆的右顶点42,0）可得4=2,若要二A”面积最大，则需|尸片最长，此时点，在），

轴上，面积可得〃=1,从而求得椭圆。的方程，再山C『_〃+C-2可求得。，从而可得离心率；

（2）设直线尸少的方程为：），=网工+1）,（女工0）,与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出

韦达定理的表达式，再通过直线夕4,QA的方程得出点£尸坐标，进而表达出|跖|=2,从而可解

得3求得直线P4的方程.

【详解】（1）椭圆C:二+二=1（4>>>0）,A（2,0）,。=2,

rrb~

P为椭圆。上的动点，且点P不在x轴上，0是坐标原点，过点P作PK_Lx轴，垂足为K,故4Aop

面积为&Aop=gx|Q4冈PK|=gx2x|PK|,

若要“OP面积最大，则需|%|最长，此时点夕在y轴上，即|PK|=|O"时，使得二AO夕面积最大,

22

S、AOP=5x|。臼x|Pj<|=-x2x|0P|=1=1=],c=>Ja—b=，4-l=G-

.，・椭圆C的方程为'+V=1,离心率为C=£=立.

4a2

（2）夕为椭圆。卜的动点.过点的直线与椭圆。交干另一点Q.

可记P（x，y）,。（%2，左）,

当直线P，的斜率不存在时，即PHLx•轴时，归。<给=2,此时直线ARAQ分别与y轴相交于点

E,F.此时|E"K|PQ|v2,不符合题意.

当直线P”的斜率存在时，设直线户〃的方程为：），=&*+1）,伏工。）,

y=A（x+l）,

联立兰，2,消去y可得上+代（.1+1『=1,化简得（1+软2卜2+8次丫+4女2-4=。，由韦达定理

彳+卜=

8尸

…=一询

可得

4^—4

16Z:2-16433k?+1

所以同一K|=-4中2=

1+4公1+4二

由户区方），。（士，必），42,0）,则直线批的方程为：y=U、（x-2）,直线QA的方程为:

再一2

y=34（x-2）,因为直线AP.AQ分别与），轴相交于点E,F,令1=0分别代入直线E4,直线出可

入2-N

得：点a含卜小含

...I叶3--2y2_2I为

人1乙x,-2X)-2x,-2

又尸（x，y），Q（w，必）在直线PH方程y=幺*+1）,（攵工0）上，所以有x=依%+1）,%=攵02+D，

3k(x-xj

分别代入户可并化简可得|"|=2三-32

X

A.一乙Xy—乙xrv2-2(x(+2)+4

443犬+1

23Ad(K+S)2-4中2

下4/?"

N

芭工?-2(+x2)+436匕

1+4^

故直线P，的方程为:

即\[bx-6y+y/6=0或A/6.V+6y+瓜=0.

20.已知函数/（x）=—伍＞（））.

ax

（1）求〃x）的单调区间;

⑵若以x）Wx-l对Xe（0,+00）恒成立,求a的取值范围;

a

⑶若WIn$+In七=O(X]/斗)，证明：x1+x2>2.

【答案】（l»«0，e）时单调递增，xe（e,-K^）时，单调递减;

（2）«＞1；

（3）证明见解析.

【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间；

（2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可；

（3）作图，根据函数图像确定补毛的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明.

【详解】（1）/，显然有/（e）=0,当x«0,e）时，/（x）＞0,单调递增,

当xw(e,yo)时，/(x)<0，单调递减：

,八Jnx,1zw,、x+lnx

(2)由<x—得：ax~-x-lnx>0,ci>--；—,

axax

令8(力=直詈，则有g3=f；nx+l,令&(力=_工一2|门+1,

显然％(x)是减函数，攵(1)=0,/.当xe(O,l)时，A(x)>0,g(x)单调递增，工«1,+<»)时,

k(x)<0,g(x)单调递减；

二•g(xL=Ml)=l，。的取值范围是;

(3)当。=1时，=W，由(I)的结论作函数图像如下：

yt.

lA::

~d-pex

=e

/Wmttx/()=；，

Inx.Inx,/、/、

对于看Inw+Zln%=。，得-一—=--,不妨设公>内，则有一/(%)=/(/)，

.1、《2

由图可知当。</'(x)<1时，对应的自变量有2个值吃，后，其中5>e』vx2〈e,

e

要证明X+匕>2,只需々取玉,工3中较小的数*2即可，

v0</(x,)<-,,苦«0,1),2-XjG(1,2),

ee

要证明内+々>2,只需证明/>2-$,在x<0,e)时，/(x)单调递增，

只需证明/(毛)>/(23),f(x2)=-f(.rt),只需证明一/(司)>/(2-%),

BP/(A-)+/(2-A-)<0,构造函数0(力=处+半》(彳€(0,1)),

x2—x

./、1-lnx-1+ln(2-x)x2ln(2-A)-(2-X)2lnx+4(l-x)

xe(O,l),.,.2-xe(l,2),x2ln(2-x)>0,-(2-x)~ln.v>0,4(1-x)>0,

p(x)>0,p