第1章有理数全章复习（教学课件）3个考点4个易错10个技巧总结七年级数学上册考试满分全备考（浙教版2024）

全章复习（3个考点+4个易错+10个技巧总结）浙教版（2024）七年级数学上册第一章有理数目录/CONTENTS易错易混考点梳理知识导图技巧总结知识导图考点一：有理数的概念及分类

A.1个B.2个C.3个D.4个C考点梳理2.

[2024·杭州上城区月考]下列说法正确的是(

D

)A.

整数分为正整数和负整数B.

正分数、负分数统称有理数C.

零既可以是正整数，也可以是负整数D.

所有的分数都是有理数D3.

[立德树人·深海科技]近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10

907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇升空高度至海拔9

050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录.如果把海平面以上9

050米记作“＋9

050米”，那么海平面以下10

907米记作

⁠

⁠.－10

907米

10，＋66，2

019

0

考点二：数轴、相反数、绝对值的相关问题5.

下列各对数中，互为相反数的是(

D

)A.

－(－2)和2B.

＋(－3)和－(＋3)C.

和－2D.

－5和｜－5｜D6.

下列说法正确的有(

C

)①a的相反数是－a；②所有的有理数都能用数轴上的点表示；③－1的绝对值等于它的相反数.A.1个B.2个C.3个D.0个C7.

数轴上将一个点从点A处先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度，到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是(

D

)A.4B.3C.

－3D.

－2D8.

如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示－3的点与表示1的点重合，则与表示－5的点重合的点表示的数是(

A

)A.3B.4C.5D.

－1A9.

[立德树人·低碳环保]近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加.小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程(如下表).以40

km为标准，多于40

km的记为正数，不足40

km的记为负数.第一

天第二

天第三

天第四

天第五

天第六

天第七

天路程/km－6－5＋8＋2－5＋11＋15(1)请求出小明家的新能源纯电汽车这7天一共行驶了多少千米.【解】由题意，得这7天行驶路程分别为(单位：km)：34，35，48，42，35，51，55.34＋35＋48＋42＋35＋51＋55＝300(km).答：小明家的新能源纯电汽车这7天一共行驶了300

km.(2)已知小明家原来的汽油车每行驶100

km需用汽油5.5升，汽油价为8.2元/升，而新换的新能源纯电汽车每行驶100

km耗电量为15度，每度电为0.56元，小明家换成新能源纯电汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？

答：小明家换成新能源纯电汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元.10.

已知a是最小的正整数，b是－7的相反数，c＝－｜－2｜，且a，b，c的对应点分别是A，B，C.

(1)a＝

，b＝

，c＝

⁠.(2)数轴上A和B两点之间的距离是

，B和C两点之间的距离是

⁠.(3)如果表示数m的点和点A之间的距离是3，那么m＝

⁠.1

7

－2

6

9

－2或4

(4)若数轴上表示数n的点位于A与C之间，求｜n－(－2)｜＋｜n－1｜的值.【解】因为｜n－(－2)｜＋｜n－1｜可以理解为表示n的点到表示－2的点和表示1的点的距离之和，－2＜n＜1，所以｜n－(－2)｜＋｜n－1｜＝2＋1＝3.考点三：有理数的大小比较11.

下列有理数的大小关系正确的是(

D

)A.

－1＞－0.01B.0＞｜－10｜DC.

｜－3｜＜｜＋3｜D.

－

＞－

【解】－｜3.5｜＝－3.5，如图，

13.

[2023·杭州拱墅区月考]已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点.(1)请在数轴上表示出数－a，－b对应的点的位置；【解】在数轴上表示出数－a，－b对应的点的位置如图所示：(2)请按从小到大的顺序排列a，－a，－b，b，－1，0的大小.【解】a＜－b＜－1＜0＜b＜－a.14.

[新考法·分类讨论法]我们已经学过：当a≥0时，｜a｜＝a；当a＜0时，｜a｜＝－a，这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想，请解答下列问题：(1)比较大小：｜－7｜

7，｜3｜

－3(填“＞”“＜”或“＝”)；＝

＞

(2)请仿照上述分类讨论的方法，分析｜a｜与－a的大小关系.【解】当a＞0时，｜a｜＝a＞－a，当a＝0时，｜a｜＝－a＝0，当a＜0时，｜a｜＝－a.易错点一对有理数的相关概念理解有误而出错例1.下列说法正确的是（

）A.正数和负数统称为有理数B.符号不同的两个数互为相反数C.绝对值等于本身的数只有正数D.互为倒数的两个数的乘积等于1错解剖析：对有理数的相关概念的辨析：1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误；2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误.D易错易混易错点二

数的正负性不确定而漏解例2.已知|a|=12，|b|=7，则a+b=

.正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12.因为|b|=7，所以b=7或b=-7.当a=12，b=7时，a+b=19；当a=-12，b=-7时，a+b=-19；当a=12，b=-7时，a+b=5；当a=-12，b=7时，a+b=-5.故答案为19，-19，5或-5.错解剖析：由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论.易错点三

数轴上点的位置不确定而漏解例3.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是

.正解：当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时，-3+10=7；当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时，-3-10=-13.故答案为7或-13.错解剖析：在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑.易错点四

数轴上点的位置不确定而漏解例4.某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？正解：（2）|+10|+|-3|+|+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7=66（km），66×0.06=3.96（L）即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油3.96L.错解剖析:出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向题型一：利用数轴比较大小【例1】有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是(

B

)BA.

a＞0B.

｜b｜＝｜c｜C.

a＜－dD.

a＞c技巧总结技巧总结：利用数轴比较大小时，通过数形结合的方式，观察有理数对应的点在数轴上的位置，确定有理数a，b，c，d的大小关系，再判断各选项是否正确.【变式1】有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则a、－a、｜b｜的大小关系为(

B

)A.

－a＜a＜｜b｜B.

a＜－a＜｜b｜C.

｜b｜＜a＜－aD.

a＜｜b｜＜－aB题型二:利用数轴求点表示的数【例2】在数轴上，点A表示的数为－2，则到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数为(

C

)CA.2B.

－6C.2或－6D.

－4或4技巧总结：已知一个点的位置和两个点之间的距离时，另一个点的位置可能在该点的左边，也可能在该点的右边，需分类讨论.【变式2】如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题：(1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？【解】移动后，点B表示的数为－6，因为－6＜－3＜2，所以点B表示的数最小，是－6.(2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？【解】移动后，点C表示的数为－4，所以点B表示的数比点C表示的数大2.(3)怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？【解】有三种移法：①点A向右移动1个单位长度，点C向左移动4个单位长度；②点A向右移动5个单位长度，点B向右移动4个单位长度；③点B向左移动1个单位长度，点C向左移动5个单位长度.题型三：

绝对值与相反数的综合应用【例3】已知｜a－6｜＋｜b－3｜＝0，x的相反数为－3，求3x＋a＋2b的值.【解】因为｜a－6｜＋｜b－3｜＝0，且｜a－6｜≥0，｜b－3｜≥0，所以a－6＝0，b－3＝0，解得a＝6，b＝3.

因为x的相反数为－3，所以x＝3.

所以3x＋a＋2b＝3×3＋6＋2×3＝9＋6＋6＝21.技巧总结：利用绝对值的非负性和相反数的概念进行解答.【变式3】已知｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0.(1)求a与b的值；【解】因为｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0.所以a－3＝0，2b－4＝0，解得a＝3，b＝2.(2)若｜x｜＝2a＋4b，求x的相反数.【解】因为a＝3，b＝2，所以｜x｜＝2a＋4b＝2×3＋4×2＝14.所以x＝±14.当x＝14时，x的相反数为－14；当x＝－14时，x的相反数为14.题型四：利用绝对值解决实际问题【例4】正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果(用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.单位：g)：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.请指出哪个足球的质量最好，并用绝对值知识进行说明.【解】质量检测结果是＋10

g的足球质量最好.因为｜－25｜＝25，｜＋10｜＝10，｜－20｜＝20，｜＋30｜＝30，｜＋15｜＝15，｜－40｜＝40，且10＜15＜20＜25＜30＜40

，所以｜＋10｜＜｜＋15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜＋30｜＜｜－40｜.所以质量检测结果是＋10

g的足球质量最好.技巧总结：本题用绝对值的大小表示足球质量与规定质量的接近程度.由绝对值的几何意义可知，一个数的绝对值越小，距离原点越近.在这个实际问题中，绝对值越小表示足球质量与规定质量的偏差越小.【变式4】[情境题

生活应用]某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：编号123456直径/mm＋0.5－0.3＋0.10－0.1＋0.2(1)找出哪件橡胶垫的质量最好，怎样用学过的绝对值知识来说明这件橡胶垫的质量最好？【解】编号为4的橡胶垫的质量最好.因为｜＋0.5｜＝0.5，｜－0.3｜＝0.3，｜＋0.1｜＝0.1，｜0｜＝0，｜－0.1｜＝0.1，｜＋0.2｜＝0.2.且0＜0.1＝0.1＜0.2＜0.3＜0.5，所以｜0｜＜｜＋0.1｜＝｜－0.1｜＜｜＋0.2｜＜｜－0.3｜＜｜＋0.5｜.所以编号为4的橡胶垫的质量最好.(2)如果规定与标准直径相差不大于0.2

mm的为合格产品，那么6件产品中有几件不合格产品？【解】因为｜＋0.5｜＝0.5＞0.2，｜－0.3｜＝0.3＞0.2，｜＋0.1｜＝0.1＜0.2，｜0｜＝0＜0.2，｜－0.1｜＝0.1＜0.2，｜＋0.2｜＝0.2，所以有2件不合格产品.题型五：

凑数法【例5】阅读下面的解题过程并解决问题.

加法交换律和加法结合律

技巧总结：将相加可得整数的数凑整计算，将相加得零的数(如互为相反数)结合计算.

题型六:巧用运算律

【变式6】计算：(1)(－999)×12；【解】原式＝(1－1

000)×12＝1×12－1

000×12＝12－12