七年级数学北师大版下册第四章1认识三角形第2课时三角形的高中线与角平分线

第四章三角形1认识三角形第2课时三角形的高、中线与角平分线目录02课堂讲练01名师导学03分层训练名师导学A.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作____________，顶点和____________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形三条高所在的直线____________.1.如图4-1-14，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有____________个．垂线垂足交于一点6B.在三角形中，连接一个顶点与它对边____________的线段，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线____________，这一点称为三角形的____________.2．如图4-1-12，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为____________．中点交于一点重心3C.在三角形中，一个内角的________________与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线__________________.角平分线交于一点3.如图4-1-13，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()A.40°B.45°C.50°D.55°A课堂讲练【例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）典型例题知识点1：三角形的高C1．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）举一反三D【例2】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能C2.如图4-1-14，△ABC中BC边上的高是（）A．BD B．AE C．BE D．CF思路点拨：根据三角形某边上的高的定义，即可得到答案.注意钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点.B【例3】如图4-1-15，已知△ABC的周长为24cm，AD是BC边上的中线，AD=58AB，AD=5cm，△ABD的周长是18cm，求AC的长．知识点2：三角形的中线解：因为AD=AB，AD=5cm，所以AB=8cm．又因为△ABD的周长是18cm，所以BD=5cm．因为D是BC的中点，所以BC=2BD=10（cm）．又因为△ABC的周长为24cm，所以AC=24-8-10=6（cm）.3.如图4-1-16，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．解：因为AD是BC边上的中线，AC=2BC，所以BD=CD.设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x.分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40，则4x+x=60，x+y=40.解得x=12，y=28.即AC=4x=48，AB=28.②AC+CD=40，AB+BD=60，则4x+x=40，x+y=60.解得x=8，y=52.即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16.此时不符合三角形三边关系定理,故舍去.综上所述,AC=48，AB=28．【例4】如图4-1-17，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．解：因为AD是BC边上的中线，所以CD=BD．因为△ADC的周长-△ABD的周长=5,所以AC-AB=5（cm）．又因为AB+AC=13（cm），所以可得AC=9cm,AB=4cm.所以AC的长为9cm．4．如图4-1-18，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长多3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：因为CD为△ABC的AB边上的中线，所以AD=BD.因为△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，所以（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3（cm）.所以BC-AC=3（cm）.因为BC=8cm，所以AC=5cm．思路点拨：三角形中线的定义、三角形的周长公式以及中线能把一个三角形分成两个面积相等的部分是解此类题的关键.知识点3：三角形的角平分线【例5】如图4-1-19，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°.因为AE是∠BAC的平分线,所以∠BAE=∠BAC=45°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°.所以在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.5.如图4-1-20，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．解：AD是△ABC的角平分线．理由：因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD.又因为∠ADE=∠ADF，所以∠DAF=∠EAD.因为∠DAF+∠EAD=∠BAC，所以AD是∠BAC的平分线．【例6】如图4-1-21，△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于点O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠AEC，∠BOE的度数．解：在△ABC中，因为∠ABC=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．因为AE是△ABC的角平分线，所以∠EAC=∠BAC=40°．因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.所以在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°.所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．所以∠AEC=90°-10°=80°.所以∠AEB=100°.因为BF是∠ABC的平分线，所以∠FBC=∠ABC=20°.所以∠BOE=180°-20°-100°=60°．6．如图4-1-22，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD,AC于点F,E，试说明：∠CFE=∠CEF．解：如答图4-1-1所示标明各角.因为∠ACB=90°，所以∠1+∠3=90°.因为CD⊥AB，所以∠COB=90°.所以∠2+∠4=90°.又因为BE平分∠ABC，所以∠1=∠2.所以∠3=∠4.因为∠4=∠5，所以∠5=∠3，即∠CFE=∠CEF．思路点拨：角平分线的定义与三角形内角和等于180°以及余角、补角知识的综合运用是解题的关键.分层训练【A组】1.如图4-1-23，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是()A.2B.3C.6D.不能确定A2．画△ABC中AB边上的高，下列画法正确的是（）C3．如图4-1-24，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F.下列关于高的说法错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高C4.如图4-1-25，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10cm2，则△ABD的面积是()A.5cm2B.6cm2C.7cm2D.8cm2A5．如图4-1-26，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是（）A．ABB．AEC．ADD．AFC6．如图4-1-27，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列正确的结论有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【B组】7．如图4-1-28，在△ABC中，∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBCD8.如图4-1-29，在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，则AB的长为____________.1529.如图4-1-30，已知AE是△ABC的边BC上的高，AD是∠EAC的平分线，交BC于点D．若∠ACB=40°，则∠DAE=__________．25°【C组】10.如图4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．解：因为∠CAB=50°，∠C=60°,所以∠ABC=180°-50°-60°=70°.又因为AD是高，所以∠ADC=90°.