江苏省南京市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.3 最大值与最小值教学实录 苏教版选修2-2

江苏省南京市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.3最大值与最小值教学实录苏教版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课旨在通过引导学生运用导数研究函数的最大值与最小值，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。通过结合苏教版选修2-2教材中的相关内容，让学生在探究过程中体会导数在研究函数性质中的重要作用，提高学生的数学思维能力和应用能力。核心素养目标1.培养学生的数学抽象思维，使学生能够运用抽象的概念来理解函数性质的变化。

2.提升学生的逻辑推理能力，通过导数应用问题，让学生学会逻辑推理和演绎证明。

3.增强学生的数学建模意识，使学生能够将实际问题转化为数学模型，并用导数进行分析。

4.培养学生的数据分析观念，使学生学会从数据中寻找规律，并用导数来解释现实问题中的趋势和变化。教学难点与重点1.教学重点，

①理解导数在研究函数单调性、极值方面的应用，能够准确求解函数的最大值和最小值。

②掌握运用导数解决实际问题的方法，将实际问题转化为数学问题，并利用导数进行分析和解决。

2.教学难点，

①正确理解和应用导数的几何意义，将导数与函数图像的凹凸性、拐点等几何性质联系起来。

②在解决实际问题时，能够灵活选择合适的函数模型，并准确应用导数进行求解。

③理解并运用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点，以及如何通过导数判断函数的极值类型。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、黑板、粉笔。

2.课程平台：学校内部教学资源库、数学教学平台。

3.信息化资源：数学教学视频、在线习题库、数学软件（如Mathematica、MATLAB）。

4.教学手段：实物教具（如函数图像卡）、课件、教学案例。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一些生活中的函数图像，如速度-时间图，提问学生如何通过图像了解运动过程中的最快和最慢速度。

-回顾旧知：回顾函数的单调性、极值概念，以及一阶导数的计算方法。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解导数在研究函数极值中的作用，包括极值点的判断、一阶导数的零点以及二阶导数的应用。

-举例说明：通过几个典型例子，如$f(x)=x^3-3x^2+4$，展示如何通过导数找到函数的极大值和极小值。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试应用导数解决一个实际问题，如求某商品售价的最大利润。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：学生独立完成几个练习题，包括求函数的极值和判断函数的单调性。

-教师指导：对于学生的答案，教师及时给予点评和指导，帮助学生纠正错误，理解正确解题思路。

4.案例分析（约15分钟）

-展示一个实际问题，如某工厂生产某种产品，求在给定条件下生产成本的最小化。

-学生小组讨论，分析问题，列出数学模型，运用导数求解最优解。

5.深入探讨（约10分钟）

-引导学生思考二阶导数在研究函数凹凸性中的作用。

-通过具体例子，如$f(x)=-x^4+4x^3-6x^2$，展示如何利用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点。

6.总结提升（约5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数性质中的重要性。

-引导学生总结运用导数解决实际问题的步骤和方法。

7.作业布置（约5分钟）

-布置几道练习题，要求学生课后独立完成，并下节课进行讲解。

-布置一个研究性学习任务，要求学生收集生活中的函数实例，分析并运用导数解决实际问题。

教学过程中，教师应根据学生的实际情况灵活调整教学内容和进度，确保每位学生都能跟上教学节奏。同时，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作能力和批判性思维能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-《高等数学》教材中关于导数在多元函数中的应用，如梯度、方向导数等概念。

-《数学分析》中关于导数与微分中值定理的关系，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

-《数学建模》中关于导数在优化问题中的应用，如线性规划、非线性规划等。

-《应用数学》中关于导数在物理学、经济学、生物学等领域的应用实例。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读《高等数学》教材，了解多元函数导数的概念和应用。

-引导学生研究《数学分析》中导数与微分中值定理的证明过程，加深对导数概念的理解。

-组织学生参与数学建模活动，运用导数解决实际问题，如设计最优路径、成本最小化等。

-鼓励学生结合《应用数学》中的实例，分析导数在不同学科中的应用，提高跨学科思维能力。

-建议学生通过在线课程或讲座，了解导数在经济学、物理学等领域的最新研究进展。

-组织学生进行小组讨论，分享各自在拓展学习中的心得体会，促进知识交流与共享。

-鼓励学生参与数学竞赛或科研项目，将导数的知识应用于实际问题，提升解决复杂问题的能力。

-建议学生阅读相关科普书籍，如《数学之美》、《数学思维》等，拓宽数学视野，激发学习兴趣。

-鼓励学生关注数学教育论坛和学术期刊，了解数学教育领域的最新动态和发展趋势。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括提问、回答问题和小组讨论的积极性。

-思维活跃度：评估学生在课堂上的思维活跃程度，是否能提出有深度的问题或观点。

-注意力集中度：通过学生的眼神交流、笔记记录等，评估学生的注意力集中情况。

2.小组讨论成果展示：

-合作能力：评价学生在小组讨论中的合作情况，包括分工、沟通和共同解决问题能力。

-创新思维：观察学生在讨论中是否能提出新颖的观点或解决方案。

-交流表达：评估学生在小组讨论中的表达能力和倾听他人意见的能力。

3.随堂测试：

-理解程度：通过随堂测试评估学生对导数概念、计算方法和应用的理解程度。

-应用能力：测试学生能否将导数知识应用于解决实际问题。

-时间管理：观察学生在规定时间内完成测试的能力，评估其时间管理技巧。

4.学生自评与互评：

-自我反思：鼓励学生课后进行自我反思，总结自己在课堂上的表现和收获。

-互评反馈：组织学生进行互评，互相提供建设性的反馈意见，促进学生共同进步。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现：教师对学生在课堂上的积极参与、提问和回答问题给予正面评价，对不足之处提出改进建议。

-针对小组讨论：教师对学生在小组讨论中的表现进行评价，强调团队合作的重要性，指出需要改进的地方。

-针对随堂测试：教师对学生的测试结果进行分析，指出学生的强项和弱点，并提供相应的学习资源。

-针对学习态度：教师关注学生的学习态度，对积极学习、主动提问的学生给予鼓励，对学习态度不端正的学生进行引导。

-针对个性化需求：教师根据学生的个性化需求，提供个性化的辅导和帮助，确保每位学生都能跟上教学进度。

-针对教学效果：教师定期评估教学效果，根据学生的学习反馈调整教学策略，确保教学质量。教学反思与总结这节课下来，我觉得自己还是有很多收获的。首先，我注意到学生们在理解导数在研究函数中的作用这一概念时，还是存在一些困难的。特别是在如何将实际问题转化为数学问题，并运用导数进行分析和解决时，很多学生显得有些迷茫。

我觉得在教学过程中，我可能过于强调了理论知识，而忽视了实际应用的引导。在今后的教学中，我打算更加注重将理论知识与实际应用相结合，通过具体的案例来帮助学生更好地理解和应用导数。

另外，我发现学生在解决实际问题时，常常缺乏创新思维。他们往往按照固定的模式去解题，而不是尝试不同的方法。为了培养学生的创新思维，我计划在课堂上多设计一些开放性问题，让学生有更多的空间去思考和探索。

在小组讨论环节，我发现学生们参与度较高，但在表达自己的观点时，有些学生显得比较紧张。我意识到，我需要在这方面给予更多的鼓励和支持，帮助他们克服表达的障碍。

教学总结方面，我觉得这节课在知识传授上取得了较好的效果。学生们对导数在研究函数最大值与最小值中的应用有了更深的理解。在技能方面，学生们通过练习题的完成，提高了运用导数解决问题的能力。在情感态度上，学生们对数学学习的兴趣有所提升，能够更加积极地参与课堂活动。

当然，也存在一些不足。比如，个别学生在课堂上表现较为被动，参与度不高。这可能是因为他们对数学学习缺乏自信，或者对某些知识点理解不够深入。针对这个问题，我打算在今后的教学中，更加关注每一个学生，及时发现他们的困难，并提供个性化的帮助。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在教学过程中，更多地结合实际案例，让