高中数学 第三章 导数应用 3.2 导数在实际问题中的应用教学实录3 北师大版选修2-2

高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教学实录3北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教学实录3北师大版选修2-2教学内容教材：北师大版选修2-2

章节：第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用

内容：本节课通过实例分析，引导学生运用导数解决实际问题，包括物理中的速度问题、几何中的面积问题等。通过具体实例，使学生理解导数的实际应用，提高解决实际问题的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学建模、逻辑推理和数学应用的核心素养。通过导数在实际问题中的应用，学生能够将数学知识与现实生活相结合，提升解决实际问题的能力。同时，通过分析实际问题，锻炼学生的逻辑推理能力，培养其数学建模思维，强化数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此前已学习过函数的基本性质、极限和导数的基本概念。他们能够理解和运用导数的定义，计算简单函数的导数，并了解导数与函数单调性、极值的关系。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学有较高的兴趣，但兴趣点可能因人而异，有的学生对理论推导感兴趣，有的则对实际问题解决更感兴趣。学生具备一定的逻辑思维能力，能够进行抽象思维。学习风格上，部分学生偏好通过实例学习，而另一部分学生可能更倾向于通过公式推导来理解概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解导数在实际问题中的应用时可能遇到以下困难：一是将抽象的数学概念与具体实际问题相结合的难度；二是解决复杂问题时，如何选择合适的数学模型；三是分析问题、提取关键信息的能力不足。此外，学生在面对实际问题时可能缺乏实际操作的背景知识，导致难以将数学知识有效应用于实际问题解决中。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、白板、粉笔

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学资料和在线作业

-信息化资源：导数应用实例视频、在线数学工具（如图形计算器）

-教学手段：实物教具（如速度计、几何模型）、PPT演示文稿、课堂讨论小组活动教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

设计预习问题：围绕导数在实际问题中的应用，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何使用导数来求解物体的最大速度？”、“导数在几何问题中的应用有哪些？”等，引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数在解决实际问题中的应用。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解导数在实际问题中的应用，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如“一辆汽车以恒定加速度行驶，求汽车行驶一定距离后的速度”，引出导数在解决实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解如何将实际问题转化为数学模型，并使用导数求解，如“如何通过导数找到函数的最大值？”

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习资料和案例，尝试解决实际问题。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，尝试将实际问题转化为数学模型并求解。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数在解决实际问题中的应用。

实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握使用导数解决问题的技能。

作用与目的：

帮助学生深入理解导数在解决实际问题中的应用，掌握使用导数求解最大值、最小值等问题的技能。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与导数在实际问题中的应用相关的作业，如“求解曲线的切线斜率”、“计算物体的瞬时速度”等，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与导数应用相关的拓展资源，如相关书籍、在线课程等，供学生进一步学习。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的导数应用知识，提高解决实际问题的能力。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.导数的定义

-导数的概念：函数在某一点处的导数表示该点处函数变化的速率。

-导数的几何意义：表示曲线在该点切线的斜率。

-导数的代数意义：表示函数增量与自变量增量之比的极限。

2.导数的计算

-导数的基本公式：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。

-导数的运算法则：包括和差、乘除、链式法则等。

-高阶导数：函数的二阶导数、三阶导数等，以及高阶导数的计算方法。

3.导数的几何应用

-曲线的切线：求曲线在某点处的切线方程。

-曲线的法线：求曲线在某点处的法线方程。

-曲线的凹凸性：通过二阶导数的符号判断曲线的凹凸性。

4.导数的物理应用

-速度和加速度：利用导数计算物体的瞬时速度和加速度。

-动能和势能：利用导数计算物体的动能和势能。

-动力学方程：利用导数建立物体的运动方程。

5.导数的经济应用

-利润和成本：利用导数分析利润最大化问题和成本最小化问题。

-收入和需求：利用导数分析收入最大化问题和需求弹性。

6.导数的几何应用

-曲线的极值：利用导数求曲线的最大值和最小值。

-曲线的拐点：利用导数求曲线的拐点。

-曲线的渐近线：利用导数求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

7.导数的应用实例

-速度与位移的关系：利用导数求解物体的位移问题。

-物体的运动轨迹：利用导数求解物体的运动轨迹问题。

-几何体的表面积和体积：利用导数求解几何体的表面积和体积问题。

8.导数的综合应用

-多元函数的偏导数：求多元函数在某一点处的偏导数。

-多元函数的全微分：求多元函数的全微分。

-多元函数的极值问题：利用偏导数求解多元函数的极值问题。

9.导数的极限应用

-利用导数求解极限问题：如利用导数求解“0/0”型、“∞/∞”型等未定式的极限。

-利用导数判断函数的连续性。

10.导数的实际应用拓展

-导数在工程技术中的应用：如控制理论、信号处理等。

-导数在生物、医学等领域的应用：如生物生长模型、医学图像处理等。内容逻辑关系①导数的概念与定义

-重点知识点：导数的几何意义、导数的代数意义

-关键词：极限、增量、切线斜率

-重点句：导数是函数在某一点处变化的速率。

②导数的计算方法

-重点知识点：导数的基本公式、导数的运算法则

-关键词：基本函数导数、乘除法则、链式法则

-重点句：利用基本函数的导数和导数运算法则计算函数的导数。

③导数的应用

-重点知识点：导数的几何应用、导数的物理应用

-关键词：切线、法线、速度、加速度

-重点句：导数可以用来求曲线在某点的切线斜率，以及物理中的速度和加速度。

④导数的进一步拓展

-重点知识点：高阶导数、多元函数的偏导数

-关键词：二阶导数、三阶导数、偏导数

-重点句：高阶导数用于描述函数变化的曲率，偏导数用于多元函数的局部变化率。

⑤导数的实际应用

-重点知识点：导数在经济、工程中的应用

-关键词：经济模型、成本函数、收入函数

-重点句：导数在经济问题中用于最大化或最小化成本和收入。

⑥导数的极限与连续性

-重点知识点：极限与导数的关系、连续性判断

-关键词：极限、连续、未定式

-重点句：函数的导数存在性与函数在一点的连续性密切相关。

⑦导数的综合应用

-重点知识点：导数在其他领域的应用

-关键词：生物、医学、工程技术

-重点句：导数在多个学科领域有着广泛的应用，如生物生长模型、信号处理等。课后作业1.函数问题：

题型：已知函数\(f(x)=x^2-4x+3\)，求在\(x=2\)处的切线方程。

答案：求导数\(f'(x)=2x-4\)，在\(x=2\)时，\(f'(2)=0\)。因此，切线的斜率为0。函数在\(x=2\)时的值为\(f(2)=3\)。切线方程为\(y=3\)。

2.物理问题：

题型：一辆汽车以加速度\(a=2\,\text{m/s}^2\)从静止开始匀加速运动，求汽车运动1秒后的速度。

答案：利用\(v=u+at\)（其中\(v\)是最终速度，\(u\)是初速度，\(a\)是加速度，\(t\)是时间），得到\(v=0+2\times1=2\,\text{m/s}\)。

3.几何问题：

题型：求圆\(x^2+y^2=25\)在点\((3,4)\)处的切线方程。

答案：求圆的导数（斜率）\(y'=-\frac{x}{y}\)，在点\((3,4)\)处，\(y'=-\frac{3}{4}\)。切线方程为\(y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\)，化简得\(3x+4y=25\)。

4.经济问题：

题型：某公司生产一种产品的成本函数为\(C(x)=2x^2+50x+300\)，其中\(x\)为产量，求使利润最大化的产量。

答案：利润函数\(P(x)=R(x)-C(x)\)，其中\(R(x)\)是收入函数。由于\(R(x)\)未给出，我们只需求\(C(x)\)的极值。求导得\(C'(x)=4x+50\)，令\(C'(x)=0\)，得\(x=-\frac{25}{2}\)，这是无意义的解，因为产量不能为负。由于\(C'(x)\)为二次函数，开口向上，无最大值，故检查边界值。当\(x=0\)或\(x\)足够大时，\(C(x)\)无限大。因此，不存在最大化产量。

5.微分方程问题：

题型：求解微分方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y^3}\)。

答案：分离变量，得到\(y^3\,dy=x^2\,dx\)。对两边积分，得到\(\frac{1}{4}y^4=\frac{1}{3}x^3+C\)，其中\(C\)是积分常数。这是方程的通解。教学反思教学反思

今天上了这一节关于导数在实际问题中的应用的课，我觉得收获颇丰，但也发现了不少需要改进的地方。

首先，我觉得在导入新课的时候，我选择了实际生活中的案例来激发学生的兴趣。比如，我提到了汽车行驶的加速度问题，这个例子贴近学生的生活，他们很容易理解。我看到学生们在听到这些案例时，眼睛都亮了起来，这让我觉得我的选择是正确的。但是，我也发现有些学生对于这些案例中的数学建模部分理解起来有些吃力。这说明我在设计案例时，可能需要更加细致地考虑不同学生的学习基础。

其次，在讲解导数的计算和应用时，我尽量结合实例来讲解，比如通过计算函数在某点的导数来找出曲线的切线，或者通过导数来求解物体的速度问题。我发现这样的教学方法很有效，学生们能够更好地理解导数的概念和应用。但是，我也注意到有些学生对于导数的计算过程感到困惑，尤其是在处理复合函数的导数时。这让我意识到，我需要花更多的时间来帮助学生掌握导数的计算技巧。

在组织课堂活动方面，我设计了小组讨论的环节，让学生们自己尝试解决实际问题。这不仅能提高他们的合作能力，还能增强他们的动手能力。我看到学生们在小组讨论中积极发言，互相帮助，这让我感到非常欣慰。但是，我也发现有些学生比较内向，不太愿意在课堂上发言。这可能是由于他们对数学的不自信或者是课堂氛围的原因。因此，我需要创造更多的机会，让每个学生都有参与的机会。

在课后作业的设计上，我尽量让题目既有挑战性又有实用性。我发现学生们对于一些开放性的题目比较感兴趣，比如让他们自己设计一个实际问题并使用导数来解决。这样的题目能够激发他们的创新思维。但是，我也发现有些学生对于作业中的问题解决方法不够灵活，这可能是由于他们在课堂上没有充分理解导数的应用。因此，我需要在课堂上更多地鼓励学生进行发散性思维。

1.个性化教学：针对不同学生的学习基础，提供个性化的辅导和指导。

2.提高课堂互动：创造更多的机会让学生参与课堂讨论，提高他们的自信心。

3.强化练习：通过更多的练习和实例，帮助学生巩固导数的计算和应用技巧。

4.创设情境：设计更多贴近学生生活的案例，激发他们的学习兴趣。

我相信，通过不断地反思和改进，我能够更好地帮助学生掌握数学知识，提高他们的数学素养。作业布置与反馈作业布置：

为了巩固本节课所学的导数在实际问题中的应用，以下作业旨在帮助学生深入理解并提高解决实际问题的能力。

1.实际问题应用题：

题目：一辆汽车以加速度\(a=3\,\text{m/s}^2\)从静止开始匀加速直线运动，求汽车在5秒内行驶的距离。

2.几何问题应用题：

题目：已知圆的方程为\(x^2+y^2=16\)，求圆