广东省肇庆市高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差教学实录 新人教A版选修2-3

广东省肇庆市高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差教学实录新人教A版选修2-3主备人备课成员教学内容广东省肇庆市高中数学，第二章随机变量及其分布，2.3.2离散型随机变量的方差教学实录。新人教A版选修2-3教材内容涉及离散型随机变量的方差的定义、计算方法和性质。具体包括：方差的定义，方差公式，方差的性质及计算。通过本节课的学习，使学生掌握离散型随机变量的方差的概念，并能进行计算和应用。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数据分析等核心素养。通过离散型随机变量方差的探究，学生能够理解数学抽象在描述随机现象中的重要性，提升逻辑推理能力，学会运用数学模型解决实际问题，并提高数据分析的能力，从而在数学学习过程中形成严谨的科学态度和探究精神。重点难点及解决办法重点：

1.离散型随机变量方差的定义和计算公式。

2.方差在描述随机变量离散程度中的应用。

难点：

1.理解方差的概念，将其与随机变量的离散程度联系起来。

2.正确运用方差公式进行计算。

解决办法：

1.通过实例讲解，帮助学生理解方差的意义，使其与随机变量的分布特性相联系。

2.通过逐步推导方差公式，让学生掌握计算方法，并强调公式的应用条件。

3.设计练习题，让学生在具体问题中运用方差，提高计算能力和应用能力。

4.采用小组讨论和合作学习，引导学生共同解决计算过程中的难题，培养解决问题的团队协作能力。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解方差的基本概念、性质和计算方法，确保学生掌握基础知识。

2.讨论法：组织学生围绕方差的应用问题进行讨论，鼓励学生提出问题、分析问题，培养学生的批判性思维。

3.案例分析法：选取实际生活中的随机现象，引导学生通过分析案例来理解和应用方差。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示方差的定义、计算步骤和性质，直观呈现教学内容。

2.互动软件：使用数学软件进行方差计算演示，让学生亲自操作，加深对计算过程的理解。

3.互联网资源：引导学生利用网络资源查找相关案例，拓宽视野，提高学习兴趣。教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：展示一系列日常生活中涉及随机现象的图片或视频，如抛硬币、掷骰子等，提问学生如何看待这些现象的随机性，引导学生思考随机事件与数学的关系。

回顾旧知：简要回顾概率论中随机变量的概念，强调随机变量在描述随机现象中的重要性。

2.新课呈现（约15分钟）

讲解新知：详细讲解离散型随机变量方差的定义、性质和计算方法，强调方差是描述随机变量离散程度的重要指标。

举例说明：通过具体的例子，如抛硬币、掷骰子等，展示方差的计算过程和结果，帮助学生理解方差的实际应用。

互动探究：提出问题，让学生分组讨论如何计算给定随机变量的方差，并分享讨论结果。

3.巩固练习（约20分钟）

学生活动：分发练习题，要求学生独立完成，题目包括计算离散型随机变量的方差、分析方差在实际问题中的应用等。

教师指导：巡视课堂，观察学生解题过程，针对学生的疑惑给予个别指导，确保学生正确理解和应用方差。

4.案例分析（约15分钟）

案例一：分析一组考试成绩的方差，探讨方差在描述学生成绩分布中的作用。

案例二：研究某地区降雨量的方差，探讨方差在气候研究中的应用。

5.应用拓展（约15分钟）

引导学生思考如何将方差应用于实际问题，如产品检验、风险评估等，鼓励学生提出创新性的解决方案。

6.总结与反思（约5分钟）

学生总结：请学生回顾本节课所学内容，总结离散型随机变量方差的定义、性质和计算方法。

教师总结：强调方差在描述随机变量离散程度中的重要性，以及方差在实际问题中的应用价值。

反思讨论：引导学生思考如何将所学知识应用于未来学习和生活中，提高数学素养。

7.课后作业（约10分钟）

布置与方差相关的课后作业，包括计算方差、分析方差在实际问题中的应用等，巩固学生对知识的理解和应用。

整个教学过程注重学生的主体地位，通过启发式教学、讨论式教学等多种方式，激发学生的学习兴趣和主动性，培养学生的数学思维和创新能力。同时，注重理论与实践相结合，使学生在实际操作中掌握知识，提高数学应用能力。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《随机变量的数字特征》：《数学杂志》上的文章，介绍随机变量期望、方差、标准差等数字特征的深入探讨，有助于学生更全面地理解随机变量的性质。

-《方差在实际统计中的应用》：《统计科学》上的论文，探讨了方差在统计检验、参数估计、样本量确定等方面的应用，让学生了解方差在统计学中的重要地位。

-《离散型随机变量的分布与方差》：《概率论与数理统计》教材中的章节，详细介绍了离散型随机变量的分布类型及其方差计算，为学生提供理论知识的深度学习。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-设计问题：提出与方差相关的实际问题，如不同年份某城市月均气温的方差，引导学生思考如何计算并分析方差。

-实践应用：让学生收集相关数据，如学生的考试成绩、股市收益率等，计算这些数据的方差，并尝试解释方差的大小。

-创新探究：鼓励学生尝试用方差解决实际问题，如优化生产过程、提高服务质量等，激发学生的创新思维。

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的研究成果，通过交流学习，加深对方差应用的理解。

-制作图表：指导学生制作方差分布图，如直方图、折线图等，通过视觉化方式更好地理解方差的变化趋势。

-统计软件使用：教授学生使用统计软件（如SPSS、R等）进行方差计算和分析，提高学生的实践操作能力。教学反思与总结今天这节课，我们学习了离散型随机变量的方差，这是一个挺重要的知识点。我觉得，整体来说，教学效果还是不错的，但也有些地方需要反思和改进。

首先，我在导入环节用了生活中常见的随机现象，比如抛硬币、掷骰子，这些例子挺能吸引学生的兴趣。但是，我发现有些学生对于随机变量的概念还是有点模糊，所以在讲解方差的时候，我可能需要更加清晰地回顾和强化这个概念。

在教学过程中，我尽量采用了讲授法和讨论法相结合的方式。我在讲解方差的定义和计算方法时，尽量用简单的语言和例子来解释，让学生能够更容易理解。同时，我也鼓励学生提问和讨论，这样他们能够更好地参与到课堂中来。不过，我发现有些学生还是不太敢于发言，可能是因为他们对这个新知识还不够熟悉，或者是不太习惯在课堂上表达自己的看法。所以，我可能在今后的教学中，需要更多地鼓励学生发言，创造一个更加开放和包容的课堂氛围。

在巩固练习环节，我给了学生一些题目去练习，但是反馈回来，我发现有些学生对计算方差的步骤还是不太熟悉。这可能是因为我在讲解的时候，没有足够的时间让学生反复练习。所以，我需要在今后的教学中，安排更多的时间让学生动手操作，通过实际练习来加深理解。

在案例分析环节，我尝试让学生自己分析案例，但是有些学生还是显得有些迷茫。这可能是因为案例的难度和复杂性超出了他们的预期。我可能在今后的教学中，要选择更加贴近学生生活实际的案例，或者是在讲解案例之前，先给学生一些背景知识，帮助他们更好地理解案例。

在情感态度方面，我觉得学生们对于学习数学的兴趣有所提高，他们开始更加积极地参与到课堂活动中来。这让我感到非常欣慰。但是，我也注意到，有些学生对于数学的畏难情绪还是比较明显，这可能是因为他们对数学的理解不够深入，或者是学习方法不当。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在今后的教学中，我要更加注重基础知识的讲解和巩固，确保每个学生都能够掌握基本概念和计算方法。

2.我要尝试不同的教学方法，比如小组合作学习、翻转课堂等，以激发学生的学习兴趣和主动性。

3.我要更多地关注学生的学习过程，及时给予他们反馈和指导，帮助他们克服学习中的困难。

4.我要努力营造一个积极、开放、包容的课堂氛围，让学生敢于提问、敢于发言，培养他们的批判性思维。板书设计①离散型随机变量方差的定义

-方差（Var(X)）是衡量离散型随机变量X取值分散程度的统计量。

-定义：Var(X)=E[(X-E(X))^2]，其中E(X)为随机变量X的期望。

②方差的计算公式

-公式：Var(X)=Σ[(x_i-E(X))^2]*P(x_i)，其中x_i为随机变量X的取值，P(x_i)为对应取值的概率。

③方差的性质

-非负性：Var(X)≥0，且Var(X)=0当且仅当X是一个常数。

-线性性：Var(aX+b)=a^2*Var(X)，其中a和b为常数。

-方差的期望：E(Var(X))=Var(E(X))，即方差的期望等于期望的方差。

④方差的应用

-描述随机变量的离散程度。

-比较不同随机变量的分散性。

-在统计推断中的应用，如假设检验、置信区间等。典型例题讲解例题1：已知离散型随机变量X的分布列为：

X-1012

P0.20.30.40.1

求随机变量X的方差。

解答：

首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=(-1)*0.2+0*0.3+1*0.4+2*0.1=-0.2+0+0.4+0.2=0.4

然后计算方差Var(X)：

Var(X)=E[(X-E(X))^2]=(-1-0.4)^2*0.2+(0-0.4)^2*0.3+(1-0.4)^2*0.4+(2-0.4)^2*0.1

=1.96*0.2+0.16*0.3+0.36*0.4+1.96*0.1

=0.392+0.048+0.144+0.196

=0.78

所以，随机变量X的方差Var(X)=0.78。

例题2：某电子元件的寿命服从参数为λ=0.1的泊松分布，求该元件寿命超过2年的概率。

解答：

由泊松分布的定义，寿命超过2年的概率为：

P(X>2)=1-P(X≤2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))

=1-(e^(-0.1)*0.1^0/0!+e^(-0.1)*0.1^1/1!+e^(-0.1)*0.1^2/2!)

=1-(0.9048+0.0905+0.0045)

=1-0.9998

=0.0002

所以，该元件寿命超过2年的概率为0.0002。

例题3：某工厂生产的产品合格率p=0.8，求在10个产品中恰好有3个合格品的概率。

解答：

这是一个二项分布问题，概率计算公式为：

P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

代入公式计算：

P(X=3)=C(10,3)*0.8^3*(1-0.8)^7

=120*0.512*0.2097152

≈0.1275

所以，在10个产品中恰好有3个合格品的概率约为0.1275。

例题4：某班级有50名学生，其中男生25名，女生25名，随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。

解答：

这是一个超几何分布问题，概率计算公式为：

P(X=k)=[C(K,k)*C(N-K,n-k)]/C(N,n)

其中，K为总体中成功的个数，N为总体的大小，n为抽取的样本大小。

代入公式计算：

P(X=1)=[C(25,1)*C(25,49)]/C(50,1)

=25*25/50

=0.5

所以，随机抽取一名学生，抽到女生的概率为0.5。

例题5：某城市每月降雨量服从正态分布，均值为50mm，标准差为10mm，求该城市某月降雨量在30mm到70mm之间的概率。

解答：

这是一个正态分布问题，概率计算公式为：

P(a≤X≤b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)

其中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，μ为均值，σ为标准差。

代入公式计算：

P(30≤X≤70)=Φ((70-50)/10)-Φ((30-50)/10)

=Φ(2)-Φ(-2)

使用标准正态分布表查找Φ(2)和Φ(-2)的值，得到：

P(30≤X≤70)≈0.9772-0.0228

≈0.9544

所以，该城市某月降雨量在30mm到70mm之间的概率约为0.9544。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它帮助教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也为学生提供了反馈，促进他们的学习进步。以下是我对课堂评价的一些具体做法：

1.课堂提问

在课堂上，我会通过提问来检验学生对知识的掌握程度。问题设计既包括基础知识的巩固，也包括对知识应用的考察。例如，在讲解离散型随机变量方差时，我会提问：“谁能告诉我，方差是什么？它是如何计算的？”这样的问题可以帮助我了解学生对方差概念的理解程度。同时，我也会设计一些开放性问题，如：“你认为方差在现实生活中有什么实际应用？”这样的问题可以激发学生的思考，培养他们的创新意识。

2.观察学生参与度

课堂上的观察是评价学生学习情况的重要手段。我会注意学生的眼神、表情、肢体语言等，以此来判断他们对课堂内容的兴趣和参与度。例如，在讨论方差的应用时，我会观察学生是否积极参与讨论，是否能够提出有见地的观点。通过观察，我可以发现哪些学生对某个知识点掌握得较好，哪些学生可能需要更多的帮助。

3.小组合作学习