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文档简介

第二章导数与微分CONTENTS目录O1第一节

导数的定义O2第二节

导数的运算O3第三节

函数的微分第三节

函数的微分PARTTHREE学习目标：1.理解微分的概念.2.掌握微分运算法则.3.会求函数的一阶微分.4.了解导数与微分的关系.引例

一正方形金属薄片受温度影响,其边长由x0变到x0+

x,求此薄片面积改变了多少？解：如图,(1)Δx的线性函数，且为ΔA的主要部分(2)Δx的高阶无穷小量，当|Δx|很小时，可以忽略不计设边长由x0变到x0+

x,记dA=2x0

.

x误差设y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果函数的增量

y=f(x0+

x)

f(x0)可表示成

y=A

x+o(x)，

其中A为只与x0有关而与

x无关的常数，

x高阶的无穷小，则函数y=f(x)在x0处可微，A·

x称为微分，即dy=A

x

当自变量在x0处取得增量Δx时，则称它为微分系数,o(

x)是比一、微分的定义

定理1证明：注意：.例1例2解：

d(xm)

mxm

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

导数公式:

二、基本初等函数的微分公式

微分公式:

导数公式:

二、基本初等函数的微分公式

例3

在括号中填入适当的函数

使等式成立

(1)d()2x2dx

(2)d()

cosw

tdt

(2)因为d(sinw

t)

wcoswtdt

所以(1)因为d(x3)

3x2dx

所以

解：

x2dxxd=)31(3)31()(3133xdxdx2dx==)()(,即..,一般地有2x2dxCxd=+)32(3(C为任意常数)

)

sin1()

(sin1

costdtdtdtwwwww==因此tdtCtd

cos)

sin1(www=+(C为任意常数).

求法:先计算函数的导数,再乘以自变量的微分.三、微分的四则运算法则例4解：例5四、复合函数的微分例6例7五、微分在近似计算中的应用例81.微分概念

微分的定义

可导可微2.

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