2024-2025学年新教材高中数学 第十章 复数 10.2.2 第1课时 复数的乘法（教师用书）教学实录 新人教B版必修第四册

2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.2.2第1课时复数的乘法（教师用书）教学实录新人教B版必修第四册主备人备课成员设计思路本课时以复数的乘法为主线，通过引入几何意义，引导学生理解复数乘法的运算规律。结合实例，让学生掌握复数乘法的运算方法，并通过练习巩固所学知识。设计注重理论与实践相结合，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过复数乘法的学习，使学生理解复数运算的几何意义，发展数学建模和逻辑推理能力。同时，提升学生的运算求解能力，强化数学应用意识，使学生能够在实际情境中运用复数知识解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了实数的基本运算、乘方和开方等知识，具备了一定的代数基础，能够理解代数式的变形和方程的解法。

2.学生的学习兴趣与个人兴趣、家庭背景和以往的学习经历有关。他们在几何直观和抽象思维能力方面表现不一，部分学生可能对复数乘法的几何意义和运算规则较为陌生，但普遍对数学问题解决和应用有较强的求知欲。学习风格方面，有的学生偏好通过图形直观理解概念，有的则更习惯于符号推导。

3.学生在学习复数乘法时可能遇到的困难包括：理解复数乘法的几何意义，区分实数与复数乘法的结果；记忆复数乘法的运算规则，特别是复数的乘方；应用复数乘法解决实际问题时，如何建立数学模型。此外，学生可能在面对复杂的运算时容易出错，需要教师提供有效的反馈和指导。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解复数乘法的定义、运算规则和几何意义，帮助学生建立清晰的概念体系。

2.讨论法：组织学生小组讨论，通过合作学习，共同探讨复数乘法的应用和解决实际问题。

3.案例分析法：通过典型例题，引导学生分析复数乘法的解题思路，提高学生的逻辑思维能力。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示复数乘法的几何图形，直观展示运算过程，增强学生的空间想象力。

2.互动软件：运用数学软件进行动态演示，让学生亲身体验复数乘法的运算过程。

3.实践操作：提供在线练习平台，让学生在课堂上即时练习，及时巩固所学知识。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

详细内容：

1.回顾实数乘法的几何意义，引导学生思考如何在复数平面上表示复数的乘法。

2.展示复数的几何图形，提问学生如何用几何方法表示复数的乘法。

3.提出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.讲解复数乘法的定义和运算规则，举例说明如何进行复数乘法运算。

2.结合几何图形，解释复数乘法的几何意义，帮助学生理解运算规律。

3.讲解复数乘方的运算方法，通过实例演示乘方的运算过程。

三、实践活动（用时10分钟）

1.学生独立完成基础练习题，巩固复数乘法的运算规则。

2.小组合作完成应用题，将复数乘法应用于实际问题解决。

3.利用软件工具进行复数乘法的动态演示，观察运算结果，加深理解。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.举例回答：如何将两个复数相乘，得到的结果又是什么？

举例：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

2.举例回答：如何计算复数的乘方？

举例：$(a+bi)^n=(\sqrt{a^2+b^2})^n(\cos(n\arctan(\frac{b}{a}))+i\sin(n\arctan(\frac{b}{a})))$

3.举例回答：如何利用复数乘法解决实际问题？

举例：计算电路中的交流电电压的有效值。

五、总结回顾（用时5分钟）

内容：

1.回顾本节课的学习内容，强调复数乘法运算的规则和几何意义。

2.总结复数乘法在实际问题中的应用，如电子技术、信号处理等领域。

3.提出课后思考题，鼓励学生进一步探索复数乘法的应用。

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

-学生能够准确理解复数乘法的定义和运算规则，如乘法的分配律、结合律等。

-学生能够熟练进行复数的乘法运算，包括基本乘法和乘方运算。

-学生能够将复数乘法应用于解决实际问题，如电路分析、信号处理等。

2.能力提升：

-学生在几何直观方面得到锻炼，能够将复数乘法与复数在复平面上的几何意义联系起来。

-学生在逻辑推理能力方面得到提升，能够通过实例和规律推导出复数乘法的运算规则。

-学生在数学建模能力方面得到加强，能够将实际问题转化为复数运算的形式。

3.学习兴趣：

-学生对复数乘法产生浓厚的兴趣，愿意主动探索复数运算的奥秘。

-学生在学习过程中体会到数学的趣味性，增强了学习数学的积极性。

-学生通过解决实际问题，感受到数学在现实生活中的应用价值，激发了进一步学习的动力。

4.实践应用：

-学生能够将复数乘法应用于解决实际问题，如计算电路中的交流电电压的有效值。

-学生在实验和操作中，提高了解决实际问题的能力，增强了实践操作技能。

-学生通过小组合作，学会了与他人沟通、协作，提升了团队协作能力。

5.思维发展：

-学生在复数乘法的学习过程中，培养了抽象思维能力，能够从具体问题中提炼出一般规律。

-学生在解决复数乘法问题时，锻炼了分析问题和解决问题的能力。

-学生在学习过程中，学会了归纳总结，提高了自主学习能力。内容逻辑关系①复数乘法的定义

-重点知识点：复数乘法的概念，即两个复数相乘的运算。

-重点词句：复数乘法、乘积、实部、虚部。

②复数乘法的运算规则

-重点知识点：复数乘法的分配律、结合律和交换律。

-重点词句：分配律、结合律、交换律、实部相乘、虚部相乘。

③复数乘法的几何意义

-重点知识点：复数乘法在复平面上的几何表示，包括旋转和缩放。

-重点词句：复平面、旋转、缩放、模长、辐角。重点题型整理1.题型一：复数乘法运算

-题目：计算复数乘法$(3+4i)(2-3i)$。

-答案：$(3+4i)(2-3i)=3\cdot2+3\cdot(-3i)+4i\cdot2+4i\cdot(-3i)=6-9i+8i-12i^2=6-i+12=18-i$。

2.题型二：复数乘方运算

-题目：计算复数乘方$(1+i)^4$。

-答案：$(1+i)^4=(1+i)^2\cdot(1+i)^2=(1+2i+i^2)\cdot(1+2i+i^2)=(1+2i-1)\cdot(1+2i-1)=(2i)^2=-4$。

3.题型三：复数乘法与几何意义

-题目：如果复数$z_1=2+3i$和$z_2=1-2i$，求$z_1\cdotz_2$在复平面上的几何表示。

-答案：$z_1\cdotz_2=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$。在复平面上，这个乘积表示为点$(8,-1)$。

4.题型四：复数乘法与模长

-题目：已知复数$z=5-12i$，求$z$的模长。

-答案：$|z|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。

5.题型五：复数乘法与辐角

-题目：已知复数$z=3+4i$，求$z$的辐角。

-答案：$\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$。在复平面上，这个复数对应的辐角是$\theta$，即$\theta$是使得$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$的角度。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生能够积极参与课堂讨论，对复数乘法的概念和运算规则有较好的理解和掌握。

-学生在解答问题时表现出较高的计算准确性和逻辑性，能够正确运用复数乘法解决简单的实际问题。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论中，学生能够有效合作，共同解决问题，展现了良好的团队协作能力。

-学生在讨论中提出的问题有助于激发其他同学的思考，共同探讨复数乘法的多种应用场景。

3.随堂测试：

-通过随堂测试，学生对复数乘法的掌握情况得到检验，测试结果显示大部分学生能够正确进行复数乘法运算。

-测试中存在的问题主要集中在复数乘方的运算和几何意义的理解上，需要教师在后续教学中加强辅导。

4.课后作业反馈：

-学生能够按时完成课后作业，作业质量普遍较高，体现了学生对复数乘法的重视。

-通过批改作业，发现部分学生在处理复杂问题时存在细节错误，需要教师在课堂上给予个别辅导。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现，教师鼓励学生积极参与，对表现出色的学生给予肯定，对表现一般的学生提出改进建议。

-对于小组讨论成果展示，教师强调合作学习的重要性，鼓励学生在小组中发挥自己的优势，共同提高。

-针对随堂测试和课后作业中的问题，教师将针对性地进行讲解和辅导，帮助学生克服难点，提高解题能力。

-教师将根据学生的学习情况，适时调整教学策略，确保每位学生都能够跟上教学进度，达到教学目标。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.强化几何直观教学：在讲解复数乘法时，更多地结合几何图形，让学生直观地看到复数乘法的几何意义，提高学生的学习兴趣。

2.互动式教学策略：设计一些互动环节，比如让学生上台演示计算过程，或者分组讨论复杂问题的解决方法，增强学生的参与感和主动性。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.部分学生对复数乘法的运算规则掌握不牢固：在随堂测试和课后作业中，发现一些学生在进行复数乘法运算时，容易出现基础错误，如虚数单位$i$的运算。

2.学生对复数乘方的几何意义理解不够深入：一些学生在处理复数乘方时，难以将几何直观与代数运算相结合，影响了他们的解题能力。

3.课堂时间分配不够合理：有时候在讲解某些概念时，可能过于详细，导致课堂时间不够，影响了其他教学内容的深入讲解。

反思改进措施（三）

1.针对基础错误，我将增加基础练习的量，确