2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性（教师用书）教学实录 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数44.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性（教师用书）教学实录北师大版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计思路本节课以“单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义”为主题，结合北师大版必修4教材内容，通过引导学生观察单位圆的几何特征，探究任意角的正弦、余弦函数的定义。通过实例分析和课堂练习，帮助学生理解三角函数的概念，掌握正弦、余弦函数的基本性质，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过单位圆和任意角的正弦、余弦函数的定义，引导学生理解数学模型与几何图形之间的联系。提升逻辑推理能力，通过探究函数性质，锻炼学生运用数学语言进行逻辑推理的能力。增强数学建模意识，通过实际问题的分析，让学生体验数学在解决实际问题中的价值。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了平面几何的基本知识，包括直角坐标系、角度度量、三角形的性质等。此外，他们还应该掌握了实数的基本运算和函数的基本概念。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对三角函数这一主题表现出较高的兴趣，尤其是那些对数学有浓厚兴趣的学生。学生的能力水平参差不齐，一些学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够较快地理解新概念。学习风格上，有的学生偏好通过图形和直观方式学习，而有的学生则更倾向于通过公式和定理进行学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义时，可能会遇到以下困难：一是对单位圆的概念理解不够深入，难以将几何图形与函数定义联系起来；二是对于角度的推广到任意角的概念感到抽象，难以直观理解；三是函数周期性的理解可能存在困难，难以把握函数图像的周期性变化。此外，学生可能对数学符号和公式的记忆和应用感到挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修4教材，特别是包含第1章内容的部分。

2.辅助材料：准备与单位圆、任意角正弦、余弦函数相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以辅助学生直观理解概念。

3.实验器材：无特殊实验器材需求。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供白板或黑板用于展示和讨论，确保教学环境整洁有序。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：在课前，教师通过班级微信群发布包含PPT、视频和文档的预习资料，明确预习目标，要求学生理解单位圆的基本概念和任意角的概念。

设计预习问题：围绕“单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义”，设计问题如“如何定义单位圆上一点的坐标？”和“如何从几何角度理解正弦和余弦？”

监控预习进度：通过在线平台和学生的预习反馈，监控学生的预习情况，确保学生能够掌握基本概念。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照要求阅读资料，理解单位圆和任意角的定义。

思考预习问题：学生独立思考预习问题，记录自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习，培养学生自主学习的能力。

信息技术手段：利用微信平台实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

为课堂学习做好准备，培养学生独立思考和解决问题的能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过动画展示单位圆的构建过程，引入正弦和余弦函数的定义。

讲解知识点：详细讲解单位圆上任意角的正弦和余弦的定义，结合几何图形和坐标轴上的点进行说明。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过合作探讨如何从单位圆上一点的坐标推导出正弦和余弦值。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考教师提出的问题。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，尝试自己画出单位圆上的点，并计算对应的正弦和余弦值。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解三角函数的定义。

实践活动法：通过小组讨论和绘图活动，让学生在实践中理解概念。

作用与目的：

深入理解三角函数的定义，掌握正弦和余弦的基本性质。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置包含计算和证明的作业，如计算特定角度的正弦和余弦值，并证明它们的性质。

提供拓展资源：推荐相关的数学软件或网站，供学生进行三角函数图像的探索。

学生活动：

完成作业：学生完成作业，巩固所学知识。

拓展学习：学生利用推荐资源，探索三角函数的更多性质和应用。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过作业和拓展学习，培养学生独立解决问题的能力。

反思总结法：通过作业和拓展学习后的反思，帮助学生总结学习经验。

作用与目的：

巩固和拓展学生对三角函数的理解，培养学生的应用能力和探究精神。学生学习效果学生学习效果

1.理解单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义

学生通过本节课的学习，能够清晰地理解单位圆的定义，以及如何通过单位圆来定义任意角的正弦和余弦函数。他们能够解释单位圆上一点的坐标与该点的正弦和余弦值之间的关系，并能够运用这个定义来计算特定角度的正弦和余弦值。

2.掌握三角函数的基本性质

学生在学习过程中，不仅掌握了正弦和余弦函数的定义，还了解了它们的基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。他们能够识别并描述这些性质，并在解决实际问题时应用这些性质。

3.培养逻辑推理和数学建模能力

通过对三角函数定义的探究，学生锻炼了逻辑推理能力。他们学会了如何从几何图形出发，通过逻辑推理得出数学结论。此外，学生通过将几何问题转化为数学模型，提升了数学建模能力。

4.提高几何直观和空间想象能力

本节课的教学过程中，学生通过观察单位圆和几何图形，提高了几何直观能力。他们能够更好地理解几何概念，并在头脑中形成清晰的几何图像。同时，学生的空间想象能力也得到了锻炼。

5.增强合作学习和交流能力

在小组讨论和角色扮演等课堂活动中，学生学会了与他人合作，共同解决问题。他们通过交流思想，分享学习心得，提高了团队合作和交流能力。

6.巩固实数运算和函数概念

在学习三角函数的过程中，学生巩固了实数运算和函数概念。他们能够熟练运用实数进行计算，并理解函数的基本概念，为后续学习其他类型的函数打下基础。

7.提升解决实际问题的能力

通过本节课的学习，学生能够将三角函数应用于实际问题中。例如，他们可以计算物体的运动轨迹、分析电路中的电流和电压等。这种能力的提升有助于学生在生活中更好地运用数学知识。

8.培养良好的学习习惯和自主学习能力

在本节课的学习过程中，学生养成了良好的学习习惯，如认真听讲、积极思考、主动提问等。同时，他们通过自主学习预习资料，提高了自主学习能力。

9.增强数学学习的兴趣和自信心

通过对本节课的学习，学生对三角函数产生了浓厚的兴趣，增强了学习数学的自信心。他们认识到数学在各个领域的广泛应用，激发了进一步探索数学知识的欲望。

10.提高数学思维品质

在学习三角函数的过程中，学生锻炼了数学思维品质，如抽象思维、逻辑思维、批判性思维等。这些思维品质对于学生的全面发展具有重要意义。重点题型整理1.题型一：单位圆上一点的坐标与正弦、余弦值的关系

例题：在单位圆上，若点P的坐标为(√3/2,1/2)，求∠POA的正弦和余弦值。

解答：由于点P在单位圆上，其坐标即为该点的余弦和正弦值。因此，cos∠POA=√3/2，sin∠POA=1/2。

2.题型二：任意角的正弦、余弦函数值的计算

例题：计算∠α=135°的正弦和余弦值。

解答：首先将角度转换为弧度，135°=(135π/180)=(3π/4)。然后，利用单位圆上的点(√2/2,√2/2)的坐标，得到sin(3π/4)=√2/2，cos(3π/4)=-√2/2。

3.题型三：三角函数周期性的应用

例题：已知函数f(x)=sin(x+π/6)，求函数的最小正周期。

解答：由于正弦函数的周期为2π，因此函数f(x)的周期也为2π。最小正周期T=2π。

4.题型四：三角函数的奇偶性判断

例题：判断函数g(x)=cos(2x-π)的奇偶性。

解答：将函数g(x)中的x替换为-x，得到g(-x)=cos(-2x-π)=cos(2x+π)。由于cos(θ)=cos(θ+π)，所以g(-x)=g(x)，因此函数g(x)是偶函数。

5.题型五：三角函数的应用问题

例题：一根直角三角形的斜边长为10cm，其中一个锐角为30°，求该三角形的另外两个角的正弦和余弦值。

解答：由于直角三角形的一个角为30°，根据30°-60°-90°三角形的性质，另两个角分别为60°和90°。因此，sin30°=1/2，cos30°=√3/2；sin60°=√3/2，cos60°=1/2。板书设计①单位圆与任意角的定义

-单位圆：半径为1的圆，方程为x²+y²=1。

-任意角：平面内射线绕一点旋转形成的角，用弧度制表示。

②正弦函数的定义

-正弦函数：单位圆上，射线与x轴正半轴所夹角的正弦值，记作sin(θ)=y。

-关键词：θ（角度）、y（正弦值）、单位圆上的点。

③余弦函数的定义

-余弦函数：单位圆上，射线与x轴正半轴所夹角的余弦值，记作cos(θ)=x。

-关键词：θ（角度）、x（余弦值）、单位圆上的点。

④三角函数的几何关系

-在单位圆上，点P(x,y)的坐标与角度θ的正弦和余弦值相对应。

-关键词：点P、角度θ、坐标(x,y)、正弦值、余弦值。

⑤三角函数的性质

-周期性：sin(θ+2π)=sin(θ)，cos(θ+2π)=cos(θ)。

-奇偶性：sin(-θ)=-sin(θ)，cos(-θ)=cos(θ)。

-单调性：在[0,π/2]区间内，sin(θ)单调递增，cos(θ)单调递减。

-关键词：周期性、奇偶性、单调性、区间。教学反思与改进教学反思与改进是每一位教师成长的重要环节。在本节课的教学中，我尝试了多种教学方法，以下是我对本次教学的一些反思和改进计划。

首先，我注意到在导入环节，我使用了动画展示单位圆的构建过程，这确实激发了学生的兴趣。但是，有些学生反映动画过于复杂，导致他们难以跟上节奏。因此，我计划在未来的教学中，简化动画内容，突出重点，确保所有学生都能跟上教学进度。

其次，在讲解知识点时，我发现部分学生对于角度的推广到任意角的概念感到抽象。为了解决这个问题，我打算在未来的教学中，增加更多的实例和几何图形，帮助学生直观地理解这一概念。例如，可以通过绘制不同角度的三角形，让学生观察正弦和余弦值的变化，从而加深理解。

在课堂活动方面，我注意到小组讨论环节虽然活跃，但部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度，我计划在未来的教学中，设计更具挑战性的问题，激发学生的探究欲望。同时，我也会更加关注每个学生的参与情况，确保每个学生都有机会表达自己的观点。

在解答疑问环节，我发现有些学生不敢提问，担心回答错误。为了消除学生的顾虑，我计划在未来的教学中，营造一个更加宽松和包容的学习氛围，鼓励学生提问和表达自己的想法。

在作业布置方面，我发现学生的作业完成质量参差不齐。为了提高作业质量，我计划在未来的教学中，提供更多的作业辅导和指导，帮助学生更好地理解作业要求。同