2024-2025学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示（3）教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示（3）教学实录新人教A版必修第一册主备人备课成员教材分析2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示（3）教学实录新人教A版必修第一册。本节课深入探讨函数的基本概念，通过具体实例分析函数的表示方法，引导学生理解函数的本质，培养其抽象思维能力和数学表达能力。核心素养目标培养学生数学抽象思维，通过函数概念的学习，提高学生从具体情境中抽象出数学模型的能力。增强数学逻辑推理，引导学生理解函数性质与定义域、值域的关系。提升数学建模能力，使学生能够将实际问题转化为函数模型，并运用函数解决实际问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了集合、数列等基础知识，具备了一定的数学抽象和逻辑推理能力。他们能够理解基本的数学概念和符号，并对数学问题有一定的分析和解决能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科普遍持有兴趣，但兴趣程度因人而异。大部分学生具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够通过逻辑推理解决问题。部分学生可能更倾向于通过直观图形和具体实例来理解抽象概念。学习风格上，学生中既有偏好独立思考的，也有更习惯团队合作的学习者。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在理解函数概念时可能遇到将抽象概念与具体实例相结合的困难。此外，学生可能难以把握函数的定义域和值域之间的关系，以及如何从实际问题中抽象出函数模型。部分学生可能因为缺乏实践经验而难以将数学知识应用于实际问题解决中。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合实例，系统讲解函数的概念和表示方法，帮助学生建立清晰的概念框架。

2.讨论法：引导学生分组讨论函数在实际问题中的应用，提高学生的分析和解决问题的能力。

3.实验法：通过计算机软件模拟函数图像，让学生直观感受函数性质的变化，增强学习效果。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数的定义、图像和性质，直观形象地呈现教学内容。

2.互动软件：使用数学教学软件，让学生通过操作直观理解函数的动态变化。

3.实物教具：准备一些简单的函数模型或图形，帮助学生直观理解函数的概念。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，提前一周发布关于函数概念和表示的预习资料，包括函数的定义、性质和常见表示方法。

设计预习问题：围绕函数概念及其表示，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“如何理解函数的定义域和值域？举例说明函数的不同表示方式。”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。通过学生提交的预习成果，了解学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数概念和表示方法。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解函数概念及其表示，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如温度与时间的关系，引出函数概念，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解函数的定义、性质和不同表示方法，如解析式、图象等。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过实例分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作学习理解函数性质。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解函数的概念和性质。

实践活动法：通过小组讨论等活动，让学生在实践中掌握函数性质的分析方法。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解函数的概念和性质，掌握分析函数的方法。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置关于函数概念和性质的应用题，如求函数的值域、定义域等。

提供拓展资源：推荐与函数相关的学习资料，如数学竞赛题、在线课程等。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的函数概念和性质，提高解决实际问题的能力。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）函数的图像与性质：介绍函数图像的基本形状、对称性、周期性等性质，以及如何通过图像分析函数的增减性、奇偶性等。

（2）函数的复合与分解：讲解函数的复合运算和分解方法，包括内函数和外函数的概念，以及如何求复合函数的定义域和值域。

（3）函数在实际生活中的应用：探讨函数在物理学、经济学、生物学等领域的应用，如牛顿运动定律中的速度与时间关系、供需关系中的价格与需求量关系等。

（4）数学建模：介绍数学建模的基本概念和步骤，以及如何将实际问题转化为数学模型，并利用函数解决实际问题。

（5）数学竞赛题：收集整理一些与函数相关的数学竞赛题目，包括高斯竞赛、普林斯顿大学数学竞赛等，帮助学生提高解题能力。

2.拓展建议：

（1）阅读相关教材和参考书：推荐阅读高中数学教材、数学竞赛辅导书籍，以及《数学分析》等大学教材，加深对函数概念和性质的理解。

（2）观看在线教学视频：利用网络资源，观看一些关于函数概念和性质的在线教学视频，如《函数图像与性质》、《数学建模基础》等。

（3）参加数学讲座和研讨会：参加学校或社区组织的数学讲座和研讨会，了解函数在现代科学和工程中的应用。

（4）实践操作：利用计算机软件（如MATLAB、Python等）绘制函数图像，分析函数性质，解决实际问题。

（5）小组合作学习：与同学组成学习小组，共同讨论函数概念和性质，分享学习心得，提高解题能力。

（6）拓展阅读：阅读《数学之美》、《数学的奥秘》等科普书籍，了解数学的魅力和数学家们的创新思维。

（7）关注数学竞赛：关注国内外数学竞赛动态，积极参与数学竞赛，提高自己的数学素养和解题技巧。

（8）数学建模实践：参与数学建模竞赛或实际项目，将函数知识应用于解决实际问题，提高自己的综合能力。

（9）撰写数学论文：针对函数概念和性质，撰写一篇数学论文，总结自己的学习成果和心得体会。

（10）分享学习经验：将自己在学习函数概念和性质过程中的经验与同学分享，互相帮助，共同进步。内容逻辑关系①函数概念

-本文重点知识点：函数的定义、函数的要素（定义域、值域、对应关系）

-关键词：映射、集合、元素、唯一确定

-句子：设A、B为两个非空数集，如果按照某种对应关系f，对于A中的每一个元素x，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么我们就说f是集合A到集合B的一个映射，记作f：A→B。

②函数表示

-本文重点知识点：函数的表示方法（解析式、表格、图象）

-关键词：解析式、变量、方程、映射规则

-句子：函数可以通过解析式表示，即定义一个方程，该方程中的变量对应函数的值，方程的解集即为函数的定义域。

③函数性质

-本文重点知识点：函数的奇偶性、周期性、单调性

-关键词：奇偶性、周期性、单调区间、增减性

-句子：如果一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。函数的周期性表现为函数图像的重复出现，单调性则表现为函数值随自变量的变化而单调增加或减少。教学反思与改进教学反思是一项持续的过程，它帮助我们教师不断评估和提升教学效果。以下是我对上一节课“函数的概念及其表示”的反思和改进计划。

1.学生参与度反思

我发现，在课堂讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有少数学生显得比较沉默。这可能是因为他们对某些概念理解不够深入，或者缺乏自信。为了提高学生的参与度，我计划在未来的教学中采取以下措施：

-在课前预习时，设计一些更具挑战性的问题，鼓励学生主动思考。

-在课堂上，创建一个更加包容和鼓励提问的环境，让学生感到舒适和安全。

-鼓励学生进行小组讨论，通过合作学习来提高他们的参与感和交流能力。

2.教学内容深度反思

在讲解函数的表示方法时，我发现有些学生对于解析式和图象之间的关系理解不够。为了加深学生对这一点的理解，我计划：

-通过更多的实例来展示解析式和图象之间的关系，让学生通过观察和比较来发现规律。

-设计一些练习题，让学生自己绘制函数图象，并通过解析式来验证。

-使用多媒体工具，如动态图形软件，让学生直观地看到函数图象随参数变化的过程。

3.教学方法反思

在教学方法上，我注意到单纯的理论讲解可能对学生来说较为枯燥。为了改善这一点，我计划：

-结合实际问题来讲解函数的概念和性质，让学生看到数学在现实生活中的应用。

-利用实验和实践活动来增强学生的动手能力和实践意识。

-鼓励学生使用计算机软件来探索函数的性质，如使用MATLAB或Python进行函数图像的绘制和分析。

4.作业和评估反思

在布置作业和进行评估时，我发现有些学生对于函数的定义域和值域的理解存在混淆。为了帮助学生更好地掌握这些知识点，我计划：

-在作业中设计一些综合性问题，要求学生不仅应用函数的概念，还要考虑定义域和值域的限制。

-在评估中增加一些开放性问题，鼓励学生提出自己的见解和解决方案。

-定期进行个别辅导，针对学生的具体问题提供个性化的指导。重点题型整理1.题型：判断函数的性质

题目：已知函数f(x)=x^2-4x+3，判断函数的奇偶性、周期性和单调性。

答案：函数f(x)是偶函数，因为f(-x)=(-x)^2-4(-x)+3=x^2+4x+3=f(x)。由于函数没有重复的周期，所以不是周期函数。在定义域内，函数是单调递增的，因为导数f'(x)=2x-4，当x>2时，f'(x)>0。

2.题型：求函数的定义域和值域

题目：已知函数f(x)=√(x-1)，求函数的定义域和值域。

答案：定义域是x≥1，因为根号下的表达式必须大于等于0。值域是y≥0，因为根号下的表达式可以取所有非负实数。

3.题型：函数的复合与分解

题目：已知函数f(x)=2x+3和g(x)=x^2-1，求复合函数f(g(x))和分解函数g(f(x))。

答案：f(g(x))=f(x^2-1)=2(x^2-1)+3=2x^2+1。g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+8。

4.题型：函数图像的绘制

题目：已知函数f(x)=-x^2+4x-3，绘制函数的图像，并指出函数的顶点、对称轴和与坐标轴的交点。

答案：函数的图像是一个开口向下的抛物线