2024-2025学年福建省福州十九中九年级（下）开门考数学试卷（2月份）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州十九中九年级（下）开门考数学试卷（2月份）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项）1．（4分）3x2可以表示为（）A．x2+x2+x2 B．x2•x2•x2 C．3x•3x D．9x2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣94．（4分）计算：（）﹣1﹣（π﹣1）0，结果正确的是（）A．2 B．1 C．﹣ D．﹣5．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（）A．（3，﹣2） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，﹣6）6．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A．每2次必有1次正面向上 B．可能有8次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上7．（4分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）A． B． C． D．8．（4分）把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（）A． B． C． D．9．（4分）为了求1+2+22+23+⋯+22024的值，可令S＝1+2+22+23+⋯+22024，则2S＝2+22+23+⋯+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+⋯+22024＝22025﹣1，仿照以上推理计算出1+5+52+53+⋯+52022的值是（）A．52022﹣1 B．52023﹣1 C． D．10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a+c|+|b﹣c|化简的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣b C．﹣a+b﹣2c D．a﹣b+2c二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）因式分解：2a2﹣4a＝．12．（4分）已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是．13．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点．14．（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝．15．（4分）在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片ABCD按如下步骤确定线段MN的位置，最后剪下矩形ABMN：①作AB的垂直平分线分别交AB，F；②连接AF，作∠BAF的角平分线；③过点M作MN⊥AD于点N；小刘同学通过推理计算出BM的值为，于是他明白了老师的用意．16．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，BC＝2，P为边CD上的一动点PD的最小值等于．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．（9分）解方程：＝+1．18．（9分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．19．（9分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2）和B（2，﹣2）．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；（3）结合图象回答：当y＜0时，x的取值范围是．20．（9分）如图，点C是的中点，直线AO与切线EF相交于点E，与⊙O相交于另一点D，CD．（1）求证：AB∥EF；（2）若∠DEF＝3∠D，求∠DCF的度数．21．（9分）5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩学生成绩分布统计表分组成绩（分）频率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100请根据图表信息，解答下列问题：（1）求n与a的值，并补全学生成绩频数分布直方图；（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．22．（9分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+7c＝0（a≠0）有实数根．（1）求证：b2﹣28ac为非负数；（2）若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．23．（9分）【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子（最底层）杯子的个数变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，，OA＝24cm，OD＝15cm．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）24．（9分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．（1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标．（2）若a＝﹣2，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜6＜x2，求证：6b+c＞72．（3）若函数图象经过点（4，t），当x≤1时，y≥t+1，y≥t，求a的值．25．（14分）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“正德四边形”．（1）①若▱ABCD是圆的“正德四边形”，则▱ABCD是（填选项：A．矩形；B．菱形；C．正方形）；②若四边形ABCD是⊙O的正德四边形，若AC＝8，BD＝4四边形ABCD＝；（2）如图1，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD是⊙O的“正德四边形”．求证：AB2+CD2＝4R2；（3）如图2，四边形ABCD是“正德四边形”，P为圆内一点，BD＝8，且，当CD的长度最小时，求

2024-2025学年福建省福州十九中九年级（下）开门考数学试卷（2月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案ACDBDBBADD一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项）1．（4分）3x2可以表示为（）A．x2+x2+x2 B．x2•x2•x2 C．3x•3x D．9x【解答】解：A、x2+x2+x4＝3x2，故此选项正确；B、x8•x2•x2＝x6，故此选项错误；C、3x•3x＝6x2，故此选项错误；D、9x≠4x2，故此选项错误；故选：A．2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（4分）华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9【解答】解：0.000 000 ﹣9．故选：D．4．（4分）计算：（）﹣1﹣（π﹣1）0，结果正确的是（）A．2 B．1 C．﹣ D．﹣【解答】解：原式＝2﹣1＝2，故选：B．5．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（）A．（3，﹣2） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，﹣6）【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，∴k＝﹣5×3＝﹣6，∴只需把各点横纵坐标相乘，不是﹣7的，四个选项中只有D不符合．故选：D．6．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A．每2次必有1次正面向上 B．可能有8次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币10次，原说法错误；B、掷一枚质地均匀的硬币10次，原说法正确；C、掷一枚质地均匀的硬币10次，原说法错误；D、掷一枚质地均匀的硬币10次，原说法错误；故选：B．7．（4分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，故选：B．8．（4分）把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式组得：．在数轴上表示得：．故选A．9．（4分）为了求1+2+22+23+⋯+22024的值，可令S＝1+2+22+23+⋯+22024，则2S＝2+22+23+⋯+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+⋯+22024＝22025﹣1，仿照以上推理计算出1+5+52+53+⋯+52022的值是（）A．52022﹣1 B．52023﹣1 C． D．【解答】解：由题中给出的例子可知，设S＝1+5+72+55+⋯+52022①，∴5S＝5+52+73+53+⋯+52023②，②﹣①得：4S＝62023﹣1，∴，即，故选：D．10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a+c|+|b﹣c|化简的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣b C．﹣a+b﹣2c D．a﹣b+2c【解答】解：由图象可知，开口向下，对称轴在y轴右侧，则b＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0，且过（5，0），即a+c＝﹣b＞0，又∵b﹣c＜2，故|a+c|+|b﹣c|＝a+c+c﹣b＝a﹣b+2c，故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）因式分解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．【解答】解：原式＝2a（a﹣2）．故答案为：5a（a﹣2）．12．（4分）已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是5．【解答】解：若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径长．13．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点C．【解答】解：圆心是弦EF和弦FG的中垂线的交点，是C．故选C．14．（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝．【解答】解：在格点三角形ADC中，AD＝2，∴AC＝，∴cosC＝，故答案为：．15．（4分）在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片ABCD按如下步骤确定线段MN的位置，最后剪下矩形ABMN：①作AB的垂直平分线分别交AB，F；②连接AF，作∠BAF的角平分线；③过点M作MN⊥AD于点N；小刘同学通过推理计算出BM的值为，于是他明白了老师的用意．【解答】过点M作MG⊥AF于点G，连接MF、角平分线的性质可得BM＝MG，则AG＝AB＝2，进而可得AF，设BM＝MG＝x，在Rt△MFG和Rt△MFC中，MF2＝MG4+FG2＝MC2+CF6，代入求出x的值，即可得出答案．解：过点M作MG⊥AF于点G，连接MF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AM为∠BAF的平分线，∴BM＝MG，∵AM＝AM，∴Rt△ABM≌Rt△AGM（HL），∴AG＝AB＝2，∵直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝DF＝CF＝2，∴，∴，设BM＝MG＝x，则MC＝4﹣x，在Rt△MFG和Rt△MFC中，由勾股定理得2＝MG2+FG6＝MC2+CF2，即，解得：，∴BM的值为，故答案为：．16．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，BC＝2，P为边CD上的一动点PD的最小值等于3．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝＝，∴EP＝PD，∴PB+PD＝PB+PE，∴当点B，点P，PB+PE有最小值，∵sinA＝＝，∴BE＝6，故答案为：3．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．（9分）解方程：＝+1．【解答】解：原方程两边同乘2（x﹣1），得8＝3+2（x﹣7），解得x＝，检验：当x＝时，2（x﹣5）≠0，∴原方程的解为：x＝．18．（9分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．【解答】证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠BDE．在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E．19．（9分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2）和B（2，﹣2）．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；（3）结合图象回答：当y＜0时，x的取值范围是x＞1．【解答】（1）将（0，2）和（6，得：，解得，∴这个一次函数的表达式为：y＝﹣3x+2；（2）画出函数图象如图所示：（3）观察函数图象发现：当x＞1时，函数图象在x轴下方，∴x的取值范围时x＞6．故答案为：x＞1．20．（9分）如图，点C是的中点，直线AO与切线EF相交于点E，与⊙O相交于另一点D，CD．（1）求证：AB∥EF；（2）若∠DEF＝3∠D，求∠DCF的度数．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF．∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴AB∥EF；（2）解：由（1）知：OC⊥EF，∴∠OCE＝90°，∴∠DEF+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝2∠D，∠DEF＝3∠D，∴8∠D＝90°，∴∠D＝18°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠D＝18°，∴∠DCF＝90°﹣∠OCD＝72°．21．（9分）5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩学生成绩分布统计表分组成绩（分）频率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100请根据图表信息，解答下列问题：（1）求n与a的值，并补全学生成绩频数分布直方图；（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．【解答】解：（1）n＝2÷0.050＝40，a＝4﹣0.050﹣0.275﹣4.375﹣0.100＝0.200．B组的人数为2.200×40＝8（人），补全频数分布直方图如图所示．（2）设2名男生分别记为A，B，8名女生分别记为C，D，画出树状图如下：共有12种等可能结果，其中抽选结果恰好是“一男一女”的结果有：AC，BC，CA，DA，共8种，∴抽选结果恰好是“一男一女”的概率为＝．22．（9分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+7c＝0（a≠0）有实数根．（1）求证：b2﹣28ac为非负数；（2）若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4a×2c＝b2﹣28ac≥0，∴b3﹣28ac为非负数；（2）解：该一元二次方程没有整数解，理由：设关于x的一元二次方程的整数解为x＝k，∴ak2﹣bk+7c＝7，则ak2﹣bk＝﹣7c，∵c为奇数，∴﹣8c也为奇数，故ak2﹣bk也为奇数，①若k为奇数，则k2也为奇数，∵a为奇数，b为奇数，∴ak4为奇数，bk为奇数，∴ak2﹣bk为偶数，∴与ak2﹣bk为奇数相矛盾，不符合题意；②若k为偶数，则k8也为偶数，∵a为奇数，b为奇数，∴ak2为偶数，bk为偶数，∴ak2﹣bk为偶数，∴与ak8﹣bk为奇数相矛盾，不符合题意；综上可知：无论k为奇数或偶数都相矛盾，故该一元二次方程没有整数解．23．（9分）【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子（最底层）杯子的个数变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，，OA＝24cm，OD＝15cm．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）【解答】解：（1）依题意，；（2）当y＝36时，，解得：x1＝3，x2＝﹣9（舍去），答：第一层杯子的个数为4个；（3）∵＝＝8π，解得：MA＝4cm；∵第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，设第一层杯子的个数为x个，则5×2x≤80，解得：x≤10，x取最大值为10，即第一层摆放杯子10个，杯子的层数也是10，∴杯子的总数为（个），在图4中，OA＝24cm，∵ND∥MA，∴△OND∽△OMA，∴，在Rt△OAM中，（cm），∴（cm），∴（cm），∴最大高度为：10MN＝15cm．24．（9分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．（1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标．（2）若a＝﹣2，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜6＜x2，求证：6b+c＞72．（3）若函数图象经过点（4，t），当x≤1时，y≥t+1，y≥t，求a的值．【解答】（1）解：二次函数解析式为y＝x2+bx+c，由条件可得，解得：，∴二次函数y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣1）7﹣5，∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣8）；（2）证明：若a＝﹣2，则二次函数y＝﹣2x4+bx+c，∴抛物线开口向下，∵函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x3，0），且x1＜5＜x2，∴当x＝6时，y＝﹣5×62+7b+c＞0，∴﹣72+6b+c＞7，∴6b+c＞72；（3）解：∵当x≤1时，y≥t+8，y≥t，∴抛物线开口向上，∴a＞0，①如图，若对称轴在直线x＝1左侧时，即，∵当x≤1时，y≥t+6，y≥t，∴当，y取最小值t+1，∵t+5＞t，∴此时不符合题意；②如图，若对称轴在直线x＝1右侧时，∴当x＝1时，y＝t+6，当，∴t＝16a+4b+c，，∴a+