全国高中数学联赛试题及解析苏教版2VIP

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑵条件甲：eq\r(1+sinθ)=a．条件乙：sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=a．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑶设α≠eq\f(kπ,2)(k≠0，±1，±2，……)，T=eq\f(sinα+tanα,cosα+cotα)．A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负⑷下面四个图形中，哪一个面积大？A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC=eq\r(2)B．梯形：两条对角线的长度分别为eq\r(2)和eq\r(3)，夹角为75°C．圆：半径为1D．正方形：对角线长度为2.5⑸给出长方体ABCD—ABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？A．30对B．60对C．24对D．48对⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x

这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1

，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为A．－t2+t+eq\f(1,2)B．－2t2+2tC.1－eq\f(1,2)t2D.eq\f(1,2)(t－2)2⑺对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根2．(本题15分)下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x35lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－c2a－ba+cx678914lgx1+a－b－c2(a+c)3－3a－3c4a－2b1－a+2b

3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF<2．4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围．提示：利用入射角等于反射角的原理．

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件解：乙甲，但甲乙，故选B.⑵条件甲：eq\r(1+sinθ)=a．条件乙：sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=a．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件解：由eq\r(1+sinθ)=a|sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)|=a；而sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=a,eq\r(1+sinθ)=|a|．故选D．⑶设α≠eq\f(kπ,2)(k≠0，±1，±2，……)，T=eq\f(sinα+tanα,cosα+cotα)．A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负解：T=eq\f(sin2α(cosα+1),cos2α(sinα+1))>0，选C．⑷下面四个图形中，哪一个面积大？A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC=eq\r(2)B．梯形：两条对角线的长度分别为eq\r(2)和eq\r(3)，夹角为75°C．圆：半径为1D．正方形：对角线长度为2.5解：A中三角形面积=eq\f(1,4)(3+eq\r(3))；B中梯形面积=eq\f(1,4)(3+eq\r(3))；C中圆面积=π，D中正方形面积=eq\f(1,2)·(eq\f(5,2))2=eq\f(25,2)．于是B=A<D<C．选C．⑸给出长方体ABCD—ABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？A．30对B．60对C．24对D．48对解：每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面．故共有5×12÷2=30对．选A．⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x

这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1

，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为A．－t2+t+eq\f(1,2)B．－2t2+2tC.1－eq\f(1,2)t2D.eq\f(1,2)(t－2)2解：⊿OAB的面积=1。直角边长为t的等腰直角三角形面积=eq\f(1,2)t2.直角边长为2－(1+t)=1－t的等腰直角三角形面积=eq\f(1,2)(1－t)2．f(t)=1－eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)(1－t)2=1－t2+t－eq\f(1,2)=eq\f(1,2)+t－t2(0≤t≤1

)．选A．⑺对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根解：画出y=x|x|及y=－px－q的图象：知A、B正确，C、D错误．选C、D．2．(本题15分)下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x35lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－c2a－ba+cx678914lgx1+a－b－c2(a+c)3－3a－3c4a－2b1－a+2b解：若lg3=2a－b，则lg9=4a－2b及lg0.27=6a－3b－2，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确．若lg8=3－3a－3c，则lg2=1－a－c，lg5=1－lg2=a＋c，lg6=lg3＋lg2=1＋a－b－c．由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确．于是lg1.5=lg3－lg2=(2a－b)－(1－a－c)=3a－b＋c－1与表中lg1.5=3a－b＋c矛盾．即lg1.5的数值错误．若lg2.8=1－2a＋2b－c，则lg14=lg2.8＋lg5=(1－2a＋2b－c)＋(a＋c)=1－a＋2b，lg0.021=lg3＋lg14－lg2－3=(2a－b)＋(1－a＋2b)－(1－a－c)－3=2a＋b＋c－3，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确．lg7=lg14－lg2=(1－a＋2b)－(1－a－c)=2b＋c，与表中lg7=2a＋2c矛盾；∴表中lg1.5与lg7是错误的，应为lg1.5=3a－b＋c－1，lg7=2b＋c．3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF<2．证明：作OM⊥CD，垂足为M，交EF于N，设ON=n，OM=m．则CM=DM=eq\r(1－m2)，EN=FN=eq\r(1－n2)，本题即证(eq\r(1－m2)＋m)(eq\r(1－n2)±n)+(eq\r(1－m2)－m)(eq\r(1－n2)∓n)<2．展开得，eq\r(1－m2)·eq\r(1－n2)±mn<1．移项，平方得，1－m2－n2＋m2n2<1∓2mn＋m2n2．m2＋n2>∓2mn．取“+”号时，M、N在点O同侧，此时m≠n，总之，命题成立．(当E、F交换位置时，且CD、EF在点O异侧时，可能有m=n．)又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM－OM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2．∴4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2(PC∙QE+PD∙QF)．等号当且仅当PC=QE，PD=QF时成立．但由已知，此二式不成立．故证．4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．解：已知即：每个甲用A2，B2，每个乙用B1，C1，每个丙用A2，C1．∴共有A产品2p＋2r＋2件；B产品2p＋q＋1件；C产品q＋r件．设组装m件甲，n件乙，k件丙，则用2m＋2k件A；用2m＋n件B；用n＋k件C．如全部用完，则有2p＋2r＋2=2m＋2k；p＋r＋1=m＋k．⑴2p＋q＋1=2m＋n；⑵q＋r=n＋k．⑶∴⑴＋⑵－⑶：3p＋2=3m．这是不可能的．故证．5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q