人教A版高二（下）数学必修第三册6.3.1二项式定理【教学设计】

人教A版高二（下）数学必修第三册6.3.1二项式定理教学设计课题6.3.1二项式定理课型新授课课时1课时学习目标1、通过发现多项式乘法的本质特征，建立多项式乘法与计数原理之间的联系，运用计数原理推导二项式系数的方法。发展逻辑推理、数学抽象等素养。2、通过对二项式定理及其结构特点研究过程，体会“从特殊到一般”、“类比归纳”等数学思想。发展逻辑推理、数学建模等素养。3、能用二项式定理解决一些简单的数学问题，发展数学运算等素养。学习重点利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题。学习难点使用组合数表达二项展开式中各项的系数学情分析问题是有效开展课堂教学，发展学生核心素养的抓手。本节课以十个问题为驱动，采用“问题链+任务单”的形式层层递进，以“情境—问题—活动—结果”为主线，诱发学生去主动探究学习。从而增强学生的观察、分析、归纳、概括等能力，在分析和解决问题的过程中发展数学核心素养。核心知识使用组合数表达二项展开式中各项的系数教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备环节一创设情境，引入课题上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn学生先独立思考，然后小组讨论交流，代表展示讨论交流的结果.问题1：我们知道，，．（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？（3）进一步地，你能写出的展开式吗？我们来分析的展开过程．根据多项式乘法法则，可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式．设计意图：通过问题串引入二项式定理，让学生体会知识的发展是建立在已有的知识基础上的.通过分析已有知识得出规律，进而发展构建新知识.环节二观察分析，感知概念下面我们再来分析一下形如的同类项的个数．当时，，这是由2个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个．当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个．当时，，这是由2个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个．由上述分析可以得到．环节三抽象概括，形成概念问题1：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？；．问题2：你能猜想出(a＋b)n展开式吗？从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想：（1）追问：你能说明这一猜想的正确性吗？学生思考、讨论、交流.教师找几名代表就这一猜想的正确性进行说明，教师给予适当的评价与指导.1．二项式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．(3)二项式系数：各项的系数____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)设计意图：通过得出猜想，并说明其正确性，让学生体会从特殊到一般的思想方法，体会归纳猜想在知识产生过程中的重要性.环节四辨析理解，深化概念下面我们对上述猜想的正确性予以说明．由于是个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项，其中每一项都是的形式．对于每个，对应的项是由个选，另外个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得以上述二项展开式．公式（1）叫做二项式定理（binomialtheorem），右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．在二项式定理中，若设，，则得到公式：．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+C(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.组织学生分析二项展开式的结构特点，教师要强调二项式系数是与二项式的次数有关的组合数.2.教师提出以下问题引导学生理解二项式定理:(1)二项展开式有多少项?提示:项.(2)各项的次数有什么规律?提示:各项的次数都等于的次数.(3)如果令,你能写出二项式的展开式吗?从函数的观点看这个展开式,它是一个什么函数?提示:,它是一个一元次多项式函数.学生通过观察二项式定理的表达式回答以上问题.3.对于二项展开式的通项,教师提出以下问题帮助学生理解:(1)如果把看作一个数列的通项公式,这个数列有多少项?提示:项.(2)字母代表的是什么?提示:只是一种符号,可以是任意的数或式子.学生思考、讨论解答以上问题,教师点评指导.设计意图:通过提出问题,引导学生思考,强化记忆,辨析概念,加深学生对二项式定理的理解与认识.环节五概念应用，巩固内化例1求的展开式．解：根据二项式定理，．1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.例2（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数．解：（1）的展开式的第4项是．因此，展开式第4项的系数是280．的展开式的第4项的二项式系数是．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．（2）的展开式的通项是．根据题意，得，．因此，的系数是．二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数Cnk(k∈{0,1,2,…,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)展开式中,第4项是T4=C