2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题19 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题1.9绝对

值贯穿有理数的经典考法【七大题型】

【人教版】

*40衣

【题型I利用绝对值性质化简或求值】............................................................1

【题型2根据绝对值的丰负性求值】..............................................................1

【题型3根据绝对值的定义判断正误】...........................................................2

【题型4根据绝对值的意义求取值范围】.........................................................2

【题型5绝对值中的分类讨论之白类型问题】......................................................2

|a|

【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】...................................................3

【题型7绝对值中的最值问题】..................................................................3

»酊声T三

【题型1利用绝对值性质化简或求值】

【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数a,b满足|〃|=久|曲+而=0,化简同+「2〃|-

|3/?-2al.

【变式1-11如图表示在数轴上四个点p,夕，入s位置关系，若=|p-51=12,\q

-----------■----------------------------->

-5-1=9,则.Pq，$

【变式1-2】已知a,b,c,d满足aV・IVbVOVcVIVd,且|a+l|=|"已

那么a+b+c+d=.

【变式1-31化简:

（1）\2x-I|；（2）\x-l|+k-3|；（3）\\x-l|-2|+k+l|.

【题型2根据绝对值的非负性求值】

【例2】（2022春•诸暨市月考）已知-3|+|2"-8|+|c-2|=0,求。+3b-c的值.

【变式2-1］（2022秋•梅州校级月考）若八2|+仅+3|=0,计算：

（1）x,y的值.

（2）求仅|+例的值.

【变式2-2］（2022秋•南江县校级期中）已知|-x+7|与-2.y-1|互为相反数，求的

值.

【变式2-3］（2022•深水县期末）已知x为实数,且|3Ll|+|4x-l|+|5x-1|+…+|17x-l|的

值是一个确定的常数，则这个常数是（）

A.5B.10C.15D.75

【题型3根据绝对值的定义判断正误】

【例3】（2022春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（）

A.若a于b,那么B.若那么

C.若间＞g|,那么D.若/＞从那么a＞Z?

【变式3-1]（2022秋♦全椒县期中）已知白+白=（）,有以下结论：

|a||b|

①〃，/?一定互为相反数；②abVO；③a+6V0；④高=一1

其中正确的是.（把所有正确结论的序号都填上）

【变式3-2]（2022秋•和平区期中）设y=|x-"+W+1I，则下面四个结论中正确的是（）

A.），没有最小值

B.只有一个x使y取最小值

C.有限个x（不止一个）），取最小值

D.有无穷多个x使y取最小值

【变式3-3]（2022秋♦青山区期中）若“，力为有理数，下列判断：（1）若同=4则一定

有a=bx（2）若间＞|可，则一定有a＞b；（3）若同＞匕，则一定有⑷＞依；（4）若⑷

=b,则一定有/=（-h）2.其中正确的是（）

A.（I）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（4）

【题型4根据绝对值的意义求取值范围】

【例4】（2022秋•海淀区校级期中）若不等式卜-2|+|工+3|+卜-1|+|"1|为对一切数1都成

立，则〃的取值范围是.

【变式4-1]（2021秋•长春期中）如果|-2a|=-2m则〃的取值范围是（）

A.a＞0B.心0C.〃W0D.«＜0

【变式4-2]（2022•吉首市校级月考）若/〃是有理数，则依|+〃?的值（）

A.不可能是正数

B.一定是正数

C.不可能是负数

D.可能是正数，也可能是负数

【变式4-3]（2022秋・K沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用V或＞或=连接）

®|-2|+|3|I-2+3|；

②I-2H-3I|-2-3|；

③I-2|+|0||-2+0|；

（2）通过以上的特殊例子,请你分析、补充、归纳，当。、b为有理数时,同+|例与|a+b|

的大小关系；

（3）根据上述结论，求当国+2015=卜-2015|时，x的取值范围.

【题型5绝对值中的分类讨论之前型问题】

【例5】（2022秋•江阳区校级期中）有理数〃、在数轴上的对应点位置如图所示

（1）用“V”连接0、・〃、-b.-1

（2）化简：同・2|。+2・1|一凯）・〃・1|

（3）若c・（/+1）<0,且c+Zf>0,求曰+曰一亘等的值.

c+1c-1a-b+c

ab

-4I--------------1-----4-------1--------->

-101

【变式5-1]（2022秋•顺平县期中）设4、仇c、d为有理数，且当粤=1,则回+粤+回+粤

abedabed

的值为，

【变式5-2]（2022秋•鄂州校级月考）若OVaVl,・2V0V・1,则R—答+安的

a-lb+2a+h

值是.

【变式5-3]（2022秋•西城区校级期中）有理数均不为0,且a+A+c=O.设x=|粤+

1b+c

也■+粤|，试求代数式X,9+99.V+2000之值.

【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】

【例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是〃、从求这两点之间的距离；

（2）是否存在有理数》，使|x+l|+|x-3|=x?

（3）是否存在整数x,使|x-4|+|x-3|+|x+3|+k+4|=14?如果存在，求出所有的整数x；

如果不存在，说明理由.

【变式6-1]（2022春•宝山区校级月考）已知-1|+|〃-4|=3,则a的取值范围

为.

【变式6・2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d,若|a

-b\+\b-c\=c-a,设d在〃、c之间，则|a-,/|+|d-c|+|c|T〃-d=（）

A.（1-bB.c-bC.d-cD.d-a

【变式6-3]（2022秋•顺平县期中）已知mb,c,d都是整数,^\a+b\+\b+c\+\c+d\^\d+a\

=2,则\a+d\=.

【题型7绝对值中的最值问题】

【例7】（2022秋•鼓楼区校级月考）已知（|x+l|+|x-2|）（ly-21+I^H）（|z-3|+|z+l|）=

36,求2016r+2（）17），+2018z的最大值和最小值

【变式7-1】当|_r-2|+|x-3|的值最小时，卜-2|+卜-3|-|.11|的值最大是,最小是.

【变式7-2]（2022秋♦海安市月考）阅读下列有关材料并解决有关问题.

x（x>0）

0（x=0）,现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式.例

!-x（x<0）

13b・2a|.

【分析】分清“，-2h,38-2a三个数的正负性是解决本题的关键.已知实数小〃满足

\a\=bt\ab\+ab=Ot可得出620,

\ab\=-ab,则aWO,b=-a.所以-2。<0,3b・240,从而得出同+|-20-|3。-23

的值.

【解答】解：・・・同=6同20,

，心0,

又•・:曲+帅=0,

\ab\=-ab,

•・・|RR20,

・•・-ab》O,

即“WO,

・・・。与〃互为相反数，apb=-a.

:.-2Z><0,3〃・2〃20，

A|a|+|-2M73b-2al=-a+2b-C3b-2a)=。-〃=-2力或2a.

【变式1-1］如图表示在数轴上四个点p,%r,s位置关系,若|p-r|=10,|p-s|=12,\q

・s|=9,则k/・rl=7.

-----•a•▲》

Pqrs

【分析】根据绝对值的几何意义，将Ip-”=1(),|〃-1=⑵14-S|=9转化为两点间的距

离，进而可得4、r两点间的距离，即可得答案.

【解答】解：根据绝对值的几何意义,由|〃-r|=10,|p-5|=12,0-s|=9可得

〃、/■两点间的距离为10,〃、s两点间的距离为12,«、$两点间的距离为9,

贝IJ9、/•两点间的距离为10+9-12=7,

即07=7,

故答案为7.

【变式I2】已知a,〃，c,d满足aV-1且=|1-c\=\\-d\,

那么a+b+c+d=0.

【分析】根据已知不等式确定出绝对值里边式子的正负，已知等式利用绝对值的代数意

义化简，整理求出。+〃与c+d的值，代入原式计算即可得到结果.

【解答】解：・・ZV-IVbVOVcVIVd,

,a+lVO,b+\>0,1-c>0,1-d<0,

V|«+l|=|/?+l|,|1・c|=|l・4,

-a-1=b+\,I-c=d-I,

整理得：a+b=-2,c+d=2,

则a+b+c+d=().

故答案为：0

【变式1-3】化简:

(1)\2x-1|；(2)|x-l|+|x-3|；(3)\\x-l|-2|+h+l|.

【分析】(I)就2x720,2x-I<0两种情形去掉绝对值符号；

(2)将零点1,3在同一数轴上表示出来，就x<l,lWx<3,xN3三种情况进行讨论;

(3)由零点共有・1、1、3三点，就x23,1WXV3,・1WXV1,xV・1四种情况进行

讨论.

【解答】解：(I)①当原式=2x-I；

②当xvj原式=-(2x-l)=1-2x；

(2)①当x<1,原式=-(x-I)-(x-3)=4-2x；

②当1«3,原式=(x-1)-(x-3)=2；

③当x23,原式=(x-1)+(x-3)=2A-4；

(3)①x23,原式=|1-1-2|+_r+l=x-3+x+l=2r-2；

②1WXV3,原式=|x-I-2|+x+l=3-x+x+l=4；

③・1WXV1，原式=|l・x・2|+x+l=|・(x+1)\+x+l=x+\+x+\=2x+2,

@x<-1,原式=|1-x-2|-(x+1)=|-(.r+1)|-x-1=-(x+1)-x-\=-2v-2.

【题型2根据绝对值的非负性求值】

【例2】(2022春•诸暨市月考)已知|a-3|+|2"-8|+|c-2|=0,求a+3Z?-c的值.

【分析】根据非负数的性质列方程求出。、/八c的值，然后代入代数式进行计算即可得

解.

【解答】解：由题意得，。-3=0,2"-8=0,c-2=0,

解得。=3,〃=,c=2,

所以，a+3b-c,

=3+3x--2»

3

=3+4-2,

=7-2,

=5.

【变式2-1](2022秋•梅州校级月考)若|x-2|+|y+3|=0,计算：

(1)x,y的值.

(2)求R+M的值.

【分析】(1)根据非负数的性质列式计算即可得解・；

（2）根据绝对值的性质进行计算即可得解.

【解答】解：（1）由题意得，.[2=0,y+3=0,

解得x=2,y=-3；

（2）M+M=|2|+|-31=2+3=5.

【变式2-2]（2022秋•南江县校级期中）已知|-x+7|与|-2y-1|互为相反数，求2y-如的

值.

【分析】根据题意，I-x+712O,\-2y-1|>0,又|一声7|与|-2y-1|互为相反数，故|-x+7|

=0,|-2y-1|=0,即可求出x,y的值，代入即可求出答案.

【解答】解：根据题意：|・X+7|20,|-2y-1|^0,又|・x+7|与1|互为相反数，故

|-^+7|=0,\-2y-1|=0,

解得：x=7,v=

故2y-3%=2X（--）--x7=-3.

z727

【变式2-3]（2022•洙水县期末）已知x为实数,JL|3x-l|+|4x-l|+|5.r-l|+-+|17x-1|W

值是一个确定的常数，则这个常数是（）

A.5B.10C.15D.75

【分析】将|3x・1|+|4厂l|+|5x・l|+・・・+|17x-1|按照取值范围进行讨论.

【解答】解：⑴当时，原式=150x-15,不是常数;

（2）当:<¥*时，原式=144x73,不是常数;

（3）当;时，原式=136.11,不是常数;

（4）当衬，原式=126.9,不是常数；

（5）当之《工：时，原式=114]-7,不是常数；

（6）当:扣t，原式=100、-5,不是常数；

（7）当;4工：时，原式=844-3,不是常数；

98

（8）当卷〈注：时，原式=66x・1,不是常数；

（9）当白〈在2时，原式=46/1,不是常数；

（10）当登《三专时，原式=24x+3,不是常数；

（11）当专口工专时，原式=5,是常数；

（12）当卷4W专时，原式=-26x+7,不是常数;

（13）当2443时，原式=-54.9,不是常数;

1514

（14）当卷《三卷时，原式=-84x+ll,不是常数;

（15）当《〈E卷时，原式=716x+13,不是常数:

（16）当xW2时，原式=-150.1+15,不是常数.

故选：A.

【题型3根据绝对值的定义判断正误】

【例3】（2022春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（）

A.若aHb,那么42Hb2B.若〃>|可，那么

C.若同>|。|,那么。D.若〃那么匕

【分析】利于平方的定义、不等式的定义、绝对值的求法等知识分别判断后即可确定正

确的选项.

【解答】解：A、若a=b,那么〃、。互为相反数时，序"从错误，不符合题意；

8、如果〃>|加，那么/>〃，正确，符合题意：

C、\a\>\b\f那么或〃Vb,错误,不符合题意；

。、如果从那么或故错误，不符合题意；

故选：B.

【变式3-1］（2022秋•全椒县期中）已知卷+9=0,有以下结论：

同回

①”，。一定互为相反数；②时<0；③a+Z?VO；④端=一1

其中正确的是②@.（把所有正确结论的序号都填上）

【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值.

【解答】解：由言+3=（）,得。与力异号，有以下结论：

|a|IM

①得aVO,b>0,或a>0,b<0,

a，b异号,a,〃不一定互为相反数，故①错误；

②"VO,故②正确；

③不一定小于0,故③错误；

④=^ab=一上故④正确，

故答案为：②④.

【变式3-2］（2022秋♦和平区期中）设）=|A-I叶+1|,则下面四个结论中正确的是（）

A.），没有最小值

B.只有一个x使），取最小值

C.有限个x（不止一人）,，取最小值

D.有无穷多个x使），取最小值

【分析】根据非负数佗性质，分别讨论x的取值范围，再判断），的最值问题.

【解答】解：方法一：由题意得：当xV-1时，y=-x+1-1-x=-2r；

当・iWxWl时，y=・x+l+l+x=2；

当x>1时，y=x-1+1+X=2A-；

故由上得当-IWXWI时，y有最小值为2；

故选D.

方法二：由题意，y表示数轴上一点弟到-1,1的距离和，这个距离和的最小值为2,

此时x的范围为-

故选：D.

【变式3・3】(2022秋•青山区期中)若a,b为有理数，下列判断：(1)若同=儿则一定

有a=b；(2)若⑷〉依，则一定有a>b；(3)若有>b,则一定有间>|纯(4)若有

=b,则一定有“2=(-/?)2.其中正确的是()

A.(I)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(4)

【分析】此类题目可将符合条件的有理数代入逐一验证求解.

【解答】解：(1)若|-2|=2,则-2K2,错误；

(2)若则-2V1,错误；

(3)若川>・2,则|1|V|-2|,错误;

(4)若⑷=b,则一定有。2=(-6)2,正确.

故选：D.

【题型4根据绝对值的意义求取值范围】

【例4】(2022秋•海淀区校级期中)若不等式|x-2|+|.r+3|+k-1|+|"1|2。对一切数x都成

立,则a的取值范围是a47.

【分析】数形结合.绝对值的几何意义：Li-y|表示数轴上两点x,)，之间的距离.

【解答】解：数形结合.绝对值的几何意义：仅・丁|表示数轴上两点x,)，之间的距离.

画数轴易知,|x-2|+|x-3Hx・1I+W+1I表示工至1-3,-1,1,2这四个点的距离之和.

令)，=,|x-2|+k+3|+k-H+k+H，x=-3时,y=ll,

x=-1时，y=7,

x=1时，y=7,

x=2时，y=9,

可以观察知：当-IWkWI时，由于四点分列在x两边，恒有y=7,

当-3WxV-1时，7VyWU,

当xV-3时，y>11,

当1WXV2时，7WyV9,

当x22时，了29,

综合以上：y27所以：

即田-2|+|x+3|+|x-l|+Lv+l|N7对一切实数x恒成立.

从而。的取值范围为“W7.

【变式4-1］（2021秋♦长春期中）如果|-2a|=-2a,则。的取值范围是（）

A.a>0B.“20C.aWOD.a<0

【分析】观察发现I・2a|=-2m绝对值里面的式子与等号后面的式子相同，可知-2a

的绝对值等于它本身，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0,

也就是等于它本身，可得-2〃20,解不等式可得答案.

【解答】解：・・3-2a|=-2a,

・•・・2心0,

故选：C.

【变式4-2］（2022•吉首市校级月考）若〃?是有理数，则依|+5的值（）

A.不可能是正数

B.一定是正数

C.不可能是负数

D.可能是正数，也可能是负数

【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、0

的绝对值是0,可根据〃，是正数、负数和。三种情况讨论.

【解答】解：①当〃?>0时,原式=〃?+m=2机>0；

②当m=0时，原式=0+0=0；

③当ni<0时，原式=-〃?+〃?=（）.

・・・向+加的值大于等于于

即为非负数，

故选：C.

【变式4-3］（2022秋•长沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用（或>或=连接）

①I・2|+|3|>|-2+3|；

②I-2|+|-3|=|-2-3|；

③-21+101=|-2+0|；

（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当。、。为有理数时，|〃|+以与|a+〃|

的大小关系；

（3）根据上述结论，求当|x|+2015=|x-2015|时,x的取值范围.

【分析】（1）依据绝对值的性质计算即可；

（2）通过计算找出其中的规律即可得出答案；

（3）依据结论求解即可.

【解答】解：（1）①|-2|+|3|=2+3=5,|-2+3|=1,故|-2|+|3|>|-2+3|；

②12|+|-31=2+3=5,|-2-3|=|-5|=5,故卜2|+|-3|=|-2-3|；

③|-2|+|0|=2,|-2+0|=2,故|-2|+|0|=|-2+0|.

故答案为：①〉；②=;③=.

（2）当m。异号时，间+网>以+。|,

当a,b同号时（包括零），\a\+\b\=\a+b\,

\a\+\b\^\a+b\；

（3）V|.v|+2O15=|x-20151，

/.W+|-2015|=|x-2015|.

由（2）可知:x与-2015同号，

・・・xW0.

【题型5绝对值中的分类讨论之三类型问题】

1«1

【例5】（2022秋•江阳区校级期中）有理数〃、〃在数轴上的对应点位置如图所示

（1）用“V”连接0、・〃、・b、-1

（2）化简：\a\-2\a+b-\\-^b-a-1|

（3）若「（尔+1）<0,且c+5>0,求曰+曰一处竽的值.

c+1c-la-b+c

ab

-4I-------------1-----4-------1-------->

-101

【分析】（1）直接利用数轴分析得出答案；

（2）结合数轴得出各部分的符号，进而化简即可；

（3）结合数轴得出各部分的符号，进而化简即可.

【解答】解：（1）由数轴可得：

-1<-Z?<0<-4;

(2)原式=-a+2(a-b-1)Cb-a-\)

4,5,5

=-a+-b-；

333

(3)Cc・(〃+l)VO,且c+方>0,

Ac<0,1>Z?>O,

原式=*+-(c-l)-ia-b+c)

c-la-b+c

=1-1+1

=1.

【变式5-1］（2022秋•顺平县期中）设〃、6、c、d为有理数，且明=1,则回+号+回+浮

abedabed

的值为-4,0,4.

【分析】根据已知条件喏=1，得出Hcd>0,根据两数之积是正数时，两数一定符号

abed

相同，分别分析即可得出答案.

【解答】解：由喏=1，知岫4>0,

于是a,b,c,d中4个全为正数或两个正数两个负数或4个全为负数.

当a,b,c,d全为正数时，原式=l+l+l+l=4；

当。，b,c,d中有两个正数两个负数时，原式=0；

当a,b,c,d全为负数时，原式=-1-1-I-1=-4.

故答案为：-4,0,4.

【变式5-2](2022秋•鄂州校级月考)若-2<人<-],则七斗一瞥+曾的

a-lb+2a+b

值是—3.

【分析】可以用特殊值法进行计算，令代入即可得出答案.

【解答】解：方法1：令〃=去b=-^

伸入|aT||b+2||a+b|

代入百一市+百

得：0一3+31=一1-1-1=-3.

a-lb+2a+b

方法2：VO<«<1,-2<b<-1,

：.a-l<0,8+2>0,a+b<0,

.|a-l|\b+2\|a+b|

••a-lb+2Ia+D9

=--a---l----b-+-2---a-+-b,

a-lb+2a+b

=-1-1-1,

=_3.

故答案为：-3.

【变式5-3](2022秋•西城区校级期中)有理数均不为0,且a+Hc=O.设x=|粤+

1b+c

照+京|,试求代数式X,9+99.V+2000之值.

【分析】根据题意可得。，力，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负与。=・(b+c),

b=-(c+a),c=-(a+b),则可得将，电，旦的值为两个+1,一个7或两个

-1，一个+1，即可求得X的值，代入即可求得答案.

【解答】解：由a,b,c均不为0,知方+c,c+a,〃+人均不为0,

又“：a,仇c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，

.)。=-(b+c),b=-(c+a),c=~(a+b'),

rqriCl4b«C4

即kf而=-1，

.・.曾，坨L,粤中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个+1,一个・1或两

b+cc+aa+b

个-1,一个+1,

.••丹+里+与=±1「=|鲁+也+与|=1,

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

:.X19+99X+2（X）0=1+99+20（X）=2100.

【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】

【例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是。、〃，求这两点之间的距离；

（2）是否存在有理数x,使|x+l|+k-3|=x?

（3）是否存在整数x,使k-4|+|x-3|+W+3|+|x+4|=14?如果存在，求出所有的整数工；

如果不存在，说明理由.

【分析】（I）数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数或|。-例；

（2）利用绝对值的几何意义进行化简；

⑶利用绝对值的几何意义进行化简，求得|x-4|+|x-3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，

再进行判断.

【解答】解:（I）\a-b\\

（2）x的取值可能是xV-I,-1WXW3,x>3,

化简得-2x+2,4,2.v-2,

则不存在Lr+l|+|x-3|=x的情况；

（3）X的取值可能是工<-4,-4&V-3,-3«,3<rW4,Q4,

化简得-4.v,-Zv+8,14,2x+8,4x,

故存在整数-使苗・4|+|x-3|+|r+3|+|x+4|=14,

即-3«,x=-3,-2,-1,0,1,2,3.

【变式6-1]（2022春♦宝山区校级月考）已知|4-l|+|a-4|=3,则〃的取值范围为K

【分析】分情况讨论：①〃-420；②。-120,且a-4W0.

【解答】解：①〃-420,解得。24,化简原式=2.-5,不合题意，舍去.

②。・1廿0,且O-4W0,解得1W〃A4,化简原式=3,符合题意.

所以1W〃W4.

【变式6-2]（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数〃、b、c、d,若|a

-b\+\b-c\=c-a,设"在a、c•之间，贝山。-d|+|d-d+|c-力|-|a・d=（）

A.d-hB.c-bC.d-cD.d-a

【分析】由-c|=c-又d在a、c之间，故有a〈d〈b<c或a<b

<d<c两种情况，且|a・M+|d-c|--c|=0.分别讨论可得|a・d\+\d-c\+\c-b\-\a-c\

=|c-b\=c-b.

【解答】解：由|。•b\^\h-c\=c-a可得aVbVc,

又因为4在〃、c之间，

故有a<d<b<c或a<b<d<c两种情况，且|a-d\+\(i-c|-|fl-c|=0.

当a<d<b<c时，I”-M+|d-c|+|c-b\-\a-c\=d-dc-d+c-b+a-c=c-b,

当a<h<d<c时，\a-d\+\d-c|+|c-b\-\a-c\=d--d+c-b+a-c=c-hf

故选：B.

【变式6-3](2022秋•顺平县期中)已知a,b,c,1都是整数，且|a+加+|0+d+|c+M+|d+a|

=2,则|a+dl=1或0.

【分析】根据题意易知|。+方I、I8+c|、|c+M、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为

0，1个为2；②2个为0,2个为1,继而讨论|a+”的值.

【解答】解：由题意得:|。+可、|加小k+小|d+a|是整数,所以有两种可能:

①3个为()，1个为2,

②2个为0,2个为1,

所以|。+同只可能取0、1、2,若为2,

则|a+〃|=族+d=|c+M=。，

不难得出a=-d,所以|a+d|=0,与假设|〃+M=2矛盾.

所以|a+@只可能取0、1,a=0,b=0,c=-\,d=l时|。+4=1；

a=-1,b=0,c=0,d=1时|a+M=0.

故答案为：I或0.

【题型7绝对值中的最值问题】

【例7】(2022秋•鼓楼区校级月考)已知(仅+1|+仅・2|)(|y-2|+|y+l|)(|z-3|+|z+l|)=

36,求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值

【分析】先讨论：|x+l|+W-2|、|y-2|+Lv+H>|z-3|+|z+l|的最小值，根据它们的积是36,

分别得到|x44|+|x-2|、|y-2|+|y+lh|z-3|+|z+l|的值，再讨论x、y、z的最大最小值，代

入计算出代数式的最大值和最小值.

【解答】解：・・・|x+l|+k-2|23,

(|y-2|+|.y+l|)23,

(|z-3|+|z+l|)24,

又又(k+l|+|x-2|)(|y-2|+|y+l|)(|z-3|+|z+l|)=36,

：.\x+\\+\x-2\=3,

»-2|+|yH|=3，

|z-3|+|z+l|=4,

当|x+l|+|x-2|=3时，]最小取・L最大取2,

当|y-2|+|)，+l|=3时，y最小取7,最大取2,

当|z-3|+|z+l|=4时，z最小取-1,最大取3

所以20l6x+2017y+20l8z的最大值为：2016X2+2017X2+2018X3

=14120,

2016x+2017y+2018z的最小值为：2016X(-1)+2017X(-1)+2018X(-1)

=-6051

【变式7-1】当|x-2|+W-3|的值最小时，|「2|+吐3卜卜7|的值最大是0，最小是-

【分析】根据当|x-2|+k-3|的值最小时，即可求得'的范围是2WxW3,且最小值是1,

化简心2|+-3|-广1|,即可把x分成10Y2和2WxW3两种情况，在每个范围内分

别取一个值，代入即可求得.

【解答】解：当|「2|+卜-3|的值最小时，24W3,

又因为I不在2和3之间，所以可令x=2,

贝！]忱-2|+比・3|-1|=0,

令x=3,则|x-2|+|x-3|-|.v-1|=-1,

所以，所求最大值为0,最小值为-1.

【变式7-2](2022秋•海安市月考)阅读下列有关材料并解决有关问题.

x(x>0)

0(x=0),现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式.例

-x(x<0)

如：化简代数式1|"1|+优・2|时.可令x+1=O和x-2=0,分别求得丫=・1和T=2(称・

I,2分别为田+1|与-2|的零点值).在有理数范围内，零点值x=-I和x=2可将全体

有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况“V-1；-1«2；62.从而在化简W+11+lx

・2|时，可分以下三种情况：①当xV-1时，原式=・(x+l)-(x-2)=-2A+1；②

当-1WXV2时，原式=(x+l)-(x-2)=3；③当x22时，原式=(x+l)+(A-2)

=2r-I.通过以上阅读，请你解决问题：

(1)|工-3|+|x+4|的零点值是x=3和x=-4；

(2)化简代数式L「3HA•十4|；

(3)解方程Q3|+|x+4|=9；

(4)田-3|+k+4|+|%-2|+田-2000|的最小值为2005,此时x的取值范围为2Wx

W3.

【分析】(1)根据“零点值”的意义进行计算即可；

(2)根据题目中提供的方法分三种情况分别进行计算即可；

(3)分三种情况分别对|."3|+|x+4|进行化简进而求出相应方程的解；

(4)根据代数式|x-3|+|x+4|+|x-2|+|x-2000|的意义,得出当2«时，该代数式的值

最小，再根据两点距离的计算方法进行计算即可.

【解答】解:(I)令x-3=0和x+4=0,

求得：x=3和x=-4,

故答案为：・4和3；

(2)①当x<-4时，原式=-(x-3)-(.v+4)=-2x-I；

②当-4Wx<3时，原式=-(x-3)+(A+4)=7；

③当x23时，原式=(x-3)+(x+4)=2r+l；

―2x—1(%V-4)

7(-4<x<3)，

(2x4-l(x>3)

(3)分三种情况：

①当-4时，-2x7=9,

解得：A--5；

②当-4WxV3时，7=9,不成立；

③当x23时，2/1=9,

解得：x=4.

综上所述，3=-5或/=4.

(4)代数式卜-3|+|A+4|HV-2|+|X-2000|表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数-4,

2,3,2000的距离之和,

由数轴表示数的意义可知.当时,该代数式的值最小,最小值为(2+4)+(3

-2)+(2000-2)=2005,

故答案为：2005,2WkW3.

【变式7-3](2022秋•泉州期末)四个数分别是a,b,c,d,满足|a-勿+|c-川=加・切，

(〃23且为正整数，a<b<c<d).

⑴若〃=3.

①当4-〃=6时，求c-0的值；

②对于给定的有理数e(0<e<c),满足g-百=-J],请用含力，c的代数式表示e；

(2)若e="-c|,由加-M，且|e・力>点|a・切,试求〃的最大值.

【分析】(1)①由已知可得》-a+d-c=，Cd-a),又由d-a=6,得到c-Z?=4；

②由已知可得e・b=[(d・a),因为d-a=^Cc-b),则有e-〃=gxg(c-Z?)=1(c

-b),可求e=-c+-b：

33

(2)由已知可得c-h=(1——)(d・a),则有白(1——)(d-a)|—工|a-训>二|4-

n2n210

小得到2〃V10,再有〃的取值范围即可求解.

【解答】解：(1)①'.・〃=3,

/.\a-b\+\c-cl\=-4，

a<b<c<d,

]

:.b-a+d-c=-(d-a),

3

c-b=^(d-a),

•：d-a=6,

:.c-》=4：

®\*b<e<c>\h-e\=^a-cl\t

e-b=-(d-a),

9

Vd-a=-(,c-b),

2

^.e-b=-x-(.c-b)=-(c-Z?),

923

・•・，=-+抑

(2)V\a-b\+\c-M=-t/|»a<b<c<d,

:.c-b=(I--n)(.d-a),

'：e='-c|,f=扣-M，且|e-力>施-M，

・••驰-d-切-训>»-M，

・••山(1-；)(d“)|一割■训>3|a・d|,

二白・$>和・4，

/.2n<10,

••tl59

•••“23且为正整数，

n的最大值是4.

专题1.10巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大

题型】

【人教版】

【题型1归类法】..............................................................................18

【题型2凑整法】..............................................................................18

【题型3逆向法】..............................................................................18

【题型4拆项法】..............................................................................19

【题型5组合法】..............................................................................19

【题型6裂项相消法】.........................................................................20

【题型7倒数求值法】.........................................................................21

。妙亭三

【知识点1归类法】

运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数（如正数或负数）归类计算，如整数与整数结合、

如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.

【题型1归类法】

【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（7》-5-（-；）.

44

【变式1-1]（2022春•徐汇区校级期中）计算：一2；+29+6；-3"

31243

【变式1-2]（2022秋•青浦区期中）计算：2；+0.3-1；+5.

【变式1-3]（2022秋♦和平区校级月考）计算：

（1）-（-3今+（一4+（-2今+（+1.25）一哈

（2）・.+（-畛+17：+（-3》.

【知识点2凑整法】

将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.

【题型2凑整法】

【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43-216.57-5|.

【变式2-1]（2022秋•济南期末）计算：（-3.2）+125+（・16.8）-（-2.5）.

【变式2・2】（2022秋•上蔡县月考）计算：

⑴2|+2升（-5]-（-5|）•

（2）3.75+（-5.18）-（-2.25）+5.18.

【变式2-3]（2022秋•石景山区校级期中）计算：（-12.7）-（.-51）-873+39

【知识点3逆向法】

主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而

使得计算变得更加简单.

【题型3逆向法】

【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算

,£X（-92）+（-^）X341+|X23|.

【变式3-1](2022秋•兰山区月考)25x：-25x：+25X(--)

424

【变式3-2](2022秋•红谷滩区校级期中)用简便方法计算：

(1)(-9)X31^--(-8)X(-31^-)-(-16)X31?；

292929

(2)99-x(-36).

72

【变式3-3](2022秋吆[谷滩区校级期中)简便计算

(-48)X0.I25+48x^+(-48)

【知识点4拆项法】

将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分

配率从而使得计算变得简洁.

【题型4拆项法】

【例4】(2022秋•安陆市期中)阅读下面的计算过程，体会“拆项法”

计算：Y+(-9$+17：+(-3》.

解：原式=[(-5)十(-9)十17十(-3)]十[(-1)十(~1)+：十(一初=0+(-1^)=(T；)

启发应用

用上面的方法完成下列计算：(-35++

【变式4-1](2022秋♦铁西区期末)计算：1.5-(-4：)+3.75-(+81.

【变式4-2](2022秋♦浦东新区期中)计算：5；-2；+：.

364

【变式4-3](2022秋•凉山州期末)：(一2021}+(-2022》+4044+(-1

【知识点5组合法】

找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.

【题型5组合法】

【例5】(2022秋•南开区期中)计算：-1+2-3+4-5+6+…-97+98-99=.

【变式5-1](2022秋•亵汾县期中)计算：1+2-3-4+5+6-7-8+……+2013+2014-2015

-2016

【变式5-2](2022秋•工业园区月考)计算1+(-2)+3+(-4)+……+97+(-98)+99+

(-100)的值为()

A.50B.-50C.101D.-101

【变式5-3](2022秋•工业园区月考)计算：

(1)1-3+5-7+9-11+―+97-99；

(2)|------|+|-----|~|------|.

'