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文档简介
2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.3相似三角形的
判定【十大题型】
【人教版】
【题型I相似三角形的判定条件】............................................................................2
【题型2格点中的相似三角形】...............................................................................3
【题型3相似三角形的证明】.................................................................................4
【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】......................................................5
【题型5相似三角形在坐标系中的运用】.....................................................................6
【题型6确定相似三角形的对数】............................................................................7
【题型7相似三角形中的多结论问题】........................................................................8
【题型8相似三角形与动点的综合】........................................................................10
【题型9相似与最值】........................................................................................11
【题型10旋转型相似】........................................................................................12
»会净一五三
【知识点1相似三角形的判定】
判定定理/\/\
/\/\
Jr---------------r痣-----
简称为两角对应相等,两个三角形相
判定定理1:
似.
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
如图,如果NA=NA\=则
两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
△ABCs/XAbC.
简称为三边对应成比例,两个三角形相
判定定理2:似.
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么
田ABBCAC
如图,如41r果一;二一^二一^,贝!|
这两个三角形相似.48'B'CA'C
△ABCS/XAB'C.
简称为两边对应成比例且夹角相等,两
判定定理3:
ARAC
如果两个三角形的两组对应边成比例,并且个三角形相似.如图,如果黑=3,
ABAC
对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
ZA=ZA',则△ABCs"0。,.
【题型1相似三角形的判定条件】
【例1】(2022秋•汉寿县期末)如图,若点。为△A8C的边43上一点(A8>AC),下列条件不能判定
△ABCSAACP的是()
A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.
ABACCBAB
【变式1-1](2022春•泰安期末)如图,△"(7,A4=12,4c=15,D为AB上一点、,且4。=8,在AC
上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与A8c相似,则AE等于()
A.湃吟B.10或获
C.号或10D.以上答案都不对
【变式1-2](2022秋•合肥期末)如图,CD是RtA43c斜边A3上的中线,过点C作CE_LCO交46的
延长线于点E,添加下列条件仍不能判断aCEB与△CAO相似的是()
A.NC8A=2N4B.点B是。E狗中点
C.CE*CD=CA*CBD.—CA=—AD
【变式1-3](2022秋•通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31
页遇到这样一道题,如图1,在△A8C中,尸是边43上的一点,连接。尸,要使△4CPs2\A3C,还需
要补充的一个条件是,或.
请回答:
(1)王华补充的条件是,或
【题型2格点中的相似三角形】
【例2】(2022春•文登区期末)如图,在正方形网格中有5个格点三角形,分别是:①△4BC,②△4CO,
③△AQE,@AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是:)
CDE
HG
A.①③B.0@C.②④D.(D®④
【变式2-1](2022秋•雄县期末)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分〉.与△
44c相似的是()
__—..A
BC
C,朗D,2
A.ZB.LCSJ
【变式2-2](2022秋•青田县期末)如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上,下列两个三角形中相
似的是()
A.①④B.①@C.②③D.®®
【变式2-3](2022秋•法库县期末)如图,在5X6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点,与
E,G两点构成的三角形中和AEfG相似的是()
FG
A.点AB.点BC.点CD.点D
【题型3相似三角形的证明】
【例3】(2022•淳安县一模)如图,在△A4C中,。、石分别是边AC、的中点,”是6c延长线上一点,
NF=NB.
(1)若AB=10,求尸。的长;
(2)若AC=3C,求证:ACDES^DFE.
【变式3-1](2022秋•临安区期末)如图,点8、。、E在一条直线上,BE交AC于点F,篝二亲且N
BAD=ZCAE,
(1)求证:△ABCS^AOE;
(2)求证:AAEF^ABCF.
【变式3-2](2022秋•下城区期末)已知:如图,。为△A4C内一点,A,8,C分别是04,08,OC±
的点,且。H:AH=O8:88=1:2,OC:CC=2:I,且08=6.
(1)求证:
(2)以0,8,C为顶点的三角形是否可能与△O8C相似?如果可能,求。C的长;如果不可能,请说
明理由.
【变式3-3](2022春•仪征市校级期末)如图,△ABC、是两个全等的等腰直角三角形,ZBAC=
NPDE=90°.
(1)若将的顶点户放在8。上(如图I),PD、PE分别与AC、4/3相交于点尸、G.求证:△
PBGS^FCP;
(2)若使△£>“的顶点。与顶点月重合(如图2),PD、PE与BC相交于点F、G.试问△236与4
FTP还相似吗?为什么?
【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
[ft4](2022秋•上城区期末)四边形A8C。中,点E在边4B上,连接OE,CE.
(1)若NA=N8=NOEC=5。。,找出图中的相似三角形,并说明理由;
(2)若四边形A8CO为矩形,AB=5,8c=2,月.图中的三个三角形都相似,求AE的长.
(3)若NA=N8=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似,请判断AE和BE的数量关系并说明理
由.
【变式4-1](2022秋•德清县期末)如图,将矩形A8CQ沿CM折叠,使点。落在A8边上的点E处,若
△AEM与4ECM相似,则A8和BC的数量关系为.
【变式4-2](2022秋•淮安期末)⑴填空:如图1,在正△A8C中,M、N分别在BC、AC上,且3M
=CN,连AM、8N交于点。,则NAON=°
(2)填空:如图2,在正方形PQRS中,已知点M、N分别在边QR、RS上,且QM=RN,连接PN、
SM相交于点O,则°.
(3)如图3,在等腰梯形人5C£>中,已知人4〃CO,BC=CD,NABC=60°.以此为部分条件,构造
一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.
(4)在(1)的条件下,把直线AM平移到图4的直线£0〃位置,
①写出所有与AB。尸相似的三角形:
②若点N是AC中点,(其它条件不变)试探索线段E。与F0的数量关系,并说明理由.
(1)求证:LABEs4ECD;
(2)若A"=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AEQS^EC。时,请写出线段A。、AB.C。之间数量关系,并说明理由.
【题型5相似三角形在坐标系中的运用】
【例5】(2022秋•上城区期末)已知:RtaOAB在直角坐标系口的位置如图所示,点8的坐标为(4,2),
P为。8的中点,点C为折线04B上的动点,线段PC把分割成两部分,问:点C在什么位
置时,分割得到的三角形与RtaQAB相似?要求在图上画出所有符合要求的线段尸C,并求出相应的点
C的坐标.
【变式5-1](2022秋•汝南县期末)如图,在直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),在x轴上找
到点a1,0)和y轴的正半轴上戊到点。,使△A08与△OOC相似,则。点的坐标是
【变式5-2](2022•盘锦)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点C在第一象限,若以
A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等),则点C的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【变式5-3](2022•淮安)如(心图,在平面直角坐标系中,点,A坐标为(12,0),点8坐标为(6,8),
点C为的中点,点。从点。出发,沿aOAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一
周.
(1)点C坐标是,当点。运动8.5秒时所在位置的坐标是;
(2)设点Q运动的时间为/秒.试用含,的代数式表示△OCD的面积S,并指出/为何值时,S最大:
(3)点E在线段A8上以同样速度由点A向点8运动,如(//)图,若点E与点。同时出发,问在运动
5秒钟内,以点。,A,E为顶点的三角形何时与△OCO相似?(只考虑以点A、。为对应顶点的情况)
【题型6确定相似三角形的对数】
【例6】(2022秋•余姚市期末)如图,在△ABC中,。、石分别是A3、AC上的点,AE=4,AB=6,AD:
AC=2:3,△ABC的角平分线AF交于点G,交BC于点足
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形;
(2)求AG与GF的比.
A
【变式6-1](2022秋•金山区期末)如图,M是平行四边形ABC。的对角线8。上一点,4M的延长线交
BC于点E,交DC的延长线于点F,图中相似三角形有()
A.6对B.5对C.4对D.3对
【变式6-2](2007春•常州期末)如图,已知△A3。、△£)//均为正二角形,。、E分别在A3、BC上.
(1)图中有几组相似三角形并把它们表示出来;
(2)请找一个与△O8E相似的三角形并说明理由.
【变式6-3](2022春•宁波校级期末)如图,四边形A3。和ACEQ都是平行四边形,3,C,E在一条直
线上,点R为。E的中点,8R分别交AC,CO于点P,Q.
(1)则图中相似三角形(相似比为1除外)共有对;
【题型7相似三角形中的多结论问题】
【例7】(2022秋•常宁市期末)如图,AABC中,ZA=60a,于点M,CMLAB于点N,BM,
0V交于点O,连接MM下列结论:®ZAMN=ZABC;②图中共有8对相似三角形:③BC=2MN.其
中正确的个数是()
A
N
A.1个B.2个C.3个D.0个
【变式7-1](2022•越秀区校级二模)如图,尸是△ABC的A8边上一点,下列结论正确的个数是()
®^ZAFC=ZACB,则△ACFs/XABC
②若NAFC=NB,则△ACTSAABC
③若AC2=AF・44,则△AC/S/VIBC
④若AC:CF=AB:BC,则△ACFS/\A8C.
【变式7-2](2022秋•浦东新区校级月考)如图,在△A8C中,AQ_LBC于点。,BE_LAC于点E,八。与
BE交于点、F,连接。凡DE,交点为G.以下结论正确的个数是()
①/CAD=NCBE,
②AF,FD=BF・FE,
③ACDESACAB,
©AFGE^ADGC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式7・3】(2022秋♦商河县校级期中)如图,在正方形A8CD中,点£尸分别在边3C、DC上,AE.
4尸分别交8。于点M、N,连接CN、EN,且CN=EN.下列结论:①AN=EN,ANIEN;②BE+DF=
RF:喏=乎:④图中只有4对相似二角形,其中正确结论的个数是()
【题型8相似三角形与动点的综合】
【例8】(2022春•成华区期末)如图,正方形ABC。的边长为4,AE=EB,MN=2,线段MN的两端在
【变式8-1](2022秋•金台区期末)如图,在△ABC中,AB=\0cm,8c=20。〃,点P从点A开始沿边48
向点B以2cmk的速度移动,点。从8点开始沿边BC以2c沛s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,
B同时出发,经过几秒钟后,以点尸、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似?
【变式8-2](2022秋•扬山县期末)如图所示,已知于8,CD_L8C于C,AB=4,CD=6,BC
=14,P为BC上一点,试问8户为何值时,△ABP与△PCQ相似?
【变式8-3](2022秋♦正定县期末)在矩形A8CZ)中,AB=12c/〃,BC=6c/〃,点P沿AB边从点A开始向
点8以2c7〃/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点人以lc〃?/秒的速度移动,如果P、Q同时出
发,用/(秒)表示运动时间(0W/W6),那么当/为何值时,△4PQ与△A3。相似?说明理由.
【题型9相似与最值】
【例9】(2022秋•余姚市校级月考)如图,等腰△A8C中,BA=BC,AO=3CO=6.动点/在84上以每
分钟5个单位长度的速度从8点出发向A点移动,过尸作交AC边于七点,连接卜。、EO.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)证明:当△EFO面积最大时,AEFOsXCBA.
【变式9-1](2022•扬州)如图,在直角梯形4BCD中,N48C=90°,AD//BC,AQ=4,AB=5,BC=
6,点尸是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为
【变式9-2](2022•兖州区一模)如图,正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足AB=也必乂
点P是BC的中点,连接AN、PM,若48=6,则当AN+PM的值最小时,线段AN的长度
【变式9-3](2022•锦江区模拟)如图,在RtZ^AAC中,/84。=90‘,A3=3,4c=5,点。是线段6C
上一动点,连接AD,以AO为边作△AOE,使△ADES^ABC,则△/!£>£:的最小面积与最大面积之比等
10](2U22秋•襄汾县期末)6c中,AB=AC,/8AC=9(T,〃为8C'上的动点,小慧拿含45°
角的透明三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.
(1)如图小当三角板的两边分别交/W、AC于点、E、尸时.求证:△BPEsACFP:
(2)将三角板绕点夕旋转到图〃情形时,三角板的两边分别交AM的延长线、边AC于点£、F.ABPE
与△(:1了还相似吗?(只需写出结论)
(3)在(2)的条件下,连接EA△3PE与△0FE是否相似?若不相似,则动点尸运动到什么位置时,
△BPE与APFE相似?说明理由.
图a图b
【变式10-1】(2022•炎陵县一模)如图,在△ABC中,/ACD=NB,将△ACO绕4点旋转,点。落在点
E处,点C落在点/处,CD,EF交于O点、,连接。E,FC,找出其中相似三角形.
【变式10-2】(2022春•龙泉驿区期末)如图,中,NC=90°,A8=15,BC=9,点、P,。分别
在BC,AC上,CP=3xfCQ=4x(0<x<3),把APCQ绕点、P旋转,得到点。落在线段PQ
上.
(1)求证:PQ//AB,
(2)若点。在NBAC的平分线上,求。『的长;
(3)在(2)的情况下,求△2/)七与A48C重叠部分图形的面积.
【变式10-3](2022•大庆模拟)已知,如图①所示,在△ABC和△AOE中,/1B=AC,AD=AE,ABAC
=/DAE,且点8、A、。在一条直线上,连接BE、CD.
(1)求证:BE=CD;
(2)若M、N分别是8七和CO的中点,将绕点4按顺时针旋转,如图②所示,试证明在旋转过
程中,△4MN是等腰二角形;
(3)试证明与△ABC和△AQE都相似.
图①图②E
专题27.3相似三角形的判定【十大题型】
【人教版】
【题型I相似三角形的判定条件】.....................................................................2
【题型2格点中的相似三角形】.......................................................................3
【题型3相似三角形的证明】..........................................................................4
【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】.................................................5
【题型5相似三角形在坐标系中的运用】...............................................................6
【题型6确定相似三角形的对数】.....................................................................7
【题型7相似三角形中的多结论问题】.................................................................8
【题型8相似三角形与动点的综合】..................................................................10
【题型9相似与最值】................................................................................11
【题型10旋转型相似】................................................................................12
脑露〒一更三
【知识点1相似三角形的判定】
*
判定定理//\\/八\
jf----------T------71.
简称为两角对应相等,两个二角形相
判定定理1:
似.
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
如图,如果=ZB=则
两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
△ABCs”bC'.
简称为三边对应成比例,两个三角形相
判定定理2:似.
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么
力田ASBCAC.
如图,如n果一;_;=-;_;=-;一;,则m
这两个三角形相似.A0ffCA!C
简称为两边对应成比例且夹角相等,两
判定定理3:
个三角形相似.如图,如果看=上,
如果两个三角形的两组对应边成比例,并且
ABAC
对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
NA=N4,则△ABCs/w&c.
【题型1相似三角形的判定条件】
【例1】(2022秋•汉寿县期末)如图,若点。为△A8C的边43上一点(A8>AC),下列条件不能判定
△ABCSAACP的是()
A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.
ABACCBAB
【分析】欲证△ACPSAAAC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即NA=NA,此时,
再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可.
【解答】解:A、ZB=ZACP,因为N4=NA,所以△ABCsaACP,不符合题意;
B、ZACB=ZAPC,因为NA=NA,所以△ABCs/viCR不符合题意;
C、当=右因为NA=NA,所以△ABCs^ACR不符合题意:
ABAC
、因为,而和的夹角为所以不能判定△符合题意・
DCBAoNA=NAPCBCNC,ABCs/UCP,
故选:D.
【变式1-1](2022春•泰安期末)如图,△43C,A4=12,AC=\5,D为AB上一点、,且AD=8,在AC
上取一点E,使以A、D、£为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于()
.32.,15
A.g或r万B.10或与
C.0或cD.以上答案都不对
【分析】分情况讨论.
【解答】解:•「△ABC与△AOE相似,
•・・AO=8,AB=12,AC=\5,
8_AE
15-77
解得:A£=10或6.4.
故选:C.
【变式1-2](2022秋•合肥期末)如图,CO是RtZ\A8c斜边A8上的中线,过点C作CE_LC。交48的
延长线于点E,添加下列条件仍不能判断ACEB与△C4。相似的是()
A.ZCBA=2ZAB.点6是。E的中点
nCEBE
C.CE*CD=CA*CB一
D.CA=AD
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.
【解答】解:VCE1CZ),
r.ZEDC=90°,
VZ«CA=90°,
••・/BCE=NOC4=90°-/BCD,
':CD是RtZXABC斜边AB上的中线,
:.DC=DB=DA,
.\ZDAC=ZA,
:,ZBCE=ZDCA=ZA,
•••/C8A=2NA,NC8A+NA=90°,
・・・NA=N8CE=NOCA=3(T,ZCBA=60",
••・NE=NCB4-NBCE=3O°,
・•・/BCE=ZDCA=ZE=ZA,
:ACEBsACAD,
・・・A不符合题意,
•・•点4是。E的中点,
:・BE=BC,
:./BCE=/E,
・•・£BCE=ZE=ZDCA=ZA.
.••△CE8s△CAQ,
・・・3不符合题意,
■:CE・CD=CA,CB,
.CE=CB
■C•A—CD—,
^BCE=ZDCA,
・・・C不符合题意.
由詈二弟由于NE和4不能判断相等,故不能判断△CEB与△CW相似,
・・・。符合题意,
故选:。.
【变式1-3](2022秋•通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31
页遇到这样一道题,如图1,在△A8C中,P是边A8上的一点,连接CP,要使△AC尸saABC,还需
要补充的一个条件是/ACP=/B(或NAPC=NAC8),或化二仍..
请回答:
(1)王华补充的条件是./ACP=NB(或N/\QC=NAC8),或
(2)请你参考上面的图形和结论,探究,解答下面的问题:
如图2,在△4区(?中,NA=30。,AC2=AB2+AH*HC.求的度数.
【分析】(1)由NA=NA,当NACP=N8,或N4PC=N4C8;或益=韵寸,AACP^AABC;
(2)延长AB到点。,使BO=BC,连接CQ,由已知条件得出证出舞=翌,由乙4=乙4,证出AACB
ADAC
/△AQC,得出对应角相等N4C8=NO,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出N4C8+N
BCQ+NQ+NA=180°,得出/4C5=50°即可.
【解答】解:・・・NA=N4,
・••当N4CP=N8,或/APC=/AC8;
或竺二竺,即时,XACPsXkBC\
ABAC
故答案为:NACP=NB(或NAPC=NAC8),或Ad=AP・A&
(1)王华补充的条件是:/ACP=/B(或NAPC=NAC8);^AC2=AP*AB;理由如下:
•・•NA=NA,
,当NACP=NB,或NAPC=NACB;
或先=氏,HRAC2=AP・AB时,△AC尸s^ABC;
故答案为:NACP=NB(或/APC=NACB),^iAC2=AP>AB;
(2)延长A8到点O,使8£>=8C,连接C。,如图所示:
t:AC2=AB2+AB*BC=AB(AB+BC)=AB(AB+BD)=A3・AQ,
.ACAB
••~~»
ADAC
又・・・NA=/A,/.△ACZ?-AADC,
・•・NACB=N。,
•:BC=BD,
:・/BCD=/D,
在△4C。中,ZACB+ZBCD+ZD+Z4=180°,
・・・3NAC3+30°=180°,
AZACB=50°.
【题型2格点中的相似三角形】
[ft2](2022春•文登区期末)如图,在正方形网格中有5个栓点:三角形,分别是:①△”(?,②△ACO,
③△AQ£,®AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是:)
A.①③B.®@C.®@D.©®@
【分析】根据相似三角形的旋转可知,相似三角形的对应角相等即可判断.
【解答】解:由图形知,⑤中/AHG=135°,
而①②③④中,只有①N8AC=I35°和③NA/)E=I35°,
再根据两边成比例可判断,与⑤相似的三角形是①③,
故选:A.
【变式2-1](2022秋•雄县期末)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与4
4BC相似的是()
【分析】利用△A3C中,ZACB=135°,AC=V2,BC=2,然后根据两组对应边的比相等且夹角对应
相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.
【解答】解:在△ABC中,N4c8=135°,AC=V2,BC=2,
在8、C、。选项中的三角形都没有135°,而在A选项中,三角形的钝角为135°,它的两边分别为1
和企,
因为4=学,所以A选项中的三角形与△A8C相似.
V21
故选:A.
【变式2-2](2022秋•青田县期末)如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上,下列两个三角形中相
似的是()
B.©@C.②③D.@@
【分析】可分别求出三角形的边长,根据对应边成比例三角形相似,进行判断即可.
【解答】解:第一个三角形的边长分别为:/10,V5,5;
第二个三角形的边长分别为:V5,2V2,V17;
第三个三角形的边长分别为:2,V2,710:
第四个三角形的边长分别为:3,企,V5;
对应边成比例的是①和③.
故选:B.
【变式2-3](2022秋•法库县期末)如图,在5X6的方格纸中,画有格点△ER7,下列选项中的格点,与
E,G两点构成的三角形中和aFFG相似的是()
EA
KCL)
V\B
FG
A.点AB.点BC.点CD.点、D
【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1.2的直角三角形,然后利用相似三角形的
判定方法选择答案即可.
【解答】解:观察图形可得△EFG中,直角边的比为募=;,
Ct*,
观察各选项,Q综W只有。选项三角形符合,与所给图形的三角形相似.
故选:D.
【题型3相似三角形的证明】
【例3】(2022•淳安县一模)如图,在△A8C中,。、£分别是边AC、6c的中点,〃是6c延长线上一点,
NF=NB.
(1)若A8=10,求的长;
(2)若AC=BC,求证:ACDEs^DFE.
【分析】(1)首先利用中位线定理得到。E〃AB以及。E的长,再证明NOEC=N尸即可;
(2)根据等腰三角形的性质得到NA=N8,进而求出NCOE=NF并结合NCEO=NOEF即可证明4
CDEsADFE.
【解答】解:(1):。、石分别是AC、BC的中点,
:
.DE//AB,DE=-2AB=5,
*:DE//AB,
:・/DEC=/B,而/尸=N8,
・•・ZDEC=ZF,
:・DF=DE=5;
(2)':AC=BC,
NA=/B,
VZCDE=ZA,NCED=NB,
:・NCDE=NB,
I/B=NF,
:.ZCDE=ZF,
a:ZCED=ZDEF,
.,.△CD^ADFE.
【变式3-1](2022秋•临安区期末)如图,点8、D、七在一条直线上,8E交AC于点凡吟=哆,且/
ADAE
BAD=NCAE.
(1)求证:△ABCs/XAOE;
(2)求证:XAEFs2BCF.
A
E
D
B
【分析】(1)根据相似三角形的判定定理证明;
(2)根据相似三角形的性质定理得到NC=NE结合图形,证明即可.
【解答】(1)・・・NZMQ=NCA£
:,ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD
即NBAC=/D4E
在AABC和AAOE中
丝=生/BAC=/DAE,
ADAE
(2)
・・・NC=N£、
在△人£:尸和△BFC中,ZC=ZF,ZAFE=ZBFC,
・•・XAEFs^BCF.
【变式3-2](2022秋•下城区期末)己知:如图,。为△A3C内一点,A',b,。分别是04,OB,0C上
的点,且0/T:AA'=OB':33=1:2,OC:CC=2:1,且03=6.
(1)求证:△OAbs^OA&
(2)以O,B',C为顶点的三角形是否可能与△08C相似?如果可能,求0C的长;如果不可能,请说
明理由.
【分析】(1)根据两边成比例夹角相等即可证明;
(2)要使以0,夕,C为顶点的三角形与△OBC相似,只要满足器=器,想办法构建方程即可解决问
OCOB
,题;
【解答】(1)证明:':0A':AA'=0B':BB'=1:2,
:.0A':OA=OB':OB=\t3,
•・・N4'OB'=ZAOB,
•••△OA'8SZ\OA&
(2)解:可能相似.理由如下:
VOA1:AA:=OB\2,OB=6,
OB'=2,
VOC:CC=2:1,NCOB=/C'OB',设CC'=x,OC'=2x,0C=3x,
要使以O,8,C为顶点的三角形与△O3C相似,
只要满足器得,
.22X
••装=£'
;・x=±V2
Vx>0,
.*.x=V2
/.OC=3yf2.
【变式3-3](2022春•仪征市校级期末)如图,△ABC、ZX。"是两个全等的等腰直角三角形,ZBAC=
NPDE=90°.
(I)若将△QEP的顶点P放在BC上(如图1),P。、PE分别与AC、4B相交于点F、G.求证:△
PBGSAFCP;
(2)若使△OEP的顶点P与顶点A重合(如图2),PD、PE与8c相交于点八G.试问△尸86与4
尸C尸还相似吗?为什么?
【分析】(1)如图1,先根据等腰直角三角形的性质得上5=NC=NOPE=45°,再利用平角定义得到
ZBPG+ZCPF=135°,利用三角形内角和定理得到N8PG+NBGP=135°,根据等量代换得NBGP=
NCP凡加上N3=/C,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论;
(2)如图2,由于N3=NC=NQPE=45°,利用三角形外角性质得N8GP=NC+NCPG=45°+ZCAG,
而NCP"=45°+NCAG,所以NAG8=NCPF,加上N8=NC,于是可判断△尸8Gs△/CP.
【解答】(1)证明:如图1,
•••△ABC、AOE尸是两个全等的等腰直角三角形,
・・・NB=NC=NOPE=45°,
AZBPG+ZCPF=I35°,
在△8PG中,VZB=45°,
:.NBPG+/BGP=135°,
/BGP=NCPF,
•:乙B=±C,
:.△PBGSAFCP:
(2)解:Z\PBG与△尸C尸相似.理由如下:
如图2,〈△ABC、/XOEP是两个全等的等腰直角三角形,
:・NB=NC=NDPE=45°,
•:NBGP=NC+NCPG=45°+/C4G,
NCPF=NFPG+/CAG=450+ZCAG,
:.ZAGB=ZCPF,
•・・NB=NC,
[ft4](2022秋•上城区期末)四边形A8CQ中,点E在边AB上,连接OE,CE.
(1)若NA=N8=NOEC=5D°,找出图中的相似三角形,并说明理由;
(2)若四边形/WC。为矩形,AB=5,BC=2,且图中的三个三角形都相似,求A七的长.
(3)若NA=N3=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似,请判断4E和3E的数量关系并说明理
由.
【分析】(1)根据相似三角形的判定定理推出即可;
(2)根据相似得出比例式,代入求出即可;
(3)分为两种情况,化成图形,再根据相似三角形的性质求出即可.
【解答】解:(1)XDAEs4EBC,
理由是:VZA=ZDEC=
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