2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题273 相似三角形的判定【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.3相似三角形的

判定【十大题型】

【人教版】

【题型I相似三角形的判定条件】............................................................................2

【题型2格点中的相似三角形】...............................................................................3

【题型3相似三角形的证明】.................................................................................4

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】......................................................5

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】.....................................................................6

【题型6确定相似三角形的对数】............................................................................7

【题型7相似三角形中的多结论问题】........................................................................8

【题型8相似三角形与动点的综合】........................................................................10

【题型9相似与最值】........................................................................................11

【题型10旋转型相似】........................................................................................12

»会净一五三

【知识点1相似三角形的判定】

判定定理/\/\

/\/\

Jr---------------r痣-----

简称为两角对应相等，两个三角形相

判定定理1:

似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

如图，如果NA=NA\=则

两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

△ABCs/XAbC.

简称为三边对应成比例，两个三角形相

判定定理2：似.

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

田ABBCAC

如图，如41r果一;二一^二一^,贝!|

这两个三角形相似.48'B'CA'C

△ABCS/XAB'C.

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

判定定理3：

ARAC

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且个三角形相似.如图，如果黑=3,

ABAC

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

ZA=ZA',则△ABCs"0。，.

【题型1相似三角形的判定条件】

【例1】（2022秋•汉寿县期末）如图，若点。为△A8C的边43上一点（A8>AC）,下列条件不能判定

△ABCSAACP的是（）

A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.

ABACCBAB

【变式1-1］（2022春•泰安期末）如图，△"（7,A4=12,4c=15,D为AB上一点、,且4。=8,在AC

上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与A8c相似，则AE等于（）

A.湃吟B.10或获

C.号或10D.以上答案都不对

【变式1-2］（2022秋•合肥期末）如图，CD是RtA43c斜边A3上的中线，过点C作CE_LCO交46的

延长线于点E,添加下列条件仍不能判断aCEB与△CAO相似的是（）

A.NC8A=2N4B.点B是。E狗中点

C.CE*CD=CA*CBD.—CA=—AD

【变式1-3］（2022秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31

页遇到这样一道题，如图1,在△A8C中，尸是边43上的一点，连接。尸，要使△4CPs2\A3C,还需

要补充的一个条件是，或.

请回答：

（1）王华补充的条件是，或

【题型2格点中的相似三角形】

【例2】（2022春•文登区期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△4BC,②△4CO,

③△AQE,@AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是：）

CDE

HG

A.①③B.0@C.②④D.（D®④

【变式2-1]（2022秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分〉.与△

44c相似的是（）

__—..A

BC

C,朗D,2

A.ZB.LCSJ

【变式2-2]（2022秋•青田县期末）如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相

似的是（）

A.①④B.①@C.②③D.®®

【变式2-3]（2022秋•法库县期末）如图,在5X6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点，与

E,G两点构成的三角形中和AEfG相似的是（）

FG

A.点AB.点BC.点CD.点D

【题型3相似三角形的证明】

【例3】（2022•淳安县一模）如图，在△A4C中，。、石分别是边AC、的中点，”是6c延长线上一点,

NF=NB.

(1)若AB=10,求尸。的长；

(2)若AC=3C,求证：ACDES^DFE.

【变式3-1]（2022秋•临安区期末）如图，点8、。、E在一条直线上，BE交AC于点F,篝二亲且N

BAD=ZCAE,

(1)求证：△ABCS^AOE；

(2)求证：AAEF^ABCF.

【变式3-2]（2022秋•下城区期末）已知：如图，。为△A4C内一点，A,8,C分别是04,08,OC±

的点，且。H：AH=O8：88=1：2,OC：CC=2：I,且08=6.

（1）求证：

（2）以0,8,C为顶点的三角形是否可能与△O8C相似？如果可能，求。C的长；如果不可能，请说

明理由.

【变式3-3]（2022春•仪征市校级期末）如图，△ABC、是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=

NPDE=90°.

（1）若将的顶点户放在8。上（如图I）,PD、PE分别与AC、4/3相交于点尸、G.求证：△

PBGS^FCP；

（2）若使△£>“的顶点。与顶点月重合（如图2）,PD、PE与BC相交于点F、G.试问△236与4

FTP还相似吗？为什么？

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】

[ft4]（2022秋•上城区期末）四边形A8C。中，点E在边4B上，连接OE,CE.

（1）若NA=N8=NOEC=5。。，找出图中的相似三角形，并说明理由；

（2）若四边形A8CO为矩形，AB=5,8c=2,月.图中的三个三角形都相似，求AE的长.

（3）若NA=N8=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理

由.

【变式4-1]（2022秋•德清县期末）如图，将矩形A8CQ沿CM折叠，使点。落在A8边上的点E处，若

△AEM与4ECM相似，则A8和BC的数量关系为.

【变式4-2]（2022秋•淮安期末）⑴填空：如图1,在正△A8C中，M、N分别在BC、AC上，且3M

=CN,连AM、8N交于点。，则NAON=°

（2）填空：如图2,在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN,连接PN、

SM相交于点O,则°.

(3)如图3,在等腰梯形人5C£＞中，已知人4〃CO,BC=CD,NABC=60°.以此为部分条件，构造

一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.

(4)在(1)的条件下，把直线AM平移到图4的直线£0〃位置，

①写出所有与AB。尸相似的三角形：

②若点N是AC中点，(其它条件不变)试探索线段E。与F0的数量关系，并说明理由.

(1)求证：LABEs4ECD；

(2)若A"=4,AE=BC=5,求CD的长；

(3)当△AEQS^EC。时，请写出线段A。、AB.C。之间数量关系，并说明理由.

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】

【例5】(2022秋•上城区期末)已知：RtaOAB在直角坐标系口的位置如图所示，点8的坐标为(4,2),

P为。8的中点，点C为折线04B上的动点，线段PC把分割成两部分，问：点C在什么位

置时，分割得到的三角形与RtaQAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段尸C,并求出相应的点

C的坐标.

【变式5-1](2022秋•汝南县期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(2,0),B(0,4),在x轴上找

到点a1,0）和y轴的正半轴上戊到点。,使△A08与△OOC相似,则。点的坐标是

【变式5-2]（2022•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）,B（2,0）,点C在第一象限，若以

A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式5-3]（2022•淮安）如（心图，在平面直角坐标系中，点,A坐标为（12,0）,点8坐标为（6,8）,

点C为的中点，点。从点。出发，沿aOAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一

周.

（1）点C坐标是,当点。运动8.5秒时所在位置的坐标是；

（2）设点Q运动的时间为/秒.试用含，的代数式表示△OCD的面积S,并指出/为何值时，S最大：

（3）点E在线段A8上以同样速度由点A向点8运动，如（//）图，若点E与点。同时出发，问在运动

5秒钟内，以点。,A,E为顶点的三角形何时与△OCO相似？（只考虑以点A、。为对应顶点的情况）

【题型6确定相似三角形的对数】

【例6】（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，。、石分别是A3、AC上的点，AE=4,AB=6,AD：

AC=2：3,△ABC的角平分线AF交于点G,交BC于点足

（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；

（2）求AG与GF的比.

A

【变式6-1］（2022秋•金山区期末）如图，M是平行四边形ABC。的对角线8。上一点，4M的延长线交

BC于点E,交DC的延长线于点F,图中相似三角形有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

【变式6-2］（2007春•常州期末）如图，已知△A3。、△£）//均为正二角形，。、E分别在A3、BC上.

（1）图中有几组相似三角形并把它们表示出来；

（2）请找一个与△O8E相似的三角形并说明理由.

【变式6-3］（2022春•宁波校级期末）如图，四边形A3。和ACEQ都是平行四边形，3,C,E在一条直

线上，点R为。E的中点，8R分别交AC,CO于点P,Q.

（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；

【题型7相似三角形中的多结论问题】

【例7】（2022秋•常宁市期末）如图，AABC中，ZA=60a,于点M,CMLAB于点N,BM,

0V交于点O,连接MM下列结论：®ZAMN=ZABC；②图中共有8对相似三角形：③BC=2MN.其

中正确的个数是（)

A

N

A.1个B.2个C.3个D.0个

【变式7-1]（2022•越秀区校级二模）如图，尸是△ABC的A8边上一点，下列结论正确的个数是（）

®^ZAFC=ZACB,则△ACFs/XABC

②若NAFC=NB,则△ACTSAABC

③若AC2=AF・44,则△AC/S/VIBC

④若AC：CF=AB：BC,则△ACFS/\A8C.

【变式7-2]（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在△A8C中，AQ_LBC于点。，BE_LAC于点E,八。与

BE交于点、F,连接。凡DE,交点为G.以下结论正确的个数是（）

①/CAD=NCBE,

②AF，FD=BF・FE,

③ACDESACAB,

©AFGE^ADGC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7・3】（2022秋♦商河县校级期中）如图，在正方形A8CD中，点£尸分别在边3C、DC上，AE.

4尸分别交8。于点M、N,连接CN、EN,且CN=EN.下列结论：①AN=EN,ANIEN；②BE+DF=

RF：喏=乎：④图中只有4对相似二角形,其中正确结论的个数是（)

【题型8相似三角形与动点的综合】

【例8】（2022春•成华区期末）如图，正方形ABC。的边长为4,AE=EB,MN=2,线段MN的两端在

【变式8-1］（2022秋•金台区期末）如图，在△ABC中，AB=\0cm,8c=20。〃，点P从点A开始沿边48

向点B以2cmk的速度移动，点。从8点开始沿边BC以2c沛s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,

B同时出发，经过几秒钟后，以点尸、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？

【变式8-2］（2022秋•扬山县期末）如图所示，已知于8,CD_L8C于C,AB=4,CD=6,BC

=14,P为BC上一点,试问8户为何值时，△ABP与△PCQ相似？

【变式8-3］（2022秋♦正定县期末）在矩形A8CZ）中，AB=12c/〃，BC=6c/〃，点P沿AB边从点A开始向

点8以2c7〃/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点人以lc〃?/秒的速度移动，如果P、Q同时出

发，用/（秒）表示运动时间（0W/W6）,那么当/为何值时，△4PQ与△A3。相似？说明理由.

【题型9相似与最值】

【例9】（2022秋•余姚市校级月考）如图，等腰△A8C中，BA=BC,AO=3CO=6.动点/在84上以每

分钟5个单位长度的速度从8点出发向A点移动，过尸作交AC边于七点，连接卜。、EO.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）证明：当△EFO面积最大时，AEFOsXCBA.

【变式9-1］（2022•扬州）如图，在直角梯形4BCD中，N48C=90°,AD//BC,AQ=4,AB=5,BC=

6,点尸是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为

【变式9-2］（2022•兖州区一模）如图，正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足AB=也必乂

点P是BC的中点，连接AN、PM,若48=6,则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度

【变式9-3］（2022•锦江区模拟）如图，在RtZ^AAC中，/84。=90‘，A3=3,4c=5,点。是线段6C

上一动点，连接AD,以AO为边作△AOE,使△ADES^ABC,则△/!£>£：的最小面积与最大面积之比等

10](2U22秋•襄汾县期末)6c中，AB=AC,/8AC=9(T,〃为8C'上的动点，小慧拿含45°

角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.

(1)如图小当三角板的两边分别交/W、AC于点、E、尸时.求证：△BPEsACFP：

(2)将三角板绕点夕旋转到图〃情形时，三角板的两边分别交AM的延长线、边AC于点£、F.ABPE

与△(:1了还相似吗？(只需写出结论)

(3)在(2)的条件下，连接EA△3PE与△0FE是否相似？若不相似，则动点尸运动到什么位置时，

△BPE与APFE相似?说明理由.

图a图b

【变式10-1】(2022•炎陵县一模)如图，在△ABC中，/ACD=NB,将△ACO绕4点旋转，点。落在点

E处，点C落在点/处，CD,EF交于O点、,连接。E,FC,找出其中相似三角形.

【变式10-2】(2022春•龙泉驿区期末)如图，中，NC=90°,A8=15,BC=9,点、P,。分别

在BC,AC上，CP=3xfCQ=4x(0<x<3),把APCQ绕点、P旋转,得到点。落在线段PQ

上.

(1)求证：PQ//AB,

(2)若点。在NBAC的平分线上，求。『的长；

（3）在（2）的情况下，求△2/）七与A48C重叠部分图形的面积.

【变式10-3]（2022•大庆模拟）已知，如图①所示，在△ABC和△AOE中，/1B=AC,AD=AE,ABAC

=/DAE,且点8、A、。在一条直线上，连接BE、CD.

（1）求证：BE=CD；

（2）若M、N分别是8七和CO的中点，将绕点4按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过

程中，△4MN是等腰二角形；

（3）试证明与△ABC和△AQE都相似.

图①图②E

专题27.3相似三角形的判定【十大题型】

【人教版】

【题型I相似三角形的判定条件】.....................................................................2

【题型2格点中的相似三角形】.......................................................................3

【题型3相似三角形的证明】..........................................................................4

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】.................................................5

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】...............................................................6

【题型6确定相似三角形的对数】.....................................................................7

【题型7相似三角形中的多结论问题】.................................................................8

【题型8相似三角形与动点的综合】..................................................................10

【题型9相似与最值】................................................................................11

【题型10旋转型相似】................................................................................12

脑露〒一更三

【知识点1相似三角形的判定】

*

判定定理//\\/八\

jf----------T------71.

简称为两角对应相等，两个二角形相

判定定理1:

似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

如图，如果=ZB=则

两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

△ABCs”bC'.

简称为三边对应成比例，两个三角形相

判定定理2：似.

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

力田ASBCAC.

如图，如n果一；_；=-；_；=-；一；,则m

这两个三角形相似.A0ffCA!C

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

判定定理3：

个三角形相似.如图，如果看=上，

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且

ABAC

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

NA=N4,则△ABCs/w&c.

【题型1相似三角形的判定条件】

【例1】（2022秋•汉寿县期末）如图，若点。为△A8C的边43上一点（A8>AC）,下列条件不能判定

△ABCSAACP的是（）

A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.

ABACCBAB

【分析】欲证△ACPSAAAC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即NA=NA,此时，

再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可.

【解答】解：A、ZB=ZACP,因为N4=NA,所以△ABCsaACP,不符合题意；

B、ZACB=ZAPC,因为NA=NA,所以△ABCs/viCR不符合题意；

C、当=右因为NA=NA，所以△ABCs^ACR不符合题意：

ABAC

、因为，而和的夹角为所以不能判定△符合题意・

DCBAoNA=NAPCBCNC,ABCs/UCP,

故选：D.

【变式1-1］（2022春•泰安期末）如图，△43C,A4=12,AC=\5,D为AB上一点、,且AD=8,在AC

上取一点E,使以A、D、£为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）

.32.,15

A.g或r万B.10或与

C.0或cD.以上答案都不对

【分析】分情况讨论.

【解答】解：•「△ABC与△AOE相似,

•・・AO=8,AB=12,AC=\5,

8_AE

15-77

解得：A£=10或6.4.

故选：C.

【变式1-2］（2022秋•合肥期末）如图，CO是RtZ\A8c斜边A8上的中线，过点C作CE_LC。交48的

延长线于点E,添加下列条件仍不能判断ACEB与△C4。相似的是（）

A.ZCBA=2ZAB.点6是。E的中点

nCEBE

C.CE*CD=CA*CB一

D.­CA=AD

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：VCE1CZ）,

r.ZEDC=90°,

VZ«CA=90°,

••・/BCE=NOC4=90°-/BCD,

'：CD是RtZXABC斜边AB上的中线,

：.DC=DB=DA,

.\ZDAC=ZA,

：,ZBCE=ZDCA=ZA,

•••/C8A=2NA,NC8A+NA=90°,

・・・NA=N8CE=NOCA=3(T,ZCBA=60",

••・NE=NCB4-NBCE=3O°,

・•・/BCE=ZDCA=ZE=ZA,

:ACEBsACAD,

・・・A不符合题意,

•・•点4是。E的中点,

:・BE=BC,

：./BCE=/E,

・•・£BCE=ZE=ZDCA=ZA.

.••△CE8s△CAQ,

・・・3不符合题意，

■:CE・CD=CA，CB,

.CE=CB

■C•A—CD—，

^BCE=ZDCA,

・・・C不符合题意.

由詈二弟由于NE和4不能判断相等，故不能判断△CEB与△CW相似，

・・・。符合题意，

故选：。.

【变式1-3](2022秋•通州区期末)王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31

页遇到这样一道题，如图1,在△A8C中，P是边A8上的一点，连接CP,要使△AC尸saABC,还需

要补充的一个条件是/ACP=/B(或NAPC=NAC8),或化二仍..

请回答：

(1)王华补充的条件是./ACP=NB(或N/\QC=NAC8),或

(2)请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：

如图2,在△4区(？中，NA=30。，AC2=AB2+AH*HC.求的度数.

【分析】(1)由NA=NA,当NACP=N8,或N4PC=N4C8；或益=韵寸，AACP^AABC；

(2)延长AB到点。，使BO=BC,连接CQ,由已知条件得出证出舞=翌，由乙4=乙4,证出AACB

ADAC

/△AQC,得出对应角相等N4C8=NO,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出N4C8+N

BCQ+NQ+NA=180°,得出/4C5=50°即可.

【解答】解：・・・NA=N4,

・••当N4CP=N8,或/APC=/AC8；

或竺二竺，即时，XACPsXkBC\

ABAC

故答案为：NACP=NB(或NAPC=NAC8),或Ad=AP・A&

(1)王华补充的条件是：/ACP=/B(或NAPC=NAC8)；^AC2=AP*AB；理由如下:

•・•NA=NA,

，当NACP=NB,或NAPC=NACB；

或先=氏，HRAC2=AP・AB时，△AC尸s^ABC；

故答案为：NACP=NB(或/APC=NACB),^iAC2=AP>AB；

(2)延长A8到点O,使8£>=8C,连接C。，如图所示：

t：AC2=AB2+AB*BC=AB(AB+BC)=AB(AB+BD)=A3・AQ,

.ACAB

••~~»

ADAC

又・・・NA=/A,/.△ACZ?-AADC,

・•・NACB=N。，

•:BC=BD,

:・/BCD=/D,

在△4C。中，ZACB+ZBCD+ZD+Z4=180°，

・・・3NAC3+30°=180°,

AZACB=50°.

【题型2格点中的相似三角形】

[ft2]（2022春•文登区期末）如图，在正方形网格中有5个栓点:三角形，分别是：①△”（?，②△ACO,

③△AQ£,®AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是：）

A.①③B.®@C.®@D.©®@

【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断.

【解答】解：由图形知，⑤中/AHG=135°,

而①②③④中，只有①N8AC=I35°和③NA/）E=I35°,

再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，

故选：A.

【变式2-1]（2022秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4

4BC相似的是（）

【分析】利用△A3C中，ZACB=135°,AC=V2,BC=2,然后根据两组对应边的比相等且夹角对应

相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.

【解答】解:在△ABC中，N4c8=135°,AC=V2,BC=2,

在8、C、。选项中的三角形都没有135°,而在A选项中，三角形的钝角为135°,它的两边分别为1

和企,

因为4=学，所以A选项中的三角形与△A8C相似.

V21

故选：A.

【变式2-2]（2022秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相

似的是（）

B.©@C.②③D.@@

【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可.

【解答】解：第一个三角形的边长分别为：/10,V5,5；

第二个三角形的边长分别为：V5,2V2,V17；

第三个三角形的边长分别为：2,V2,710：

第四个三角形的边长分别为：3,企，V5；

对应边成比例的是①和③.

故选:B.

【变式2-3］（2022秋•法库县期末）如图，在5X6的方格纸中，画有格点△ER7,下列选项中的格点，与

E,G两点构成的三角形中和aFFG相似的是（）

EA

KCL）

V\B

FG

A.点AB.点BC.点CD.点、D

【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1.2的直角三角形，然后利用相似三角形的

判定方法选择答案即可.

【解答】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为募=；,

Ct*，

观察各选项，Q综W只有。选项三角形符合,与所给图形的三角形相似.

故选：D.

【题型3相似三角形的证明】

【例3】（2022•淳安县一模）如图，在△A8C中，。、£分别是边AC、6c的中点，〃是6c延长线上一点,

NF=NB.

（1）若A8=10,求的长；

(2)若AC=BC,求证：ACDEs^DFE.

【分析】（1）首先利用中位线定理得到。E〃AB以及。E的长，再证明NOEC=N尸即可；

（2）根据等腰三角形的性质得到NA=N8,进而求出NCOE=NF并结合NCEO=NOEF即可证明4

CDEsADFE.

【解答】解：（1）:。、石分别是AC、BC的中点，

：

.DE//AB,DE=-2AB=5,

*：DE//AB,

:・/DEC=/B,而/尸=N8,

・•・ZDEC=ZF,

：・DF=DE=5；

（2）'：AC=BC,

NA=/B,

VZCDE=ZA,NCED=NB,

:・NCDE=NB,

I/B=NF,

：.ZCDE=ZF,

a：ZCED=ZDEF,

.,.△CD^ADFE.

【变式3-1]（2022秋•临安区期末）如图，点8、D、七在一条直线上，8E交AC于点凡吟=哆，且/

ADAE

BAD=NCAE.

（1）求证：△ABCs/XAOE；

（2）求证：XAEFs2BCF.

A

E

D

B

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据相似三角形的性质定理得到NC=NE结合图形，证明即可.

【解答】（1）・・・NZMQ=NCA£

：,ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD

即NBAC=/D4E

在AABC和AAOE中

丝=生/BAC=/DAE,

ADAE

（2）

・・・NC=N£、

在△人£：尸和△BFC中，ZC=ZF,ZAFE=ZBFC,

・•・XAEFs^BCF.

【变式3-2]（2022秋•下城区期末）己知：如图，。为△A3C内一点，A',b,。分别是04,OB,0C上

的点,且0/T：AA'=OB'：33=1：2,OC：CC=2：1,且03=6.

（1）求证：△OAbs^OA&

（2）以O,B',C为顶点的三角形是否可能与△08C相似？如果可能，求0C的长；如果不可能，请说

明理由.

【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明；

（2）要使以0,夕，C为顶点的三角形与△OBC相似，只要满足器=器,想办法构建方程即可解决问

OCOB

，题；

【解答】（1）证明：'：0A'：AA'=0B'：BB'=1：2,

：.0A'：OA=OB'：OB=\t3,

•・・N4'OB'=ZAOB,

•••△OA'8SZ\OA&

（2）解：可能相似.理由如下：

VOA1：AA：=OB\2,OB=6,

OB'=2,

VOC：CC=2：1,NCOB=/C'OB',设CC'=x,OC'=2x,0C=3x,

要使以O,8,C为顶点的三角形与△O3C相似，

只要满足器得，

.22X

••装=£'

；・x=±V2

Vx>0,

.*.x=V2

/.OC=3yf2.

【变式3-3］（2022春•仪征市校级期末）如图，△ABC、ZX。"是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=

NPDE=90°.

（I）若将△QEP的顶点P放在BC上（如图1）,P。、PE分别与AC、4B相交于点F、G.求证：△

PBGSAFCP；

（2）若使△OEP的顶点P与顶点A重合（如图2）,PD、PE与8c相交于点八G.试问△尸86与4

尸C尸还相似吗？为什么？

【分析】（1）如图1,先根据等腰直角三角形的性质得上5=NC=NOPE=45°,再利用平角定义得到

ZBPG+ZCPF=135°,利用三角形内角和定理得到N8PG+NBGP=135°,根据等量代换得NBGP=

NCP凡加上N3=/C,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；

(2)如图2,由于N3=NC=NQPE=45°,利用三角形外角性质得N8GP=NC+NCPG=45°+ZCAG,

而NCP"=45°+NCAG,所以NAG8=NCPF,加上N8=NC,于是可判断△尸8Gs△/CP.

【解答】(1)证明：如图1,

•••△ABC、AOE尸是两个全等的等腰直角三角形，

・・・NB=NC=NOPE=45°,

AZBPG+ZCPF=I35°,

在△8PG中，VZB=45°,

:.NBPG+/BGP=135°,

/BGP=NCPF,

•:乙B=±C,

:.△PBGSAFCP：

(2)解：Z\PBG与△尸C尸相似.理由如下：

如图2,〈△ABC、/XOEP是两个全等的等腰直角三角形，

:・NB=NC=NDPE=45°,

•：NBGP=NC+NCPG=45°+/C4G,

NCPF=NFPG+/CAG=450+ZCAG,

:.ZAGB=ZCPF,

•・・NB=NC,

[ft4](2022秋•上城区期末)四边形A8CQ中，点E在边AB上，连接OE,CE.

(1)若NA=N8=NOEC=5D°,找出图中的相似三角形，并说明理由;

（2）若四边形/WC。为矩形，AB=5,BC=2,且图中的三个三角形都相似，求A七的长.

（3）若NA=N3=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似，请判断4E和3E的数量关系并说明理

由.

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理推出即可；

（2）根据相似得出比例式，代入求出即可；

（3）分为两种情况，化成图形，再根据相似三角形的性质求出即可.

【解答】解：（1）XDAEs4EBC,

理由是：VZA=ZDEC=