2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题273 相似三角形的判定【十大题型】(举一反三)(人教版)含解析_第1页
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文档简介

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.3相似三角形的

判定【十大题型】

【人教版】

【题型I相似三角形的判定条件】............................................................................2

【题型2格点中的相似三角形】...............................................................................3

【题型3相似三角形的证明】.................................................................................4

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】......................................................5

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】.....................................................................6

【题型6确定相似三角形的对数】............................................................................7

【题型7相似三角形中的多结论问题】........................................................................8

【题型8相似三角形与动点的综合】........................................................................10

【题型9相似与最值】........................................................................................11

【题型10旋转型相似】........................................................................................12

»会净一五三

【知识点1相似三角形的判定】

判定定理/\/\

/\/\

Jr---------------r痣-----

简称为两角对应相等,两个三角形相

判定定理1:

似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

如图,如果NA=NA\=则

两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

△ABCs/XAbC.

简称为三边对应成比例,两个三角形相

判定定理2:似.

如果两个三角形的三组对应边成比例,那么

田ABBCAC

如图,如41r果一;二一^二一^,贝!|

这两个三角形相似.48'B'CA'C

△ABCS/XAB'C.

简称为两边对应成比例且夹角相等,两

判定定理3:

ARAC

如果两个三角形的两组对应边成比例,并且个三角形相似.如图,如果黑=3,

ABAC

对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

ZA=ZA',则△ABCs"0。,.

【题型1相似三角形的判定条件】

【例1】(2022秋•汉寿县期末)如图,若点。为△A8C的边43上一点(A8>AC),下列条件不能判定

△ABCSAACP的是()

A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.

ABACCBAB

【变式1-1](2022春•泰安期末)如图,△"(7,A4=12,4c=15,D为AB上一点、,且4。=8,在AC

上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与A8c相似,则AE等于()

A.湃吟B.10或获

C.号或10D.以上答案都不对

【变式1-2](2022秋•合肥期末)如图,CD是RtA43c斜边A3上的中线,过点C作CE_LCO交46的

延长线于点E,添加下列条件仍不能判断aCEB与△CAO相似的是()

A.NC8A=2N4B.点B是。E狗中点

C.CE*CD=CA*CBD.—CA=—AD

【变式1-3](2022秋•通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31

页遇到这样一道题,如图1,在△A8C中,尸是边43上的一点,连接。尸,要使△4CPs2\A3C,还需

要补充的一个条件是,或.

请回答:

(1)王华补充的条件是,或

【题型2格点中的相似三角形】

【例2】(2022春•文登区期末)如图,在正方形网格中有5个格点三角形,分别是:①△4BC,②△4CO,

③△AQE,@AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是:)

CDE

HG

A.①③B.0@C.②④D.(D®④

【变式2-1](2022秋•雄县期末)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分〉.与△

44c相似的是()

__—..A

BC

C,朗D,2

A.ZB.LCSJ

【变式2-2](2022秋•青田县期末)如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上,下列两个三角形中相

似的是()

A.①④B.①@C.②③D.®®

【变式2-3](2022秋•法库县期末)如图,在5X6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点,与

E,G两点构成的三角形中和AEfG相似的是()

FG

A.点AB.点BC.点CD.点D

【题型3相似三角形的证明】

【例3】(2022•淳安县一模)如图,在△A4C中,。、石分别是边AC、的中点,”是6c延长线上一点,

NF=NB.

(1)若AB=10,求尸。的长;

(2)若AC=3C,求证:ACDES^DFE.

【变式3-1](2022秋•临安区期末)如图,点8、。、E在一条直线上,BE交AC于点F,篝二亲且N

BAD=ZCAE,

(1)求证:△ABCS^AOE;

(2)求证:AAEF^ABCF.

【变式3-2](2022秋•下城区期末)已知:如图,。为△A4C内一点,A,8,C分别是04,08,OC±

的点,且。H:AH=O8:88=1:2,OC:CC=2:I,且08=6.

(1)求证:

(2)以0,8,C为顶点的三角形是否可能与△O8C相似?如果可能,求。C的长;如果不可能,请说

明理由.

【变式3-3](2022春•仪征市校级期末)如图,△ABC、是两个全等的等腰直角三角形,ZBAC=

NPDE=90°.

(1)若将的顶点户放在8。上(如图I),PD、PE分别与AC、4/3相交于点尸、G.求证:△

PBGS^FCP;

(2)若使△£>“的顶点。与顶点月重合(如图2),PD、PE与BC相交于点F、G.试问△236与4

FTP还相似吗?为什么?

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】

[ft4](2022秋•上城区期末)四边形A8C。中,点E在边4B上,连接OE,CE.

(1)若NA=N8=NOEC=5。。,找出图中的相似三角形,并说明理由;

(2)若四边形A8CO为矩形,AB=5,8c=2,月.图中的三个三角形都相似,求AE的长.

(3)若NA=N8=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似,请判断AE和BE的数量关系并说明理

由.

【变式4-1](2022秋•德清县期末)如图,将矩形A8CQ沿CM折叠,使点。落在A8边上的点E处,若

△AEM与4ECM相似,则A8和BC的数量关系为.

【变式4-2](2022秋•淮安期末)⑴填空:如图1,在正△A8C中,M、N分别在BC、AC上,且3M

=CN,连AM、8N交于点。,则NAON=°

(2)填空:如图2,在正方形PQRS中,已知点M、N分别在边QR、RS上,且QM=RN,连接PN、

SM相交于点O,则°.

(3)如图3,在等腰梯形人5C£>中,已知人4〃CO,BC=CD,NABC=60°.以此为部分条件,构造

一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.

(4)在(1)的条件下,把直线AM平移到图4的直线£0〃位置,

①写出所有与AB。尸相似的三角形:

②若点N是AC中点,(其它条件不变)试探索线段E。与F0的数量关系,并说明理由.

(1)求证:LABEs4ECD;

(2)若A"=4,AE=BC=5,求CD的长;

(3)当△AEQS^EC。时,请写出线段A。、AB.C。之间数量关系,并说明理由.

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】

【例5】(2022秋•上城区期末)已知:RtaOAB在直角坐标系口的位置如图所示,点8的坐标为(4,2),

P为。8的中点,点C为折线04B上的动点,线段PC把分割成两部分,问:点C在什么位

置时,分割得到的三角形与RtaQAB相似?要求在图上画出所有符合要求的线段尸C,并求出相应的点

C的坐标.

【变式5-1](2022秋•汝南县期末)如图,在直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),在x轴上找

到点a1,0)和y轴的正半轴上戊到点。,使△A08与△OOC相似,则。点的坐标是

【变式5-2](2022•盘锦)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点C在第一象限,若以

A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等),则点C的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【变式5-3](2022•淮安)如(心图,在平面直角坐标系中,点,A坐标为(12,0),点8坐标为(6,8),

点C为的中点,点。从点。出发,沿aOAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一

周.

(1)点C坐标是,当点。运动8.5秒时所在位置的坐标是;

(2)设点Q运动的时间为/秒.试用含,的代数式表示△OCD的面积S,并指出/为何值时,S最大:

(3)点E在线段A8上以同样速度由点A向点8运动,如(//)图,若点E与点。同时出发,问在运动

5秒钟内,以点。,A,E为顶点的三角形何时与△OCO相似?(只考虑以点A、。为对应顶点的情况)

【题型6确定相似三角形的对数】

【例6】(2022秋•余姚市期末)如图,在△ABC中,。、石分别是A3、AC上的点,AE=4,AB=6,AD:

AC=2:3,△ABC的角平分线AF交于点G,交BC于点足

(1)请你直接写出图中所有的相似三角形;

(2)求AG与GF的比.

A

【变式6-1](2022秋•金山区期末)如图,M是平行四边形ABC。的对角线8。上一点,4M的延长线交

BC于点E,交DC的延长线于点F,图中相似三角形有()

A.6对B.5对C.4对D.3对

【变式6-2](2007春•常州期末)如图,已知△A3。、△£)//均为正二角形,。、E分别在A3、BC上.

(1)图中有几组相似三角形并把它们表示出来;

(2)请找一个与△O8E相似的三角形并说明理由.

【变式6-3](2022春•宁波校级期末)如图,四边形A3。和ACEQ都是平行四边形,3,C,E在一条直

线上,点R为。E的中点,8R分别交AC,CO于点P,Q.

(1)则图中相似三角形(相似比为1除外)共有对;

【题型7相似三角形中的多结论问题】

【例7】(2022秋•常宁市期末)如图,AABC中,ZA=60a,于点M,CMLAB于点N,BM,

0V交于点O,连接MM下列结论:®ZAMN=ZABC;②图中共有8对相似三角形:③BC=2MN.其

中正确的个数是()

A

N

A.1个B.2个C.3个D.0个

【变式7-1](2022•越秀区校级二模)如图,尸是△ABC的A8边上一点,下列结论正确的个数是()

®^ZAFC=ZACB,则△ACFs/XABC

②若NAFC=NB,则△ACTSAABC

③若AC2=AF・44,则△AC/S/VIBC

④若AC:CF=AB:BC,则△ACFS/\A8C.

【变式7-2](2022秋•浦东新区校级月考)如图,在△A8C中,AQ_LBC于点。,BE_LAC于点E,八。与

BE交于点、F,连接。凡DE,交点为G.以下结论正确的个数是()

①/CAD=NCBE,

②AF,FD=BF・FE,

③ACDESACAB,

©AFGE^ADGC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7・3】(2022秋♦商河县校级期中)如图,在正方形A8CD中,点£尸分别在边3C、DC上,AE.

4尸分别交8。于点M、N,连接CN、EN,且CN=EN.下列结论:①AN=EN,ANIEN;②BE+DF=

RF:喏=乎:④图中只有4对相似二角形,其中正确结论的个数是()

【题型8相似三角形与动点的综合】

【例8】(2022春•成华区期末)如图,正方形ABC。的边长为4,AE=EB,MN=2,线段MN的两端在

【变式8-1](2022秋•金台区期末)如图,在△ABC中,AB=\0cm,8c=20。〃,点P从点A开始沿边48

向点B以2cmk的速度移动,点。从8点开始沿边BC以2c沛s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,

B同时出发,经过几秒钟后,以点尸、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似?

【变式8-2](2022秋•扬山县期末)如图所示,已知于8,CD_L8C于C,AB=4,CD=6,BC

=14,P为BC上一点,试问8户为何值时,△ABP与△PCQ相似?

【变式8-3](2022秋♦正定县期末)在矩形A8CZ)中,AB=12c/〃,BC=6c/〃,点P沿AB边从点A开始向

点8以2c7〃/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点人以lc〃?/秒的速度移动,如果P、Q同时出

发,用/(秒)表示运动时间(0W/W6),那么当/为何值时,△4PQ与△A3。相似?说明理由.

【题型9相似与最值】

【例9】(2022秋•余姚市校级月考)如图,等腰△A8C中,BA=BC,AO=3CO=6.动点/在84上以每

分钟5个单位长度的速度从8点出发向A点移动,过尸作交AC边于七点,连接卜。、EO.

(1)求A、B两点的坐标;

(2)证明:当△EFO面积最大时,AEFOsXCBA.

【变式9-1](2022•扬州)如图,在直角梯形4BCD中,N48C=90°,AD//BC,AQ=4,AB=5,BC=

6,点尸是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为

【变式9-2](2022•兖州区一模)如图,正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足AB=也必乂

点P是BC的中点,连接AN、PM,若48=6,则当AN+PM的值最小时,线段AN的长度

【变式9-3](2022•锦江区模拟)如图,在RtZ^AAC中,/84。=90‘,A3=3,4c=5,点。是线段6C

上一动点,连接AD,以AO为边作△AOE,使△ADES^ABC,则△/!£>£:的最小面积与最大面积之比等

10](2U22秋•襄汾县期末)6c中,AB=AC,/8AC=9(T,〃为8C'上的动点,小慧拿含45°

角的透明三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.

(1)如图小当三角板的两边分别交/W、AC于点、E、尸时.求证:△BPEsACFP:

(2)将三角板绕点夕旋转到图〃情形时,三角板的两边分别交AM的延长线、边AC于点£、F.ABPE

与△(:1了还相似吗?(只需写出结论)

(3)在(2)的条件下,连接EA△3PE与△0FE是否相似?若不相似,则动点尸运动到什么位置时,

△BPE与APFE相似?说明理由.

图a图b

【变式10-1】(2022•炎陵县一模)如图,在△ABC中,/ACD=NB,将△ACO绕4点旋转,点。落在点

E处,点C落在点/处,CD,EF交于O点、,连接。E,FC,找出其中相似三角形.

【变式10-2】(2022春•龙泉驿区期末)如图,中,NC=90°,A8=15,BC=9,点、P,。分别

在BC,AC上,CP=3xfCQ=4x(0<x<3),把APCQ绕点、P旋转,得到点。落在线段PQ

上.

(1)求证:PQ//AB,

(2)若点。在NBAC的平分线上,求。『的长;

(3)在(2)的情况下,求△2/)七与A48C重叠部分图形的面积.

【变式10-3](2022•大庆模拟)已知,如图①所示,在△ABC和△AOE中,/1B=AC,AD=AE,ABAC

=/DAE,且点8、A、。在一条直线上,连接BE、CD.

(1)求证:BE=CD;

(2)若M、N分别是8七和CO的中点,将绕点4按顺时针旋转,如图②所示,试证明在旋转过

程中,△4MN是等腰二角形;

(3)试证明与△ABC和△AQE都相似.

图①图②E

专题27.3相似三角形的判定【十大题型】

【人教版】

【题型I相似三角形的判定条件】.....................................................................2

【题型2格点中的相似三角形】.......................................................................3

【题型3相似三角形的证明】..........................................................................4

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】.................................................5

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】...............................................................6

【题型6确定相似三角形的对数】.....................................................................7

【题型7相似三角形中的多结论问题】.................................................................8

【题型8相似三角形与动点的综合】..................................................................10

【题型9相似与最值】................................................................................11

【题型10旋转型相似】................................................................................12

脑露〒一更三

【知识点1相似三角形的判定】

*

判定定理//\\/八\

jf----------T------71.

简称为两角对应相等,两个二角形相

判定定理1:

似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

如图,如果=ZB=则

两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

△ABCs”bC'.

简称为三边对应成比例,两个三角形相

判定定理2:似.

如果两个三角形的三组对应边成比例,那么

力田ASBCAC.

如图,如n果一;_;=-;_;=-;一;,则m

这两个三角形相似.A0ffCA!C

简称为两边对应成比例且夹角相等,两

判定定理3:

个三角形相似.如图,如果看=上,

如果两个三角形的两组对应边成比例,并且

ABAC

对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

NA=N4,则△ABCs/w&c.

【题型1相似三角形的判定条件】

【例1】(2022秋•汉寿县期末)如图,若点。为△A8C的边43上一点(A8>AC),下列条件不能判定

△ABCSAACP的是()

A.4B=4ACPB.^ACB=ZAPCC.却=会D.

ABACCBAB

【分析】欲证△ACPSAAAC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即NA=NA,此时,

再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可.

【解答】解:A、ZB=ZACP,因为N4=NA,所以△ABCsaACP,不符合题意;

B、ZACB=ZAPC,因为NA=NA,所以△ABCs/viCR不符合题意;

C、当=右因为NA=NA,所以△ABCs^ACR不符合题意:

ABAC

、因为,而和的夹角为所以不能判定△符合题意・

DCBAoNA=NAPCBCNC,ABCs/UCP,

故选:D.

【变式1-1](2022春•泰安期末)如图,△43C,A4=12,AC=\5,D为AB上一点、,且AD=8,在AC

上取一点E,使以A、D、£为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于()

.32.,15

A.g或r万B.10或与

C.0或cD.以上答案都不对

【分析】分情况讨论.

【解答】解:•「△ABC与△AOE相似,

•・・AO=8,AB=12,AC=\5,

8_AE

15-77

解得:A£=10或6.4.

故选:C.

【变式1-2](2022秋•合肥期末)如图,CO是RtZ\A8c斜边A8上的中线,过点C作CE_LC。交48的

延长线于点E,添加下列条件仍不能判断ACEB与△C4。相似的是()

A.ZCBA=2ZAB.点6是。E的中点

nCEBE

C.CE*CD=CA*CB一

D.­CA=AD

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【解答】解:VCE1CZ),

r.ZEDC=90°,

VZ«CA=90°,

••・/BCE=NOC4=90°-/BCD,

':CD是RtZXABC斜边AB上的中线,

:.DC=DB=DA,

.\ZDAC=ZA,

:,ZBCE=ZDCA=ZA,

•••/C8A=2NA,NC8A+NA=90°,

・・・NA=N8CE=NOCA=3(T,ZCBA=60",

••・NE=NCB4-NBCE=3O°,

・•・/BCE=ZDCA=ZE=ZA,

:ACEBsACAD,

・・・A不符合题意,

•・•点4是。E的中点,

:・BE=BC,

:./BCE=/E,

・•・£BCE=ZE=ZDCA=ZA.

.••△CE8s△CAQ,

・・・3不符合题意,

■:CE・CD=CA,CB,

.CE=CB

■C•A—CD—,

^BCE=ZDCA,

・・・C不符合题意.

由詈二弟由于NE和4不能判断相等,故不能判断△CEB与△CW相似,

・・・。符合题意,

故选:。.

【变式1-3](2022秋•通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31

页遇到这样一道题,如图1,在△A8C中,P是边A8上的一点,连接CP,要使△AC尸saABC,还需

要补充的一个条件是/ACP=/B(或NAPC=NAC8),或化二仍..

请回答:

(1)王华补充的条件是./ACP=NB(或N/\QC=NAC8),或

(2)请你参考上面的图形和结论,探究,解答下面的问题:

如图2,在△4区(?中,NA=30。,AC2=AB2+AH*HC.求的度数.

【分析】(1)由NA=NA,当NACP=N8,或N4PC=N4C8;或益=韵寸,AACP^AABC;

(2)延长AB到点。,使BO=BC,连接CQ,由已知条件得出证出舞=翌,由乙4=乙4,证出AACB

ADAC

/△AQC,得出对应角相等N4C8=NO,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出N4C8+N

BCQ+NQ+NA=180°,得出/4C5=50°即可.

【解答】解:・・・NA=N4,

・••当N4CP=N8,或/APC=/AC8;

或竺二竺,即时,XACPsXkBC\

ABAC

故答案为:NACP=NB(或NAPC=NAC8),或Ad=AP・A&

(1)王华补充的条件是:/ACP=/B(或NAPC=NAC8);^AC2=AP*AB;理由如下:

•・•NA=NA,

,当NACP=NB,或NAPC=NACB;

或先=氏,HRAC2=AP・AB时,△AC尸s^ABC;

故答案为:NACP=NB(或/APC=NACB),^iAC2=AP>AB;

(2)延长A8到点O,使8£>=8C,连接C。,如图所示:

t:AC2=AB2+AB*BC=AB(AB+BC)=AB(AB+BD)=A3・AQ,

.ACAB

••~~»

ADAC

又・・・NA=/A,/.△ACZ?-AADC,

・•・NACB=N。,

•:BC=BD,

:・/BCD=/D,

在△4C。中,ZACB+ZBCD+ZD+Z4=180°,

・・・3NAC3+30°=180°,

AZACB=50°.

【题型2格点中的相似三角形】

[ft2](2022春•文登区期末)如图,在正方形网格中有5个栓点:三角形,分别是:①△”(?,②△ACO,

③△AQ£,®AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是:)

A.①③B.®@C.®@D.©®@

【分析】根据相似三角形的旋转可知,相似三角形的对应角相等即可判断.

【解答】解:由图形知,⑤中/AHG=135°,

而①②③④中,只有①N8AC=I35°和③NA/)E=I35°,

再根据两边成比例可判断,与⑤相似的三角形是①③,

故选:A.

【变式2-1](2022秋•雄县期末)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与4

4BC相似的是()

【分析】利用△A3C中,ZACB=135°,AC=V2,BC=2,然后根据两组对应边的比相等且夹角对应

相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.

【解答】解:在△ABC中,N4c8=135°,AC=V2,BC=2,

在8、C、。选项中的三角形都没有135°,而在A选项中,三角形的钝角为135°,它的两边分别为1

和企,

因为4=学,所以A选项中的三角形与△A8C相似.

V21

故选:A.

【变式2-2](2022秋•青田县期末)如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上,下列两个三角形中相

似的是()

B.©@C.②③D.@@

【分析】可分别求出三角形的边长,根据对应边成比例三角形相似,进行判断即可.

【解答】解:第一个三角形的边长分别为:/10,V5,5;

第二个三角形的边长分别为:V5,2V2,V17;

第三个三角形的边长分别为:2,V2,710:

第四个三角形的边长分别为:3,企,V5;

对应边成比例的是①和③.

故选:B.

【变式2-3](2022秋•法库县期末)如图,在5X6的方格纸中,画有格点△ER7,下列选项中的格点,与

E,G两点构成的三角形中和aFFG相似的是()

EA

KCL)

V\B

FG

A.点AB.点BC.点CD.点、D

【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1.2的直角三角形,然后利用相似三角形的

判定方法选择答案即可.

【解答】解:观察图形可得△EFG中,直角边的比为募=;,

Ct*,

观察各选项,Q综W只有。选项三角形符合,与所给图形的三角形相似.

故选:D.

【题型3相似三角形的证明】

【例3】(2022•淳安县一模)如图,在△A8C中,。、£分别是边AC、6c的中点,〃是6c延长线上一点,

NF=NB.

(1)若A8=10,求的长;

(2)若AC=BC,求证:ACDEs^DFE.

【分析】(1)首先利用中位线定理得到。E〃AB以及。E的长,再证明NOEC=N尸即可;

(2)根据等腰三角形的性质得到NA=N8,进而求出NCOE=NF并结合NCEO=NOEF即可证明4

CDEsADFE.

【解答】解:(1):。、石分别是AC、BC的中点,

.DE//AB,DE=-2AB=5,

*:DE//AB,

:・/DEC=/B,而/尸=N8,

・•・ZDEC=ZF,

:・DF=DE=5;

(2)':AC=BC,

NA=/B,

VZCDE=ZA,NCED=NB,

:・NCDE=NB,

I/B=NF,

:.ZCDE=ZF,

a:ZCED=ZDEF,

.,.△CD^ADFE.

【变式3-1](2022秋•临安区期末)如图,点8、D、七在一条直线上,8E交AC于点凡吟=哆,且/

ADAE

BAD=NCAE.

(1)求证:△ABCs/XAOE;

(2)求证:XAEFs2BCF.

A

E

D

B

【分析】(1)根据相似三角形的判定定理证明;

(2)根据相似三角形的性质定理得到NC=NE结合图形,证明即可.

【解答】(1)・・・NZMQ=NCA£

:,ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD

即NBAC=/D4E

在AABC和AAOE中

丝=生/BAC=/DAE,

ADAE

(2)

・・・NC=N£、

在△人£:尸和△BFC中,ZC=ZF,ZAFE=ZBFC,

・•・XAEFs^BCF.

【变式3-2](2022秋•下城区期末)己知:如图,。为△A3C内一点,A',b,。分别是04,OB,0C上

的点,且0/T:AA'=OB':33=1:2,OC:CC=2:1,且03=6.

(1)求证:△OAbs^OA&

(2)以O,B',C为顶点的三角形是否可能与△08C相似?如果可能,求0C的长;如果不可能,请说

明理由.

【分析】(1)根据两边成比例夹角相等即可证明;

(2)要使以0,夕,C为顶点的三角形与△OBC相似,只要满足器=器,想办法构建方程即可解决问

OCOB

,题;

【解答】(1)证明:':0A':AA'=0B':BB'=1:2,

:.0A':OA=OB':OB=\t3,

•・・N4'OB'=ZAOB,

•••△OA'8SZ\OA&

(2)解:可能相似.理由如下:

VOA1:AA:=OB\2,OB=6,

OB'=2,

VOC:CC=2:1,NCOB=/C'OB',设CC'=x,OC'=2x,0C=3x,

要使以O,8,C为顶点的三角形与△O3C相似,

只要满足器得,

.22X

••装=£'

;・x=±V2

Vx>0,

.*.x=V2

/.OC=3yf2.

【变式3-3](2022春•仪征市校级期末)如图,△ABC、ZX。"是两个全等的等腰直角三角形,ZBAC=

NPDE=90°.

(I)若将△QEP的顶点P放在BC上(如图1),P。、PE分别与AC、4B相交于点F、G.求证:△

PBGSAFCP;

(2)若使△OEP的顶点P与顶点A重合(如图2),PD、PE与8c相交于点八G.试问△尸86与4

尸C尸还相似吗?为什么?

【分析】(1)如图1,先根据等腰直角三角形的性质得上5=NC=NOPE=45°,再利用平角定义得到

ZBPG+ZCPF=135°,利用三角形内角和定理得到N8PG+NBGP=135°,根据等量代换得NBGP=

NCP凡加上N3=/C,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论;

(2)如图2,由于N3=NC=NQPE=45°,利用三角形外角性质得N8GP=NC+NCPG=45°+ZCAG,

而NCP"=45°+NCAG,所以NAG8=NCPF,加上N8=NC,于是可判断△尸8Gs△/CP.

【解答】(1)证明:如图1,

•••△ABC、AOE尸是两个全等的等腰直角三角形,

・・・NB=NC=NOPE=45°,

AZBPG+ZCPF=I35°,

在△8PG中,VZB=45°,

:.NBPG+/BGP=135°,

/BGP=NCPF,

•:乙B=±C,

:.△PBGSAFCP:

(2)解:Z\PBG与△尸C尸相似.理由如下:

如图2,〈△ABC、/XOEP是两个全等的等腰直角三角形,

:・NB=NC=NDPE=45°,

•:NBGP=NC+NCPG=45°+/C4G,

NCPF=NFPG+/CAG=450+ZCAG,

:.ZAGB=ZCPF,

•・・NB=NC,

[ft4](2022秋•上城区期末)四边形A8CQ中,点E在边AB上,连接OE,CE.

(1)若NA=N8=NOEC=5D°,找出图中的相似三角形,并说明理由;

(2)若四边形/WC。为矩形,AB=5,BC=2,且图中的三个三角形都相似,求A七的长.

(3)若NA=N3=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似,请判断4E和3E的数量关系并说明理

由.

【分析】(1)根据相似三角形的判定定理推出即可;

(2)根据相似得出比例式,代入求出即可;

(3)分为两种情况,化成图形,再根据相似三角形的性质求出即可.

【解答】解:(1)XDAEs4EBC,

理由是:VZA=ZDEC=

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