2023-2024学年北京市第一五六中学中考数学五模试卷含解析

2023-2024学年北京市第一五六中学中考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.甲、乙两人同时分别从A,B两地沿同一条公路骑自行车到C地.已知A,C两地间的距离为H0千米，B,C两

地间的距离为100千米.甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时.结果两人同时到达C地.求两人的平均速度，为解

决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时.由题意列出方程.其中正确的是（）

110100110100110_100110100

A.------=------B.一=-D.一=-

x+2xxx+2x-2xxx-2

2.有个零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的主视图是（）

A.

3.如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该

几何体的主视图是（）

A.曲B.宝C.丑D.曲

4.如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（)

直

A.

5.抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在(

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

k

6.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数y=—(x>0)的图象经过顶

x

点B,则k的值为

7.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨?.小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5

3

月的水费则是10元.已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多求该市今年居民用水的价格.设去

年居民用水价格为x元/加，根据题意列方程，正确的是()

3()15u3015u

--------=5--------=5

A，(1+)*B・(if”

33

3015=3015

--------=5---------=5

CX(1+3D-X(l-l)A*

8.如图，直线h〃12,以直线h上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线h、b于点B、C,连接AC、BC.若

C.67°D.78°

9.如图，3个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.己知菱形的一个角为60。，A、B、C都在格

点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且则44EC度数为()

A.75°B.60°C.45°D.30°

10.-V3的相反数是（）

A.—B..且C.0

D.-6

33

11.下列计算正确的是()

A.2x+3x=5xB.2x*3x=6xC.(x3)2=5D.x3-x2=x

12.如图，将AABC沿DE,EF翻折,顶点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO,若NDOF=142。,

则NC的度数为（)

A.38°B.39°C.42°D.48°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，直线y=：x+2与x轴交于点A,与），轴交于点8,点。左x轴的正半轴上，OD=OAf过点。作CD_Lx

轴交直线AB于点C,若反比例函数y=V（AwO）的图象经过点C,则上的值为.

x

2

14.如图，已知点A是一次函数y=1X（xK））图象上一点，过点A作x轴的垂线1,B是1上一点（B在A上方），在AB

的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数y='（x>0）的图象过点B,C,若AOAB的面积为5,则

△ABC的面积是

X4-y2+1

15.定义一种新运算：x*y=-----,如2*1=--------=3,则(4*2)*(-1)=.

)'1

k

16.如图，点A的坐标是（2,0）,△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数），:一的图象经过点B,

x

18.若2a・b=5,a-2b=4,则a・b的值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）计算：J-1）

a-b

20.（6分）如图所示，PB是。O的切线，B为切点，圆心O在PC上，NP=30。，D为弧BC的中点.

⑴求证：PB=BC；

⑵试判断四边形BOCD的形状，并说明理由.

21.（6分）如图，为。。的直径，直线于点8,点。在。。上，分别连接8C,4C,且4C的延长线交

于点O,。尸为。。的切线交于点F.

（1）求证：CF=DF；

（2）连接OR若A3=10,3c=6,求线段O尸的长.

22.（8分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策:由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业

生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担,李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这

种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件1沅，每月销售量（件）与销售单价X（元）之间的关系近似满足一次

函数:产二」伍1,出亚内李明在开始创业的第一个月将销售单价定为2：元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?

设李明获得的利润为丁（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?物价部门规定，这种节能灯的销售单价不

得离于丫元.如果李明想要每月获得的利润不低于？（XK元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

23.（8分）把0,1,2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在

桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字.放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字,请用列表法或树

状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率.

24.（10分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中男生、女生的

人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：

组别身高

Ax<160

B160<x<165

C165<x<170

D17叱xV175

Ex>175

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）样本中，男生的身高众数在组，中位数在组;

（2）样本中，女生身高在R组的有人，E组所在扇形的圆心角度数为:

（3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估让身高在165qV175之间的学生约有多少人?

25.（10分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息:

“读书节”活动计划书

书本类别科普类文学类

进价」（单位：元）1812

（1）用不超过16800兀购进两类图书共1000本；

备注（2）科普类图书不少于600本；

•••

（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的L5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量

恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；

（2）经市场调查后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低“（0

VQV5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

26.（12分）先化简，再求值：（,——匚）2。+1,其中a=#+l.

aa+\cr+a

27.（12分）列方程或方程组解应用题：

为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车.已知小张家距上班地点10千米,他用骑公共

自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，

骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍.小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千

米？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110

千米所用时间;乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可.

解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：

110_ioo

"2-二

故选A.

2、C

【解析】

根据土视图的定义判断即可.

【详解】

解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确.

故选：C.

【点睛】

此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键.

3、C

【解析】

A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.

【点睛】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线,

看不到的线画虚线.

4、B

【解析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

5、A

【解析】

根据二次函数图象所在的象限大致画出图形，由此即可得出结论.

【详解】

•・•二次函数图象只经过第一、三、四象限，.••抛物线的顶点在第一象限.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键.

6、D

【解析】

如图，过点C作CD_Lx轴于点D,

・••根据勾股定理，得：OC=5.

•・•四边形OABC是菱形，，点B的坐标为(8,4).

V点B在反比例函数v-b.(Q0)的图象上，

X

故选D.

7、A

【解析】

解：设去年居民用水价格为x元根据题意列方程:

3015匚

X,故选A・

8、B

【解析】

根据圆的半径相等可知AB=AC,由等边对等角求出NACB,再由平行得内错角相等，最后由平角180c可求出Nl.

【详解】

根据题意得：AB=AC,

AZACB=ZABC=67O,

;直线h〃L,

/.Z2=ZABC=67°,

VZ1+ZACB+Z2=18O°,

，NACB=1800-NLNACB=180°-67°-67°=46”.

故选B.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练根据这些性质得到角之间的关系是关键.

9、B

【解析】

将圆补充完整，利用圆周角定理找出点£的位置，再根据菱形的性质即可得出△CME为等边三角形，进而即可得出

NAEC的值.

【详解】

将圆补充完整，找出点E的位置，如图所示.

・・•弧AO所对的圆周角为NA。、/AEC,

，图中所标点E符合题意.

丁四边形NCWEN为菱形，且NCMEtO。，

为等边三角形，

:.NAEC=6（『.

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点E的位置是解题的关键.

10、C

【解析】

根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.

【详解】

与6只有符号不同，

所以-6的相反数是G，

故选c.

【点睛】

本题考杳了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

11、A

【解析】

依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可.

【详解】

A、2x+3x=5x,故A正确；

B、2x*3x=6x2,故B错误；

C、（炉）2=、6,故c错误：

D、x3与好不是同类项，不能合并，故D错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键.

12、A

【解析】

分析：根据翻折的性质得出NA=NOOE,/B=/FOE,进而得出N〃0F=N4+NB,利用三角形内角和解答即可.

详解：•・•将△A8C沿翻折，JZA=ZDOEfZB=ZFOEf：.ZDOF=ZDOE+ZEOF=ZA+ZB=\42°f：.ZC=180°

-ZA-ZB=180°-142°=38°.

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转

化的思想，属于中考常考题型.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

先求出直线y=gx+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD,得到C点坐标.

【详解】

解：令x=0,得产;x+2=0+2=2,

AB(0,2),

AOB=2,

令y=0,得0=gx+2,解得，x=-6,

AA(-6,0),

/.OA=OD=6,

VOB//CD,

ACD=2OB=4,

：.C(6,4),

把c(6,4)代入y二七(k^O)中，得k=L

x

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待

定系数法.本题的关键是求出C点坐标.

14、°

3

【解析】

22

如图，过C作CDJ_y轴于D,交AB于E.设AB=2a,贝I」BE=AE=CE=a,再设A(x,-x),则B(x,-x+2a)、

33

222

C(x+a,—x+a),再由B、C在反比例函数的图象上可得x(—x+2a)=(x+a)(—x+a),解得x=3a,由△OAB的

333

面积为5求得ax=5,即可得a?=’，根据SABC=-AB*CE即可求解，

3A2

【详解】

如图，过C作CD_Ly轴于D,交AB于E.

ACDXAB,

•・•△ABC是等腰直角三角形,

ABE=AE=CE,

设AB=2a,则BE=AE=CE=a,

设A(x,—x),则B(x,—x+2a),C(x+a,—x+a),

333

•・・B、C在反比例函数的图象上，

Ax(—x+2a)=(x+a)(—x+a),

33

解得x=3a,

VSAOAB=-AB*DE=—•2a*x=5,

22

/.ax=5,

SAABC=—AB«CE=-*2a*a=a2=—.

223

故答案为：7.

3

【点睛】

本题考杳了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合

反比例函数的关系式是关键.

15、-1

【解析】

利用题中的新定义计算即可求出值.

【详解】

4+23-1

解：根据题中的新定义得：原式=1一*(-1)=3*(・1)=-=-1.

2-1

故答案为・1.

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

16、技

【解析】

已知△ABO是等边三角形，通过作高BC,利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于RSOBC中一

条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定埋还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比

k

例函数的解析式》二一中，即可求出k的值.

X

【详解】

过点B作BC垂直OA于C,

•・•点A的坐标是(2,0),

AAO=2,

VAABO是等边三角形，

/.OC=LBC=>/3,

二点B的坐标是

把(1,6)代入)，=：，得k=E

故答案为V3.

【点睛】

考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；

17、a(a-b)).

【解析】

【分析】先提公因式a,然后再利用完全平方公式进行分解即可.

【详解】原式=a(a1-lab+b1)

=a(a-b)I

故答案为a(a-b)L

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

18、1.

【解析】

试题分析：把这两个方程相加可得la・lb=9,两边同时除以1可得a・b=L

考点：整体思想.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【解析】

根据分式的混合运算法则把原式进行化简即可.

【详解】

工4b,aa-b

原式二/,八/---或+(------------)x

(a+b)(ci—h)a—ba—b

ba-a+b

=-------------------r-------------

(a+b)(a-b)a-b

_______ba-b

~(a+b)(a-b)*b

1

a+b

【点睛】

本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解答此题的关键.

20、(1)见解析；(2)菱形

【解析】

试题分析：(1)由切线的性质得到NOBP=90。，进而得到N8OP=60。，由0C=80,得到NO8C=NOCB=30。，由等角

对等边即可得到结论；

(2)由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可.

o9

试题解析：证明：(1)・.・PB是。。的切线，AZOBP=90°,ZPOB=90-30°=60°.：OB=OCt

：./OBC=NOCB./POB=NOBC+NOCB,二NOC5=30°=NP,:.PB=BC；

(2)连接。。交8C于点・・・O是弧5C的中点，・・・OO垂直平分5c.

在直角△OMC中，・・・NOCM=30。，：.OC=2OM=ODt，四边形BOCO是菱形.

【解析】

(1)连接OC,如图，根据切线的性质得Nl+N3=90。，则可证明N3=N4,再根据圆周角定理得到NACB=90。，然后

根据等角的余角相等得到NRDC=N5,从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；

25

(2)根据勾股定理计算出AC=8,再证明AABC^AABD,利用相似比得到AD=—,然后证明OF为八ABD的中位

2

线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长.

【详解】

(1)证明：连接。C,如图，

•・・C尸为切线，

：.()CA.CF,

r.Zl+Z3=90°,

.\Z2+Z4=90°,

•：OC=OBt

AZ1=Z2,

••・N3=N4,

为直径，

/.ZACB=90°,

，N3+/5=90。，Z4+ZBDC=90°,

：.ZBDC=Z5f

：.CF=DF；

(2)在RtAABC中，AC=7102-62=8»

•:NBAC=/DAB,

：・4ABCSAABD,

,ABAC108

••=即an

ADABtAD-10,

95

：.AD=­

2f

VZ3=Z4,

：.FC=FBt

而FC=FD,

:・FD=FB,

而BO=AOt

：.0F为卜A3。的中位线，

125

：.OF=-AD=—.

24

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出

垂直关系.也考查了圆周角定理和垂径定理.

22、(1)政府这个月为他承担的总差价为644元；

(2)当销售单价定为34元时,每月可获得最大利润144元；

(3)销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为544元.

【解析】

试题分析：(1)把x=24代入y=-14x+544求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；

(2)由利润=销售价-成本价，得w=(x-14)(-14X+544)，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大

利润；

(3)令-14W+644X・5444=2,求出x的值，结合图象求出利润的范围•然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根

据一次函数的性质求出总差价的最小值.

试题解析：(1)当x=24时,y=-14x+544=-14x24+544=344,

344x(12-14)=344x2=644元,

即政府这个月为他承担的总差价为644元；

(2)依题意得,w=(x-14)(-14x+544)

=-14X2+644X-5444

=-14(x-34)2+144

Va=-14<4,.\当x=34时,w有最大值144元.

即当销售单价定为34元时,每月可获得最大利润144元；

(3)由题意得：-14X2+644X-5444=2,

解得：xi=24,xz=l.

・・・a二・14V4,抛物线开口向下，

，结合怪象可知：当24<x<l时,wN2.

XVx<25,

:.当24<x<25时,、vN2.

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

Ap=(12-14)x(-14x4-544)

=-24x+3.

Vk=-24<4.

・・・p随x的增大而减小，

**.当x=25时,p有最小值544元.

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为544元.

考点：二次函数的应用.

4

23、见解析，—.

【解析】

画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4,

4

所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率=-.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

24、(1)B,C；(2)2；(3)该校身高在165WXV175之间的学生约有462人.

【解析】

根据直方图即可求得男生的众数和中位数，求得男生的总人数，就是女生的总人数，然后乘以对应的百分比即可求解.

【详解】

解：（1）•・•直方图中，B组的人数为12,最多，

二男生的身高的众数在B组，

男生总人数为：4+12+10+8+6=40,

按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，

・••男生的身高的中位数在C组，

故答案为B,C；

（2）女生身高在E组的百分比为：1・17.5%-37.5%-25%-15%=5%,

・.,抽取的样本中，男生、女生的人数相同，

，样本中，女生身高在E组的人数有：40x5%=2（人），

故答案为2；

（3）600x-^^+480x（25%+15%）=270+192=462（人）.

40

答：该校身高在1658xV175之间的学生约有462人.

【点睛】

考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图，中位数，众数，比较基础，掌握计算方法是解题的关键.

25、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800

本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于