中考数学专项训练《相似三角形》含答案及解析

重难点突破全等三角形与相似三角形

目录

题型特训-精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

类型三手拉手旋转模型

类型四中点旋转模型

类型五通过旋转构造三角形全等

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

类型二做平行线构造“X”型相似

类型三作垂线构造直角三角形相似

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）

类型四相似中的“一线三等角”模型

类型五相似三角形与多边形综合

题型特训-精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

1.（20-21八年级上•江苏南京•阶段练习）如图，等腰直角三角形4BC中，NA4c=90。，AB=AC,点、M,N

在边8c上，且/M4N=45。.若8W=1,CN=3,求MV的长.

2.（2021•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片4BCZ）折叠，使边/8、都落在对角线NC上，展开得折痕/£、AF,连接跖，

如图1.

转一转：将图1中的NE”绕点/旋转，使它的两边分别交边2C、CD于点P、Q,连接P。，如图2.

（2）线段8尸、PQ、。。之间的数量关系为；

（3）连接正方形对角线8。，若图2中的NP4Q的边NP、月。分别交对角线AD于点M、点N.如图3,则

CQ=

BM------------------

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线2D剪开，如图4.

（4）求证：BM2+DN2=MN2.

3.（2020•湖南湘西•中考真题）问题背景：如图1,在四边形力BCD中，乙62。=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

AABC=120°,AMBN=60°,NMBN绕B点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.探究图中线段4E,CF,

EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,先证明aBCG三

△BAE,再证明△BFC三△8FE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形4BCD中，Z.BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,^ABC=24MBN,乙MBN绕

B点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”

或者“不成立，'），不要说明理由.

探究延伸2：如图3,在四边形ABCC中，BA=BC,^BAD+^BCD=180°,乙ABC=24MBN,乙MBN绕B

点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处舰艇乙在指挥中心南

偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

4.(2022•辽宁朝阳•中考真题)【思维探究】如图1,在四边形A8C。中，ZBAD=60°,Z5CD=120°,AB

=AD,连接NC.求证：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延长CD到点£,使DE=BC,连接根据N24D+N2CD=180。，推得N8+N/OC

=180°,从而得到N2=N4DE,然后证明〜。石丝从而可证3C+CD=/C,请你帮助小明写出完整

的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,连接/C,猜想2C,CD,AC

之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD=46,NC与相交于点O.若四边

形/BCD中有一个内角是75。，请直接写出线段OD的长.

5.(20-21九年级上•湖北武汉•阶段练习)(1)问题背景.

如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,4B+ND=180°,E、F分别是线段BC、线段CD上的点.若NB4D=

2^EAF,试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系.

童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接4G,先证明△ABE三△4DG.再证明△

4EF三△4GF,可得出结论，他的结论应是一.

(2)猜想论证.

如图2,在四边形4BCD中，AB=AD,4B+"DC=180°,E在线段BC上、尸在线段CD延长线上.若NB4D=

2^EAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明.

(3)拓展应用.

如图3,在四边形4BDC中，4BDC=45°,连接BC、AD,AB:AC:BC=3:4:5,AD=4,且N4BD+NCBD=

180°.则△4CD的面积为.

图3

6.(2020•河南南阳•模拟预测)已知四边形4BCD中，AB_L4D,BC1CD,AB=BC,^ABC=120°,乙MBN=

60°,将NMBN绕点B旋转,它的两边分别交边40、DC（或它们的延长线）于点E、F.

图I图2

（1）当ZMBN绕点B旋转到4E=CF时（如图1）,

①求证：AABE=ACBF；

②求证：AE+CF=EF；

（2）当NM8N绕点B旋转到如图2所示的位置时，AECF,此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直

接回答.

类型三手拉手旋转模型

7.(2022•山东济南・中考真题)如图1,八婚。是等边三角形，点。在4/BC的内部，连接N。，将线段4D

绕点/按逆时针方向旋转60。，得到线段连接AD,DE,CE.

(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明;

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点尸与点2重合时，直接用等式表示线段BE和CE的数量关系为、

②如图3,当点尸为线段中点，且矶)=EC时，猜想/24D的度数，并说明理由.

8.(2020•辽宁丹东•中考真题)已知：菱形4BCD和菱形ABAD=^B'A'D',起始位置点4在边4®

上，点B在4夕所在直线上，点B在点4的右侧，点夕在点4的右侧，连接4C和4L,将菱形28CD以4为旋

转中心逆时针旋转a角(0。<a<180。).

(1)如图1,若点4与4重合，S.ABAD=AB'A'D'=90°,求证：BB'=DD'；

(2)若点4与4不重合，M是4c，上一点，当=时，连接BM和4C,BM和4c所在直线相交于点P；

①如图2,当NB4D=NB7T)=90。时，请猜想线段BM和线段4c的数量关系及NBPC的度数；

D'

②如图3,当NBA。=N夕A。=60。时，请求出线段BM和线段4c的数量关系及48PC的度数;

③在②的条件下，若点4与的中点重合，A'B'=4,AB=2,在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，

请直接写出线段的长.

9.（2022•河南驻马店•三模）如图1,△ABC是边长为6cm的等边三角形，边NB在射线（W上，且。4=9cm.点

。从O点出发，沿方向运动.当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60。得到CE.连

接BE,DE.

（1）如图1,当点。在线段CM上运动时，线段8。、BE、2C之间的数量关系是,直线4D和直线BE

所夹锐角的度数是:

（2）如图2,当点。运动到线段（不与/点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理

由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由;

（3）如图3,将△ABC改为等腰直角三角形，其中斜边4B=6,其它条件不变，以C。为斜边在其右侧作等腰

直角三角形CDE,连接2E,请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由.

类型四中点旋转模型

10.(2023•河北唐山•二模)已知：在正方形4BCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF1BD,交BC于点

F,连接DF,G为。F的中点，连接EG,CG.

⑴猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明.

【拓展探究】

⑵将图1中ABEF绕B点逆时针旋转45。得到图2,取DF中点G,连接EG,CG.你在⑴中得到的结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明.

11.(2023•山东淄博・中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片4BCD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

(2)深入探究

小红在保持矩形28C。不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若28=2,AD=4.

探究一：当点F恰好落在4D的延长线上时，设CG与DF相交于点如图②.求aCMF的面积.

探究二：连接2E,取4E的中点H,连接D”，如图③.

求线段DH长度的最大值和最小值.

12.（2021•江苏宿迁•中考真题）已知正方形48co与正方形/EFG,正方形NEFG绕点Z旋转一周.

（1）如图①，连接3G、CF,求行的值；

DG

（2）当正方形4EFG旋转至图②位置时，连接CRBE,分别取CRBE的中点X、N,连接MN、试探究:

与2E的关系，并说明理由；

（3）连接BE、BF,分别取BE、8尸的中点N、Q,连接0N,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

类型五通过旋转构造三角形全等

13.（2022-内蒙古呼和浩特•二模）如图，点P是正方形4BCD内一点，且点尸到点/、B、C的距离分别为

2百、&、4,则正方形/BCD的面积为（）

B.14+4V3C.12D.24

14.（2023・湖北随州•中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直

线上的三个点B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里

拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点）

当△ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将aapc绕，点c顺时针旋转60。得到连接pp:

由PC=P'C,Z.PCP'=60°,可知△PCP'为①三角形,故PP，=PC,又P'A=P4,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',N在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为AB,此时的

P点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=Z.BPC=乙4PB=③；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NBAC2120。,

则该三角形的“费马点”为④点.

⑵如图4,在△4BC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点P为△ABC的“费

马点”，求P4+PB+PC的值；

（3）如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向N,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄n,B,C的铺设成本分别为“

元/km,a元/km,迎a元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果用

含a的式子表示）

15.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）【问题背景工如图1,点D是等边△ABC内一点，连接

将△ABD绕点4逆时针旋转60。得到△4CE,连接DE,观察发现：8。与CE的数量关系为,直线BD

与CE所夹的锐角为度；

【尝试应用】：如图2,在等腰直角中，AB=AC,^BAC=90°,点。是等腰直角△28C内一点，连

接AD,BD,CD,若AD=2a,BD=5,CD=3,求△BCD面积；

【拓展创新】:如图3,在等腰△28C中,AB=4C,NB4C=120。，点。为平面内一点，且乙=60。,鬃=3,

图3

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

16.（2023•内蒙古・中考真题）如图，AB是。。的直径，E为。。上的一点，点C是弱的中点，连接BC,过点

C的直线垂直于BE的延长线于点D,交B4的延长线于点P.

（1）求证：PC为。。的切线；

（2）若PC=2aB0,PB=10,求BE的长.

17.（2018•湖北黄石•中考真题）在aABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.

(1)如图1,若EF〃:BC,求证：红丝£=空丝

ABCABAC

(2)如图2,若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由;

(3)如图3,若EF上一点G恰为AABC的重心，笠=。，求受空的值.

AB4S&4BC

类型二做平行线构造“X”型相似

18.(2023九年级•全国•专题练习)在△ABC中，已知。是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直

线分别交/8、NC于点E、F.

⑴如图1,当EFIIBC时,求证：。+收=1；

(2)如图2,当EF和不平行，且点从尸分别在线段AB、AC上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请

给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3)如图3,当点£在4B的延长线上或点尸在2C的延长线上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出

证明；如果不成立，请说明理由.

19.(2023・湖北孝感•三模)【问题情境】

小睿遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中，点D在线段BC上,NB4D=75°,ACAD=30°,AD=4,BD=2DC,

求4C的长.

AAA

D

BDCBD\/C

EB

图1图2图3

【问题探究】

小睿发现，过点C作CEIIAB,交4。的延长线于点E,经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2.

⑴①“CE的度数为；②求4C的长；

【问题拓展】

(2)如图3,在四边形4BCD中，NB4C=90°,/.CAD=30°,zX£)C=75。,2。与8。交于点&4£'=2m,BE=2ED,

求BC的长.

20.(2023•广东深圳・中考真题)(1)如图，在矩形4BCD中，E为2D边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF1BE交BE于点F,求证：△4BE王△FCB；

②若S矩形4BCD=20时，则BE-CF=.

(2)如图，在菱形4BCD中，cos4=1,过C作CE_L交4B的延长线于点E,过E作EF1AD交4。于点尸,

若S菱形ABCD=24时，求EF•8C的值.

(3)如图，在平行四边形4BCD中，NA=60。，AB=6,AD=5,点E在CD上，且CE=2,点F为BC上一

点，连接EF,过E作EG交平行四边形4BCD的边于点G,若EF-EG=78时，请直接写出4G的长.

11D,E

缶用图

类型三作垂线构造直角三角形相似

21.(2022•山西•中考真题)综合与实践

问题情境：在比△NBC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板ED尸中NED尸=90。，将三角板的直角

顶点。放在用△NBC斜边8C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,。尸分别与边

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形/地W的形状，并说明理由;

问题解决:

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长；

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当4M=4N时,直接写出线段ZN的长.

22.(2020•江苏南通・中考真题)【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

【理解运用】

(1)如图①，对余四边形NBCD中，AB=5,BC=6,CD=4,连接4c.^AC=AB,求sin/C4。的值;

(2)如图②，凸四边形/BCD中，AD=BD,AD±BD,当ZCD+CB』。?时，判断四边形/BCD是否为

对余四边形.证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点/（-1,0）,B（3,0）,C（1,2）,四边形48CZ）是对余四边形，点E在

对余线8。上，且位于△/2C内部，ZAEC=90°+ZABC.设熊="，点。的纵坐标为人请直接写出M关于

，的函数解析式.

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

23.⑵-24九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在四边形ABCC中，乙4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,

DA=5V5，贝1JBD的长为

24.（2022上・江苏扬州•九年级统考期中）将一张以4B为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，

在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的

四边形纸片/BCD,其中NA=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则该矩形与4B相邻的另一条边

25.（2023九年级•全国・专题练习）如图，在△4B2中,ABAC=60°,4ABC=90°,直线。||12||13,2与%之

间距离是1,%与G之间距离是2,且，1，5G分别经过点儿B,C,则边4C的长为（）

c3V21

A.2V3BVTTC.---D.雪

.4

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

26.（2023•湖北鄂州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。8=3有，点（；为平面内一

动点，BC=|,连接AC,点M是线段4C上的一点，且满足=1:2.当线段0M取最大值时，点M的

坐标是（）

A-G-l）B.（|迎2）C.（|，Y）D.QV5,yV5）

27.（2021・湖南娄底•中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心/沿无轴移动，当。4与直

线Q只有一个公共点时，点N的坐标为（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

28.(2023•江苏镇江•中考真题)如图，正比例函数y=-3%与反比例函数y=丰0)的图象交于N,8(1,m)

两点，点C在x轴负半轴上，^ACO=45°.

(l)m=,k=,点C的坐标为.

(2)点尸在x轴上，若以8,。，尸为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标.

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

29.（2021•四川绵阳•中考真题）如图，在△4CD中,4D=6,BC=5,AC2=4BQ4B+8。）,且4DAB〜ADCA,

若AD=34P,点Q是线段4B上的动点，则PQ的最小值是()

叱V6

A.B.C.当D

22-1

30.(2022•贵州铜仁•中考真题)如图，在边长为2的正方形/BCD中，点E为/。的中点，将4CDE沿CE

翻折得点M落在四边形4BCE内.点N为线段CE上的动点，过点、N作NP//EM交MC于点、P,则

MN+NP的最小值为.

31.（2023・四川泸州•中考真题）如图，E,F是正方形48CD的边4B的三等分点，P是对角线4C上的动点,

当PE+PF取得最小值时，黑的值是

32.（2022•湖南郴州•中考真题）如图1,在矩形/8CO中，AB=4,BC=6.点E是线段上的动点（点

⑴求证：AAEFFDCE；

（2）如图2,连接CR过点2作BGLCF,垂足为G,连接ZG.点M是线段2C的中点，连接GM.

①求4G+GM的最小值;

②当4G+GM取最小值时，求线段。E的长.

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏

圆）

33.（2020•广西•中考真题）如图，在RtaABC中，4B=AC=4,点、E,尸分别是NC的中点，点尸是

扇形/斯的即上任意一点，连接BP,CP,则打尸+CP的最小值是.

34.(2023・山东烟台・中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于4,8两点，与y轴交于点&4B=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点4的直线y=kx-1交于点D,与％轴交于点E.

(1)求直线2。及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以4D为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+卷PA的最小值.

35.(2021・四川达州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点2和C(l,0)，

交y轴于点8(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点0沿顺时针方向旋转得到线段OE',旋转角为a(0。<a<90°),连接4E',BE',求BE'+

豺的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以4B,M,N为顶点的四边形为矩

形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

类型四相似中的“一线三等角”模型

36.（23-24九年级上•陕西西安•阶段练习）（1）如图1,^ABC=90°,分别过4C两点作经过点5的直线

的垂线，垂足分别为E、F,AE=4,BE=2,BF=3,求CF的长度为一.

图1

(2)如图2,在矩形ABCD中，4B=4,BC=10,点E、尸、M分别在ZB、BC、AD1.,乙EMF=90°,AM=2,

当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积.

=90。，AC=15,BC=20,点E、尸分别在边48、BC上，^CEF=aS.

图3

37.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开

展数学活动.有一张矩形纸片4BCD,点E在射线4B上，现将矩形折叠，折痕为DE,点N的对应点记为点

F.

(1)操作发现：如图1，若点尸恰好落在矩形4BCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形;

⑵深入探究:如图2,若点尸落在矩形4BCD的边BC的下方时,EF、DF分别交BC于点M、N,过点尸作FG1BC,

FH1DC,垂足分别为点G、H,当点G是BC的中点时，试判断△DEF与△DFH是否相似，并证明你的结

论;

(3)问题解决：在(2)的条件下，若2D=3,BE=^,求的长.

38.(2023•河南周口三模)(1)问题发现：如图1,/-ABC=a,将边AC绕点。顺时针旋转a得到线段CE,

在射线BC上取点。，使得NCDE=a.请求出线段BC与DE的数量关系;

(2)类比探究：如图2,若a=90。，作乙4CE=90。，且CE=24C,其他条件不变，则线段BC与DE的数

量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明;

(3)拓展延伸：如图3,正方形ABC。的边长为6,点E是边4。上一点，且4E=2,把线段CE逆时针旋转

90。得到线段EF,连接直接写出线段BF的长.

*

H

类型五相似三角形与多边形综合

39.(2023・山东济南•中考真题)在矩形4BCD中，AB=2,AD=2V3,点E在边BC上，将射线4E绕点4逆

时针旋转90。，交CD延长线于点G,以线段ZE,AG为邻边作矩形4EFG.

图1图2图3

⑴如图1,连接皿，求N8DC的度数和能的值;

BE

(2)如图2,当点尸在射线BD上时，求线段BE的长;

(3)如图3,当E4=EC时，在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接P4PC,求P2+PC的最小值.

40.(2023・湖北武汉•中考真题)问题提出：如图(1),E是菱形28C0边8C上一点，△4EF是等腰三角形,

AE=EF,乙4EF=A4BC=a(aN90°),4尸交CD于点G,探究NGCF与a的数量关系.

问题探究:

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出NGCF的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGCF与a的数量关系.

问题拓展：

⑶将图⑴特殊化，如图(3),当a=120。时，若捋=5求詈的值・

41.(2021•山东日照•中考真题)问题背景：

如图1,在矩形48C0中，AB=2V3,乙48。=30。，点E是边4B的中点，过点E作EF，4B交8。于点F.

实验探究：

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△8EF绕点B按逆时针方向旋转90。，如图2所示，得到结论:

①筹=;②直线4E与。F所夹锐角的度数为

DF

(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否

仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当&BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为

重难点突破全等三角形与相似三角形

目录

题型特训-精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

类型三手拉手旋转模型

类型四中点旋转模型

类型五通过旋转构造三角形全等

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

类型二做平行线构造"X”型相似

类型三作垂线构造直角三角形相似

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）

类型四相似中的“一线三等角”模型

类型五相似三角形与多边形综合

题型特训-精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

1.(20-21八年级上•江苏南京•阶段练习)如图，等腰直角三角形/8C中，NBAC=90。,AB=AC,点、M,N

在边上，且NM4N=45。.若5M=1,CN=3,求MV的长.

【答案】V10

【分析】过点C作CE_LBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABMgA

ACE(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角/BAM=/CAE；然后由等腰直角三角形的性质

和NMAN=45。得到/MAN=NEAN=45。，所以△MANgaEAN(SAS),故全等三角形的对应边MN=

EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.

【详解】解：如图，过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.

：AB=AC,ZBAC=90°,

.,.ZB=ZACB=45°.

VCEXBC,

ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在AABM和AACE中｛NB=41CE,

BM=CE

.".△ABM^AACE(SAS).

；.AM=AE,/BAM=/CAE.

VZBAC=90°,ZMAN=45°,

ZBAM+ZCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得NMAN=NEAN=45。.

AM=AE

在AMAN和4EAN中｛NM4N=NE4N,

AN=AN

.".△MANDAEAN(SAS).

；.MN=EN.

在Rt^ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

：BM=1,CN=3,

.".MN2=l2+32,

.\MN=V10.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，掌握

三角形的全等的判定定理是解题关键.

2.(2021•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片/BCD折叠，使边/8、4D都落在对角线NC上，展开得折痕4E、AF,连接ER

如图1.

图1图2图3

（1）^EAF=。，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；

转一转：将图1中的NR4F绕点/旋转，使它的两边分别交边2C、CD于点P、Q,连接尸。，如图2.

（2）线段8尸、尸。、。。之间的数量关系为；

（3）连接正方形对角线AD,若图2中的NP2Q的边4P、40分别交对角线AD于点M、点N.如图3,则

CQ

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4.

（4）求证：BM2+DN2=MN2.

【答案】（1）45,△ABC,△ADC；（2）BP+DQ=PQ；（3）/；（4）见解析

【分析】（1）由翻折的性质可知：/-DAF=^FAC,^BAE=/.EAC,^EAF=A.FAC+/.EAC,根据正方形的

，性质：AB=BC=CD=AD,ABAD=90°=ADAF+4FAC+^BAE+Z.EAC,贝Ij/EAF=^BAD=45°,

△ABC,AADC为等腰三角形；

（2）如图：将△40Q顺时针旋转90。，证明△APQ三△4PQ，全等，即可得出结论；

（3）证明aacQs△力BM即可得出结论；

（4）根据半角模型，将△4DN顺时针旋转90。，连接MN，，可得DN=BN',通过三△力MN，得出MN=

MN',△BMN，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论.

【详解】（1）由翻折的性质可知：^DAF=Z.FAC,Z.BAE=Z.EAC

•・•48C0为正方形

・•・乙BAD=90°,AB=BC=CD=AD

・•.△ABCA/DC为等腰三角形

•••Z-BAD=Z.DAF+Z.FAC+Z-BAE+Z.EAC

••・乙BAD=2(ZFXC+乙EAC)

Z.EAF=Z.FAC+Z-EAC

11

Z.EAF=-Z.BAD=-x90°=45°

22

(2)如图：将顺时针旋转90。，

由旋转的性质可得：AQ=AQf,DQ=BQrZ-DAQ=^BAQr

由(1)中结论可得4P4Q=45。

•・•/BCD为正方形，/-BAD=90°

・•.Z.BAP+Z.DAQ=45°

(BAQ'+乙BAP=45°

・•.Z.PAQ=乙PAQ，

・••在△4PQ和△4PQ'中

AP=AP

乙PAQ=Z.PAQ'

、AQ=AQr

.-.AAPQ=AAPQr

•*PQ=PQ'

•・•PQ，=BQ'+BP

.・.PQ=DQ+BP

(3)•••为正方形ABC。对角线

AC=>/2AB

：./.ABM=^ACQ=45°,/.BAC=45°

•・•Z.PAQ=45°

・•・/,BAM=45°-/.PAC,Z-CAQ=45°-^PAC

・•.ABAM=z_CAQ

・••△ABMACQ

...丝上夜

BMAB

(4)如图：将△?!£»可顺时针旋转90。，连接MAT,

由（2）中的结论可证△AMN'三ZkAMN

•••MN=MN'

•••AD=45°,/.ABD=45°

根据旋转的性质可得：乙D=4ABN'=45°,DN=BN'

•••乙MBN'=AABD+乙ABN'=90°

.♦.在Rt△中有BM?+BN'2=MN'2

BM2+DN2=MN2

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判

定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键.

3.（2020・湖南湘西•中考真题）问题背景：如图1,在四边形4BCD中，/.BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

AABC=120°,乙MBN=60°,NMBN绕B点旋转，它的两边分另U交2D、DC于E、F.探究图中线段力E,CF,

E尸之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=HE,连接BG,先证明aBCG三

△BAE,再证明△BFCmaBFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形4BCD中，^BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,4ABe=2AMBN,乙MBN绕

B点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”

或者“不成立”），不要说明理由.

探究延伸2：如图3,在四边形4BCD中，BA=BC,ABAD+/.BCD=180°,乙ABC=2乙MBN,4MBN绕B

点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30。的A处舰艇乙在指挥中心南

偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

【答案】EF=AE+CF.探究延伸1：结论EF=AE+CF成立.探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立.实际

应用：210海里.

【分析】延长FC到G,使CG=4E,连接BG,先证明△BCG三△BAE,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,再

证明△BGF三△BEF,可得GF=EF,即可解题；

探究延伸1：延长FC至4G,使CG=4E,连接BG,先证明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再证明△BGF三ZiBEF,可得GF=EF,即可解题；

探究延伸2：延长FC至！JG,ffiCG=AE,连接BG,先证明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再证明△8G尸三△BEF,可得GF=EF,即可解题；

实际应用：连接EF,延长AE,BF相交于点C,然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF,将AE和CF的

长代入即可.

【详解】解：EF=AE+CF

理由：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,

在4BCG和aBAE中,

BC=BA

乙BCG=乙BAE=90°,

、CG=AE

：.ABCG=ABAE(SAS),

・・・BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

・•・ZABE+ZCBF=60°,

・・・NCBG+NCBF=60。，

BPZGBF=60°,

iSABGF和ABEF中，

BG=BE

Z-GBF=Z-EBF,

、BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

AGF=EF,

•;GF=CG+CF=AE+CF,

AEF=AE+CF.

探究延伸1：结论EF=AE+CF成立.

理由：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,

A

图2N

在4BCG和4BAE中，

BC=BA

/.BCG=Z.BAE=90°,

CG=AE

:ABCG=ABAE(SAS),

/.BG=BE,ZCBG=ZABE,

ZABC=2ZMBN,

，NABE+NCBF上NABC,

2

/./CBG+NCBF//ABC,

2

-1

即NGBF苫NABC,

在ARGF和aBEF中,

BG=BE

乙GBF=乙EBF,

、BF=BF

：.ABGF^ABEF(SAS),

AGF=EF,

•「GF=CG+CF=AE+CF,

・・・EF=AE+CF.

探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立.

理由：延长FC到G,使CG=ZE,连接BG,

V/.BAD+乙BCD=180°,ZBCG+ZBCD=180°,

・•・ZBCG=ZBAD

在4BCG和4BAE中，

BC=BA

乙BCG=4BAE,

、CG=AE

AABCG=ABAE(SAS),

・・・BG=BE,ZCBG=ZABE,

ZABC=2ZMBN,

・•・ZABE+ZCBF-ZABC,

2

i

・・・ZCBG+ZCBF-ZABC,

2

即/GBF=|/ABC,

在aBGF和aBEF中，

'BG=BE

Z.GBF=乙EBF,

、BF=BF

：.ABGF^ABEF(SAS),

・・・GF=EF,

•「GF=CG+CF=AE+CF,

AEF=AE+CF.

实际应用：连接EF,延长AE,BF相交于点C,

,/ZAOB=30o+90°+(90o-70°)=140°,ZEOF=70°,

/EOFJ/AOB

2

：OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90o-30°)+(70o+50°)=l80°,

符合探索延伸中的条件

?.结论EF=AE+CF仍然成立

即EF=75x1.2+100x1.2=210(海里)

答：此时两舰艇之间的距离为210海里.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

4.(2022•辽宁朝阳•中考真题)【思维探究】如图1,在四边形N8CD中，ZBAD=60°,ZBCD=120°,AB

=AD,连接/C.求证：BC+CD^AC.

图1图2

(1)小明的思路是：延长CO到点E,使DE=2C,连接根据/240+/2。。=180。，推得N2+N4DC

=180。，从而得到N2=/4DE,然后证明A4DE之ZUBC,从而可证BC+CD=/C,请你帮助小明写出完整

的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形/BCD中，NBAD=NBCD=90。,AB=AD,连接/C,猜想BC,CD,AC

之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形/B