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文档简介
猜想03轴对称(易错必刷40题13种题型专项训练)
♦题型目录展示―
线段垂直平分线的性质(共4小题)等腰三角形的性质(共9小题)
三.等腰三角形的判定(共3小题)四.等腰三角形的判定与性质(共2小题)
五.等边三角形的性质(共1小题)六.等边三角形的判定与性质(共2小题)
七.含30度角的直角三角形(共3小题)A.生活中的轴对称现象(共1小题)
九.轴对称的性质(共2小题)十.轴对称图形(共2小题)
十一.关于x轴、y轴对称的点的坐标(共8小题)十二.作图-轴对称变换(共1小题)
十三.轴对称-最短路线问题(共2小题)
♦题型通关专训♦
一.线段垂直平分线的性质(共4小题)
1.(2023春•定边县校级期末)如图,在△48C中,垂直平分5C,分别交3。、AB于力、E,连接CE,
BF平分/ABC,交CE于尸,若BE=AC,NACE=2Q°,则/EFS的度数为()
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得即=EC,从而可得NEBC=/ECB,再根据已知可得C£=/C,
从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得N/=//EC=80°,然后利用三角形的外角性质
可得NEBC=/ECB=40°,再利用角平分线的定义NE8C=20°,最后利用三角形的外角性质进行计
算即可解答.
【解答】解:垂直平分8C,
:.EB=EC,
:./EBC=/ECB,
;BE=AC,
:.CE=AC,
VZACE=2Q°,
/.ZA=ZAEC=1.(180°-NACE)=80°,
2
:NAEC=/EBC+NECB=8Q°,
:.NEBC=NECB=4Q°,
■:BF平分N4BC,
:.ZFBC=^ZEBC=20°,
2
/.ZEFB=ZFBC+ZECB=60°,
故选:C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
2.(2022秋•涟源市期末)如图,在足球场内,A,B,C表示三个足球运动员,为做折返跑游戏,现准备在
足球场内放置一个足球,使它到三个运动员的距离相等,则足球应放置在()
A.AC,3c两边高线的交点处
B.AC,2C两边中线的交点处
C.AC,8c两边垂直平分线的交点处
D.N4,两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理,即可解答.
【解答】解:如图,在足球场内,A,B,C表示三个足球运动员,为做折返跑游戏,现准备在足球场内
放置一个足球,使它到三个运动员的距离相等,则足球应放置在/C,2C两边垂直平分线的交点处,
故选:C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键.
3.(2022秋•吉林期末)如图,在△NBC中,48的垂直平分线交3c于点E,/C的垂直平分线交2c于点
F.若/3+/C=70°,则/E4尸的度数是()
A
BEFC
A.30°B.35°C.40°D.45°
【分析】先利用三角形的内角和定理求出/A4c=11。°,再利用线段垂直平分线的性质可得E/=匹,
E4=FC,从而可得NB=NB4E,NC=/E4C,然后利用等量代换可得/A4E+NE4c=70°,最后利用
角的和差关系进行计算即可解答.
【解答】解:•♦•/8+/C=70°,
AZBAC=180°-(ZB+ZC)=110°,
;AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,
:.EA=EB,FA^FC,
:./B=/BAE,/C=/E4C,
:.ZBAE+ZE4C=10°,
AZEAF=ZBAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,
故选:C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
4.(2022秋•怀化期末)如图,直线/与加分别是△/8C边ZC和2C的垂直平分线,/与机分别交边48
于点D和点E.
(1)若/2=10,则△€»£的周长是多少?为什么?
(2)若//C2=125°,求NDCE的度数.
【分析】(1)依据线段垂直平分线的性质,即可得到△(?£)£的周长=CD+r)£+CE=Nr>+DE+3E=/8;
(2)依据4D=CD,BE=CE,即可得到=NB=/BCE,再根据三角形内角和定理,即可
得到//+48=55°,进而得到//CD+/3CE=55°,再根据NDCE=N/C2-(//CD+/BCE)进行
计算即可.
【解答】解:(1)△CDE的周长为10.
V直线/与根分别是△NBC边AC和BC的垂直平分线,
:.AD=CD,BE=CE,
£\CDE的周长=Cr>+D£+C£=/O+£>£+3£=/3=10;
(2)•..直线/与机分别是△/BC边/C和BC的垂直平分线,
:.AD=CD,BE=CE,
:.ZA=Z.ACD,/B=/BCE,
又“:N4CB=125",
:.ZA+ZB=l80°-125°=55°,
AZACD+ZBCE=55°,
:.ZDCE^ZACB-QACD+/BCE)=125°-55°=70°.
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质,线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
二.等腰三角形的性质(共9小题)
5.(2022秋•门头沟区期末)一个等腰三角形的两条边分别是2c%和5cm,则第三条边的边长是()
A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能确定
【分析】分两种情况:当等腰三角形的腰长为2CM,底边长为5c"?时,当等腰三角形的腰长为5c〃z,底
边长为2°加时,然后分别进行计算即可解答.
【解答】解:分两种情况:
当等腰三角形的腰长为2cm,底边长为5cm时,
V2+2=4<5,
不能组成三角形;
当等腰三角形的腰长为5cm,底边长为2cm时,
...等腰三角形的三边长分别为5c%,5cm,2cm,
综上所述:等腰三角形的第三条边的边长是5cm,
故选:B.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系,分两种情况讨论是解题的关键.
6.(2022秋•番禺区校级期末)等腰三角形的一条边长为6,另一边长为14,则它的周长为()
A.26B.26或34C.34D.20
【分析】分两种情况:当等腰三角形的腰长为6,底边长为14时;当等腰三角形的腰长为14,底边长为
6时,然后分别进行计算即可解答.
【解答】解:分两种情况:
当等腰三角形的腰长为6,底边长为14时,
;6+6=12V14,
不能组成三角形;
当等腰三角形的腰长为14,底边长为6时,
.•.它的周长=14+14+6=34;
综上所述:它的周长为34,
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,分两种情况讨论是解题的关键.
7.(2022秋•南开区校级期末)等腰二角形的一个外角是70°,则它的顶角的度数为()
A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°
【分析】利用平角定义,进行计算即可解答.
【解答】解:如图:在△48C中,AB=AC,
:.Z5^C=180°-S4c=110°,
等腰三角形的顶角的度数为HO。,
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
8.(2022秋•聊城期末)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的底角的度
数为()
A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°
【分析】分两种情况讨论:①若该等腰三角形为钝角三角形;②若该等腰三角形为锐角三角形;先求
出顶角即可求出底角的度数.
【解答】解:①如图1,当该等腰三角形为钝角三角形时,
•.•一腰上的高与另一腰的夹角是50°,
.•.底角=工(90°-50°)=20°,
2
②如图2,当该等腰三角形为锐角三角形时,
二,一腰上的高与另一腰的夹角是50°,
底角=1_[180°-(90°-50°)]=70°.
2
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义;注意分类讨论方法的运用,避免漏解.
9.(2022秋•平谷区期末)如图,△NBC中,AB=AC,。是胡延长线上一点,且/ZUC=100°,则NC
【分析】利用等腰三角形的性质可得/2=NC,再利用三角形的外角性质可得Nn4C=NB+NC=100°,
然后进行计算即可解答.
【解答】解:•.13=NC,
NB=NC,
,/ZDAC是△NBC的一个外角,
AZDAC^ZB+ZC=100°,
AZB=ZC=50°,
故答案为:50°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
10.(2022秋•衡山县期末)己知等腰三角形的两边长分别为10和4,则三角形的周长是24.
【分析】分两种情况:当等腰三角形的腰长为10,底边长为4时,当等腰三角形的腰长为4,底边长为
10时,然后分别进行计算即可解答.
【解答】解:分两种情况:
当等腰三角形的腰长为10,底边长为4时,
...这个等腰三角形的周长=10+10+4=24;
当等腰三角形的腰长为4,底边长为10时,
V4+4=8<10,
•••不能组成三角形;
综上所述:这个等腰三角形的周长为24,
故答案为:24.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,分两种情况讨论是解题的关键.
11.(2022秋•东昌府区校级期末)如图,在中,AB=AC,。为3c的是中点,AD=AE,/BAD=
30°,求/EDC的度数.
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得/4。。=90°,ZBAD=ZCAD=3Q°,然后再利用等
腰三角形的性质,以及三角形内角和定理可得//£>£=/N£D=75°,从而利用角的和差关系进行计算
即可解答.
【解答】解:♦.13=NC,。为8C的是中点,
AZADC=90°,/BAD=/CAD=30°,
':AD=AE,
:.N4DE=NAED=L(180°-/CAD)=75°,
2
/EDC=ZADC-/4DE=15°,
的度数为15°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
12.(2022秋•忠县期末)如图△NBC中,点。在上,已知
<1)求//C2的大小;
(2)若//=30°,48=4,求△BCD的周长.
【分析】(1)先利用等腰三角形的性质可得//=N/CD,NB=NBCD,然后利用三角形的内角和定理,
进行计算即可解答;
(2)利用(1)的结论,在RtZ\/3C中,利用含30度角的直角三角形的性质可得3。=工48=2,然后
2
再根据已知可得NO=8O=C£>=2,从而利用三角形的周长公式,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)':AD=BD=CD,
;./4=NACD,/B=NBCD,
':ZA+ZACD+ZBCD+ZB=180°,
:.2ZACD+2ZBCD^18Q0,
AZACD+ZBCD=90°,
/.ZACB=90°;
(2):N/=30°,ZACB=90°,AB=4,
:.BC=^AB=2,
2
,:AD=BD=CD,
.".AD=BD=CD=—AB=2,
2
△BCD的周长为6.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,熟练掌握含30度角的直角三角形的
性质,以及等腰三角形的性质是解题的关键.
13.(2022秋•开封期末)已知在△48C中,48=20,BC=3,AC=2m-2.
(1)求加的取值范围;
(2)若△/8C是等腰三角形,求△NBC的周长.
【分析】(1)利用三角形的三边关系可得:20-8V2〃L2<20+8,然后进行计算即可解答;
(2)分两种情况:当/3=/C=20时;当8C=/C=8时,然后分别进行计算即可解答.
【解答】解:(1)在△43C中,AB=2Q,BC=8,AC=2m-2.
:.2O-8<2/M-2<20+8,
解得:7<n<15;
二%的取值范围为:7V机<15;
(2)•••△NBC是等腰三角形,
,分两种情况:
当/8=/C=20时,
,AABC的周长=20+20+8=48;
当3C=/C=8时,
V8+8=16<20,
•••不能组成三角形;
综上所述,△43C的周长为48.
【点评】本题考查了三角形三边关系,等腰三角形的性质,熟练掌握三角形三边关系,以及等腰三角形
的性质是解题的关键.
三.等腰三角形的判定(共3小题)
14.(2022秋•平桥区校级期末)线段48在如图所示的8X8网格中(点/、8均在格点上),在格点上找一
点C,使△ABC是以为顶角的等腰三角形,则所有符合条件的点。的个数是()
A.4B.5C.6D.7
【分析】根据题意可得,以点3为圆心,砌长为半径画圆,圆与格点的交点即为符合条件的点C
【解答】解:如图所示:
使△NBC是以N2为顶角的等腰三角形,
所以所有符合条件的点C的个数是6个.
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定.
15.(2022秋•卧龙区校级期末)如图,正方形的网格中,点N,B是小正方形的顶点,如果。点是小正方
形的顶点,且使是等腰三角形,则点C的个数为()
【分析】当是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与/、3顶点相对的顶点,连接即可得到等
腰三角形;当是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,N2垂直平分线上的
格点都可以作为点C,然后相加即可得解.
【解答】解:如图,分情况讨论:
①为等腰△48C的底边时,符合条件的。点有4个;
②42为等腰△NBC其中的一条腰时,符合条件的。点有4个.
所以△N3C是等腰三角形,点C的个数为8个,
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形.分类讨
论思想是数学解题中很重要的解题思想.
16.(2022秋•邳州市期末)如图所示的正方形网格中,网格的交点称为格点,已知2是两格点,如果C
也是图中的格点,且使得△/BC为等腰三角形,则符合条件的点C的个数是()
【分析】分N8是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与/、3顶点相对的顶点,连接即可得到等
腰三角形,是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,N8垂直平分线上的格
点都可以作为点C,然后相加即可得解.
【解答】解:①N5为等腰△/8C底边时,符合条件的C点有4个;
②为等腰△48C其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,熟练掌握网格结构的特点是解题的关键,要注意分是腰长
与底边两种情况讨论求解.
四.等腰三角形的判定与性质(共2小题)
17.(2022秋•潢川县校级期末)如图,在△NBC中,AB=3,AC=4,/N8C和N4C3的平分线交于点£,
过点£作〃N〃2c分别交48、/C于"、N,则的周长为()
A.4B.6C.7D.8
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证和△NEC是等腰三角形,从而可得〃2=旌,
NE=NC,然后利用等量代换可得△/MN的周长=N8+/C,进行计算即可解答.
【解答】解::BE平分N4BC,CE平分/4CB,
:./ABE=/EBC,ZACE=ZECB,
'JMN//BC,
:.NMEB=NEBC,/NEC=/ECB,
:.ZABE^ZMEB,/ACE=/NEC,
:.MB=ME,NE=NC,
9
:AB=3fAC=4,
AAMN的周长=AM+MN+AN
=AM+ME+EN+AN
=AM+MB+CN+AN
=AB+AC
=3+4
=7,
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰
三角形是解题的关键.
18.(2022秋•荆门期末)如图,在△ZBC中,ED//BC,N45C和N4C5的平分线分别交切于点G、F,
若尸G=4,ED=8,求EB+DC=12.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△防G和△。回。是等腰三角形,从而可得EB=EG,
DF=DC,进而可得血+。。=切+bG,然后进行计算即可解答.
【解答】解:・・・£Q〃5C,
:・/EGB=/GBC,ZDFC=ZFCB,
〈BG平分N/5C,CF平分N4C5,
:・/ABG=/CBG,NACF=NFCB,
:.ZEBG=ZEGB,ZDFC=ZACF,
:.EB=EG,DF=DC,
VFG=4,瓦)=8,
:.EB+DC=EG+DF
=ED+FG
=12,
故答案为:12.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握利用角平分线的定义和平行线
的性质可证等腰三角形是解题的关键.
五.等边三角形的性质(共1小题)
19.(2022秋•睢阳区期末)已知△48C为等边三角形,AB=10,M在48边所在直线上,点N在ZC边所
在直线上,旦MN=MC,若4W=16,则CN的长为4或36.
M
【分析】分两种情形:①当点M在48的延长线上时,作地于。.②当点”在A4的延长线上
时,作MO_LCN于D分别求解即可.
【解答】解:由题意可知,BM=AN=6,
①如图,当点M在的延长线上时,作A/D_L4C于。.
Nr
在RtA^A®中,
VZADM^90°,ZA=6Q°,AM=16,
.".AD=-AM=S,
2
:.CD=AC-AD^l,
,:MN=MC,MDLCN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=4.
②如图,当点M在氏4的延长线上时,作儿ZD_LCN于£),
N,
1
Bi-------Nc
在RtAAMD中,
VZADM^90°,ZDAM=60°,AM=16,
.".AD=—AM=S,
2
:.CD=AD+AC^lS,
,:MN=MC,MDLCN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=36,
故答案为:4或36.
【点评】本题考查等边三角形的性质,解直角三角形的应用,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题,学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.
六.等边三角形的判定与性质(共2小题)
20.(2022秋•岳麓区校级期末)如图,已知4D平分/A4C,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,
DE=2,则BC=7.
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BE"为等边三角形,得出3M=EN=3E=5,从而
得出8N的长,进而求出答案.
【解答】解:延长ED交3C于M,延长/。交8c于N,如图,
9:AB=AC,4。平分NA4C,
C.ANLBC,BN=CN,
VZEBC=ZDEB=60°,
・・・为等边三角形,
:.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,
,:DE=2,
:・DM=3,
■:ANIBC,
:.ZDNM=9Q°,
:.ZNDM=30°,
:.NM=LDM=3,
22
:.BN=BM-MN=5-3=工,
22
:.BC=2BN=1.
故答案为:7.
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,含30°直角三角形的性质等
知识,根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键.
21.(2022秋•东洲区期末)如图,直线a〃6,△48C是等边三角形,点/在直线a上,边8C在直线6上,
把△48C沿方向平移的一半得到△/'B'C(如图①);继续以上的平移得到图②,再继续
以上的平移得到图③,…;请问在第100个图形中等边三角形的个数是400.
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形,又观察图可得,第〃个图形中大等边三角形有2〃个,小等
边三角形有2〃个,据此求出第100个图形中等边三角形的个数.
【解答】解:如图①
■:AABC是等边三角形,
・・・AB=BC=AC,
•:A'B'//AB,BB'=B'C=Lc,
2
:.B'CO=1-AC,
22
...△夕oc是等边三角形,同理阴影的三角形都是等边三角形.
又观察图可得,第1个图形中大等边三角形有2个,小等边三角形有2个,
第2个图形中大等边三角形有4个,小等边三角形有4个,
第3个图形中大等边三角形有6个,小等边三角形有6个,…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2"个,小等边三角形有2«个.
故第100个图形中等边三角形的个数是:2X100+2X100=400.
故答案为:400.
①
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质,解题的关键是据图找出规律.
七.含30度角的直角三角形(共3小题)
22.(2022秋•白云区校级期末)若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是()
A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°
【分析】分两种情况:当等腰三角形为锐角三角形时;当等腰三角形为钝角三角形时;然后分别进行计
算即可解答.
【解答】解:分两种情况:
当等腰三角形为锐角三角形时,如图:
A
在△48C中,AB=AC,BDLAC,
:.ZBDA=90°,
,:BD=^-AB,
2
ZBAD=30a,
':AB=AC,
:.ZABC=ZC=1.(180°-/A)=75
2
•••这个等腰三角形的底角是75°;
当等腰三角形为钝角三角形时,如图:
在△NBC中,AB=AC,BDLAC,
:.NBDA=90°,
•:BD=LB,
2
:.NBAD=30°,
:.ZABC+ZC=30°,
;AB=AC,
:.ZABC=ZC=^ZBAD=15°,
2
,这个等腰三角形的底角是15°;
综上所述:这个等腰三角形的底角是75°或15°,
故选:A.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分两种情况讨论是解题的关键.
23.(2022秋•洪山区校级期末)如图,在RtZk/BC中,ZBAC=90°,ZS=30°,ADLBC.则下列等式
成立的是()
2DCC.AB=4DCD.BD=2AC
【分析】根据在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,求出3O=3OC,BD=3AC,BC
2
4DC,AC=2DC.
【解答】解:•••/8/C=90°,/B=30°,
;.BC=2AC,ZC=60",
"JADLBC,
:.ZDAC=30°,
:.AC=2DC,
B不符合要求;
:.BC=4DC,
不符合要求;
:.BD=3DC,
:.A符合要求;
,:AC=2DC,BC=4DC
:.BD=^-AC,
2
二。不符合要求;
故选:A.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形,掌握此定理,应用时,要注意找准30。的角所对的直角
边,点明斜边,是解题的关键.
24.(2022秋•杨浦区期末)已知,如图,在△/BC中,为3c边上的中线,S.AD=^BC,AE±BC.
2
(1)求证:/CAE=/B;
(2)若/C4£=30°,CE=2,求N3的长.
A
【分析】(1)根据三角形的中线定义可得助=。。=工2。从而可得4D=DC=BD,然后利用等腰三角
2
形的性质可得/C=ND4C,再利用三角形的内角和定理可得N8+/C=90°,最后根据
垂直定义可得/N£C=90°,从而可得/。/£+/。=90°,进而根据同角的余角相等即可解答;
(2)在Rt^/EC中,利用含30度角的直角三角形的性质求出/C的长,然后在中,利用含
30度角的直角三角形的性质即可解答.
【解答】(1)证明:为8C边上的中线,
:.BD=DC=LBC,
2
":AD=LBC,
2
:.AD=DC=BD,
:./B=NBAD,ZC=ADAC,
VZB+ZBAD+ZDAC+ZC=1SO°,
:.2(ZS+ZC)=180°,
:.ZB+ZC=90°,
":AE±BC,
:.ZAEC=9Q°,
:.ZCAE+ZC=90°,
;.NCAE=NB;
(2)解:VZAEC=90°,NCAE=30°,CE=2,
;./C=2CE=4,
VZB+ZC^90°,
:.Z^C=180°-(Z5+ZC)=90°,
,:/B=/CAE=30°,
'.AB=y/3AC=4/s,
:.AB的长为4愿.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形,熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
八.生活中的轴对称现象(共1小题)
25.(2022秋•高阳县校级期末)如图是跳棋盘,其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有棋子,我
们约定跳棋游戏的规则是:把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步,已知点
/为乙方一枚棋子,欲将棋子/跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最少步数为()
A.2步B.3步C.4步D.5步
【分析】根据题意,结合图形,由轴对称的性质判定正确选项.
【解答】解:观察图形可知:先向右跳行,在向左,最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域,所以
最少是3步.
故选B.
【点评】此题考查轴对称的基本性质,注意:对称轴垂直平分对应点的连线.通过对称的性质找到最短
的路线是解题的关键.
九.轴对称的性质(共2小题)
26.(2022秋•大连期末)如图,在2X2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△/2C,在格纸中能画出
与成轴对称且也以格点为顶点的三角形(不包括A/BC本身),这样的三角形共有3个
B
【分析】依据大正方形的对称轴,即可画出与△/8C成轴对称且也以格点为顶点的三角形.
【解答】解:如图所示,与△N8C成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个:
故答案为:3.
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断,如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,
这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.
27.(2022秋•华容区期末)如图,四边形ABCD中,点3关于/C的对称点⑶恰好落在CD上,
若N84D=a,则N/C5的度数为()
A.45°B.a-45。C.LD.90°--la
22
【分析】连接48',BB',过/作/E_LCD于E,依据ZDAE^ZB'AE,即可得出/C/E
=工48/。=工a,再根据四边形内角和以及三角形外角性质,即可得到b=90°-工11.
222
【解答】解:如图,连接/9,BB',过/作4B_LCD于£,
,/点2关于NC的对称点9恰好落在CD上,
垂直平分89,
:.AB=AB',
:.NBAC=ZB'AC,
;AB=AD,
:.AD=AB',
又;4E_LCD,
:./DAE=ZB'AE,
:.ZCAE=1-ZBAD=1-a,
22
又;/AEB'=/4OB'=90°,
,四边形/OB'E中,/EB'O=180°-
2
,
:.ZACB'=ZEB'O-ZCO5=180°-90°=90°-Xa,
22
ZACB=ZACB'=90°-Aa,
2
故选:D.
【点评】本题主要考查了轴对称的性质,四边形内角和以及三角形外角性质的运用,解决问题的关键是
作辅助线构造四边形解题时注意:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线.
一十.轴对称图形(共2小题)
28.(2022秋•海安市期末)观察如图的网络图标,其中可以看成轴对称图形的是()
AOBSCnD
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这
条直线叫做对称轴.
【解答】解:选项C的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相
重合,所以是轴对称图形,
选项48、。的图形均不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重
合,所以不是轴对称图形,
故选:C.
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重
合.
29.(2023•岳麓区校级三模)“致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,
常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽
图案是轴对称图形的是()
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,
这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:A,C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的
部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
8选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以
是轴对称图形;
故选:B.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
一十一.关于x轴、y轴对称的点的坐标(共8小题)
30.(2022秋•天河区校级期末)下列说法正确的是()
A.已知点M(2,-5),则点M到x轴的距离是2
B.若点/("I,0)在x轴上,则°=0
C.点/(-1,2)关于x轴对称的点坐标为(-1,-2)
D.点C(-3,2)在第一象限内
【分析】分别根据点的几何意义;在x轴上的点的纵坐标为零;关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标
不变,纵坐标互为相反数;各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可.
【解答】解:A.已知点“(2,-5),则点M到x轴的距离是|-5|=5,故本选项不合题意;
B.若点4(a-1,0)在x轴上,则。可以是全体实数,故本选项不合题意;
C.点N(-1,2)关于x轴对称的点坐标为(-1,-2),故本选项符合题意;
D.C(-3,2)在第二象限内,故本选项不合题意;
故选:C.
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标,掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是
解答本题的关键.
31.(2022秋•广宗县期末)若点/(a,3),B(2,-b)关于y轴对称,则点b)所在的象限是
()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】根据“关于7轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”求出a、b的值,即可得到结论.
【解答】解:,•,点/(a,3)、点2(2,-b)关于y轴对称,
••=-2,-6=3,
解得:a=-2,6=-3,
:.点、M(a,b)在第三象限,
故选:C.
【点评】本题考查了关于x轴、了轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质,解决本题的关键是掌握好
对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,
纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
32.(2022秋•扶沟县校级期末)已知点M(a,3)和N(4,b)关于y轴对称,则a-6=-7.
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质(横坐标互为相反数,纵坐标不变)得出。,6的值,进而得出
答案.
【解答】解:;点M(a,3)和N(4,b)关于了轴对称,
".a=-4,b=3,
:.a-b—-4-3=-7.
故答案为:-7.
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质,正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.
33.(2022秋•灵宝市期末)在平面直角坐标系中,点/(1+m,1-n)与点2(-1,2)关于丁轴对称,则
m+n=-].
【分析】关于丁轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.直接利用关于〉轴对称点的
性质得出冽,〃的值,进而得出答案.
【解答】解:・.•点力(1+冽,1-几)与点吕(-1,2)关于y轴对称,
m+l=l,1-〃=2,
解得:m=0,n=-1,
/.m+n=0-1=-1.
故答案为:-1.
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征,点尸(X,/)关于y轴的对称点P的坐标是(-X,>).
34.(2022秋•辛集市期末)规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位,
一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点,一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点.由数
字0,1,2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:如图,点/(-2,3)按序列“012”
作变换,表示点/先向右平移一个单位得到4(-1,3),再将出(-1,3)关于x轴对称得到/2(-
1,-3),再将加(-1,-3)关于〉轴对称得到出(1,-3)…依次类推.点(1,1)经过“012012012…”
100次变换后得到点的坐标为()(注:“012”算3次变换)
AA.yf
____I_____I----------1-----1—
Io工
I
I
I
I
I
-卜--*"43
A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(-1,-1)
【分析】根据变换的定义解决问题即可.
【解答】解:点3(1,1)按序列“012”作变换,表示点2先向右平移一个单位得到囱(2,1),再将
Ai(2,1)关于x轴对称得到&(2,-1),再将比(2,-1)关于y轴对称得到明(-2,-1)…依
次类推,点(1,1)经过“012”变换得到点(-2,-1),点(-2,-1)经过“012”变换得到点(1,
1),说明经过6次变换回到原来的位置,
1004-6=16...4,
所以点(1,1)经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为(-1,-1).
故选:D.
【点评】本题考查规律型:点的坐标,平移变换,旋转变换等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用
所学知识解决问题.
35.(2022秋•金牛区校级期末)已知有序数对(a,b)及常数左,我们称有序数对Qka+b,a-b)为有序
数对(a,6)的“左阶结伴数对如(3,2)的“1阶结伴数”对为(1X3+2,3-2)即(5,1).若有
序数对(a,b)(b声0)与它的“左阶结伴数对”关于y轴对称,则此时人的值为()
A.-2B.-3C.0D.-A
22
【分析】根据新定义可得:有序数对(a,6)(6W0)的“左阶结伴数对”是(ka+b,a-b),并根据y
轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标相等,可列方程组,从而可解答.
【解答】解::,有序数对(。,b)(6W0)的“左阶结伴数对”是(ka+b,a-b),
.(a-b=b
la+ka+b=O
解得:k=-3.
2
故选:B.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,新定义阶结伴数对”的理解和运用,能根据题意列出方程
组是解此题的关键.
36.(2022秋•宁波期末)在平面直角坐标系中,点-3,-4)平移后能与原来的位置关于y轴对称,
则应把点/()
A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位
C.向下平移8个单位D.向上平移8个单位
【分析】关于〉轴成轴对称的两个点的纵坐标相同,横坐标互为相反数,那么向右平移两个横坐标差的
绝对值即可.
【解答】解:•••点/(-3,-4)平移后能与原来的位置关于y轴轴对称,
...平移后的坐标为(3,-4),
•••横坐标增大,
•••点是向右平移得到,平移距离为|3-(-3)|=6.
故选:B.
【点评】本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识点,用到的知识点为:两点关于y
轴对称,纵坐标相同,横坐标互为相反数;点的左右移动只改变点的横坐标.
37.(2022秋•钦州期末)下列各点中,点又(1,-2)关于x轴对称的点的坐标是()
A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)
【分析】根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答.
【解答】解:点M(l,-2)关于x轴对称的点的坐标为(1.2).
故选:A.
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)
关于X轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互
为相反数.
一十二.作图-轴对称变换(共1小题)
38.(2022秋•吁胎县期末)△N3C在直角坐标系中的位置如图所示,其中-3,5),8(-5,
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