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文档简介
专题03轴对称(考点清单,知识导图+5个考点清单+7种题型解
读)
考点侪单
第奚11物时纬
概■念物时林图形
蛾
段—经过段盘中点并且冬贡于这条蚊屐的竟或
垂
的
*平性质:一线段垂直平分蛾上的点与这条战段两个端点的距离相等
<
线
分
判定:—与我段两个热点距离相等的点在这条找检的叁Jt平分线上
有算时应线段相等.时应角相争
性质」时林轴磨立平分连接对应点的线段
______:关于X轴对称的两个点的生标将征〕—啧坐标相等,纵坐标互为相反做
成轴对]k------------------------------->
称的点I
恒至IU关于)•轴时称的两个点的坐标挣征]—演坐标互为相反歙,姒史标相等
.....「等边对等角
「性质H
...........,L三税合一
等腰
轴对称J
三角形
「朝天”:『等楼三角彩的定义
方法:一等角对等边
\性质J—三条边邮相等.三个内角都相等且与一个内角都等于&尸
等腰
等边U
三角形[E藐,卜r等边三角形的之义
「利定;|三个的部柚等的三角形是等边三角彩
J方法:
.有一个角是仪尸的等膜三角矽是等边三角形
含30。角的允角.逆立角三角彩中,加果一个锐角等于”.邪么它
三角形的性质
L工▼L一八/;所时的左角边等于叶边的一半
[解决最短珞径问题〕
实际应用
;图拿设计I
【清单01】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
(1)轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条
直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
(2)轴对称
定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条
直线对称,这条直线叫做对称轴.
要求归纳:成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等
形;
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点归纳:轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及
两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么
这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线
段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
要点归纳:
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇
见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形
创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心一一外
心.
【清单02】作轴对称图形
1.作轴对称图形
(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就
可以得到原图形的轴对称图形;
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,
连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
【清单03】等腰三角形
1.等腰三角形
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
如图所示,在AABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,/A是顶角,
/B、/C是底角.
要点归纳:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45。.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角
(或直角),但顶角可为钝角(或直角).
180°-ZA
ZA=180°-2ZB,/B=NC=-------------.
2
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别
地,等腰直角三角形的每个底角都等于45。.
(3)等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边“).
要点归纳:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边
的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
2.等边三角形
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.
要点归纳:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包
括等边三角形.
(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.
(3)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
【清单04】含30°角的直角三角形的性质(重点)
(1)含30度角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
(2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用
来求边的长度和角的度数.
(3)注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,非直角三角形或一般直角三
角形不能应用;
②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,点明斜边.
【清单05】最短路径问题(重点)
1.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧:一动点与一定点连成的线段中,若动点在定直线上,则垂线段最短。
2.将军饮马问题
方法技巧:定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值.
①两定一动
③两定两动
h
3.“造桥选址”问题
方法技巧:将分散的线段平移集中,再求最值.
型陆单
【考点题型一】轴对称与轴对称图形
【例1】(23-24八年级上.广东湛江•期中)下列的图形中,F左边图F形与右边图形成轴对称的是()
A.B.-
FH
【分析】本题考查轴对称的定义,根据轴对称的定义(如果两个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部
分能够互相重合,则这两个图形成轴对称)进行逐一判断即可:
【详解】解:根据轴对称的概念,A、B、C都不成轴对称,不符合题意;
只有D成轴对称,符合题意.
故选:D.
【变式1-1](23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)如图,ABC和—AB'C关于直线/对称,点尸为直线
/上一点,则下列说法中错误的是()
A
BC|CB,
A.ABC^AB'CB./垂直平分CC'C.PC=PCD.ZBAC=ZCAC
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质.熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可.
【详解】解:由轴对称的性质可知,ABC^A'B'C,/垂直平分CC',PC=PC,
ZBAC=ZB'AC丰ZCAC,
:4B、C正确,故不符合要求;D错误,故符合要求;
故选:D.
【变式1-2](23-24八年级上.河北石家庄•期中)如图,VABC和一A'8'C'关于直线/对称,连接
A4\BB\CC,其中AT与直线/交于点。,点。为直线/上一点,且不与点。重合,连接AD、A'D.下
列说法错误的是()
A.ZACB^ZACB'
B.线段4T、BB<CC被直线/垂直平分
C.W为等腰三角形
D.线段AC、A'C'所在直线的交点不一定在直线/上
【答案】D
【分析】此题考查轴对称的性质,根据轴对称的性质依次分析判断,正确掌握轴对称的性质是解题的关
键.
【详解】解:A、和“AB'C关于直线/对称,
^ABC^A'B'C,
AZACB=ZA!CB',正确,不符合题意;
B、,/NABC和&A'3'C'关于直线l对称,
二线段A4*BB\CC被直线/垂直平分,正确,不符合题意;
C、NABC和」AB'C关于直线/对称,
;•/是线段4r的垂直平分线,
为等腰三角形,正确,不符合题意;
D、和qAB'C'关于直线/对称,
线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线/上,原说法错误,符合题意.
故选:D
【变式1-3](21-22八年级上.江西上饶•期中)如图,NA=20。,ZC'=60°,VABC与‘A'B'C'关于直线/
对称,则NB=.
【答案】1007100&
【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC四△AZTC,由全等三角形的性质可知NC=NC,再由三角形内
角和定理可得出的度数.
【详解】解:,ABC与aAUC关于直线/对称,
△ABC四△AB'C',
.-.ZC=ZC,=60°,
ZA=20°,
ZB=180°-ZA-ZC=180°-20°-60°=100°.
故答案为:100°.
【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理,熟练掌握轴对称的性质及三
角形内角和定理是解答此题的关键
【变式1-4](23-24八年级上•吉林・期中)如图,VA3C和VADE关于直线"N对称,3c与DE的交点产
在直线MN上.
GD
MN
E
(1)图中点。的对应点是点,AE的对应边是;
⑵若ND4E=108°,ZEAF=39°,求/。AC的度数.
【答案】(1)3,AC
(2)ND4C=30°
【分析】本题主要考查了轴对称的性质,解题的关键是熟练掌握性质,准确计算.
(1)本题考查轴对称的性质,根据轴对称的性质解答即可.
(2)本题根据轴对称性质推出NC4F=N£AF=39。,从而得出NC4E=78。,最后根据
"AC=NZME—/C4E即可解题.
【详解】(1)解:由题意可得:图中点。的对应点是点8,AE的对应边是AC,
故答案为:B,AC.
(2)解:ND4E=108°,NEAF=39。,
ZCAF=ZEAF^39°,
ZCAE=ZCAF+ZEAF=78°,
ADAC=Z.DAE-ACAE=30°.
【考点题型二】线段垂直平分线的判定
【例2】(23-24八年级上•广西玉林•期中)如图,在VABC中,的垂直平分线DMr交BC于点。,边
AC的垂直平分线EN交2C于点E.已知VADE的周长为8cm,则2C的长为()
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,由线段垂直平分线的性质可得D4=DB,EA=EC,结合
VADE的周长8cm,得出BD+OE+EC=8cm,即可得解,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关
键.
【详解】解:是A3的垂直平分线,
DA=DB,
,/EN是AC的垂直平分线,
EA=EC,
:VADE的周长8cm,
AD+DE+AE=8cm,
BD+DE+EC=8cm,
BC=8cm,
3C的长为8cm;
故选:D
【变式2-1](23-24八年级上.湖南怀化・期中)如图,四边形ABCO中,AB=CB,DA=DC,我们把这
种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,以下四个结论,正确的有()
①ACSBD;®AC=2OA;③AC平分ZBAD;④四边形ABCD的面积=:ACm.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的判定和性质,根据AB=CB,DA=DC,得到30垂直平分AC,分割法求面
积,逐一进行判断即可.
【详解】解:;AB=CB,DA^DC,
.•.点8,点。在线段AC的垂直平分线上,
垂直平分AC,
ACJ.BD,AC=2OA,故①②正确;
无法得到AC平分故③错误;
四边形ABCD的面积为5ABe+S+=+故④正确;
故选C.
【变式2-2](23-24八年级上•四川资阳・期中)如图,四边形ABCD的对角线AC、相交于。,
△ABO乌AADO.下列结论:©ACJ.BD-,②CB=CD;③△MC妾△ADC;®DA=DC.其中,正确
结论的序号是.
【答案】①②③
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,垂直平分线的性质与判定,根据全等三角形的性质可得
ZAOB=ZAOD,根据平角的定义可得/AOB=/AOD=gxl8(r=90。,即可判断①,根据全等三角形的性
质得出=BO=DO,结合①可得AC是3。的垂直平分线,即可判断②,根据SSS即可证明③,
不能得出结论④.
【详解】解::AABO四△ADO,
/.ZAOB=ZAOD,AB=AD,BO=DO
:四边形ABC。的对角线AC、相交于点O,
AZAOB^ZAOD=-xl80°=90°,
2
AAC1BD,故①正确;
VAC.LBD,BO=DO
AC是的垂直平分线,
ACB=CD,故②正确;
VAB^AD,BC=DC,AC^AC,
:.^ABC^ADC,故③正确;
由已知条件不能判断D4=OC,故④错误.
故答案为:①②③.
【变式2-3].(23-24八年级上.江苏宿迁•期中)如图,AD是ABC的角平分线,DE、DF分别是AABD
和「ACD的高.
£
(1)试说明AD垂直平分跖;
(2)若AB=8,AC=6,SABC=28,求DE的长.
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识,证明
RtAEE^X./%(HL)是解题的关键.
(1)利用角平分线的性质证明DE=OR,证明RtAMD^RtAAFD(HL),则AE=A/,即可证明结论;
(2)根据=28列式计算即可.
【详解】(1)证明::AD是△ABCAASC的角平分线,£(区PF分别是△ABD和ACD的高.
/.DE=DF,
在RtAAED与RtAAFD中,
[AD=AD
[DE=DF'
RtAED^RtAFD(HL),
AE=AF,
':DE=DF,
:.AZ)垂直平分跖;
(2)解:;DE=DF,
S^+8ACD=AB-ED+^AC-DF=^DE(AB+AC)=2S,
AB+AC=14,
DE=4.
【变式2-4](23-24八年级上.山东滨州.期中)如图,VABC中,跖垂直平分AC,交AC于点R交BC
于点区AD±BC,垂足为。,且&)连接AE.
A
(1)求证:AB=EC;
(2)若VABC的周长为20cm,AC=7cm,则DC的长为多少?
【答案】(1)见解析
13
⑵7cm
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质:
(1)根据线段垂直平分线的性质可得AE=£C,AB=AE,等量代换可得=
(2)先根据已知条件得出AB+BC=13cm,再通过等量代换得出AB+50=O£+£C=OC,进而得出
AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,即可求解.
【详解】(1)证明:二石厂垂直平分AC,
・•・AE=EC,
VAD±BC,BD=DE,
,AB=AE,
:.AB=EC;
(2)解:TVABC的周长为20cm,
AB+BC+AC=20cm,
AC=7cm,
AB+BC=13cm,
•;AB=EC,BD=DE,
:.AB+BD=DE+EC=DC,
VAB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,
DC=—cm.
2
【考点题型三】等腰三角形的性质与判定
【例3】(22-23八年级上•湖北荆门・期中)如图,VABC中,AB=AE,且AOL3C,EF垂直平分AC,
交AC于点尸,交5c于点£,若VA5C周长为16,AC=6,则。。为()
A.5B.8C.9D.10
【答案】A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质,等腰三角形的三线合一的运用,
根据VABC周长为16,AC=6,可得AB+BC=10,根据垂直平分线的性质可得E4=EC,根据
AB=AE,AD1BC,可得BD=DE,所以A5+8O=AE+OE=;(A5+5C)=5,由此即可求解.
【详解】解:YVABC周长为16,
・・.AB+BC+AC=16,
AC=6,
JAB+BC=10,
EF垂直平分AC,
EA=EC,
,:AB=AE,ADIBC,
:.BD=DE,
AB+BD=AE+DE=^(AB+BC)=5
:・DC=DE+EC=AE+DE=5,
故选:A.
【变式3-1](23-24八年级上.黑龙江哈尔滨•期中)如图,。为VABC内一点,CO平分,ACB,
BELCD,垂足为。,交AC于点E,ZA=ZABE,AC=U,BC=1,则3。的长为()
C.2D.2.5
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等,先证SOCgEDC(AAS),
推出BC=EC,根据等腰三角形“三线合一”可得8。=EO=gBE,根据NA=NABE,可得=通
过等量代换即可求解.
【详解】解:平分/ACB,
NBCD=NECD,
BELCD,
•.NBDC=NEDC,
又CD=CD,
J?DC^,£DC(AAS),
•.BC=EC,
又BE【CD,
BD=ED=-BE,
2
AC=11,BC=7,
AE=AC-CE=AC-BC=n-l=4f
ZA=ZABE,
AE=BE=4,
・•.BD=-BE=2,
2
故选c.
【变式3-2](23-24八年级上•浙江温州•期中)如图,在等腰三角形ABC中,AD是底边BC上的高线,
CE工AB于点E,交AD于点凡若/3AC=45。,AF=8,则8。的长为.
【答案】4
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理,熟练掌握
等腰三角形的判定与性质是解答的关键.先根据等腰三角形的性质得到AD13C,BD=CD=3BC,再
2
根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得AE=CE,ZEAF=ZECB,然后证明
△AEF丝Z\CE3(ASA)得到BC=AF=8即可求解.
【详解】解::在等腰三角形A3C中,AO是底边2C上的高线,
/.ADJ.BC,BD=CD=-BC,
2
ZBAD+ZB=90°,
CELAB,
:.ZAEC=ZBEC=90。,又ZS4c=45°,
ZACE=90°-ABAC=45°=ZEAC,ZECB+/B=90°
AAE=CE,Z.EAF=ZECB,
:.A4砂丝△C£B(ASA),
BC=AF,
VAF=8,
/.BD=-BC=-AF=4,
22
故答案为:4.
【变式3-3](22-23八年级上•吉林・期中)如图,在VABC中,AB=AC,。是BC边上的中点,连接
AD,郎平分,ABC交AC于点E,过点E作班〃3C交A3于点尸.
(1)若NC=36。,求N54D的度数;
(2)求证:FB=FE.
【答案】⑴ZS4D=54。
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,解题的关键是掌握等腰三角形等边对等
角,三线合一.
(1)先得出NABC=36。,再根据等腰三角形的性质得出AD上3C,即可解答;
(2)根据角平分线的定义得出NEBE=NC3E=gNABC,根据平行线的性质得出NCBE=NEEB,进而得
出NFBE=NFEB,即可求证.
【详解】(1)解:AB=ACf
..ZC=ZABCf
ZC=36°,
:.ZABC=36°,
VAB=AC,。是BC边上的中点,
:.AD±BC,
;.ZADB=9G°,
ZBAD=90°-36°=54°.
(2)证明:BE平分/ABC,
NFBE=NCBE=-NABC,
2
EF//BC,
ZCBE=ZFEB,
:.NFBE=/FEB,
:.FB=FE.
【变式3-4](23-24八年级上•湖北武汉•期中)如图,ABC为等腰直角三角形,
XBAC=90,AB=AC,。是AC上一点.CE^LBD于点、E,连接AE.
⑴求的度数;
(2)若3E=10,CE=4,求一AEC的面积.
【答案】(1)45
⑵6
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,作辅助线构造全等三角形是
解题的关键.
(1)在跖上截取所=CE,连接AF,证明二AB尸经ACE,即可得至=然后解题即可;
(2)过点A作AGLEF于点G,可以得到AG=;EP=3,然后根据S人废=S4跖尸•AG计算即可.
【详解】(1)解:在国上截取BE=CE,连接AF,
VZBAC=90°,CELBE,
:.ZABF+ZADB=ZACE+ZCDE=90°,
ZABF=ZACE,
又:AB=AC,
:..ABF^ACE,
AAF=AE,NBAF=NCAE,
:.ZEAF=ZBAC=90°,
:.ZAEB=45°;
GD
BC
(2)过点A作AGLEF于点G,
VBF=CE=4,BE=10,
:.EF=BE—BF=10—4=6,
AF=AE,
:.AG=-EF=3,
=-BFAG=-x4x3=6.
【考点题型四】等边三角形的性质与判定及含30°角的直角三角形的性质
【例4】(22-23八年级上•浙江丽水・期中)如图,VABC为等边三角形,△A3D为等腰直角三角形,且
2ABD90?,则/3CD的度数为()
A.10°B.15°C.22.5°D.30°
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形,等腰直角三角形.熟练掌握等边三角形的边角性质,等腰直角三角
形的边角性质,等腰三角形角的性质,是解答此题的关键.
根据等边三角形性质可得,AB=BC,ZABC=60。,根据等腰直角三角形性质可得,ZCBD=150°,
AB=BD,得到=根据等腰三角形性质可得,ZBCD=15°.
【详解】:VABC为等边三角形,
AAB=BC,ZABC=60°,
•「△ABD为等腰直角三角形,且?ABD90?,
JZCBD=ZABC+ZABD=150°,
*.*AB=BD,
:.BC=BD,
:.ZBCD=1(180°-ZCBD)=15°.
故选:B.
【变式4-1](23-24八年级上•广东广州•期中)如图,点尸是NAO3内任意一点,。尸=4,点C和点。分
别是射线。4和射线08上的动点,周长的最小值是4,则的度数是()
A.25°B.30°C.35°D.40°
【答案】B
【分析】本题考查轴对称知识,等边三角形的判定与性质.分别作点P关于0Ao3的对称点EE,连接
FE,分别交OAOB于点此时切+PC+CD的值最小,再根据已知条件可证OE厂是等边三角形即
可.
【详解】解:分别作点尸关于的对称点凡E,连接用,分别交OAOB于点C,。,止匕时
AD+PC+CD的值最小,连接OEQF,PC,PD,CD,如图所示:
:点尸关于。4的对称点为F,关于OB的对称点为E
PC=FC,OP=OF,ZFOA=ZPOA
丁点P关于OB的对称点为E
PD=ED,OP=OE,NEOB=NPOB
:.OE=OP=OF,ZAOB=-ZEOF
2
•・・△尸CD周长的最小值是4
JPD+PC+CD=4
:.DE+CF+CD=4
即EF=4=OP
:.OE=OF=EF,即。石F是等边三角形
・•・/EOF=60。
:.ZAOB=30°.
故选:B.
【变式4-2](23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期中)如图,在VABC中,ZAC5=90。,=30。,CD是
IWJ.若AD=2,则BD=.
【答案】6
【分析】本题考查含30度角的直角三角形,根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】解:・.・CD,AB,
・・・ZADC=Z90°=ZACB,
・•・ZACD=ZB=90°-ZA,
VZB=30°,
ZACD=30°,
JAC=2AD=4,
・•・AB=2AC=8,
:.BD=AB-AD=6.
故答案为:6.
【变式4-3](23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期中)如图,VABC是等边三角形,D,£分别是边AC,
3C上的点,BD,A£交于点骸_LA石于点/,若AD=CE.求证:BR=2FR.
A
【答案】见解析
【分析】先根据SAS证明得到NABD=NC4E,进而利用三角形外角的性质得到
NBRF=60。,由此求出,RB尸=30。,即可证明BR=2FR.
【详解】证明:.ABC是等边三角形,
:.AB=AC,4AC=NC=60。,
又iAD=CE,
ABZ注,C4E(SAS),
:.ZABD=ZCAE,
ZBRF=/ABD+/BAE=/CAE+/BAE=/BAC=60°,
BF±AE,
.•.△BRF为直角三角形,
:.ZRBF=3Q°,
:.BR=2FR.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,三角形外角的性质,三角形内角
和定理,含30。角的直角三角形的性质,正确求出=60。是解题的关键.
【变式4-4](22-23八年级上•浙江湖州•期中)如图,在VABC中,AC=BC,ZBAC=3Q°,。为AB的
中点,P为线段CD上一动点,E为3c延长线上一点,且=
⑴连接尸3,求证:PE=PB;
(2)求证:ZPAD+ZPEC=30°;
(3)求证:VAPE是正三角形;
(4)当AB=12时,求四边形APCE的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)S四边形MCE=126
【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一性质可得CD是AB的垂直平分线,从而可得PA=PB,然后根据
等量代换可得理=依,即可解答;
(2)利用等腰三角形的性质可得NPEB=/PBE,ZPAB=ZPBA,ZCAB=ZCBA=30°,从而可得
ZPBE+ZPBA=3G°,然后利用等量代换可得NR4D+NPEC=30。,即可解答;
(3)根据垂直定义可得NAZ)C=/BDC=90。,从而可得">。=90。-440,4>CB=60。,然后根据三
角形的外角性质可得NCPE=60。-NPEC,从而利用平角定义可得NAPE=60。,最后根据等边三角形的判定
即可解答;
(4)过点A作区交2C的延长线于点尸,根据垂直定义可得NE钻=90。,从而可得NF=60。,
再利用三角形的外角性质可得NACF=60。,从而利用三角形内角和定理可得ZF=N"C=Z4CF=60。,进
而可得,AFC是等边三角形,然后利用等边三角形的性质可得AR=AC=B,从而利用SAS证明
FAE^CAP,进而可得四边形APCE的面积—AFC的面积,再根据已知可得R?=,从而可得一AFC的
面积=ABC的面积=四边形APCE的面积,最后在Rt4)C中,利用含30度角的直角三角形的性质可得
CD=2yf3,从而利用三角形的面积公式求出VA3C的面积,即可解答.
【详解】(1)证明:如图:
AC=BC。为A3的中点,
:.CD是AB的垂直平分线,
:.PA=PB,
PA=PE,
:.PE=PB-,
(2)证明:PE=PB,
:.ZPEB=APBE,
PA=PB,
:.ZPAB=ZPBA,
AC=BC,
:.ZCAB=ZCBA=30°f
:.ZPBE+ZPBA=30°,
:.ZPAD+ZPEC=30°;
(3)证明:CD±AB,
..ZADC=ZBDC=90。,
:.ZAPD=900-ZPAD,
NCB4=30。,
/.ZDCB=90°-ZCft4=60°,
/DCB是△CEP的一个外角,
/CPE=ZDCB—ZPEC=3。—ZPEC,
/.ZAPE=180°-ZAPD-ZCPE=180°-(90°-ZPAD)-(60°-APEC)=30°+ZPAD+ZPEC=60°,
PA=PE,
.•…APE是正三角形;
(4)解:过点A作£4_LAB,交5C的延长线于点尸,
ZFAB=90°f
.\ZF=90°-ZCBA=60°f
ZACF是AACB的一个外角,
.'.ZACF=ZCAB+ZCBA=60°,
ZFAC=1800-ZF-ZACF=60°,
ZF=ZFAC=ZACF=6O°,
・・.,AFC是等边三角形,
,\AF=AC=CF,
QVAEP是等边三角形,
:.AE=AP,ZE4P=60°,
/.ZFAC-ZEAC=ZEAP-ZEAC,
.\ZFAE=ZCAPf
/.FAE^CAP(SAS),
••・四边形APCE的面积=.AFC的面积,
AC=CB,
:.FC=CB,
.e.AFC的面积=一ABC的面积,
••・四边形APCE的面积=LABC的面积,
在RtADC中,AD=-AB=6,ZG4D=30°,
2
••・8=詈$25
45C的面积=gAB-CD=;xl2x2代=126,
四边形APCE的面积为12A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,含30
度角的直角三角形,等腰三角形的性质,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键.
【考点题型五】最短路径问题
【例5】(23-24八年级上.山东德州•期中)如图,在正方形网格中有E,尸两点,在直线/上求一点尸,使
PE+尸产最短,则点P应选在()
E
【答案】c
【分析】此题考查了轴对称-最短路径问题.注意首先作出其中一点关于直线/的对称点,对称点与另一
点的连线与直线/的交点就是所要找的点.首先求得点E关于直线/的对称点E,连接EF,即可求得答
案.
【详解】解:如图,点后是点M关于直线/的对称点,连接EK,则E户与直线/的交点,即为点P,连接
PE,此时尸E+PR最短,
—♦J-i~~-
A]B/Cd
----i—―-^
,I
•J,z
£,
;E与召'关于直线/对称,
/.PE=PE,
PE+PF=PE+PF,
•••两点之间线段最短,
,此时PE+尸尸最短,即PE+PF最短,
,/EN与直线/交于点C,
.,.点P应选C点.
故选:C.
【变式5-1](23-24八年级上.广东云浮・期末)如图,等腰VABC的底边2C长为3,面积是12,腰AC的
垂直平分线EF分别交边AC,48于点£,F.若。为8C边的中点,M为线段跖上的一动点,则
VCDM周长的最小值为()
A.4B.9.5C.12.5D.16
【答案】B
【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,解题的关键是利用线段垂
直平分线的性质.
【详解】如图:
连接AD交砂于点
,•1等腰VA3C的底边BC长为3,点。为8C边的中点,
3
AD±BC,BD=CD=—,
2
尸是腰AC的垂直平分线,连接CM,
:.AM=CM,
此时VCDM的周长为:CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD
3
CO的长为|■固定,
根据两点之间线段最短,VCDM的周长最小.
VSABC=^BC>AD,
/.-x3AD=12,
2
AD=8,
3
AD+C£>=8+-=9.5.
2
故选:B.
【变式5-2](23-24八年级上.内蒙古巴彦淖尔.期中)如图,VABC的面积为14,AB=AC,BC=4,
AC的垂直平分线环分别交AB,AC边于点E,F,若点。为3C边的中点,点尸为线段上一动点,则
△PCD周长的最小值为
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质,解题的关键是熟知等腰三角形三线合一
的性质.连接AD,由于AABC是等腰三角形,点。是8C边的中点,故AD13C,再根据三角形的面积
公式求出AD的长,再根据族是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线族的对称点为点A,故AD
的长为CP+PD的最小值,由此即可得出结论.
【详解】解:连接仞,
A
AABC是等腰三角形,点。是3c边的中点,
:.AD±BCf
.■.SMBC=^BC.AD=^X4XAD=14,
解得:AD=7,
EF是线段AC的垂直平分线,
•••点C关于直线EF的对称点为点A,
.1A。的长为CP+PD的最小值,
.^.△CDP的周长最短=(CP+尸D)+CD=AD+qBC=7+gx4=7+2=9.
故答案为:9.
【变式5-3](23-24八年级上•湖南湘西•期中)如图,阳光明媚的周六,小明在学校(A)练习篮球,他接
到妈妈的电话,要先去C街快递公司取包裹,再去。街购买文具,然后回到家里(B).请画出小明行走的
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了轴对称的性质,两点之间线段最短,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
求解.
根据两点之间线段最短,轴对称的性质即可得到答案.
【详解】解;如图所示:作点A的对称点A,作点B的对称点3',连接AB,交C街和。街于点瓦尸,
贝ij=AE+EF+"产AA",
当点A,E,F,2'共线时,小明行走的路径最短,
故小明行走的最短路径是M-EF-£8,
A'
【变式5-4](23-24八年级上•河南濮阳•期中)在等边VASC中,点D是直线BC上的一个点(不与点8、
C重合),以AD为边在AZ)右侧作等边VADE,连接CE.
【观察猜想】(1)如图1,当点。在线段BC上时,则线段CE与线段80的数量关系为.
【数学思考】(2)如图2,当点D在线段2C的延长线上时,猜想三条线段6、。与CE的数量关系,
并加以证明.
【方法感悟】在解决问题时,条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时,常常考虑旋转某个三角形,
从而使问题得到解决.
【拓展延伸】(3)如图3,边长为a的等边VABC中,仍是中线,且点。在正上,连接AD,
在AD的右侧作等边VADE,连接族,请直接写出△AEF周长的最小值.
【答案】(1)CE=BD(2)CE=AC+CD,理由见解析(3)-a+b
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题:
(1)由等边三角形的性质可得AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,推出N3AD=NC4E,进而
根据“SAS”证得aBAD丝一。IE,由全等三角形对应边相等即可得出结论;
(2)证明△C4EZ4B4。,结合全等三角形的性质,利用线段的和差关系即可得出结论;
(3)证明gC4E,由全等三角形的性质得乙加=NACE,进而根据等边三角形的性质可得
NACE=30。,点E在射线CE上运动,作点A关于直线CE的对称点M,连接RW交CE于后,当点E运
动到点£时,△皿周长的最小,再根据线段的和差关系,即可得到答案.
【详解】(1)证明:一ABC,VADE都是等边三角形,
:.AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,
...ABAC-ZDAC=/DAE-ADAC,
:.ZBAD=ZCAE,
在,胡。和_C4E中,
AB=AC
<ZBAD=/CAE,
AD=AE
BAD^G4E(SAS),
BD=CE.
故答案为:CE=BD;
(2)解:CE=AC+CD.
证明:ADE与VABC都是等边三角形,
:.AC=AB,ZDAE=ZBAC=60°,AE=AD,
ZDAE+ACAD=ZBAC+ACAD.
即NCAE=NBAD.
在和山。中,
AC=AB
-ZCAE=ZBAD,
AE=AD
:..CAE^.BAD(SAS).
CE=BD,
.•.CE=BD=BC+CD=AC+CD.
(3)解:如图,连接CE,
ABC,VAZ)£都是等边三角形,
..AB=AC=afZBAC=ZDAE=6Q°,AD=AE,
ZBAC-ZDAC=/DAE—/DAC,
:./BAD=NCAE,
/.BAD^G4E(SAS),
:.ZABD=ZACE,
:等边VABC中,BF是中线,且BF=b,
:.ZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF1AC,AF=CF=-a
29
.・•点E在射线CE上运动(NACE=30。),
作点A关于直线CE的对称点M,连接月欣交C£于E,当点E运动到点后时,△钻产周长的最小,
CA=CM,ZACM=60°,
.^ACM是等边三角形,
:.AM=AC,
BFYAC,
.\FM=BF=b9
AE尸周长的最小值=4尸+配'+4石'=4歹+上0=*。+。.
2
【考点题型六】转化思想
【例6】(23-24八年级上.河南信阳・期中)如图,在VABC中,ZC=90°,ZB=30°,边A3的垂直平分线
DE交AB于点、E,交BC于点,CD=3,则BC的长为()
A.8B.9C.10D.12
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的性
质.根据直角三角形的性质,可得AB=2AC,ZBAC=60。,再由线段垂直平分线的性质,可得A£>=3£),
AE=BE,BD=2DE,根据等腰三角形的性质可得NBA。=NB=30。,从而得到NGW=44D,然后根
据角平分线的性质可得DE=CD=3,即可求解.
【详解】解:VZC=90°,ZB=30°,
AB=2AC,ABAC=60°,
,/DE垂直平分AB,
AD=BD,AE=BE,BD=2DE,
:.ZBAD=Z.B=30°,
:.ZCAD=ABAC-ZBAD=30°,
NCAD=ZBAD,
-:ZC=90°,DELAB,
DE=CD=3,
:.BD=2DE=6,
:.BC=BD+CD=9.
故选:B
【变式6-1](23-24八年级上•内蒙古呼和浩特•期中)如图,在等腰三角形A3C中,N54c=120。,若
㈤W和FN分别垂直平分和AC,垂足为E、F,点、M、N都在8C边上,旦EM=FN=2,则BC的
长度为()
【答案】D
【分析】先根据垂直平行线的性质证明MB=NA=NC,再根据等边对等角推出
ZB=ZMAE,ZC=ZNAC,进而证明11AMN是等边三角形,再根据含30度角的直角三角形的性质求出
NC,即可求解
【详解】解:,•,EM和RV分别垂直平分A3和AC,
AMB=MA,NA=NC,
:.NB=/MAE,ZC=ZNAC,
在VABC中,ZBAC=nQ0,
:.ZB=ZC=1(180°-ABAC)=1X(180°-120°)=30°,
ZMAE=ZNAC=3Q°,
ZAMN=ZB+/MAE=60°,ZANM=ZC+ZNAC=60°,
又•./MAN=ABAC-ZMAE-ZNAC=60°,
是等边三角形,
在Rt_NFC中,ZC=30°,FN=2,
:.NC=2x2=4,
AN=NC=4,
是等边三角形,MB=MA
:.AN=AM=MN=BM=4,
:.BC=BM+MN+CN=4+4+4=12,
故选D.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的
直角三角形的性质等,证明,.4处是等边三角形,并熟练进行等量代换是解题的关键.
【变式6-2](23-24八年级上•北京•期中)如图,在VABC中,/ABC与ZACB的平分线交于点O,过点
。作£>E〃BC,分别交AB、AC于点。、E.若AB=5,AC=4,则VADE的周长为
【答案】9
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中,解题
的关键是注意证得与是等腰三角形,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
由在VABC中,N3与NC的平分线交于点。,过点。作OE〃3C,证得二DOB与△EOC是等腰三角
形,即==
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