轴对称（考点清单知识导图+5个考点清单+7种题型解读）解析版

专题03轴对称（考点清单，知识导图+5个考点清单+7种题型解

读）

考点侪单

第奚11物时纬

概■念物时林图形

蛾

段—经过段盘中点并且冬贡于这条蚊屐的竟或

垂

的

*平性质:一线段垂直平分蛾上的点与这条战段两个端点的距离相等

<

线

分

判定:—与我段两个热点距离相等的点在这条找检的叁Jt平分线上

有算时应线段相等.时应角相争

性质」时林轴磨立平分连接对应点的线段

______:关于X轴对称的两个点的生标将征〕—啧坐标相等，纵坐标互为相反做

成轴对］k------------------------------->

称的点I

恒至IU关于）•轴时称的两个点的坐标挣征］—演坐标互为相反歙，姒史标相等

.....「等边对等角

「性质H

...........,L三税合一

等腰

轴对称J

三角形

「朝天”:『等楼三角彩的定义

方法:一等角对等边

\性质J—三条边邮相等.三个内角都相等且与一个内角都等于&尸

等腰

等边U

三角形［E藐，卜r等边三角形的之义

「利定；|三个的部柚等的三角形是等边三角彩

J方法：

.有一个角是仪尸的等膜三角矽是等边三角形

含30。角的允角.逆立角三角彩中,加果一个锐角等于”.邪么它

三角形的性质

L工▼L一八/;所时的左角边等于叶边的一半

［解决最短珞径问题〕

实际应用

;图拿设计I

【清单01】轴对称

1.轴对称图形和轴对称

(1)轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条

直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

(2)轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条

直线对称，这条直线叫做对称轴.

要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等

形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系

要点归纳：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及

两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么

这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线

段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点归纳：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇

见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形

创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心一一外

心.

【清单02】作轴对称图形

1.作轴对称图形

(1)几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就

可以得到原图形的轴对称图形；

(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，

连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

【清单03】等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,/A是顶角,

/B、/C是底角.

要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角

(或直角)，但顶角可为钝角(或直角).

180°-ZA

ZA=180°-2ZB,/B=NC=-------------.

2

(2)等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别

地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。.

(3)等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边“).

要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边

的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

2.等边三角形

(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包

括等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点）

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用

来求边的长度和角的度数.

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

【清单05】最短路径问题（重点）

1.垂直线段最短问题

动点所在的直线已知型

方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。

2.将军饮马问题

方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值.

①两定一动

③两定两动

h

3.“造桥选址”问题

方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值.

型陆单

【考点题型一】轴对称与轴对称图形

【例1】（23-24八年级上.广东湛江•期中）下列的图形中，F左边图F形与右边图形成轴对称的是（）

A.B.-

FH

【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：

【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；

只有D成轴对称，符合题意.

故选：D.

【变式1-1]（23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，ABC和—AB'C关于直线/对称，点尸为直线

/上一点，则下列说法中错误的是（）

A

BC|CB，

A.ABC^AB'CB./垂直平分CC'C.PC=PCD.ZBAC=ZCAC

【答案】D

【分析】本题考查了轴对称的性质.熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可.

【详解】解：由轴对称的性质可知，ABC^A'B'C,/垂直平分CC',PC=PC,

ZBAC=ZB'AC丰ZCAC,

:4B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；

故选：D.

【变式1-2]（23-24八年级上.河北石家庄•期中）如图，VABC和一A'8'C'关于直线/对称，连接

A4\BB\CC,其中AT与直线/交于点。，点。为直线/上一点，且不与点。重合，连接AD、A'D.下

列说法错误的是（）

A.ZACB^ZACB'

B.线段4T、BB<CC被直线/垂直平分

C.W为等腰三角形

D.线段AC、A'C'所在直线的交点不一定在直线/上

【答案】D

【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关

键.

【详解】解：A、和“AB'C关于直线/对称，

^ABC^A'B'C,

AZACB=ZA!CB',正确，不符合题意；

B、,/NABC和&A'3'C'关于直线l对称，

二线段A4*BB\CC被直线/垂直平分，正确，不符合题意；

C、NABC和」AB'C关于直线/对称,

；•/是线段4r的垂直平分线，

为等腰三角形，正确，不符合题意；

D、和qAB'C'关于直线/对称，

线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线/上，原说法错误，符合题意.

故选：D

【变式1-3]（21-22八年级上.江西上饶•期中）如图，NA=20。，ZC'=60°,VABC与‘A'B'C'关于直线/

对称，则NB=.

【答案】1007100&

【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC四△AZTC,由全等三角形的性质可知NC=NC,再由三角形内

角和定理可得出的度数.

【详解】解：,ABC与aAUC关于直线/对称，

△ABC四△AB'C',

.-.ZC=ZC,=60°,

ZA=20°,

ZB=180°-ZA-ZC=180°-20°-60°=100°.

故答案为：100°.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三

角形内角和定理是解答此题的关键

【变式1-4]（23-24八年级上•吉林・期中）如图，VA3C和VADE关于直线"N对称，3c与DE的交点产

在直线MN上.

GD

MN

E

(1)图中点。的对应点是点，AE的对应边是；

⑵若ND4E=108°,ZEAF=39°,求/。AC的度数.

【答案】(1)3,AC

(2)ND4C=30°

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算.

(1)本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可.

(2)本题根据轴对称性质推出NC4F=N£AF=39。，从而得出NC4E=78。，最后根据

"AC=NZME—/C4E即可解题.

【详解】(1)解：由题意可得：图中点。的对应点是点8,AE的对应边是AC,

故答案为：B,AC.

(2)解：ND4E=108°,NEAF=39。,

ZCAF=ZEAF^39°,

ZCAE=ZCAF+ZEAF=78°,

ADAC=Z.DAE-ACAE=30°.

【考点题型二】线段垂直平分线的判定

【例2】(23-24八年级上•广西玉林•期中)如图，在VABC中，的垂直平分线DMr交BC于点。，边

AC的垂直平分线EN交2C于点E.已知VADE的周长为8cm,则2C的长为()

【答案】D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得D4=DB,EA=EC,结合

VADE的周长8cm,得出BD+OE+EC=8cm,即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关

键.

【详解】解：是A3的垂直平分线，

DA=DB,

,/EN是AC的垂直平分线，

EA=EC,

：VADE的周长8cm,

AD+DE+AE=8cm,

BD+DE+EC=8cm,

BC=8cm,

3C的长为8cm；

故选：D

【变式2-1]（23-24八年级上.湖南怀化・期中）如图，四边形ABCO中，AB=CB,DA=DC,我们把这

种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（）

①ACSBD；®AC=2OA；③AC平分ZBAD；④四边形ABCD的面积=：ACm.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据AB=CB,DA=DC,得到30垂直平分AC,分割法求面

积，逐一进行判断即可.

【详解】解：；AB=CB,DA^DC,

.•.点8,点。在线段AC的垂直平分线上，

垂直平分AC,

ACJ.BD,AC=2OA,故①②正确；

无法得到AC平分故③错误；

四边形ABCD的面积为5ABe+S+=+故④正确；

故选C.

【变式2-2]（23-24八年级上•四川资阳・期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、相交于。，

△ABO乌AADO.下列结论：©ACJ.BD-,②CB=CD；③△MC妾△ADC；®DA=DC.其中，正确

结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得

ZAOB=ZAOD,根据平角的定义可得/AOB=/AOD=gxl8（r=90。，即可判断①，根据全等三角形的性

质得出=BO=DO,结合①可得AC是3。的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，

不能得出结论④.

【详解】解：：AABO四△ADO,

/.ZAOB=ZAOD,AB=AD,BO=DO

:四边形ABC。的对角线AC、相交于点O,

AZAOB^ZAOD=-xl80°=90°,

2

AAC1BD,故①正确；

VAC.LBD,BO=DO

AC是的垂直平分线，

ACB=CD,故②正确；

VAB^AD,BC=DC,AC^AC,

：.^ABC^ADC,故③正确；

由已知条件不能判断D4=OC,故④错误.

故答案为：①②③.

【变式2-3].（23-24八年级上.江苏宿迁•期中）如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是AABD

和「ACD的高.

£

(1)试说明AD垂直平分跖；

(2)若AB=8,AC=6,SABC=28,求DE的长.

【答案】(1)详见解析

(2)4

【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明

RtAEE^X./%(HL)是解题的关键.

(1)利用角平分线的性质证明DE=OR，证明RtAMD^RtAAFD(HL),则AE=A/，即可证明结论；

(2)根据=28列式计算即可.

【详解】(1)证明：：AD是△ABCAASC的角平分线，£(区PF分别是△ABD和ACD的高.

/.DE=DF,

在RtAAED与RtAAFD中，

[AD=AD

[DE=DF'

RtAED^RtAFD(HL),

AE=AF,

'：DE=DF,

：.AZ)垂直平分跖；

(2)解：；DE=DF,

S^+8ACD=­AB-ED+^AC-DF=^DE(AB+AC)=2S,

AB+AC=14,

DE=4.

【变式2-4](23-24八年级上.山东滨州.期中)如图，VABC中，跖垂直平分AC,交AC于点R交BC

于点区AD±BC,垂足为。，且&)连接AE.

A

（1）求证：AB=EC；

（2）若VABC的周长为20cm,AC=7cm,则DC的长为多少？

【答案】（1）见解析

13

⑵7cm

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质：

（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE=£C,AB=AE,等量代换可得=

（2）先根据已知条件得出AB+BC=13cm,再通过等量代换得出AB+50=O£+£C=OC,进而得出

AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,即可求解.

【详解】（1）证明：二石厂垂直平分AC,

・•・AE=EC,

VAD±BC,BD=DE,

，AB=AE,

：.AB=EC；

（2）解：TVABC的周长为20cm,

AB+BC+AC=20cm,

AC=7cm,

AB+BC=13cm,

•；AB=EC,BD=DE,

：.AB+BD=DE+EC=DC,

VAB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,

DC=—cm.

2

【考点题型三】等腰三角形的性质与判定

【例3】（22-23八年级上•湖北荆门・期中）如图，VABC中，AB=AE,且AOL3C,EF垂直平分AC,

交AC于点尸，交5c于点£,若VA5C周长为16,AC=6,则。。为（）

A.5B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，

根据VABC周长为16,AC=6,可得AB+BC=10,根据垂直平分线的性质可得E4=EC,根据

AB=AE,AD1BC,可得BD=DE,所以A5+8O=AE+OE=；（A5+5C）=5,由此即可求解.

【详解】解：YVABC周长为16,

・・.AB+BC+AC=16,

AC=6,

JAB+BC=10,

EF垂直平分AC,

EA=EC,

,：AB=AE,ADIBC,

：.BD=DE,

AB+BD=AE+DE=^（AB+BC）=5

:・DC=DE+EC=AE+DE=5,

故选：A.

【变式3-1]（23-24八年级上.黑龙江哈尔滨•期中）如图，。为VABC内一点，CO平分，ACB,

BELCD,垂足为。，交AC于点E,ZA=ZABE,AC=U,BC=1,则3。的长为（）

C.2D.2.5

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证SOCgEDC（AAS）,

推出BC=EC,根据等腰三角形“三线合一”可得8。=EO=gBE,根据NA=NABE,可得=通

过等量代换即可求解.

【详解】解：平分/ACB,

NBCD=NECD,

BELCD,

•.NBDC=NEDC,

又CD=CD,

J?DC^,£DC（AAS）,

•.BC=EC,

又BE【CD,

BD=ED=-BE,

2

AC=11,BC=7,

AE=AC-CE=AC-BC=n-l=4f

ZA=ZABE,

AE=BE=4,

・•.BD=-BE=2,

2

故选c.

【变式3-2]（23-24八年级上•浙江温州•期中）如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线,

CE工AB于点E,交AD于点凡若/3AC=45。，AF=8,则8。的长为.

【答案】4

【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握

等腰三角形的判定与性质是解答的关键.先根据等腰三角形的性质得到AD13C,BD=CD=3BC，再

2

根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得AE=CE，ZEAF=ZECB,然后证明

△AEF丝Z\CE3（ASA）得到BC=AF=8即可求解.

【详解】解：：在等腰三角形A3C中，AO是底边2C上的高线，

/.ADJ.BC,BD=CD=-BC,

2

ZBAD+ZB=90°,

CELAB,

:.ZAEC=ZBEC=90。,又ZS4c=45°,

ZACE=90°-ABAC=45°=ZEAC,ZECB+/B=90°

AAE=CE,Z.EAF=ZECB,

：.A4砂丝△C£B（ASA）,

BC=AF,

VAF=8,

/.BD=-BC=-AF=4,

22

故答案为：4.

【变式3-3]（22-23八年级上•吉林・期中）如图，在VABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，连接

AD,郎平分,ABC交AC于点E,过点E作班〃3C交A3于点尸.

(1)若NC=36。，求N54D的度数；

(2)求证：FB=FE.

【答案】⑴ZS4D=54。

(2)证明见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等

角，三线合一.

(1)先得出NABC=36。，再根据等腰三角形的性质得出AD上3C,即可解答；

(2)根据角平分线的定义得出NEBE=NC3E=gNABC,根据平行线的性质得出NCBE=NEEB,进而得

出NFBE=NFEB,即可求证.

【详解】(1)解：AB=ACf

..ZC=ZABCf

ZC=36°,

:.ZABC=36°,

VAB=AC,。是BC边上的中点，

:.AD±BC,

;.ZADB=9G°,

ZBAD=90°-36°=54°.

(2)证明：BE平分/ABC,

NFBE=NCBE=-NABC,

2

EF//BC,

ZCBE=ZFEB,

:.NFBE=/FEB,

:.FB=FE.

【变式3-4](23-24八年级上•湖北武汉•期中)如图，ABC为等腰直角三角形,

XBAC=90,AB=AC,。是AC上一点.CE^LBD于点、E,连接AE.

⑴求的度数；

(2)若3E=10,CE=4,求一AEC的面积.

【答案】(1)45

⑵6

【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是

解题的关键.

(1)在跖上截取所=CE,连接AF,证明二AB尸经ACE,即可得至=然后解题即可；

(2)过点A作AGLEF于点G,可以得到AG=；EP=3,然后根据S人废=S4跖尸•AG计算即可.

【详解】(1)解：在国上截取BE=CE,连接AF,

VZBAC=90°,CELBE,

：.ZABF+ZADB=ZACE+ZCDE=90°,

ZABF=ZACE,

又：AB=AC,

：..ABF^ACE,

AAF=AE,NBAF=NCAE,

：.ZEAF=ZBAC=90°,

：.ZAEB=45°；

GD

BC

(2)过点A作AGLEF于点G,

VBF=CE=4,BE=10,

：.EF=BE—BF=10—4=6,

AF=AE,

：.AG=-EF=3,

=-BFAG=-x4x3=6.

【考点题型四】等边三角形的性质与判定及含30°角的直角三角形的性质

【例4】（22-23八年级上•浙江丽水・期中）如图，VABC为等边三角形，△A3D为等腰直角三角形，且

2ABD90?,则/3CD的度数为（）

A.10°B.15°C.22.5°D.30°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形.熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角

形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键.

根据等边三角形性质可得，AB=BC,ZABC=60。，根据等腰直角三角形性质可得，ZCBD=150°,

AB=BD,得到=根据等腰三角形性质可得，ZBCD=15°.

【详解】:VABC为等边三角形，

AAB=BC,ZABC=60°,

•「△ABD为等腰直角三角形，且？ABD90?,

JZCBD=ZABC+ZABD=150°,

*.*AB=BD,

：.BC=BD,

：.ZBCD=1(180°-ZCBD)=15°.

故选：B.

【变式4-1]（23-24八年级上•广东广州•期中）如图，点尸是NAO3内任意一点，。尸=4,点C和点。分

别是射线。4和射线08上的动点，周长的最小值是4,则的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查轴对称知识，等边三角形的判定与性质.分别作点P关于0Ao3的对称点EE,连接

FE,分别交OAOB于点此时切+PC+CD的值最小，再根据已知条件可证OE厂是等边三角形即

可.

【详解】解：分别作点尸关于的对称点凡E,连接用，分别交OAOB于点C,。，止匕时

AD+PC+CD的值最小，连接OEQF,PC,PD,CD,如图所示：

:点尸关于。4的对称点为F，关于OB的对称点为E

PC=FC,OP=OF,ZFOA=ZPOA

丁点P关于OB的对称点为E

PD=ED,OP=OE,NEOB=NPOB

：.OE=OP=OF,ZAOB=-ZEOF

2

•・・△尸CD周长的最小值是4

JPD+PC+CD=4

：.DE+CF+CD=4

即EF=4=OP

：.OE=OF=EF,即。石F是等边三角形

・•・/EOF=60。

：.ZAOB=30°.

故选：B.

【变式4-2］（23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期中）如图，在VABC中，ZAC5=90。,=30。，CD是

IWJ.若AD=2,则BD=.

【答案】6

【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】解：・.・CD，AB,

・・・ZADC=Z90°=ZACB,

・•・ZACD=ZB=90°-ZA,

VZB=30°,

ZACD=30°,

JAC=2AD=4,

・•・AB=2AC=8,

：.BD=AB-AD=6.

故答案为：6.

【变式4-3］（23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期中）如图，VABC是等边三角形，D,£分别是边AC,

3C上的点，BD,A£交于点骸_LA石于点/，若AD=CE.求证：BR=2FR.

A

【答案】见解析

【分析】先根据SAS证明得到NABD=NC4E,进而利用三角形外角的性质得到

NBRF=60。,由此求出，RB尸=30。，即可证明BR=2FR.

【详解】证明：.ABC是等边三角形，

:.AB=AC,4AC=NC=60。,

又iAD=CE,

ABZ注,C4E（SAS）,

:.ZABD=ZCAE,

ZBRF=/ABD+/BAE=/CAE+/BAE=/BAC=60°,

BF±AE,

.•.△BRF为直角三角形，

:.ZRBF=3Q°,

:.BR=2FR.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角

和定理，含30。角的直角三角形的性质，正确求出=60。是解题的关键.

【变式4-4](22-23八年级上•浙江湖州•期中)如图，在VABC中，AC=BC,ZBAC=3Q°,。为AB的

中点，P为线段CD上一动点，E为3c延长线上一点，且=

⑴连接尸3,求证：PE=PB；

(2)求证：ZPAD+ZPEC=30°；

(3)求证：VAPE是正三角形；

(4)当AB=12时，求四边形APCE的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

(4)S四边形MCE=126

【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一性质可得CD是AB的垂直平分线，从而可得PA=PB,然后根据

等量代换可得理=依，即可解答；

(2)利用等腰三角形的性质可得NPEB=/PBE,ZPAB=ZPBA,ZCAB=ZCBA=30°,从而可得

ZPBE+ZPBA=3G°,然后利用等量代换可得NR4D+NPEC=30。，即可解答；

(3)根据垂直定义可得NAZ)C=/BDC=90。，从而可得">。=90。-440,4>CB=60。，然后根据三

角形的外角性质可得NCPE=60。-NPEC,从而利用平角定义可得NAPE=60。，最后根据等边三角形的判定

即可解答；

(4)过点A作区交2C的延长线于点尸，根据垂直定义可得NE钻=90。，从而可得NF=60。，

再利用三角形的外角性质可得NACF=60。，从而利用三角形内角和定理可得ZF=N"C=Z4CF=60。，进

而可得，AFC是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得AR=AC=B,从而利用SAS证明

FAE^CAP,进而可得四边形APCE的面积—AFC的面积，再根据已知可得R?=,从而可得一AFC的

面积=ABC的面积=四边形APCE的面积，最后在Rt4)C中，利用含30度角的直角三角形的性质可得

CD=2yf3,从而利用三角形的面积公式求出VA3C的面积，即可解答.

【详解】(1)证明：如图:

AC=BC。为A3的中点,

:.CD是AB的垂直平分线,

:.PA=PB,

PA=PE,

:.PE=PB-,

(2)证明：PE=PB,

:.ZPEB=APBE,

PA=PB,

:.ZPAB=ZPBA,

AC=BC,

:.ZCAB=ZCBA=30°f

:.ZPBE+ZPBA=30°,

:.ZPAD+ZPEC=30°；

(3)证明：CD±AB,

..ZADC=ZBDC=90。,

:.ZAPD=900-ZPAD,

NCB4=30。，

/.ZDCB=90°-ZCft4=60°,

/DCB是△CEP的一个外角，

/CPE=ZDCB—ZPEC=3。—ZPEC,

/.ZAPE=180°-ZAPD-ZCPE=180°-(90°-ZPAD)-(60°-APEC)=30°+ZPAD+ZPEC=60°,

PA=PE,

.•…APE是正三角形；

(4)解：过点A作£4_LAB,交5C的延长线于点尸，

ZFAB=90°f

.\ZF=90°-ZCBA=60°f

ZACF是AACB的一个外角，

.'.ZACF=ZCAB+ZCBA=60°,

ZFAC=1800-ZF-ZACF=60°,

ZF=ZFAC=ZACF=6O°,

・・.,AFC是等边三角形，

,\AF=AC=CF,

QVAEP是等边三角形，

:.AE=AP,ZE4P=60°,

/.ZFAC-ZEAC=ZEAP-ZEAC,

.\ZFAE=ZCAPf

/.FAE^CAP(SAS),

••・四边形APCE的面积=.AFC的面积，

AC=CB,

:.FC=CB,

.e.AFC的面积=一ABC的面积，

••・四边形APCE的面积=LABC的面积，

在RtADC中，AD=-AB=6,ZG4D=30°,

2

••・8=詈$25

45C的面积=gAB-CD=；xl2x2代=126，

四边形APCE的面积为12A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30

度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

【考点题型五】最短路径问题

【例5】（23-24八年级上.山东德州•期中）如图，在正方形网格中有E,尸两点，在直线/上求一点尸，使

PE+尸产最短，则点P应选在（）

E

【答案】c

【分析】此题考查了轴对称-最短路径问题.注意首先作出其中一点关于直线/的对称点，对称点与另一

点的连线与直线/的交点就是所要找的点.首先求得点E关于直线/的对称点E,连接EF,即可求得答

案.

【详解】解：如图，点后是点M关于直线/的对称点，连接EK,则E户与直线/的交点，即为点P,连接

PE,此时尸E+PR最短，

—♦J-i~~-

A]B/Cd

----i—―-^

，I

•J,z

£，

；E与召'关于直线/对称，

/.PE=PE,

PE+PF=PE+PF,

•••两点之间线段最短，

,此时PE+尸尸最短，即PE+PF最短，

,/EN与直线/交于点C,

.,.点P应选C点.

故选：C.

【变式5-1]（23-24八年级上.广东云浮・期末）如图，等腰VABC的底边2C长为3,面积是12,腰AC的

垂直平分线EF分别交边AC,48于点£,F.若。为8C边的中点，M为线段跖上的一动点，则

VCDM周长的最小值为（）

A.4B.9.5C.12.5D.16

【答案】B

【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂

直平分线的性质.

【详解】如图：

连接AD交砂于点

,•1等腰VA3C的底边BC长为3,点。为8C边的中点,

3

AD±BC,BD=CD=—,

2

尸是腰AC的垂直平分线，连接CM,

：.AM=CM,

此时VCDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD

3

CO的长为|■固定，

根据两点之间线段最短，VCDM的周长最小.

VSABC=^BC>AD,

/.-x3AD=12,

2

AD=8,

3

AD+C£>=8+-=9.5.

2

故选：B.

【变式5-2]（23-24八年级上.内蒙古巴彦淖尔.期中）如图，VABC的面积为14,AB=AC,BC=4,

AC的垂直平分线环分别交AB,AC边于点E,F,若点。为3C边的中点，点尸为线段上一动点，则

△PCD周长的最小值为

【答案】9

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一

的性质.连接AD,由于AABC是等腰三角形，点。是8C边的中点，故AD13C,再根据三角形的面积

公式求出AD的长，再根据族是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线族的对称点为点A,故AD

的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解：连接仞，

A

AABC是等腰三角形，点。是3c边的中点，

:.AD±BCf

.■.SMBC=^BC.AD=^X4XAD=14,

解得:AD=7,

EF是线段AC的垂直平分线，

•••点C关于直线EF的对称点为点A,

.1A。的长为CP+PD的最小值，

.^.△CDP的周长最短=（CP+尸D）+CD=AD+qBC=7+gx4=7+2=9.

故答案为：9.

【变式5-3]（23-24八年级上•湖南湘西•期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接

到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去。街购买文具，然后回到家里（B）.请画出小明行走的

【答案】见详解

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行

求解.

根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案.

【详解】解；如图所示：作点A的对称点A,作点B的对称点3',连接AB,交C街和。街于点瓦尸，

贝ij=AE+EF+"产AA",

当点A,E,F,2'共线时，小明行走的路径最短,

故小明行走的最短路径是M-EF-£8,

A'

【变式5-4]（23-24八年级上•河南濮阳•期中）在等边VASC中，点D是直线BC上的一个点（不与点8、

C重合），以AD为边在AZ）右侧作等边VADE,连接CE.

【观察猜想】（1）如图1,当点。在线段BC上时，则线段CE与线段80的数量关系为.

【数学思考】（2）如图2,当点D在线段2C的延长线上时，猜想三条线段6、。与CE的数量关系，

并加以证明.

【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，

从而使问题得到解决.

【拓展延伸】（3）如图3,边长为a的等边VABC中，仍是中线，且点。在正上，连接AD,

在AD的右侧作等边VADE,连接族，请直接写出△AEF周长的最小值.

【答案】（1）CE=BD（2）CE=AC+CD,理由见解析（3）-a+b

2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题：

（1）由等边三角形的性质可得AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,推出N3AD=NC4E,进而

根据“SAS”证得aBAD丝一。IE,由全等三角形对应边相等即可得出结论；

（2）证明△C4EZ4B4。，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论；

（3）证明gC4E,由全等三角形的性质得乙加=NACE,进而根据等边三角形的性质可得

NACE=30。，点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M,连接RW交CE于后，当点E运

动到点£时，△皿周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案.

【详解】（1）证明：一ABC,VADE都是等边三角形，

:.AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,

...ABAC-ZDAC=/DAE-ADAC,

:.ZBAD=ZCAE,

在,胡。和_C4E中，

AB=AC

<ZBAD=/CAE,

AD=AE

BAD^G4E（SAS）,

BD=CE.

故答案为：CE=BD；

（2）解：CE=AC+CD.

证明：ADE与VABC都是等边三角形，

:.AC=AB,ZDAE=ZBAC=60°,AE=AD,

ZDAE+ACAD=ZBAC+ACAD.

即NCAE=NBAD.

在和山。中，

AC=AB

-ZCAE=ZBAD,

AE=AD

:..CAE^.BAD（SAS）.

CE=BD,

.•.CE=BD=BC+CD=AC+CD.

（3）解：如图，连接CE,

ABC,VAZ）£都是等边三角形，

..AB=AC=afZBAC=ZDAE=6Q°,AD=AE,

ZBAC-ZDAC=/DAE—/DAC,

:./BAD=NCAE,

/.BAD^G4E（SAS）,

:.ZABD=ZACE,

:等边VABC中，BF是中线，且BF=b,

:.ZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF1AC,AF=CF=-a

29

.・•点E在射线CE上运动（NACE=30。），

作点A关于直线CE的对称点M,连接月欣交C£于E,当点E运动到点后时，△钻产周长的最小,

CA=CM,ZACM=60°,

.^ACM是等边三角形，

:.AM=AC,

BFYAC,

.\FM=BF=b9

AE尸周长的最小值=4尸+配'+4石'=4歹+上0=*。+。.

2

【考点题型六】转化思想

【例6】（23-24八年级上.河南信阳・期中）如图，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,边A3的垂直平分线

DE交AB于点、E,交BC于点，CD=3,则BC的长为（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性

质.根据直角三角形的性质，可得AB=2AC,ZBAC=60。，再由线段垂直平分线的性质，可得A£>=3£）,

AE=BE,BD=2DE,根据等腰三角形的性质可得NBA。=NB=30。，从而得到NGW=44D,然后根

据角平分线的性质可得DE=CD=3,即可求解.

【详解】解：VZC=90°,ZB=30°,

AB=2AC,ABAC=60°,

,/DE垂直平分AB,

AD=BD,AE=BE,BD=2DE,

：.ZBAD=Z.B=30°,

：.ZCAD=ABAC-ZBAD=30°,

NCAD=ZBAD,

-：ZC=90°,DELAB,

DE=CD=3,

：.BD=2DE=6,

：.BC=BD+CD=9.

故选:B

【变式6-1]（23-24八年级上•内蒙古呼和浩特•期中）如图，在等腰三角形A3C中，N54c=120。，若

㈤W和FN分别垂直平分和AC,垂足为E、F,点、M、N都在8C边上，旦EM=FN=2,则BC的

长度为（）

【答案】D

【分析】先根据垂直平行线的性质证明MB=NA=NC,再根据等边对等角推出

ZB=ZMAE,ZC=ZNAC,进而证明11AMN是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出

NC,即可求解

【详解】解：,•,EM和RV分别垂直平分A3和AC,

AMB=MA,NA=NC,

：.NB=/MAE,ZC=ZNAC,

在VABC中，ZBAC=nQ0,

：.ZB=ZC=1(180°-ABAC)=1X(180°-120°)=30°,

ZMAE=ZNAC=3Q°,

ZAMN=ZB+/MAE=60°,ZANM=ZC+ZNAC=60°,

又•./MAN=ABAC-ZMAE-ZNAC=60°,

是等边三角形，

在Rt_NFC中，ZC=30°,FN=2,

：.NC=2x2=4,

AN=NC=4,

是等边三角形，MB=MA

：.AN=AM=MN=BM=4,

：.BC=BM+MN+CN=4+4+4=12,

故选D.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的

直角三角形的性质等，证明,.4处是等边三角形，并熟练进行等量代换是解题的关键.

【变式6-2]（23-24八年级上•北京•期中）如图，在VABC中，/ABC与ZACB的平分线交于点O,过点

。作£>E〃BC,分别交AB、AC于点。、E.若AB=5,AC=4,则VADE的周长为

【答案】9

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中，解题

的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.

由在VABC中，N3与NC的平分线交于点。，过点。作OE〃3C,证得二DOB与△EOC是等腰三角

形，即==