中考数学专项复习：平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）含答案及解析

平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模

型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1:蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

如图1,已知：ABWDE,结论：«+/=/?+180°.

如图2,已知：ABWE,结论：a+£=/+180°.

【模型证明】在图1中，过C作N2的平行线CF,：/0=LFCB.

■.■ABWDE,.-.CFWDE,.-.z/+zFC£>=18O0,.:乙a=幺FCD+乙FCB,.-.ztz+z/=z/7+180°

在图2中，过C作43的平行线CF,.•.N/?+NFC8=180°,

■■■ABWDE,：.CFWE,：.A/=^FCD,-：^a=^FCD+^FCB,.-.Ziz+z/?=z/+180o

例1.（2023下・安徽黄山•七年级统考期末）如图，已知A8〃OE,ZA=25°,ZCDE=135°,则N4CD的

度数是（）

BA

DE

A.45°B.60°C.70°D.90°

例2.（2023下•黑龙江鸡西•七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角

NA=130。，第二次拐角48=150。，第三次拐的角是NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,

A.160°B.150°C.140°D.135°

例3.（2022下•贵州黔南•七年级统考期中）如图，如果AB〃CD,那么角a,%y之间的关系式为（）

A.a+/3+y=360°B,a-/3+y=180°c.«+/?+/=180°D.a+/3—y=180°

例4.（2023下•四川广安•七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要

星系分别用字母4~»表示，得到如图2的几何示意图，已知ABGF.试说明=+

例5.（2023下•浙江绍兴,七年级统考期末）如图，AB//CD,AE平分NBAN,AE的反向延长线交NCDN

的平分线于点M,则ZM与ZN的数量关系是（）

M

A."=2NNB.ZM=3ZNC.ZAf+ZN=180°D.2ZM+ZN=180°

例6.（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）已知直线/8||C。，尸为平面内一点，连接物、PD.

（1）如图1,已知乙4=50。，z£>=150o,求乙4尸。的度数；（2）如图2,判断4以8、乙CDP、乙4尸。之间的

数量关系为.（3）如图3,在（2）的条件下，AP1PD,DN平令乙PDC,若乙R4N+

三乙PAB=UPD,求乙4ND的度数.

例7.（2023下,陕西汉中•七年级校考期中）如图，已知直线ABCD,尸是平面内一点，连接出、PD.

（1）如图①，若NPAB=130。，ZPDC=120°,求NAP。的度数；

⑵如图②，若NA=50。，ZD=150°,求NAP。的度数；

⑶如图③，试判断钻、NCD尸和/APD之间的数量关系，并说明理由.

图②图③

例8.（2023下•广东广州,七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进

一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：

第一步：将一根铁丝A8在C,D,E处弯折得到如下图①的形状，其中CD//BE.

第二步：将。E绕点。旋转一定角度，再将BE绕点K旋转一定角度并在班上某点/处弯折，得到如下图

②的形状.

第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成NG,跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状.

图①图②图③

请根据上面的操作步骤，解答下列问题：（1）如图①，若NC=2ND,求NE；（2）如图②，若AC〃3F,请

判断/C,ZD,NE,N尸之间的数量关系，并说明理由；（3）在⑵的条件下，如图③，若ZACD=3NDCG,

NDEF=3NDEG,设ND=x,NF=y,求NG.（用含无，》的式子表示）

课后专项训练

1.（2023下•山东泰安•七年级统考期末）如图，已知直线《〃4，ZA=125°,/B=85°,且N1比N2大4。,

那么Z1的大小是（）

C.16°D.17°

2.（2023下•浙江嘉兴•七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中A3〃£>£,测得48=130。，

3.（2023下•浙江杭州,七年级统考期末）如图，AB//DE,ZABC=a,/CDE=户，则/3CD的度数为（）

C.1800+a-bD.180°-a+/?

4.（2023•河南驻马店•三模）如图，己知AB〃Z）E,ZABC=150°,ZCDE=75°,则/BCD的度数为（）

C.45°D.50°

5.（2023下•江西景德镇•七年级统考期末）如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东45。方向航行至8地,

再从B地出发沿南偏东25。，方向航行至C地，则/ABC的度数为（）

6.（2023・河南・统考三模）如图，已知ZABC=150°,NCD石=75。，则N5co的度数为（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

7.（2023下,上海•七年级期中）如图，若AB〃EF,用含B、/的式子表示X,应为（）

C.180°-a-/+^D.180°+。+〃+P

8.（2023下•广东深圳•七年级校考期中）如图，AB//DE,々=60。,"=150。，则N5CD=()

B

A.30°B.60°C.15°D.45°

9.（2023下•广东江门•七年级统考期末）如图，已知〃尸G,BC//DE,BD//EF,则广，7三者

之间的关系是（）

A.cr+/?+y=180°B,fi=a+yc.a-[3=yD.y-a=P

10.（2023上•贵州六盘水•八年级校考阶段练习）如图，AB//DE,=80°,ZCDE=140°,则N3CD的

C

11.（2023下•七年级课时练习）如图，N2=N3,Zl=60°,若a〃人则N4的度数为

12.（2023下•上海闵行•七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线

所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点仄C和。处的转弯角分别是

夕和。，且AB〃DE,则［、/和。之间的数量关系是.

13.（2023下•上海浦东新•七年级校考期中）如图，直线AB〃EF,NB、/C、ND、NE之间的数量关

系是•

AB

C

D

14.（2023下•辽宁丹东•七年级统考期末）如图，若AB〃CD,NL=70。，N2=14O。，贝|N3=

15.（2023下•重庆蒙江•七年级校考阶段练习）如图某工程队从N点出发，沿北偏西67。方向修一条公路A。,

在2。路段出现塌陷区,就改变方向，在2点沿北偏东23。的方向继续修建8c段，到达C点又改变方向,

16.（2023上•广东广州•八年级校考开学考试）如图，若AB.CD,则年、々的关系是

17.（2023下•北京石景山•七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若/£DC=150。，DE〃AB,

CBLAB于点3,则/GCB=

图2

18.（2023下•辽宁沈阳•七年级校考阶段练习）如图所示，已知尸BBCD-.DD.DB2:3:4,求/B,

/£＞的度数.

FC

AB\

19.(2023下•福建龙岩•七年级校考阶段练习)完成下面的证明.

(1)如图，AB//CD,CB//DE.求证：ZB+ZD=180°.

证明：••・AB〃CD,

ZB=(),

■:CB//DE,

NC+ND=180°(),

ZB+ZD^180°；

(2)如图，A8和CD相交于点O,NC=NCOA,ZD=ZBOD.

求证AC〃%>.

证明：ND=NBOD

又NCOA=2BOD()

:.Z=ZD

AC//BD().

20.(2023下•青海西宁•七年级统考期末)阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：如图1,AB//CD,E为AB,CO之间一点，连接BE,DE,得到/BED.

图1

求证：ZBED=ZB+ZD.

⑴小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：

证明：过点E作E尸〃AB

ZBEF=()

.■AB//CD

--//()

ZFED=__________

ABED=ZBEF+ZFED=ZB+Z£＞；

(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：

①如图2,AB//CD,E为AB,。之间一点，连接BE,DE,得到NBED.

图2图3

求证：NB+ZBED+ND=360°；

②如图3,AB//CD,则/B,/BEC,/C之间的数量关系是

21.(2023下•辽宁抚顺•七年级统考期末)如图，AB〃DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE.

⑴写出NABE,/BED,/EDC之间的数量关系，并说明理由;

⑵若Z£DC=21。，/BED=2/B,求NB的度数；

22.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）阅读材料：

如图1,点A是直线上一点，MN上方的四边形ABCD中，ZABC=140°,延长BC,

2Z.DCE=ZMAD+ZADC,探究NOCE与NK4B的数量关系，并证明.

小白的想法是：“作/ECF=/ECD（如图2）,通过推理可以得到bMN,从而得出结论

请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：保留原题条件不变，CG平分/ECD,反向延长CG,交NMA8的平分线于点H（如图3）,设

ZMAB=a,请直接写出的度数（用含々的式子表示）.

23.（2023下•山东枣庄•七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线AB〃CD,E是A8与AD之间的

一点，连接BE,CE,可以发现N3+NC=N3£C•请把下面的说理过程补充完整：解：过点E作所〃筋,

因为AB〃CD（已知），EF//AB,所以EF〃DC,（）所以NC=.（）因为E尸〃AB,

所以N8=,所以ZB+/C=/3£F+NCEF•即ZB+NC=N3EC.

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，则/8、NC、/BEC的关系为

.（直接写出结论，不用说明理由）

（3）解决问题：如图③AS〃OC,ZC=120°,ZAEC=80°,则NA=.（直接写出结果，不用写

计算过程）

24.（2023下•广西柳州•七年级统考期末）综合与实践

【课题学习】：平行线的“等角转化”功能.

如图1,已知点/是BC外一点，连接AB,AC.求/B4C+/B+/C的度数.

图1

解：过点/作ED〃3C,

:./B=,NC=Z.DAC,

又•・•AEAB+ZBAC+ZDAC=180°.

・•.Z.B+ABAC+ZC=.

【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程.

【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有"等角转化"的功能，将上BAC,NB,NC"漆"

在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

【方法运用】（2）如图2所示，已知A8CD,BE、CE交于点£,/3EC=80。，在图2的情况下求NB-NC

的度数.

【拓展探究】（3）如图3所示，已知ABCD,BF、CG分别平分NABE和NDCE,且3尸、CG所在直线

交于点尸，过尸作用〃AB,若NB"=36。,在图3的情况下求/BEC的度数.

AB

图2图3

平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模

型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1:蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

如图1,已知：ABWDE,结论：«+/=/?+180°.

如图2,已知：ABWE,结论：a+£=/+180°.

【模型证明】在图1中，过C作N2的平行线CF,：/0=LFCB.

■.■ABWDE,.-.CFWDE,.-.z/+zFC£>=18O0,.:乙a=幺FCD+乙FCB,.-.ztz+z/=z/7+180°

在图2中，过C作43的平行线CF,.•.N/?+NFC8=180°,

■■■ABWDE,：.CFWE,：.A/=^FCD,-：^a=^FCD+^FCB,.-.Ziz+z/?=z/+180o

例1.（2023下・安徽黄山•七年级统考期末）如图，已知A8〃OE,ZA=25°,ZCDE=135°,则N4CD的

度数是（）

BA

B.60°C.70°D.90°

【答案】C

【分析】过C作CN〃CD,求出〃小，根据平行线的性质得出NACM=NC4B,

ZCDE=+ZMCD=18Q°,即可得出答案.

【详解】解：过C作CN〃a）,

BA

■-AB//DE,AB//CM//DE,■,ZACM=ZA=25°,NMCD+NCDE=18O°,

...ZCDE=135°,.../MCD=180°-ZCDE=180°-135°=45°,

■_ZACD=ZACM+ZMCD=250+45°=10°.故选：c.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内

角互补，两直线平行，内错角相等.

例2.（2023下•黑龙江鸡西•七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角

ZA=130°,第二次拐角/3=150。，第三次拐的角是/C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,

A.160°B.150°C.140°D.135°

【答案】A

【分析】延长AB、EC交于点D,根据A尸〃DE,得出尸=130。，根据邻补角求出

ADBC—180°—AABC—30。，根据三角形外角的性质得出NBCE—/BDC+NDBC=130°+30°=160。.

【详解】解：延长AB、EC交于点D,如图所示：

■■ZABC=150°,...ZDBC=180°-ZABC=30°,

...=ZBDC+Z£）BC=130°+30°=160°.故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌

握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

例3.（2022下•贵州黔南•七年级统考期中）如图，如果AB〃CD,那么角a,或，y之间的关系式为（）

A.a+/3+/=360°B,a-/3+y=180°c,a+/+y=180。D.a+p~y=180°

【答案】D

【分析】过点E作EF//AB,再根据平行线的性质得出口+^AEF=180°,7=^EF求解即可.

【详解】过点E作EF//AB,a+AAEF=180。，

■•.AB//CDJ••.EF//CD9••.y=NDEF

..NAEF=/3-ZDEF,,ZAEF=^-7>...e+尸-/=180。，故选：D.

例4.（2023下,四川广安,七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要

星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知ABG尸.试说明NABC=/3CF+/CFG.

【答案】见解析

【分析】方法一：延长A8交CF于点p,则NCB尸=180。-加0,由平行线的性质可得/CP3=/CFG,

再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；

方法二：过点C作CQ//AB,则CQ//AB//GF（由平行线的性质可得^BCQ+ZABC=1SO°；

/CQ+/bG=180°,4CQ+4b+/CFG=180。，进行计算即可得到答案.

【详解】解：方法一：如图L延长AB交C尸于点p,

)

•,.ZBb=180°-NCBP-NCPB=180°-(180°-NABC—NCFG，•.•ZABC=NBCF+NCFG；

方法二：如图2,过点0作CO〃人。，

„ABGF.CQ//AB//GF.ZBCQ+ZABC=1SO°ZFCQ+ZCFG=1SO°

,ff，，

.ZBCQ=180。一ZABCZBCQ+ZBCF+/CFG=180°

,,,,

...180°-ZABC+ZBCF+ZCFG=180°,即NABC=/3CF+NCFG.(任选一种方法说明即可)

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直

线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键.

例5.（2023下•浙江绍兴•七年级统考期末）如图，AB//CD,AE平分NBAN,AE的反向延长线交NCZW

的平分线于点M,则AM与ZN的数量关系是（）

M

A.NM=2NNB.C.NM+4/=180°D.2NM+N2V=18O°

【答案】D

ZBAE=-ZBANZCDM=-ZCDN

【分析】先利用角平分线的定义得到2,2，过M作板〃AB,过N作

ZFME=ZBAE=-ZBAN

NH//AB,再利用平行线的判定与性质得到2,ZBAN=ZANH,

ZFMD=ZCDM=-ZCDN

2ZCDN+ZHND=180°经过角度之间的运算得到

ZDMA=-(180°-ZAND}

ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,2V',即2ZDM4+ZAM)=180°可求解.

【详解】解：rAE平分/BAN,DM平分ZCDN,

ZBAE=-ZBANZCDM=-ZCDN

22

NFME=ZBAE=-ZBAN

过M作M/〃AB,过N作N"〃45,则2,ZBAN=ZANH,

MF

ZFMD=ZCDM=-ZCDN

..AB//CD,..MF//CD,NH//CD,2,ZCDN+ZHND=180°,

...ZAND=ZANH+ZHND=ZBAN+180°-ZCDN,即ZCDN-ZBAN=180°—ZAND,

=-(ZCDN-/BAN)=-(180°-/AND)

又•：ZDMA=NFMD-NFME2、72V

...2ZDMA+ZAND=180°,即2NM+N2V=180°,故选：D.

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探

究角之间的关系是解答的关键.

例6.(2023上,黑龙江哈尔滨•八年级校考期中)已知直线4BIICD,P为平面内一点，连接以、PD.

(1)如图1,已知乙4=50。，乙0=150。，求乙组0。的度数；(2)如图2,判断立物8、4CDP、乙4尸。之间的

数量关系为.(3)如图3,在(2)的条件下，APLPD,DN平分乙PDC,若乙以N+

—R4B=UPD,求乙4ND的度数.

【答案】(1)ZAPD=80"；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180o；(3)ZAND=45°.

【分析】(1)首先过点P作PQIIAB,则易得ABIIPQIICD,然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等,

即可求解；

(2)作PQIIAB,易得ABIIPQIICD,根据平行线的性质，即可证得NPAB+NCDP2APD=180。；

J_J_

(3)先证明NNOD=2NPAB,ZODN=2ZPDC,利用(2)的结论即可求解.

【详解】解：(1)■.•zA=50°,ZD=150",过点P作PQIIAB,.•ZA=NAPQ=50。，

vABIICD,.-.PQIICD,.-.ZD+ZDPQ=180o,贝UNDPQ=180--150°=30°,

•••NAPD=NAPQ+NDPQ=50°+30°=80°；

(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°,如图，作PQ||AB,•••NPAB=NAPQ,

vABIICD,.-.PQIICD,.•.zCDP+ZDPQ=180o,即NDPQ=180°-NCDP,

••♦NAPD=NAPQ-NDPQ,.•.zAPD=ZPAB-(180o-ZCDP)=ZPAB+ZCDP-180°；

••.ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

⑶设PD交AN于0,如图,

N

•­•AP1PD,.■•ZAPO=90°,由题知NPAN+2NPAB=NAPD,即4PAN+2NPAB=90°,

XvZPOA+ZPAN=180°-ZAPO=90°,.-.ZP0A=2ZPAB,

•••ZP0A=ZN0D,.♦ZN0D=2NPAB,rDN平分"DC,.'.Z0DN=2ZPDC,

.■.ZAND=180°-ZNOD-ZODN=180o-2(ZPAB+ZPDC),

由(2)得NPAB+NCDP-/APD=180。，.♦ZPAB+NPDC=180°+NAPD,

111

.­•ZAND=180°-2(ZPAB+ZPDC)=180°-2(180°+ZAPD)=180°-2(180°+90°)=45°,即NAND=45。.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想

的应用.

例7.(2023下,陕西汉中•七年级校考期中)如图，已知直线A8CD,P是平面内一点，连接R4、PD.

图①图②图③

⑴如图①，若NPAB=130。，ZPDC=120°,求/AP。的度数；

⑵如图②，若NA=50。，ZD=150°,求NAP。的度数；

⑶如图③，试判断钻、NCD尸和NAPD之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（l）110°（2）80°（3）/CDP+NW-N/M=180。，见解析

【分析】（1）过点尸作尸石48,根据两直线平行同旁内角互补可得答案；（2）过点尸作所〃根据

两直线平行内错角相等可得出“石=50°,根据平行线公理及性质可得出NEPD=30。，最后根据角的和与

差即可得出答案；（3）过点P作E尸〃则钻〃EF〃CD,据平行线的性质及角的和与差即可得出答案.

【详解】（1）解：如图，过点尸作尸石AB

图①图1图2

AB//PE,:.ZPAB+ZAPE^\SO°,ZPAB=130°,.•.ZAPE=180°-130o=50°,

AB//CD,AB//PE,:.PE//CD,NPDC+ZDPE=180°,

NPDC=120。，ZDPE=180°-120°=60°,

ZAPE+ZDPE=ZAPD,/.ZAPD=50°+60°=110°.

（2）解：如图1,过点尸作£尸〃A5,…NA=50。，.•.NAP£=NA=50。.

AB//CDf.:EF〃CD,：.ZCDP+ZEPD=1SO°.

・.・ZD=150°,/EPD=180°-150°=30。，ZAPD=NAPE+NEPD=500+30°=80°

（3）解：ZCDP+ZPAB-ZAPD=1SQ0.

理由：如图2,过点尸作£尸〃A5,则AB〃跖〃CD,

/.ZCDP=NDPF,NFPA+NPAB=180°,•ZFPA=Z.DPF-ZAPD

ZDPF-ZAPD+ZPAB=180°,ZCDP+ZPAB-ZAPD=180。.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键.

例8.（2023下•广东广州•七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进

一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：

第一步：将一根铁丝AB在C,D,E处弯折得到如下图①的形状，其中AC〃OE,CD//BE.

第二步：将DE绕点。旋转一定角度，再将8E绕点E旋转一定角度并在BE上某点尸处弯折，得到如下图

②的形状.

第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成NG,跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状.

请根据上面的操作步骤，解答下列问题：（1）如图①，若NC=2/O,求ZE；（2）如图②，若/，请

判断NC,ND,NE,/尸之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如图③，若NACD=3/DCG,

ZDEF=3ZDEG,设ND=x,=y,求NG.（用含x,y的式子表示）

21

NG——xH—y

【答案】⑴4=6。°⑵NC+N8E=NDE〃+〃，理由见解析⑶33,

【分析】（1）根据平行线的性质得出NC+ND=180°,根据解题得出NO=60。，进而根据8〃跖，即可

求解；（2）过点分别作AC的平行线ON,EM,根据平行线的性质得出NME£）=NA©E设

NMED=ZNDE=a,进而根据平行线的性质得出NC+NCDE+[=180。，/0跖+&+/尸=180。，即可得

出结论；（3）根据（2）的结论可得NACO+xnNDEF+y,ZG+ZACG=ZF+ZGEF,根据已知

27

ZG+-ZACD=-ZDEF+y

ZACD=3/DCG,ZDEF=3ZDEG,可得33，，进而即可求解.

【详解】⑴解：••,AC〃£>E,.ZC+Z£）=180°,

...”=2/0,...3/。=180解得：ZD=60°,..CD//BE__,ZE=ZD=60°.

（2）解：如图所示，过点。，“分别作AC的平行线ON,EM,

图②

:.EM〃DN,.,ZMED=ZNDEf设/MED=/NDE=a,

又・..AC〃5尸，...AC〃QN,ME//BF,

...ZC+ZCDE+«=180°,Zr)EF+«+ZF=180°,NC+NCDE=NDEF+NF,；

(3)...ZD=x,ZF=ytNC+NCDE=NDEF+NF,

即ZACD+x=/DEF+y./DEF-ZACD=%—y

由(2)可得NG+ZACG=NF+NGEF,.../ACD=3/DCG,/DEF=3/DEG,

2222

/G+—/ACD=—/DEF+/FZG+-ZACD=-ZDEF+y

33，即33-

222121

ZG=y+-(ZDEF-ZACD)=y+-(x-y)=-x+-yZG=-x+-y

...3333,33

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.

课后专项训练

L（2023下•山东泰安•七年级统考期末）如图，已知直线《〃4，NA=125。，/B=85。，且N1比N2大4。,

那么Z1的大小是（）

【分析】过点A作《的平行线&C,过点B作4的平行线8。，根据两直线平行，内错角相等可得/3=/1,

N4=N2,再根据两直线平行，同旁内角互补求出NC钻+乙血＞=180。，然后计算出Nl+N2=30。，结合N1

比N2大4。，即可得解.

【详解】解：如图，过点A作乙的平行线AC,过点B作4的平行线B。，

即AC,12//BD，,,N3=Nl,Z4=Z2,

.•Mh，ZA=125°，ZB=85°，•.•AC//BD，

.ZCAB+ZABD=18Q°-Z3+Z4=125°+85°-180°=30°.Zl+Z2=30°

...Nl比N2大4。,即Nl=N2+4。，.../2=13。，.../1=17。，故选：D.

Z1

【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互

补；两直线平行，内错角相等.掌握平行线的性质并作辅助线是解题的关键.

2.（2023下・浙江嘉兴•七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中AB//DE,测得/3=130。,

ND=70°.那么NC=()

C.110°D.120°

【答案】D

【分析】过"拐点"C作利用平行线的性质即可求解.

【详解】解：过点o作如图所示:

■.■AB//DE,...AB//CF//DE,...ZBCF=180°-=50°,Z£>CF=ZD=70°

.../C=N3CF+〃b=120。；故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质.正确作出辅助线是解题关键.

3.（2023下•浙江杭州•七年级统考期末）如图，AB//DE,ZABC=a,/CDE=〃，则/BCD的度数为（）

C.180°+a-bD.180°—cc+/3

【答案】c

【分析】过点C作C〃〃DE,根据平行线的性质和判定即可判断.

【详解】过点C作

AB//DE,CF//DE,..,AB//CF,AB//CF,...ZABC=ZBCF=a,

.-CF//DE,...^CDE+ZFCD=/3+ZFCD=180°(,ZFCD=ISO0-J3

.ZBCD=ZBCF+ZFCD=a+1SQ°-=\S00+a-故诜.c

【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线.

4.（2023•河南驻马店,三模）如图，已知AB〃DE,ZABC^50°,NCDE=75。，则NBCD的度数为（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【分析】过点C作CF〃AB,则A5〃DE〃CF,根据平行线的性质可得到/BCF=/4BC=150。，

ZDCF=180°-ZCDE=105°,即可求得/BCD=ZBCF-ZDCF=45°.

【详解】如图，过点C作（才〃川,

VAB//DE,CF//AB,；,AB//DE//CF^

...ZBCF=ZABC=150°,ZDCF+ZCDE=180°

.../CDE=75。,...ZDCF=180°-75°=105°.

...=NBCb—NDCV=150。—105。=45。.故选c.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.

5.（2023下•江西景德镇•七年级统考期末）如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东45。方向航行至B地,

再从B地出发沿南偏东25。，方向航行至C地，则/ABC的度数为（）

【答案】A

【分析】根据平行线的性质得出4^4=4=45°,进而即可求解.

【详解】解：如图所示,

VAE//BD,ZDBA^ZA=45°,

...ZABC=ZABD+ZCBD=25°+45°=70°,故选：A.

【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6.（2023•河南•统考三模）如图，已知AB〃r>E,ZABC=150°,ZCDE=15°,则NBCD的度数为（）

【答案】C

【分析】过点C作则AB〃DE〃CF,根据平行线的性质可得到/BCF=NABC=150。，

ZDCF=180°-Z.CDE=105°,即可求得NBCD=NBCF-ZDCF=45°

【详解】如图，过点C作B〃.，ZDCF+ZCDE=180°

AB//DE,CF//ABf:.AB//DE//CF^...ZBCF=ZABC=150°

...ZCDE=75°f...ZDCF=180°-75°=105°.

...ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-105°=45°.故选c.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.

7.（2023下•上海•七年级期中）如图，若A3〃石尸，用含&、。、/的式子表示x,应为（）

A.a+/3+/B.P+y-ac.180。一。一7十力D.180°+a+y+p

【答案】c

【分析】过C作CD〃AB,过M作〃跖，推出AB〃CD〃MN〃斯，根据平行线的性质得出

a+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,NNMF=y,求出NBCD=180。—tz,ZDCM=ZCMN=/3-y即可

得出答案.

【详解】解：过C作CD〃AB,过M作跖V〃EF,

AB//EF,AB//CD//MN//EF,

...ct+ZBCZ)=180°,力CM=/CMN,NNMF=y,

..ZBCD^180°-a,NDCM=NCMN=I,

,x=ZBCD+ZDCM=lSQ°-a+/3-yt故选.c

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力.明确题意，添加合适辅助线，找出

所求问题需要的条件是解题的关键.

8.（2023下•广东深圳•七年级校考期中）如图，AB//DE,ZB=60°,ZD=150°,贝l]/3CD=（）

A.30°B.60°C.15°D.45°

【答案】A

【分析】首先过点C作由即可得然后由平行线的性质，即可证得

NBCF与ZDCF的度数，继而求得答案.

【详解】解：过点C作c/〃AB,AB//DE,AB//DE//CF,

:.NBCF=NB=60P,ZDCF+ZD=180°,

ZD=150°,ZDCF=180°-ZDCF=30°.ABCD=ABCF-/LDCF=60°-30°=30°.故选：A.

【点睛】此题考查了平行线的性质.此题难度不大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

9.（2023下•广东江门•七年级统考期末）如图，已知〃尸G,BC//DE,BD//EF,则夕，B,7三者

A.a+/+>=180。B,P=a+yc.a-(3-yD.y-a-0

【答案】D

【分析】延长。及尸Q,分别交A8的延长线于点根据平行线的性质可得

ZEFQ=ZABC=尸"=@Q=/"EQ=〃="，根据三角形的外角的性质可得

ZPQA^ZFEQ+ZEFQ＞进而即可求解.

,.,ZEFQ=ZABC=a,ZPQA=ZGPQ=r,ZFEQ=AD=B，

..ZPQA=ZFEQ+ZEFQ.j=a+p即=£故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.（2023上•贵州六盘水,八年级校考阶段练习）如图，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,则/BCD的

度数为.

C

【答案】40。/40度

【分析】过C作CF〃AS,结合可得=Z£>+ZDCF=180°,结合NABC=80。，

/CDE=140°即可得到答案；

【详解】解：过C作g7〃"，

AB//DE,CF〃AB,；.CF〃DE,NB=NBCF,ZD+ZDCF=18Q°,

...ZABC=80°,ZCD£=140°,...ZBCF=80°,ZDCF=180°-140°=40°,

.../BCD=80。-40。=40。，故答案为：40°.

A---------15

DE

cF

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系.

11.（2023下•七年级课时练习）如图，/2=/3,/1=60。，若则/4的度数为.

【答案】120。/120度

【分析】延长AE交直线b于B,依据/2=/3,可得AE〃C»,当。〃b时，可得Nl=N5=60。，依据平行

线的性质，即可得到N4的度数.

【详解】解：如图，延长AE交直线b于B,

.：N2=N3,-.AE//CD,Z4+Z5=180°,

当时,Zl=Z5=60°,...Z4=180°-Z5=120°,故答案为:120。.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄

清题设和结论，切莫混淆.

12.（2023下•上海闵行•七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线

所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点2、C和。处的转弯角分别是

a、△和6,且则。、△和6之间的数量关系是.

r答案］=e

【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出a、B和。三角的关系式.

【详解】根据题干中的"规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角“可知,

在点B、C和D处的转弯角分别是a、0和。，如下图所示.

过点C作〃9，则==a（两直线平行，则同位角相等）.

■.AB//ED,...MN//ED,...ZFDC=ZDCM（两直线平行，则内错角相等），

X...ZDCM=ZDCE+ZECM=3+a,NFDC=6...a+尸=6.故答案为：a+/3=0

【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的

角联系在一起.

13.（2023下•上海浦东新•七年级校考期中）如图，直线NB、NC、ND、NE之间的数量关

【答案】NB+NBCD+NCDE+NE=360。

【分析】过点C作CG〃4?,，根据平行线