中考数学专项复习：二次根式（讲义2考点+2命题点12种题型）含答案及解析

第一章数与式

第04讲二次根式

（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型04二次根式与数轴

02知识导图•思维引航命题点二二次根式的运算

03考点突破•考法探究＞题型01应用乘法公式求二次根式的值

考点一二次根式的相关概念＞题型02最简二次公式的判断

考点二二次根式的性质与化简＞题型03分母有理化

考点三二次根式的运算•►题型04二次根式的混合运算

04题型精研•考向洞悉•►题型05二次根式估值

命题点一二次根式的性质与化简•►题型06与二次根式有关的新定义问题

＞题型01二次根式有意义的条件＞题型07与二次根式有关的规律探究

＞题型02与二次根式有关的开放性试题•►题型08二次根式的应用

•►题型03利用二次根式的性质化简

考情透视•目标导航

中考考点考直频率新课标要求

二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念

二次根式的性质★★掌握二次根式的性质

二次根式的运算★★了解二次根式（根号下仅限于数）加，减、乘、除运算法则，会

用它们进行简单的四则运算

【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类

考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角

函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.

知识导图•思维弓I航

被开方数a是非负数

定义形如Va（a>0）的式子

能判断二次就是否是最简二次定义

取简一不含分母

能判断二个二次根式是否是同类二次演根式被开方数I----------------

相关概念-------------------『不含能开的尽方的因数或因式

\a\a2,匣都是非负数

f同类二

亚a20时联系性质次中艮式被开方数相同的二次根式

取值范围不同亚与（«）--20非负性

知

学

识

意义不同区别法雌（向2=q

梳

运算结果不同指

二次根式亚=|小一侬。）

理

导

y/aJb=y/ab（o>0»Z>>0）-a（a<0）

4邛(应0,6>0)运算加减一相加两不变

y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)

运算

处网应0,b>0)

1_&+/分母有理化

^a-y/ba-b混合运算与实数混合运算相同

考点突破•考法探究I

考点一二次根式的相关概念

1.二次根式

二次根式的定义：一般地,我们把形如五（a20）的式子叫做二次根式，一”称为二次根号，a叫做被

开方数.

【易错易混】

1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“「,且根指数为2；被开方数为非负数；

2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：-我都

是二次根式；

3）二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a20；

4）在具体问题中，如果已知历是二次根式，相当于给出了aNO.

2.二次根式有意义的条件

1）单个二次根式，如历有意义的条件是a'O；

1

2）二次根式作为分母时，如.有意义的条件是。>0；

yja

1

3）二次根式与分式相加，如G+五有意义的条件是@20且b>0.

Vo

针对训练

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）在函数，=熹++中，自变量x的取值范围是.

2.（2023•四川绵阳•中考真题）使代数式4+后育有意义的整数x有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

考点二二次根式的性质与化简

二次根式的性质

1）式子迎（Q?0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（论20）,所以具有双重非负性;

2）（VH）2=a（aN0）,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

3）V^=\a\=\即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

二次根式的化简

二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

4ab=4a*4b^a>G,b>^,=^^（aNU,b>0）

【易错易混】

1.在使用=Va»VF（a>0,b>0）时一定要注意a20,b>0的条件限制.

2.在使用吗=2（a20,b>0）时一定要注意aNO,b>0的条件限制.

7bA/b

针对训练

1.（2024.内蒙古包头.中考真题）计算府二不所得结果是（）

A.3B.V6C.3V5D.±3V5

2.（2024.四川乐山.中考真题）已知l<x<2,化简J（x—+比一21的结果为（）

A.-1B.1C.2%-3D.3-2%

3.（2023・广东广州•中考真题）已知关于x的方程/—（2k-2）x+k2-l=。有两个实数根，则J（k—一

（立二五）2的化简结果是（）

A.-1B.1C.-l-2fcD.2k-3

4.（2022•山东聊城・中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式u=&而进行计算，其中a为子弹

的加速度，s为枪筒的长.如果a=5xl（）5m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法

表示）为（）

A.0.4x102m/sB.0.8x102m/s

C.4x102m/sD.8x102m/s

5.（2023・湖北黄冈・中考真题）请写出一个正整数机的值使得师是整数；m=.

考点三二次根式的运算

1.二次根式的乘法

乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：4^-4b=4ab（a>Q,b>Q）

2.二次根式的除法

除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：^=^（a>0,b>0）

3.最简二次根式

定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次

根数，叫做最简二次根式.例：2石，立都是最简二次根式.

10

最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为L

4.二次根式的加减

同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同

类二次根式.

【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：/、限/是同类二次根式.

二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式合并.

【口诀】一化、二找、三合并.

5.二次根式的混合运算

内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.

易错易混

1）结果要化为最简二次根式或整式；

2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.

6.分母有理化

分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.

【分母有理化方法】

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：号=*=叵

VCLVCLCL

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.

日口1_Va+VK_Va+VK

•Va-VF（Va-V&）（Va+VF）a-b'

针对训练

1.（2024.山东济宁.中考真题）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV5=V10

C.2-V2=1D.J（一5尸=-5

2.（2024•重庆・中考真题）估计S泛（a+百）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

3.（2023・湖南•中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有正•四=病.该运算法则成立的条件是

（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0

4.（2023•山东潍坊•中考真题）从-VLV3,声中任意选择两个数，分别填在算式（口+。）2+/里面的“口”

与“。”中，计算该算式的结果是.（只需写出一种结果）

5.（2024.四川遂宁•中考真题）计算：sin45°+|y-11+V4+.

题型精研•考向洞悉

命题点一二次根式的性质与化简

A题型01二次根式有意义的条件

方法技巧

1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非

负数.

2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

1.（2023•内蒙古通辽•中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数尤的取值范围在数轴上表示

为（）

-I——।——J」a-J——I——I1»

A.-1012B.-1012

।।1——।~।_।_>

C.-1012D.-1012

2.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）若代数式盘在实数范围内有意义，贝卜的取值范围是（）

A.%<2B.x>2C.x>2D.%<2

3.（2024・上海・中考真题）已知1=1,则％=.

4.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）在函数y=册+力中，自变量x的取值范围是.

>题型02与二次根式有关的开放性试题

1.（2023•四川绵阳•中考真题）使代数式高+^有意义的整数支有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.（2022.四川南充・中考真题）若回行为整数，x为正整数，则尤的值是.

3.（2023・湖南永州•中考真题）己知x为正整数，写出一个使在实数的范围内澧:有意义的x值是

4.（2023•湖北黄冈•中考真题）请写出一个正整数机的值使得河是整数；m=.

>题型03利用二次根式的性质化简

方法技巧

j1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应

在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把

隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简.

2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

1.（2020.湖北武汉.中考真题）化简二次根式而羿的结果等于.

2.（2023•湖北宜昌・中考真题）下列运算正确的个数是（）.

①|2023|=2023；②2023°=1；③2023T=/；④同莎=2023.

A.4B.3C.2D.1

3.（2023・四川凉山•中考真题）计算（兀―3.14）。+J（应一Ip=.

4.（2022・四川宜宾・中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三

角形三边.、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜塞减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜累

乘大斜幕减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S=

1巧―卢三升.现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2,则用以上给出的公式求得这

个三角形的面积为.

>题型04二次根式与数轴

1.（2023•内蒙古・中考真题）实数小在数轴上对应点的位置如图所示，化简：痴—2）2=

2.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则四二TR-（6-a-2）的

化简结果是（）

121I।।1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

3.（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则J（a—4尸一J（a-114化简后为（）

1--------------1-------।------>

05a10

A.7B.-7C.15-2aD.2a-15

4.（2022・四川遂宁•中考真题）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1]—-1尸+

-b）2=.

ab

-4-3-2-101234

命题点二二次根式的运算

＞题型01应用乘法公式求二次根式的值

方法技巧

1)(y/a+(A/^—V^)=(A/^)2—(v^)2=

2)(±V^)2=a+b±2y/~ab;

1.(2024.天津中考真题)计算(VH-1)(VTT+1)的结果为

2.(2023.内蒙古.中考真题)先化简，再求值：(2%+y)2+(%-y)(x+y)-5x(x-y),其中％=伤一1,

y=V6+1.

3.(2023•山东淄博・中考真题)先化简，再求值：(%—2y)2+x(5y—x)—4y2,其中乂=笞，y=等.

4.(2023・湖南张家界•中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为a,a+Vb,a+2y[b,a+3dF的正方形面积分别记为S「S2＞S3,S4.

则S2—S1=(a+VK)2—a?

=[(a+VF)+a]­[(a+Vh)-a]

=(2a+Vh)-VF

=b+2aVF

例如：当a=L6=3时，$2—Si=3+2汽

根据以上材料解答下列问题：

(1)当a=1,6=3时，S3—S2—,S4—S3—；

(2)当a=1,6=3时，把边长为a+nVF的正方形面积记作与+1，其中九是正整数，从(1)中的计算结果，

你能猜出土+i-5日等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当a=1,6=3时，令t[=52—S]，I2=S31s2,J=S41s3,…，tn=Sn+i—Sn,且T=t]+t2+±3+

…+t50,求T的值.

＞题型02最简二次公式的判断

最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式(分母中不应含有根号)；

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为L

[补充]

①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5,a（a》0）,x+y等；

②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4,9,«2,（x+,x2+2xy+y1等.

1.（2021.湖南益阳•中考真题）将[葭化为最简二次根式，其结果是（）

AV45DV90c9mD.亚

D.-------C.-------

A.-2-222

2.（2021.广西桂林•中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.V4C.后D.Va+b

3.（2021・上海•中考真题）下列实数中，有理数是（）

C.p

A.\2pB.\3p\4

4.（2022•广西桂林•中考真题）化简的结果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

＞题型03分母有理化

〜【分母有理化方法】

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：2=寻=也

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.

日「1_V^+VK_Vtt+VF

•y[a-4b（V«-Vb）（Va+VF）a-b'

1.（2024.江苏宿迁•中考真题）先化简再求值：（1+京）•思，其中x=W+3.

2.（2023・湖北恩施•中考真题）先化简，再求值：号+（1—/），其中乂=逐一2.

3.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）先化简，再求代数式（杀捻笃-熹）+三^的值，其中％=2COS45。-1.

＞题型04二次根式的混合运算

方法技巧

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.

【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用；

2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.

二次根式运算时的注意事项:

1）结果要化为最简二次根式或整式；

2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.

1.（2023•甘肃武威•中考真题）计算：V27-yX2V2-6^2.

2.（2023•四川内江・中考真题）计算：（-1）2023+（1）~23+3tan30°-（3-7r）°+|V3-2|

3.（2024・上海・中考真题）计算：|1-V3|+242+-（1-V3）°.

4.（2024・四川凉山,中考真题）计算：+|2—V3|+2-1+cos30°—（—1）°.

＞题型05二次根式估值

1.（23-24八年级下•山西吕梁•阶段练习）关于回，下列说法不正确的是（）

A.是无理数B.能与V7合并

C.整数部分是4D.一定能够在数轴上找到表示画的点

2.（2024•江苏盐城・中考真题）矩形相邻两边长分别为夜cm、V5cm,设其面积为Scm?,则S在哪两个连续

整数之间（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

3.（2024•河北石家庄•三模）计算/（连-鱼）的结果为,这个数落在了数轴上的段.

①②③④

——一一〜一一〜——•《».

/、/、

/、/X/、/\

/\/\/\/\

/\/\/\/\

III11A

01234

4.（2023•湖北荆州•中考真题）已知k=&（而+百）•（近-皆），则与k最接近的整数为（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022•湖北荆州•中考真题）若3-&的整数部分为a,小数部分为b,则代数式（2+V2a）-b的值是.

.题型06与二次根式有关的新定义问题

1.（2023・湖南娄底•一模）定义一种运算：cos（a+。）=cosacos。一sinasin夕，cos（a—S）=cosacos^+

sinasin/?.例如：当a=60。，£=45。时，cos（60°-45°）=|xy+yXy=则cos75。的值为（）

AV6+V2DV6-V2「V6-V2门V6+V2

4422

2.（2020.青海・中考真题）对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下：a回b=如3团2=—=

a—b3—2

V5.那么12回4=.

3.（2020•内蒙古通辽•中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和"，规定mEln=m2n-mn—3n,

如：102=l2x2-1x2-3x2=-6.

-4-3-2-I01234

(1)求(一2)回百；

(2)若3团62-6,求机的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集.

4.(2024•广东•模拟预测)【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、

等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数机、n,它们的乘积q(q=nm)与较大数的和

一定为较大数的平方.

(1)举例验证：当m=4,n=5,则q+n=4x5+5=25=52

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设m<n,nt、九是连续的正整数，

/.n=m+1；q=mn,.'.q+n=mn+n=n(jn+1)=n2.

•*.q+一定是正数n的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若p=Jq+2n+Jq—27n(m,w为两个连续奇数，0<m<n,q=nm),求证：p一定是

偶数.

>题型07与二次根式有关的规律探究

1.(2024.四川德阳.中考真题)将一组数企,2,n,2加,71。2百,,“,同,・“，按以下方式进行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

则第八行左起第1个数是（）

A.7V2B.8V2C.V58D.4夕

2.（2023•内蒙古・中考真题）观察下列各式：

S1=（1H--H—-=1H-----，$2=/1H-rd—-=1H-----,S3=/1H—rd---1H-----，…

1y]I2221X2722322X3732423x4

请利用你所发现的规律，计算：Si+S2+-+S5o=.

3.（2022・四川眉山・中考真题）将一组数VL2,V6,2V2,4vL按下列方式进行排列:

V2,2,V6,2V2；

同，2V3,V14,4；

若2的位置记为（1,2）,旧的位置记为（2,3）,贝版行的位置记为.

4.（2022・四川达州•中考真题）人们把亨=0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618

法”就应用了黄金比•设。=亨，°=等，记Si+52=*j+磊，…，Sio。=浸3+富为，

则S]+52+…+S100=.

5.（2024•江苏盐城・中考真题）发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成

点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有左个籽，行

上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（〃，人均为正整数，n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全部籽的路径总长

为;

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

-g:舟曲【■…弋N小

图1图2图3

>题型08二次根式的应用

1.（2022・湖南常德・中考真题）我们发现：V6T3=3,76+V6T3=3,、6+&+倔用=3,

6+6+16+…+:6+、6+3=3,~k般地，对于正整数a,b)如果满足

葭个根号

b+、1+、6+-+〃+后口=耐,称(a,6)为一组完美方根数对.如上面(3,6)是一组完美方根数

n个根号

对.则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(a,380)是完美方根数对，

则a=20；④若(x,y)是完美方根数对，则点P(x,y)在抛物线y=/-%上.其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.(2024.山东荷泽.一模)已知a为整数，将其除以4所得的商记为n,余数记为k(kW3),即a=4n+k(n

是整数)，我们称a属于数组[依，记作ae[k],则下列说法正确的是.(直接填写序号)

①-36[3]；

②若a为4的倍数，则点4。a)到点8(17,0)的距离的最小值为4旧；

③所有整数组成的数组[汨=[1]+[2]+[3]；

④若a—be[0],则a,b属于同一个数组.

3.(2024•江苏南京・二模)乐(w为正整数)的近似值可以这样估算：伤〜半，其中根是最接近”的完全

2Vm

平方数.例如：岳〜筹=4.9,这与科学计算器计算内的结果4.8989…很接近.

不妨假设yfii哦,

其中

⑴按照以上方法，估计闻的近似值(精确到0.1)；

(2)结合图中思路，解释该方法的合理性.

4.(2024.广东中山.三模)下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务.

用均值不等式求最值

若实数a>0,b>0,则有等2俩，当且仅当a=b时，取等号，我们称不等式―2房(a>0,6>0)

为均值不等式.

证明：a>0,b>0

—Vb)>0

a-2y[ab+/?>0

a+b>2y[ab

a+b/—

•••--->\ab

由上可知，①当a+b为定值的时候，房有最大值；

②当AO为定值的时候，有a+b最小值.

所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值.

例：已知1>0,求函数y=%+：的最小值.

解：•.,%>0

1

一〉0

x

y=X+->2lx--=2,当且仅当％=工，即％=1时，等号成立

XyXX

.•・当即久=1时，函数y=久+：取最小值，最小值为2.

任务：

(1)若x>0,则当％=时，代数式3久+工取最小值，最小值为；

X

(2)已知若％>2,函数)/=%+三，试说明当久取何值时，y取得最小值，并求出y的最小值；

(3)如图，已知点P是反比例函数y=：(%>0)图象上一动点，点4(一1,1),则AA。尸的面积的最小值为

第一章数与式

第04讲二次根式

（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型04二次根式与数轴

02知识导图•思维引航命题点二二次根式的运算

03考点突破•考法探究＞题型01应用乘法公式求二次根式的值

考点一二次根式的相关概念＞题型02最简二次公式的判断

考点二二次根式的性质与化简＞题型03分母有理化

考点三二次根式的运算•►题型04二次根式的混合运算

04题型精研•考向洞悉•►题型05二次根式估值

命题点一二次根式的性质与化简•►题型06与二次根式有关的新定义问题

＞题型01二次根式有意义的条件＞题型07与二次根式有关的规律探究

＞题型02与二次根式有关的开放性试题•►题型08二次根式的应用

•►题型03利用二次根式的性质化简

考情透视•目标导航

中考考点考直频率新课标要求

二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念

二次根式的性质★★掌握二次根式的性质

二次根式的运算★★了解二次根式（根号下仅限于数）加，减、乘、除运算法则，会

用它们进行简单的四则运算

【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类

考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角

函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.

知识导图•思维引航

被开方数a是非负数

定义形如Va(a>0)的式子

能判断二次就是否是最简二次定义

取简一不含分母

能判断二个二次根式是否是同类二次演根式被开方数I----------------

相关概念-------------------『不含能开的尽方的因数或因式

\a\a2,匣都是非负数

f同类二

亚a20时联系性质次中艮式被开方数相同的二次根式

取值范围不同亚与(«)--20非负性

知

学

识

意义不同区别法雌(向2=q

梳

运算结果不同指

二次根式亚=|小一侬。)

理

导

y/aJb=y/ab(o>0»Z>>0)-a(a<0)

4邛(应0,6>0)运算加减一相加两不变

y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)

运算

处网应0,b>0)

1_&+/分母有理化

^a-y/ba-b混合运算与实数混合运算相同

考点突破•考法探究I

考点一二次根式的相关概念

1.二次根式

二次根式的定义：一般地,我们把形如VH(a'O)的式子叫做二次根式，一”称为二次根号，a叫做被

开方数.

【易错易混】

1)二次根式的两个要素(判断依据)：含有二次根号“「,且根指数为2；被开方数为非负数；

2)二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：〃，-我都

是二次根式；

3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a20；

4）在具体问题中，如果已知历是二次根式，相当于给出了aNO.

2.二次根式有意义的条件

1）单个二次根式，如历有意义的条件是a'O；

1

2）二次根式作为分母时，如.有意义的条件是。>0；

yja

1

3）二次根式与分式相加，如G+五有意义的条件是@20且b>0.

Vo

针对训练

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）在函数，=熹++中，自变量x的取值范围是.

【答案】x>—3且％丰-2

【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组

解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，户i?3

1%+2W0

解得%>一3且％W-2,

故答案为：尤>一3且久H—2.

2.（2023•四川绵阳•中考真题）使代数式高+7^育有意义的整数支有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式

求解即可.

【详解】解：根据题意可得：

%+3>0,4—3%>0

解得一3<xW%

二使代数式有意义的整数有-2,-1,0,1.

共有4个.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非

负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单.

考点二二次根式的性质与化简

二次根式的性质

1）式子6（a20）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（伤20）,所以仿具有双重非负性;

2）（VH）2=a{a>0）,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

3）V^=\a\=l&（yR即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

二次根式的化简

二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

4ab=4a(aN0,b>0)

【易错易混】

1.在使用FF=Va*VK（a>0/6>0>时一定要注意a>0/b>0的条件限制.

2.在使用吗=JI（a20,b>0）时一定要注意a20,b>0的条件限制.

yjbAJb

针对训练

1.（2024•内蒙古包头•中考真题）计算每二不所得结果是（）

A.3B.V6C.3A/5D.±3V5

【答案】C

【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可.

【详解】解:V92—62=V81-36=V45=3事）；

故选C.

2.（2024•四川乐山•中考真题）已知l<x<2,化简—1尸+及一2|的结果为（）

A.-1B.1C.2.x—