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文档简介
第一章数与式
第04讲二次根式
(思维导图+2考点+2命题点12种题型(含6种解题技巧))
01考情透视•目标导航•►题型04二次根式与数轴
02知识导图•思维引航命题点二二次根式的运算
03考点突破•考法探究>题型01应用乘法公式求二次根式的值
考点一二次根式的相关概念>题型02最简二次公式的判断
考点二二次根式的性质与化简>题型03分母有理化
考点三二次根式的运算•►题型04二次根式的混合运算
04题型精研•考向洞悉•►题型05二次根式估值
命题点一二次根式的性质与化简•►题型06与二次根式有关的新定义问题
>题型01二次根式有意义的条件>题型07与二次根式有关的规律探究
>题型02与二次根式有关的开放性试题•►题型08二次根式的应用
•►题型03利用二次根式的性质化简
考情透视•目标导航
中考考点考直频率新课标要求
二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质★★掌握二次根式的性质
二次根式的运算★★了解二次根式(根号下仅限于数)加,减、乘、除运算法则,会
用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中,对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面,其中取值范围类
考点多出选择题、填空题形式出现,而化简计算则多以解答题形式考察.此外,二次根式还常和锐角三角
函数、实数、其他几何图形等结合出题,难度不大,但是也多属于中考必考题.
知识导图•思维弓I航
被开方数a是非负数
定义形如Va(a>0)的式子
能判断二次就是否是最简二次定义
取简一不含分母
能判断二个二次根式是否是同类二次演根式被开方数I----------------
相关概念-------------------『不含能开的尽方的因数或因式
\a\a2,匣都是非负数
f同类二
亚a20时联系性质次中艮式被开方数相同的二次根式
取值范围不同亚与(«)--20非负性
知
学
识
意义不同区别法雌(向2=q
梳
运算结果不同指
二次根式亚=|小一侬。)
理
导
y/aJb=y/ab(o>0»Z>>0)-a(a<0)
4邛(应0,6>0)运算加减一相加两不变
y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)
运算
处网应0,b>0)
1_&+/分母有理化
^a-y/ba-b混合运算与实数混合运算相同
考点突破•考法探究I
考点一二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义:一般地,我们把形如五(a20)的式子叫做二次根式,一”称为二次根号,a叫做被
开方数.
【易错易混】
1)二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“「,且根指数为2;被开方数为非负数;
2)二次根式定义中规定,任何非负数的算术平方根都是二次根式,不需要看化简后的结果,如:-我都
是二次根式;
3)二次根式的被开方数a可以是一个数,也可以是一个式子,但都要满足a20;
4)在具体问题中,如果已知历是二次根式,相当于给出了aNO.
2.二次根式有意义的条件
1)单个二次根式,如历有意义的条件是a'O;
1
2)二次根式作为分母时,如.有意义的条件是。>0;
yja
1
3)二次根式与分式相加,如G+五有意义的条件是@20且b>0.
Vo
针对训练
1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)在函数,=熹++中,自变量x的取值范围是.
2.(2023•四川绵阳•中考真题)使代数式4+后育有意义的整数x有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
考点二二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1)式子迎(Q?0)既表示二次根式,又表示非负数a的算术平方根(论20),所以具有双重非负性;
2)(VH)2=a(aN0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身;
3)V^=\a\=\即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简:1)利用二次根式的基本性质进行化简;
2)利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
4ab=4a*4b^a>G,b>^,=^^(aNU,b>0)
【易错易混】
1.在使用=Va»VF(a>0,b>0)时一定要注意a20,b>0的条件限制.
2.在使用吗=2(a20,b>0)时一定要注意aNO,b>0的条件限制.
7bA/b
针对训练
1.(2024.内蒙古包头.中考真题)计算府二不所得结果是()
A.3B.V6C.3V5D.±3V5
2.(2024.四川乐山.中考真题)已知l<x<2,化简J(x—+比一21的结果为()
A.-1B.1C.2%-3D.3-2%
3.(2023・广东广州•中考真题)已知关于x的方程/—(2k-2)x+k2-l=。有两个实数根,则J(k—一
(立二五)2的化简结果是()
A.-1B.1C.-l-2fcD.2k-3
4.(2022•山东聊城・中考真题)射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式u=&而进行计算,其中a为子弹
的加速度,s为枪筒的长.如果a=5xl()5m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法
表示)为()
A.0.4x102m/sB.0.8x102m/s
C.4x102m/sD.8x102m/s
5.(2023・湖北黄冈・中考真题)请写出一个正整数机的值使得师是整数;m=.
考点三二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则:两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.即:4^-4b=4ab(a>Q,b>Q)
2.二次根式的除法
除法法则:两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.即:^=^(a>0,b>0)
3.最简二次根式
定义:1)被开方数不含分母;2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,把满足上述两个条件的二次
根数,叫做最简二次根式.例:2石,立都是最简二次根式.
10
最简二次根式必须同时满足以下两个条件:
①开方数所含因数是整数或字母,因式是整式(分母中不应含有根号);
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数的因数或因式的指数都为L
4.二次根式的加减
同类二次根式:把几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同
类二次根式.
【补充】几个同类二次根式在没有化简前,被开方数可以完全互不相同,如:/、限/是同类二次根式.
二次根式的加减:一般地,二次根式加减时,先把各个二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的
二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合运算
内容:二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号要先算括号里面的.
易错易混
1)结果要化为最简二次根式或整式;
2)如果含有字母,要注意字母的取值范围是否能使式子成立,以及其中的隐藏条件.
6.分母有理化
分母有理化:通过分子和分母同乘以分母的有理化因式,将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1)分母为单项式时,分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即:号=*=叵
VCLVCLCL
2)分母为多项式时,分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
日口1_Va+VK_Va+VK
•Va-VF(Va-V&)(Va+VF)a-b'
针对训练
1.(2024.山东济宁.中考真题)下列运算正确的是()
A.V2+V3=V5B.V2xV5=V10
C.2-V2=1D.J(一5尸=-5
2.(2024•重庆・中考真题)估计S泛(a+百)的值应在()
A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间
3.(2023・湖南•中考真题)对于二次根式的乘法运算,一般地,有正•四=病.该运算法则成立的条件是
()
A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0
4.(2023•山东潍坊•中考真题)从-VLV3,声中任意选择两个数,分别填在算式(口+。)2+/里面的“口”
与“。”中,计算该算式的结果是.(只需写出一种结果)
5.(2024.四川遂宁•中考真题)计算:sin45°+|y-11+V4+.
题型精研•考向洞悉
命题点一二次根式的性质与化简
A题型01二次根式有意义的条件
方法技巧
1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的被开方数都必须是非
负数.
2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.
1.(2023•内蒙古通辽•中考真题)二次根式在实数范围内有意义,则实数尤的取值范围在数轴上表示
为()
-I——।——J」a-J——I——I1»
A.-1012B.-1012
।।1——।~।_।_>
C.-1012D.-1012
2.(2023•内蒙古呼和浩特•中考真题)若代数式盘在实数范围内有意义,贝卜的取值范围是()
A.%<2B.x>2C.x>2D.%<2
3.(2024・上海・中考真题)已知1=1,则%=.
4.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)在函数y=册+力中,自变量x的取值范围是.
>题型02与二次根式有关的开放性试题
1.(2023•四川绵阳•中考真题)使代数式高+^有意义的整数支有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
2.(2022.四川南充・中考真题)若回行为整数,x为正整数,则尤的值是.
3.(2023・湖南永州•中考真题)己知x为正整数,写出一个使在实数的范围内澧:有意义的x值是
4.(2023•湖北黄冈•中考真题)请写出一个正整数机的值使得河是整数;m=.
>题型03利用二次根式的性质化简
方法技巧
j1)利用二次根式性质化简时,如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应
在这个范围内对根式进行化简,如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘,把
隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在允许的取值范围内进行化简.
2)化简后的最后结果应为最简二次根式,并且分母中不含二次根式.
1.(2020.湖北武汉.中考真题)化简二次根式而羿的结果等于.
2.(2023•湖北宜昌・中考真题)下列运算正确的个数是().
①|2023|=2023;②2023°=1;③2023T=/;④同莎=2023.
A.4B.3C.2D.1
3.(2023・四川凉山•中考真题)计算(兀―3.14)。+J(应一Ip=.
4.(2022・四川宜宾・中考真题)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三
角形三边.、b、c求面积的公式,其求法是:“以小斜幕并大斜塞减中斜塞,余半之,自乘于上,以小斜累
乘大斜幕减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为S=
1巧―卢三升.现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2,则用以上给出的公式求得这
个三角形的面积为.
>题型04二次根式与数轴
1.(2023•内蒙古・中考真题)实数小在数轴上对应点的位置如图所示,化简:痴—2)2=
2.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则四二TR-(6-a-2)的
化简结果是()
121I।।1A
-3-2-1012
A.2B.2a-2C.2-2bD.-2
3.(2024武威四中二模)实数a在数轴上对应的点的位置如图所示,则J(a—4尸一J(a-114化简后为()
1--------------1-------।------>
05a10
A.7B.-7C.15-2aD.2a-15
4.(2022・四川遂宁•中考真题)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1]—-1尸+
-b)2=.
ab
-4-3-2-101234
命题点二二次根式的运算
>题型01应用乘法公式求二次根式的值
方法技巧
1)(y/a+(A/^—V^)=(A/^)2—(v^)2=
2)(±V^)2=a+b±2y/~ab;
1.(2024.天津中考真题)计算(VH-1)(VTT+1)的结果为
2.(2023.内蒙古.中考真题)先化简,再求值:(2%+y)2+(%-y)(x+y)-5x(x-y),其中%=伤一1,
y=V6+1.
3.(2023•山东淄博・中考真题)先化简,再求值:(%—2y)2+x(5y—x)—4y2,其中乂=笞,y=等.
4.(2023・湖南张家界•中考真题)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+Vb,a+2y[b,a+3dF的正方形面积分别记为S「S2>S3,S4.
则S2—S1=(a+VK)2—a?
=[(a+VF)+a][(a+Vh)-a]
=(2a+Vh)-VF
=b+2aVF
例如:当a=L6=3时,$2—Si=3+2汽
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,6=3时,S3—S2—,S4—S3—;
(2)当a=1,6=3时,把边长为a+nVF的正方形面积记作与+1,其中九是正整数,从(1)中的计算结果,
你能猜出土+i-5日等于多少吗?并证明你的猜想;
(3)当a=1,6=3时,令t[=52—S],I2=S31s2,J=S41s3,…,tn=Sn+i—Sn,且T=t]+t2+±3+
…+t50,求T的值.
>题型02最简二次公式的判断
最简二次根式必须同时满足以下两个条件:
①开方数所含因数是整数或字母,因式是整式(分母中不应含有根号);
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数的因数或因式的指数都为L
[补充]
①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5,a(a》0),x+y等;
②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4,9,«2,(x+,x2+2xy+y1等.
1.(2021.湖南益阳•中考真题)将[葭化为最简二次根式,其结果是()
AV45DV90c9mD.亚
D.-------C.-------
A.-2-222
2.(2021.广西桂林•中考真题)下列根式中,是最简二次根式的是()
A.B.V4C.后D.Va+b
3.(2021・上海•中考真题)下列实数中,有理数是()
C.p
A.\2pB.\3p\4
4.(2022•广西桂林•中考真题)化简的结果是()
A.2V3B.3C.2V2D.2
>题型03分母有理化
〜【分母有理化方法】
1)分母为单项式时,分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即:2=寻=也
2)分母为多项式时,分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
日「1_V^+VK_Vtt+VF
•y[a-4b(V«-Vb)(Va+VF)a-b'
1.(2024.江苏宿迁•中考真题)先化简再求值:(1+京)•思,其中x=W+3.
2.(2023・湖北恩施•中考真题)先化简,再求值:号+(1—/),其中乂=逐一2.
3.(2023•黑龙江哈尔滨•中考真题)先化简,再求代数式(杀捻笃-熹)+三^的值,其中%=2COS45。-1.
>题型04二次根式的混合运算
方法技巧
运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号要先算括号里面的.
【补充】1)在二次根式的混合运算中,乘方公式和实数的运算律仍然适用;
2)在二次根式混合运算中,要结合题目特点,灵活运用二次根式的性质.
二次根式运算时的注意事项:
1)结果要化为最简二次根式或整式;
2)如果含有字母,要注意字母的取值范围是否能使式子成立,以及其中的隐藏条件.
1.(2023•甘肃武威•中考真题)计算:V27-yX2V2-6^2.
2.(2023•四川内江・中考真题)计算:(-1)2023+(1)~23+3tan30°-(3-7r)°+|V3-2|
3.(2024・上海・中考真题)计算:|1-V3|+242+-(1-V3)°.
4.(2024・四川凉山,中考真题)计算:+|2—V3|+2-1+cos30°—(—1)°.
>题型05二次根式估值
1.(23-24八年级下•山西吕梁•阶段练习)关于回,下列说法不正确的是()
A.是无理数B.能与V7合并
C.整数部分是4D.一定能够在数轴上找到表示画的点
2.(2024•江苏盐城・中考真题)矩形相邻两边长分别为夜cm、V5cm,设其面积为Scm?,则S在哪两个连续
整数之间()
A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
3.(2024•河北石家庄•三模)计算/(连-鱼)的结果为,这个数落在了数轴上的段.
①②③④
——一一〜一一〜——•《».
/、/、
/、/X/、/\
/\/\/\/\
/\/\/\/\
III11A
01234
4.(2023•湖北荆州•中考真题)已知k=&(而+百)•(近-皆),则与k最接近的整数为()
A.2B.3C.4D.5
5.(2022•湖北荆州•中考真题)若3-&的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+V2a)-b的值是.
.题型06与二次根式有关的新定义问题
1.(2023・湖南娄底•一模)定义一种运算:cos(a+。)=cosacos。一sinasin夕,cos(a—S)=cosacos^+
sinasin/?.例如:当a=60。,£=45。时,cos(60°-45°)=|xy+yXy=则cos75。的值为()
AV6+V2DV6-V2「V6-V2门V6+V2
4422
2.(2020.青海・中考真题)对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a回b=如3团2=—=
a—b3—2
V5.那么12回4=.
3.(2020•内蒙古通辽•中考真题)用※定义一种新运算:对于任意实数m和",规定mEln=m2n-mn—3n,
如:102=l2x2-1x2-3x2=-6.
-4-3-2-I01234
(1)求(一2)回百;
(2)若3团62-6,求机的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.
4.(2024•广东•模拟预测)【代数推理】代数推理指从一定条件出发,依据代数的定义、公式、运算法则、
等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
【发现问题】小明在计算时发现:对于任意两个连续的正整数机、n,它们的乘积q(q=nm)与较大数的和
一定为较大数的平方.
(1)举例验证:当m=4,n=5,则q+n=4x5+5=25=52
(2)推理证明:小明同学做了如下的证明:
设m<n,nt、九是连续的正整数,
/.n=m+1;q=mn,.'.q+n=mn+n=n(jn+1)=n2.
•*.q+一定是正数n的平方数.
【类比猜想】小红同学提出:任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.
请你举例验证及推理证明;
【深入思考】若p=Jq+2n+Jq—27n(m,w为两个连续奇数,0<m<n,q=nm),求证:p一定是
偶数.
>题型07与二次根式有关的规律探究
1.(2024.四川德阳.中考真题)将一组数企,2,n,2加,71。2百,,“,同,・“,按以下方式进行排列:
第一行V2
第二行2V6
第三行2VIV102V3
则第八行左起第1个数是()
A.7V2B.8V2C.V58D.4夕
2.(2023•内蒙古・中考真题)观察下列各式:
S1=(1H--H—-=1H-----,$2=/1H-rd—-=1H-----,S3=/1H—rd---1H-----,…
1y]I2221X2722322X3732423x4
请利用你所发现的规律,计算:Si+S2+-+S5o=.
3.(2022・四川眉山・中考真题)将一组数VL2,V6,2V2,4vL按下列方式进行排列:
V2,2,V6,2V2;
同,2V3,V14,4;
若2的位置记为(1,2),旧的位置记为(2,3),贝版行的位置记为.
4.(2022・四川达州•中考真题)人们把亨=0.618这个数叫做黄金比,著名数学家华罗庚优选法中的“0.618
法”就应用了黄金比•设。=亨,°=等,记Si+52=*j+磊,…,Sio。=浸3+富为,
则S]+52+…+S100=.
5.(2024•江苏盐城・中考真题)发现问题
小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢?
图1
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成
点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有〃个籽,每列有左个籽,行
上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(〃,人均为正整数,n>k>3,d>0),如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1:图2是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为,共铲行,则铲除全部籽的路径总长
为;
方案2:图3是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为;
方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.
-g:舟曲【■…弋N小
图1图2图3
>题型08二次根式的应用
1.(2022・湖南常德・中考真题)我们发现:V6T3=3,76+V6T3=3,、6+&+倔用=3,
6+6+16+…+:6+、6+3=3,~k般地,对于正整数a,b)如果满足
葭个根号
b+、1+、6+-+〃+后口=耐,称(a,6)为一组完美方根数对.如上面(3,6)是一组完美方根数
n个根号
对.则下面4个结论:①(4,12)是完美方根数对;②(9,91)是完美方根数对;③若(a,380)是完美方根数对,
则a=20;④若(x,y)是完美方根数对,则点P(x,y)在抛物线y=/-%上.其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(2024.山东荷泽.一模)已知a为整数,将其除以4所得的商记为n,余数记为k(kW3),即a=4n+k(n
是整数),我们称a属于数组[依,记作ae[k],则下列说法正确的是.(直接填写序号)
①-36[3];
②若a为4的倍数,则点4。a)到点8(17,0)的距离的最小值为4旧;
③所有整数组成的数组[汨=[1]+[2]+[3];
④若a—be[0],则a,b属于同一个数组.
3.(2024•江苏南京・二模)乐(w为正整数)的近似值可以这样估算:伤〜半,其中根是最接近”的完全
2Vm
平方数.例如:岳〜筹=4.9,这与科学计算器计算内的结果4.8989…很接近.
不妨假设yfii哦,
其中
⑴按照以上方法,估计闻的近似值(精确到0.1);
(2)结合图中思路,解释该方法的合理性.
4.(2024.广东中山.三模)下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成任务.
用均值不等式求最值
若实数a>0,b>0,则有等2俩,当且仅当a=b时,取等号,我们称不等式―2房(a>0,6>0)
为均值不等式.
证明:a>0,b>0
—Vb)>0
a-2y[ab+/?>0
a+b>2y[ab
a+b/—
•••--->\ab
由上可知,①当a+b为定值的时候,房有最大值;
②当AO为定值的时候,有a+b最小值.
所以,利用均值不等式可以求一些函数的最值.
例:已知1>0,求函数y=%+:的最小值.
解:•.,%>0
1
一〉0
x
y=X+->2lx--=2,当且仅当%=工,即%=1时,等号成立
XyXX
.•・当即久=1时,函数y=久+:取最小值,最小值为2.
任务:
(1)若x>0,则当%=时,代数式3久+工取最小值,最小值为;
X
(2)已知若%>2,函数)/=%+三,试说明当久取何值时,y取得最小值,并求出y的最小值;
(3)如图,已知点P是反比例函数y=:(%>0)图象上一动点,点4(一1,1),则AA。尸的面积的最小值为
第一章数与式
第04讲二次根式
(思维导图+2考点+2命题点12种题型(含6种解题技巧))
01考情透视•目标导航•►题型04二次根式与数轴
02知识导图•思维引航命题点二二次根式的运算
03考点突破•考法探究>题型01应用乘法公式求二次根式的值
考点一二次根式的相关概念>题型02最简二次公式的判断
考点二二次根式的性质与化简>题型03分母有理化
考点三二次根式的运算•►题型04二次根式的混合运算
04题型精研•考向洞悉•►题型05二次根式估值
命题点一二次根式的性质与化简•►题型06与二次根式有关的新定义问题
>题型01二次根式有意义的条件>题型07与二次根式有关的规律探究
>题型02与二次根式有关的开放性试题•►题型08二次根式的应用
•►题型03利用二次根式的性质化简
考情透视•目标导航
中考考点考直频率新课标要求
二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质★★掌握二次根式的性质
二次根式的运算★★了解二次根式(根号下仅限于数)加,减、乘、除运算法则,会
用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中,对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面,其中取值范围类
考点多出选择题、填空题形式出现,而化简计算则多以解答题形式考察.此外,二次根式还常和锐角三角
函数、实数、其他几何图形等结合出题,难度不大,但是也多属于中考必考题.
知识导图•思维引航
被开方数a是非负数
定义形如Va(a>0)的式子
能判断二次就是否是最简二次定义
取简一不含分母
能判断二个二次根式是否是同类二次演根式被开方数I----------------
相关概念-------------------『不含能开的尽方的因数或因式
\a\a2,匣都是非负数
f同类二
亚a20时联系性质次中艮式被开方数相同的二次根式
取值范围不同亚与(«)--20非负性
知
学
识
意义不同区别法雌(向2=q
梳
运算结果不同指
二次根式亚=|小一侬。)
理
导
y/aJb=y/ab(o>0»Z>>0)-a(a<0)
4邛(应0,6>0)运算加减一相加两不变
y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)
运算
处网应0,b>0)
1_&+/分母有理化
^a-y/ba-b混合运算与实数混合运算相同
考点突破•考法探究I
考点一二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义:一般地,我们把形如VH(a'O)的式子叫做二次根式,一”称为二次根号,a叫做被
开方数.
【易错易混】
1)二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“「,且根指数为2;被开方数为非负数;
2)二次根式定义中规定,任何非负数的算术平方根都是二次根式,不需要看化简后的结果,如:〃,-我都
是二次根式;
3)二次根式的被开方数a可以是一个数,也可以是一个式子,但都要满足a20;
4)在具体问题中,如果已知历是二次根式,相当于给出了aNO.
2.二次根式有意义的条件
1)单个二次根式,如历有意义的条件是a'O;
1
2)二次根式作为分母时,如.有意义的条件是。>0;
yja
1
3)二次根式与分式相加,如G+五有意义的条件是@20且b>0.
Vo
针对训练
1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)在函数,=熹++中,自变量x的取值范围是.
【答案】x>—3且%丰-2
【分析】本题考查了求自变量的取值范围,根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组
解答即可求解,掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键.
【详解】解:由题意可得,户i?3
1%+2W0
解得%>一3且%W-2,
故答案为:尤>一3且久H—2.
2.(2023•四川绵阳•中考真题)使代数式高+7^育有意义的整数支有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件,分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件,列不等式
求解即可.
【详解】解:根据题意可得:
%+3>0,4—3%>0
解得一3<xW%
二使代数式有意义的整数有-2,-1,0,1.
共有4个.
故选:B.
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件,关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非
负数,列不等式(组)求解,是常考题型,比较简单.
考点二二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1)式子6(a20)既表示二次根式,又表示非负数a的算术平方根(伤20),所以仿具有双重非负性;
2)(VH)2=a{a>0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身;
3)V^=\a\=l&(yR即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简:1)利用二次根式的基本性质进行化简;
2)利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
4ab=4a(aN0,b>0)
【易错易混】
1.在使用FF=Va*VK(a>0/6>0>时一定要注意a>0/b>0的条件限制.
2.在使用吗=JI(a20,b>0)时一定要注意a20,b>0的条件限制.
yjbAJb
针对训练
1.(2024•内蒙古包头•中考真题)计算每二不所得结果是()
A.3B.V6C.3A/5D.±3V5
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式,根据二次根式的性质,化简即可.
【详解】解:V92—62=V81-36=V45=3事);
故选C.
2.(2024•四川乐山•中考真题)已知l<x<2,化简—1尸+及一2|的结果为()
A.-1B.1C.2.x—
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