中考数学一轮复习重难点强化训练：圆的基本性质（知识串讲+9大考点）解析版

专题10圆的基本性质

考点类型

考点5：弧、弦、圆心角关系

考点1：圆的基本认识

考点6：圆周角定理

考点2：垂径定理

模块四图形的性质

考点7：圆周角定理推论

讲圆的基本性质

考点3：垂径定理的推论10

考点8：半径相等——等腰三角形

考点4：垂径定理的实际应用

考点9：圆的内接四边形

口^」知识一遍过

(-)圆的相关概念

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.如图所示的圆记做。。

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆,过已知两点可作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可

作一个圆

(二)垂径定理及推论

(1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧;

如图：CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD

(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①弧AC=MAD；②弧BD=MCB；③CE=DE；@AB±CD；⑤AB是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

（三）弧、弦、圆心角的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相笠.

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，

一项相等，其余二项皆相等。

（四）圆周角定理及推论

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,

ZA=-ZO.

2

（2）推论：

①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b,ZA=ZC.

②直径所对的圆周角是直角.如图c,ZC=90°.

③圆内接四边形的对角互补.如图a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

亳2考点一遍过

考点1：圆的基本概念

典例1：（2022上•九年级单元测试）如图，点4,0,D,点、C,D,E以及点B,0,C分别在一条直线上,

则圆中弦的条数为（）

C

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】A

【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案.

【详解】解：图中的弦有BC,CE共2条.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键.

【变式1］（2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习）若点尸为。。内一点，过点尸的最长弦长为8,最短弦

长为4,则线段OP长为（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最

短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再根据勾股定理求得OP的长.

【详解】解：连接。C,如图所示：

根据题意得：AB=8,CD=4,CD14B于点P,

则。C==4,

CD1AB,

•••CP=-CD=2,

2

OP=70c2-cp2=V42-22=2V3,

故选：D.

【变式2］（2023上•山东泰安•九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在RtAABC中,AB1BC,AB=6,

BC=4,P是△ABC内部的一个动点，满足NP4B=NPBC,则线段CP的长的最小值为（）

A

A.2B.4C.5D.7

【答案】A

【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点P在以48为直径的。。上，当。、P、

C共线时PC最小，利用勾股定理求出。。即可解决问题.

【详解】解：如图所示

AB1BC,

•••乙ABP+乙PBC=90°,

•••Z.PAB=Z.PBC

・•・/.BAP+乙ABP=90°,

・•.Z.APB=90°,

.•.点P在以力B为直径的。。上，当0、P、C共线时PC最小，

在RtABC。中，AB=6,BC=4,

OB=-AB=3,

2

•­.OC=yJOB2+BC2=5,

•.PC=OC-OP=5-3=2.

•••PC最小值为2.

故选：A.

【变式3］（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的

圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）

A.2TTR2B.4TTR2C.TIR2D.不能确定

【答案】C

【分析】根据图形的特征，四边形内角和为360。，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆

的面积.

【详解】解：因为四边形内角和为360。，

所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，

即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为7TR2.

故选：C

【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为360。。

得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积.

考点2：垂径定理

典例2：（2023上•陕西渭南•九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧初），点。是

这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，0C12B,垂足为点D,AB=300m,CD=50m,则弧池所在圆

的半径是（）

B.250mC.300mD.350m

【答案】B

【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为厂后，用厂表示出。ZXOB的

长度.根据题意，可以推出4D=8。=150,若设半径为r,贝UOD=r—50,OB=r,结合勾股定理可推

出半径r的值.

【详解】解：••・OC1AB,

AD=DB=150m,

在RtAA。。中，。42=。。2+4。2,

设半径为r得：r2=（r-50）2+1502,

解得：r=250m,

•••这段弯路的半径为250m；

故选择:B.

【变式1】（2023上•内蒙古通辽•九年级校联考期中）回。的半径是10,弦4BIICD,AB=16,CD=12,则

弦48与CD的距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理的应用.作。E于E,OF1CD于尸，由垂径定理得4E=（48=8,CF=

\CD=6,由于4BIICD,易得E、0、/三点共线，在Rt△40E和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出。E与

OF,然后讨论：当圆心。在弦4B与CD之间时，与CD的距离=OF+OE；当圆心。在弦2B与CD的外部

时，与的距离=。/一OE.

【详解】解：如图，作。EJ.4B于E,OF_LCD于凡连。力，OC,OA=OC=10,

----、P

W

^AE=lAB=Q,CF=lCD=6,

^ABWCD,

SE、0、尸三点共线，

在RtAAOE中，0E=70A2-4£2="。2-82=6,

在RtAOCF中，。尸=1。。2-CF?="。2—62=8,

当圆心。在弦48与之间时，AB与CD的距离。尸+0E==8+6=14；

当圆心。在弦4B与CD的外部时，与CD的距离OF-011=8-6=2.

所以28与CD的距离是14或

故选：C.

【变式2］（2023上•江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点C,

则力B=6,那么该圆环的面积为（）

A.37rB.67rC.97rD.127T

【答案】C

【分析】连接OC、OA,构造出RtiaAOC,求出OA2-OC2的值，再乘以it即为环形的面积.

【详解】解：连接。C、0A,则。CI3AB,

在RtEIAOC中，

OA2-OC2=AC2=（-AB）2=9,

2

所以环形的面积为0A2兀-dC2n=9n,

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式.

【变式3］（2023广西钦州•统考一模）如图，点A,B,C,E在。。上,0C1ZB于点。/E=22.5°,OB=2vL

则"的长为（）

EA

5

c

A.等B.雪C.V2TTD.n

【答案】B

【分析】连接。4则CM=OB=2/，根据垂径定理得到品=AC,由圆周角定理得到乙40C=2乙E=45°,

根据弧长公式计算出熊的长，即可得到糜的长.

【详解】解：连接。力，贝|。4=。8=2近，

团。C1于点D,

回阮=AC,

团NE=22.5°,

^AOC=2乙E=45°,

团纪的长为竺经坦=每，

1802

回肥的长为雪.

故选：B.

【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的

关键.

考点3：垂径定理的推论

典例3：（2023上•广西南宁•九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点4B在。。上，直径MN1

48于点C,下列结论中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.OC=CNC.AN=BND.AM=BM

【答案】B

【分析】本题主要考查的是垂径定理.由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判

断.

【详解】解：根据MN为。。的直径，且MN14B,垂足为C,则是垂直于弦的直径，满足垂径定理.

所以MN是4B的垂直平分线,

因而4C=C8,AN=BN,AM=BM,都是正确的.

所以选项B、OC=CN不一定成立.

故选：B.

【变式1］（2023上•辽宁葫芦岛•九年级校考期中）如图，以。为圆心的MN,C、。三等分MN,连MN、CD,

A.乙COM=乙CODB.若OM=MN,贝此408=20。

C.MN||CDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理.根据圆心角、弧、弦的关系得到弧

相等，再利用等边三角形的性质得到乙40B=20。，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一

判断即可.

【详解】解：由题意得==

EIMC=CD=DN,OM=ON=OC=OD,

SMN<MC+CD+DN^3CD,故D选项的结论错误;

EIM€=CD=Em,

0乙COM=4COD=4DON,故A选项的结论正确；

如图，连接ON

0OM=MN,OM=ON,

0AMON是等边三角形，

B^MON=60°,

EIZXOB=jzMOW=20°,故B选项的结论正确；

作半径OEICO,如图，

meg=ETE,

=ME,

BOE1MN,

B1MN||CD,故C选项的结论正确；

故选：D.

【变式2］（2023上•甘肃武威•九年级校联考阶段练习）如图，CD是。。的直径，4B是非直径的弦，4B与CD

相交于点从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD14B的有（）

A

A.AM=BMB.OM=CMC.AC=BED.AD=BD

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理."平分弦(不是直径)的直

径垂直于弦

【详解】解：A.^AM=BM,CD是。。的直径，AB是非直径的弦，

SAB1CD,故A不符合题意；

B.根据。M=CM无法判断COLAB,故B符合题意；

C.=扉，CD是。。的直径，是非直径的弦，

SAB1CD,故C不符合题意；

D.EL40=CO是O。的直径，4B是非直径的弦，

SAB1CD,故D不符合题意.

故选：B.

【变式3](2023上•山东济宁•九年级统考期中)如图，平面直角坐标系中，OP与x轴分别交于A、8两点，

点尸的坐标为(3,—1),4B=2百，若将OP向上平移，则OP与x轴相切时点尸坐标为()

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(3,5)

【答案】A

【详解】当尸移到P'点时，OP与无轴相切，过尸作直径MN14B与连接4P,

由垂径定理得：AD=BD=^AB=V3,

劝尸=|-1|=1,

由勾股定理得：AP=7AD2+PD2=2,

SPP'=2+1=3,

I3P(3,-1),

EIP'的坐标是(3,2),

故选A.

【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，能理解题意画出图形和正确作出辅助线是解题的关

键.

考点4：垂径定理的实际应用

典例4：(2024上•河北保定•九年级统考期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光

启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，

如图2,已知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦力B长为8米，。。半径长为5米.若点C为运行轨

道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是()

A.1米B.3米C.2米D.1.5米

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识.连接0C交4B于点E.利用垂径定理以及勾股定理求

出。E,可得结论.

【详解】解：连接。C交AB于点E.

由题意。CLAB,

04E=BE=^AB=4（米），

在Rtz14E。中，0E=yJOA2-AE2=V52-42=3（米），

SCE=OC-OE=5-3=2（米），

故选：C.

【变式1］（2023上•浙江温州•九年级统考期中）"圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广

泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1,其数学模型为如图2所示.园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径

4B=1米，£＞为圆上一点，DC14B于点C,且CD=BC=0.7米，则门洞的半径为（）

图1图2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【答案】C

【分析】过。作。N14B于N,过。作DMJ.ON于由垂径定理得AN=8N=再证四边形DCNM

是矩形，则MN=CD,DM=CN=BC+BN,设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组

即可.

【详解】解:过。作。NJ.AB于N,过。作DM_LON于M,如图所示:

o

贝！MN=BN=^AB=0.5米，ONC=乙DMN=90°,

0£）C1AB,

0ZDC/V=90°,

团四边形DCNM是矩形，

SMN=CD=0.7,OM=ON-0.7,DM=CN=BC+BN=1.2,

设该圆的半径长为r米，

根据题意得，嬴％）匚”品2

解得：｛。丁匕2，

即门洞的半径长为1.3米，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的

应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.

【变式2]（2024上•黑龙江齐齐哈尔•九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，

如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯

口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,4B=8cm,

CD=6cm.请你帮忙计算纸杯的直径为（）

A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股

定理求出。M的长.由垂径定理求出BN,DM的长，设OM=x,由勾股定理得到/+42=（7-x/+32,求

出x的值，得到。M的长，由勾股定理求出。。长，即可求出纸杯的直径长.

【详解】解：如图，过点。做MN1AB于点N,交CD于点

0CD||AB,

MN1CD,

SDM=-CD=-x6=3,BN=-AB=-x8=4,

2222

设。M=%,

由ON=MN—OM=7-x,

S10M2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,

SOM2+MD2=ON2+BN2,

0x2+32=（7-%）2+42

团％=4,

团。M=4,

0OD=V32+42=5,

回纸杯的直径为5x2=10.

故选：C.

【变式3]（2023上•浙江杭州•九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底

桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）

3.2m,拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m,则此桥拱的半径是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

【答案】B

【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判

断、推理或解答.设圆心为0,作0D1A8于点D,。。的延长线交圆弧为点C,设半径为Rm,根据垂径定理

得4D=BD=1.6m,。£»=(2-R)m,由勾股定理得：/?2=1.62+(2-/?)2,即可求出答案.

【详解】解：如图，设圆心为。，作。。148于点。，。。的延长线交圆弧为点C,则C为优弧48的中点，设

半径为Rm,

AD—BD--AB—1.6m,CD—2m,

2

.­-0D=(2—R)m,

由勾股定理得：。42=。02+4£)2,

AR2=1.62+(2-R)2,

解得:R=1.64,

故选：B.

考点5：弧、弦、圆心角关系

典例5：(2023上•辽宁鞍山•九年级统考期末)如图，点A,B,C,。在。。上，乙40C=132°,点2是弧4C的

中点，则AD的度数是()

A.66°B.35.5°C.33°D.24°

【答案】C

【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理.熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等,

圆周角定理是解题的关键.

如图，连接。8,则肪=协3乙408=1乙40C,由圆周角定理可得4。=(乙4。8,计算求解即可.

【详解】解：如图，连接0B,

0AB=况，

回乙40B=乙BOC=-Z.AOC=66°,

2

EL4B=AS,

1

0ZD=-Z.AOB=33°,

2

故选：C.

【变式1X2023上•河南周口•九年级校考期中）如图,2B为o。的直径,C、D是。。上的两点，N84C=20°,

AD=CD,贝吐口4c的度数是（）

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，作出辅助线，找出未知角与己知角的

联系，是解此题的关键；

根据圆周角定理和弦，弧，圆心角三者的关系即可得到结论.

【详解】连接。C,。。如图所示，

•••ABAC与NBOC所对的弧都是品，4BAC=20°,

.­.乙BOC=2/.BAC=40°,

AAOC=140°,

又•••AD=CD,

.­.乙COD=^AOD=-2Z.AOC=70°,

•••NOAC和NO。。所对的弧者B是cs,

1

ADAC=-2ACOD=35°,

故选：B.

【变式2］（2023上,甘肃平凉,九年级校考阶段练习）如图所示，在。。中，AB=2C0,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法比较

【答案】B

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取物=6,再根据"根据

三角形的三边关系"可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：如图，

在圆上截取05=CD,

0AB=2c0,

0AB=CE,

^\AB=CE,

根据三角形的三边关系知，CD+DE2CD〉CE=AB,

EL4B<2CD,

故选：B.

【变式31（2022上•河北廊坊•九年级校考期中）如图，眈=⑶=碓,已知4B是O。的直径，=35°,

【答案】C

【分析】由此=6=ETE,/.COD=35°,可求得NB。。=乙EOD=4COD=35°,继而可求得乙40E的度数.

【详解】解：•.•4'=6=ETE,ACOD=35°,

•••4BOC=乙EOD=乙COD=35°,

.­./.AOE=180°-4EOD-乙COD-Z.BOC=75°.

故选：C

【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键.

考点6：圆周角定理

典例6：（2023上•辽宁盘锦•九年级校考阶段练习）如图，力8是。。直径，。、£»是。。上的两点，且。。IIBC,

连接4C和BD,下列四个结论中：@AD=CD；②。。垂直平分力C；③乙AOD=24DBC；@BD=AC.所

有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系

判断求解即可，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键.

【详解】回力B是。。直径，

0ZC=90°,

0BC1AC,

回。。||BC,

回。01AC,

团。。平分ZC,

团。。垂直平分/C,

故②正确，符合题意；

EL4S=m

故①正确，符合题意；

国乙4。。=2乙DBC,

故③正确，符合题意；

根据题意，无法求解BD=4C,

故④错误，不符合题意；

故选：A.

【变式1］（2023上・江苏南京•九年级统考期中）如图，。。经过菱形A8CD的顶点A,B,C,顶点D在。。

内，延长A。，CD与。。分别交于点E,F,连接BE,BF,下列结论：①BE=BF；②4S=AF=FF；

③N4BC=900+;NEBF,其中正确的结论是（）

B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】①根据菱形的性质得出N4=NC,根据相同的圆周角所对的弦相等，得出BE=BF,即可判断①

正确；

②根据菱形的性质得出28=8C,AB\ICD,BCWAD,根据平行线的性质得出ZF=44BF,乙E=^CBE,从

而得出NF=A4BF=NE=NCBE,肪=和=廓=），但不能确定48=砰，判断②错误；

③先证明NC=2N4BF,根据平行线的性质得出N4BC+NC=180。，根据乙48F=NCBE,得出4zCBE+

Z.EBF=180°,求出2NCBE=90°-|zFBF,根据4ABe=/.ABF+Z.CBE+即可判断③正确.

【详解】解：①团四边形4BCD为菱形，

团乙4=乙C,

团BE=BF,

WE=BF,故①正确；

②团四边形/BCD为菱形，

团AB=BC,ABHCDfBC\\AD,

24B=BC,

团乙E=ZF,

国4BIICF,BC\\AEf

国乙F=4ABF,乙E=cCBE,

azF=Z-ABF=Z,E=Z-CBE,

团舫=AF=既=CE,

不能确定加=钎，故②错误；

③团加=妤=阮*="

国用F=2AF,

0zC=2Z.ABFf

BABWCF,

团乙4BC+4c=180°,

^ABF+乙EBF+Z.CBE+2乙4BF=180°,

团匕ABF=乙CBE,

⑦4乙CBE+乙EBF=180°,

EI2ZCBF=90°--Z.EBF,

2

⑦乙ABC=/-ABF+Z,CBE+乙EBF

=2乙CBE+Z.EBF

1

=90。-"EBF+NEBF

2

=90°+|zEBF,故③正确；

综上分析可知，①③正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟

练掌握圆的基本性质和菱形的性质.

【变式2］（2023上•广东江门•九年级校考期中）如图，在。。中，P是弦的中点，CD是过点P的直径，则

下列结论中不正确的是（）

C

D

A.AB1CDB./.AOD=ABODC.AD=BDD.PO=PD

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论

是解题关键.平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对

的圆心角也相等，据此即可获得答案.

【详解】解：SP是弦48的中点，CD是过点P的直径，

EL4B1CD,#9=附，AP=BP,故选项A正确，不符合题意；

BAD=BD,

国乙4。。=4300,AD=BD,故选项B,C正确，不符合题意；

已知条件无法确定P。=PD,故选项D不正确，符合题意.

故选：D.

【变式3］（2022上•湖南长沙•九年级长沙市雅礼实验中学校考期中）如图，在。。中，4。、。、8是。。上

四点，0C、。。交48于E、F,且力E=BF.下列结论不正确的是（）

rC

A

A.OE=OF

B.标=的

C.AC=CD=DB

D.CDWAB

【答案】C

【分析】连接。a,OB,可以利用SAS判定△04E三△OBF,根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF,

判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可NB4D=N4DC得至IJ乙40E=NBOF,即乙40C=乙BOD,

根据圆心角、弧、弦的关系定理得出AC=属0,判断B选项正确；连接4D.由AC=的，根据圆周角定理

得出，贝!]CDII4B,判断D选项正确；由NB。。=乙4。。不一定等于NCOD,得出此1=仍不一定等于第，那

么AC=BD不一定等于CD,判断C选项不正确.

【详解】解：连接。40B,

0A-0B,

Z.OAB=Z.OBA.

在八CME与AOBF中，

-0A=0B

Z.OAE—/.OBF，

.AE=BF

•••△OAE=AOBF(SAS),

OE=OF,故A选项正确；

•••NAOE=NBOF,即N40C=N8。。,

=KD,故B选项正确；

连接力，

B

w=血

Z.BAD—Z.ADC,

•••CDWAB,故D选项正确;

•••LBOD=44。。不一定等于〃。。，

0AC="不一定等于6,

EL4C=BD不一定等于CD,故C选项不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，

难度适中.准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键.

考点7：圆周角定理推论

典例7：（2024上•安徽安庆・九年级统考期末）如图，在。。中，48为直径，C为圆上一点，ABAC的角平分

线与O。交于点D,若乙4DC=20。，则乙4CD的大小为（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，根据圆周角定理

和直径所对圆周角是直角，结合三角形内角和定理即可得出答案，牢记各知识点是解题的关键.

【详解】解：,•・乙4。。=20。

NB=20°

在。。中，为直径

.­.Z.XCB=90°

ABAC=180°-90°-20°=70°

•••AD平分NB4C

•••^DAC=35°

AACD=180°—35°-20°=125°

故选：B.

【变式1】(2023上•河北石家庄•九年级统考期末)如图，ABAC=40。,。。的圆心。在48上，且与边4C相切

于点D,与AB交于点E,F,连接FD,则乙4FD=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接。。，根据切线的性质得到乙4。。=90。，根据直角三角

形的性质得到乙力。。=90°-40°=50°,根据圆周角定理即可得到结论，正确的作出辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

【详解】连接0D,

团O。与边4C相切于点

国匕ADO=90°,

^BAC=40°,

^AOD=90°-40°=50°,

国匕AFD=-^AOD=ix50°=25°,

22

故选：c.

【变式2］（2024上•北京西城•九年级统考期末）如图，AB为。。的直径，弦CO交48于点E,BE=BC.若

^CAB=40°,则4以4。的大小为（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【答案】D

【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到乙8二50。，再由等腰三角形性质及

三角形内角和定理即可得到4双方=乙CEB=65°,再由圆周角定理即可得到答案.

【详解】解：・・・为。。的直径，

・•・乙ACB=90°,

•••Z.CAB=40°,

.・.z_B=90°-40°=50°,

•••BE=BC,

乙ECB=乙CEB=—0°-50°=65°,

2

•：BD=

・•・4BAD=乙BCE=65°,

故选：D.

【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等

腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

【变式3］（2023上•浙江杭州•九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，等腰△ABC内接

于。O，AB=AC,连结OC,过点B作4?的垂线交。。于点。，交。。于点M,交/C于点以连结AD,若ND=a,

A.90°—aB.60°—aC.90°—2aD.45°+a

【答案】A

【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质等知识点，连接。4、0B,证AAOB三

△力。C可得NOAB=ZOXC=jzBXC,求出NB4C,再结合。4=OC即可求解.

【详解】解：连接。4、OB,如图所示：

EL4B=AC,OB=OC,OA=OA,

0AAOBSAAOC

^AOAB=^OAC=-Z.BAC

2

团乙BCA=Z-D=a,AB=AC,

^BAC=180°-2(BCA=180°-2a

国乙OAC=90°-a

回。4=OC

团乙OCA=匕OAC=90°-a

故选：A

【变式4］（2023上•吉林长春•九年级校考期末）如图,AB是半圆。的直径，点C,D在半圆。上.若N4BC=55°,

则N8DC的度数为（）

C.135°D.125°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.先根据圆周角定理得

到乙4c8=90。，则利用互余计算出N4的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出48DC的度数.

【详解】解：•MB是半圆。的直径，

AACB=90°,

ZX=90°-/.ABC=90°-55°=35°,

•••乙BDC+^A=180°,

.­./.BBC=180°-35°=145°.

故选：B.

【变式51（2023上•湖北武汉•九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）如图，48是。。切线，点儿E是。。

上的点，CD的直径，乙4BC=NE=45。，△BCD面积为27,贝的长为（）

A.3B.2V3C.4D.3显

【答案】D

【分析】此题考查了圆切线的性质，圆周角的定理，弦、弧、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定与性

质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.连接。力、AD.AC,利用圆切线的性质定理、圆周角定理等

性质可得4DIIBC,BC=AD,再根据△BCD的面积为27,即可求解.

【详解】解：连接。4AD.AC,如下图:

团CD为直径

团匕CAD=90°,

固4力=AD

^ACD=Z.E=45°,Z.AOD=2乙E=90°

回△AC。、△AOD为等腰直角三角形，

回匕OAD=/-OAC=45°,

团4B与团O相切

回乙OAB=90°,

团4CAB=45°,

团乙4cB=ACAD=90°,△/CB为等腰直角三角形，

回BC||AD,AC=BC,

2

^ShBCD=-BCxAC=-BC=27,

解得BC=3V6,

故选D.

【变式6](2023上•山东滨州•九年级统考期中)如图，OC过原点0,且与两坐标轴分别交于点4、B,点人的

坐标为(0,5),点M是第三象限内附上一点，Z.BMO=120°,则。。的半径为()

【答案】B

【分析】由题意知。4=5,由N力。B=90。，可得为。。的直径，由4、B、M、。四点共圆，可求NOAB=

180°-ZBMO,则乙48。=30。，然后求直径，求半径即可.

【详解】解：团点2的坐标为(0,5),

团。力=5,

团乙40B=90°,

0XB为OC的直径，

囿4、B、M、。四点共圆，

IS^OAB=180°-4BMO=60°,

0ZX5O=30°,

SAB=20A=10,

团半径为5,

故选：B.

【点睛】本题考查了90。的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含30。的直角三角形，三角形

内角和定理等知识.熟练掌握90。的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含30。的直角三角形

是解题的关键.

【变式7］（2023上•全国•九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点

上，以4B为直径的圆经过点C,D,贝!JsinNADC的值为（）

A2-3cV13n2V13

A.-B.-C.—D.

32313

【答案】D

【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，^ADC=^ABC,然后在RtAACB中，根据锐角三角函数的定义

求出N4BC的正弦值.

本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用

圆周角定理的推论把求乙WC的正弦值转化成求N4BC的正弦值，本题是一道比较不错的习题.

【详解】解：如图，连接力C、BC.

•••N4DC和乙4BC所对的弧长都是此1,

・•・根据圆周角定理的推论知，^ADC=AABC.

在RtAACB中，根据锐角三角函数的定义知，

AC

AB

AC=2,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=V13,

•,人口「22V13

siviZ-ABC=—；=----,

V1313

.,_2V13

**•siiiZ-ADC----.

13

故选：D.

考点8:半径相等一一等腰三角形

典例8；（2023•甘肃平凉•统考二模）如图，A、B、C是圆。上的三点，且四边形ABC。是平行四边形，OF1OC

交圆。于点尸，则N40F等于（）

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AAOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得

到答案.

【详解】解：

团四边形力BC。是平行四边形,

HOC=AB,又。力=OB=OC,

团04=OB=AB,

团AAOB为等边三角形，

HOF1OC,OCWAB,

EOF1AB,

EIZXOF=乙BOF=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰

三角形的三线合一是解题的关键.

【变式11（2023•四川广元•统考一模）如图，4B为。。的直径，CD是。。的弦，4B、CD的延长线交于点E,

已知4B=2DE,^AEC=20°,贝！U&OC的度数为（）

【答案】C

【分析】连接。。，根据等腰三角形的判定和性质，得到AD0E=N4EC=20。，再根据三角形外角的性质,

得到NDC。=MD0=40°,利用三角形内角和定理，得到NCOD=100°,即可求出NAOC的度数.

【详解】解：连接。D,

•••AB=2DE,

.・.0D=DE,

•••Z-AEC=20°,

・•・LDOE=20°,

・•・"0。=Z.DOE+"=40°,

•・•0C=0D,

・•・乙DCO=乙CDO=40°,

・•・乙COD=180°-Z,DCO-乙CDO=100°,

AAOC=180°-4DOE-乙COD=60°,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三

角形等边对等角的性质是解题关键.

【变式2］（2023下•浙江金华•九年级校考阶段练习）如图，在扇形40B中，。为弧4B上的点，连接AD并延

长与。B的延长线交于点C,若CD=OA,乙AOC=69°,贝吐。4C的度数为（）

A.35°B.52.5°C.70°D.74°

【答案】D

【分析】连接。。，则CD=OA,OA=。。，设”=a,根据等边对等角以及三角形外角的性质可得4047=2a,

根据三角形内角和定理即可求得结果.

【详解】解：如图，连接。。，如图所示：

团。力=OD

Z.CAO=Z.ODA

•・•CD=OA,

团CO=0D,

Z.C=乙DOC

设=a,

•••Z-CAO=Z.ODA=Z-DOC+Z.C=2a,

在△AOC中，AAOC=69°

・•・乙CAO+Nf=180°-69°=111°,

2a+a=111°

••・a=37°

・•・/,CAO=2a=74°,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以

上知识是解题的关键.

【变式3】（2023上•广东汕头・九年级统考期末）如图，是。。的弦，。。为。。半径.0C14B,垂足为

C,ODWAB,OD=20C,贝此。为（）度

A.60B.65C.70D.75

【答案】D

【分析】连接。8,贝1]08=00,由0clz8,贝此。8。=30。，再由。。||48,即可求出答案.

【详解】解：如图：连接08,贝!）08=。。，

©

：℃*OD，

1

■-OC=-OB,

•・,OC1AB,

・•.Z.OBC=30°,

・

••OD\\ABf

・•・乙BOD=乙OBC=30°,

・•.Z.OBD=乙ODB=75°,

故选D.

【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是

解题的关键.

考点9：圆的内接四边形

典例9：（2023上•广东汕头•九年级统考期末）如图，4B为。。的直径，点C,。在O。上，若乙4DC=130。，

则NB4C的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，根据

圆内接四边形对角互补求得48,根据直径所对的圆周角是直角可得乙4c8=90。，根据直角三角形的