重难点突破：圆锥曲线中的经典七大名圆问题（七大题型）（解析版）

重难点突破15圆锥曲线中的经典七大名圆问题

目录

01方法技巧与总结

02题型归纳与总结

题型一:蒙日圆问题..............................................................2

题型二:直径为圆问题.............................................................8

题型三:四点共圆问题...........................................................12

题型四：内准圆问题.............................................................19

题型五:彭赛歹U圆问题...........................................................24

题型六:焦点弦圆...............................................................28

题型七:准线圆.................................................................32

03过关测试....................................................................................37

r

方法牯巧UM年

/MV,4kJJ"UA一出\\

1、曲线r：4+4=i的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：/+#=a?+/.

ab

2、双曲线芸―¥=l（a>b>0）的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆/+才=&2—次

ab

3、抛物线y2=2Px的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上.

4、证明四点共圆的方法：

方法一:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这

四点共圆.

方法二:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相

等,则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）.

方法三:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯

定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角）.

方法四:证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交

点）,则可肯定这四点共圆（根据圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）.

⑻2

题型归纳与总结

题型一:蒙日圆问题

1.（2024・上海•模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解至U：法国著名数学家加斯帕尔・蒙日在研究圆

锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，奇（a为

椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆,这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：《+才=1.

（1）求椭圆。的蒙日圆的方程；

（2）若斜率为1的直线I与椭圆。相切,且与椭圆C的蒙日圆相交于M,N两点,求△OMN的面积（O为

坐标原点）；

（3）设P为椭圆。的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆。的两条切线，切点分别为43,求面

积的最小值.

__________B

2_____

【解析】⑴因为椭圆。：弓-+。=1,所以，？+>=2,

所以椭圆。的蒙日圆的方程为/+/=4；

+才=1,设直线I的方程为y=*+m,

y—x-\-m

22

联立方程x2_1，消去U并整理得，4/+6?71/+3(?7?—1)=0,

m+g=i

由△=36m2—16(3m2—3)=0,得m2=4,Fp\m\=2,

、777,

所以坐标原点O到直线Z:C一夕+m=0的距离d==V2,

V2

所以\MN\^2722-(72)2=2V2,

所以$*=高的斗4=2;

(3)由⑴知，椭圆。的方程为"+3才=3,椭圆。的蒙日圆方程为/+才=4,

设_?(%%),则舄+*=4,设人(为,%),B(g,必)，

则切线PA的方程为XxX+3nly=3,切线PB的方程为x2x+3y2y=3,

将P(x0,队)代入切线_R4,PB的方程，有XiX0+3m%=3,x2x0+3y2y0—3,

故直线AB的方程为xox+3yoy—3,

k()c+3%u=3

将直线AB的方程与椭圆。的方程联立得止+3才=3

消去夕并整理得，(舄+3%)/—6g2+9(1—%)=0

显然就+3加A0,ZV=(-6gy—4(谥+3/)x9(1—城=36*(1+2*)>0,

底…,6尬9(1一笳)

所以电+电=西叁，，巡2=2+3-2，

力o十J%g十

所以=J-(就).山—救匚/U-R痴=3*

又点P(g加到直线的的距离底生曾=—,

J-+9*J4+8*2

所以s加制山•仁”空守，

/2(2+?/0)

设l=Jl+2%(0W/W4),则S"AB='[1,3],

Li"O

令/U)='"C[1,3]

⑹，(F+3)-/d+3),

,+9力2

则rco=

(t2+3)2(t2+3)2

所以函数/⑴在［1,3］上单调递增，所以加篇=八1)=/,

所以△_R4B面积的最小值为j.

2.（2024•全国•模拟预测）在圆/+娟=4上任取一点T,过点T作立轴的垂线段TD,垂足为D.当点T在

圆上运动时，线段TD的中点P的轨迹是椭圆C.

（1）求该椭圆。的方程.

（2）法国数学家加斯帕尔・蒙日（1746-1818）发现:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与

椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”.若椭圆。的左、右焦点分别为风月,P为椭圆C上一动

点，直线。尸与椭圆。的蒙日圆相交于点N,求证：留;幽为定值.

[解析】⑴设P（g,y0）,则下（如2y0），而点T在圆/+婿=4上，

即有X'Q+4yo=4,化简得号+yo=l,

所以。的方程为《+”=1.

（2）由⑴知椭圆。的方程,+才=1,长半轴长a=2,短半轴长6=1,半焦距c=6，

显然直线2—+2,y=±1都与椭圆C相切，因此直线±=±2,y=±1所围成矩形的外接圆，

即为椭圆C的蒙日圆，方程为a?+才=5,设\PF{\—m,\PFi\—n,Z.POF[=a,则/.POFi—TZ—a,

222222

在△POE与ZYPO^中，由余弦定理得m=c+\OP\-2c\OP\cosa,n=c+|OP|-2c|OP|cos（兀-a）,

两式相加得m?+n2=2c2+2|OP|2,又m,+n=2a,则m2+n2+2mn=4a2,

于是|PE|•|P^|=mn=2a2-c2-|OP|2=a2+i>2-\OP\25-\OP\2,

又\PM\­\PN\=（|\OP\）（\OM\+\OP\）=\OM\2-\OP\2=5-\OP\2,

\PM\-\PN\\PM\-\PN\

所以---二----r=1,即---「--r为定值•

3.法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨

迹是以椭圆的中心为圆心，〃在官（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被

称为蒙日圆.已知椭圆+y=l（a>b>0）过点料,一看）.且短轴的一个端点到焦点的距离为

ab'22/

V3.

（1）求椭圆。的蒙日圆的方程；

（2）若斜率为1的直线，与椭圆。相切，且与椭圆。的蒙日圆相交于双，N两点，求△OMN的面积（O为

坐标原点）；

（3）设P为椭圆。的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B,求APAB

积的最小值.

【解析】(1)由椭圆4+4=1(。>6>0)短轴的一个端点到焦点的距离为，得Q=，S,

a2b2

(岂y/_x\2

由椭圆过点(春,一■,得一|--1----1——1,解得/=1,于是JQ2+匕2-2,

'22，ob

所以椭圆。的蒙日圆的方程为"+#=4.

(2)由⑴知，椭圆。的方程为今+才=1,设直线I的方程为期=岔+口1,

O

y—x+m

2

x2_-i消去。并整理得，4/+6m力+3(馍2—1)=0,

(m+g=1

由△=36m2—16(3m2—3)=0,得m2=4,即\m\=2,

则坐标原点。到直线Z：c—9+m=0的距离d=粤=血，I九W|=2/22—0)2=2^/2,

所以△OMN的面积SA0MV=^-\MN\-d=2.

(3)由⑴知，椭圆。的方程为/+3才=3,椭圆。的蒙日圆方程为a;?+才=4,

设「(羯洗)，则届+需=4,设4如%)，B(x2,yj,则居+3褶=3,舄+3雄=3,

当切线FA的斜率存在时，设FA的方程为y=k(x-x1)-\-y1,

由卜2及：2吁1%,消去n得(3fc2+1)/—6k(kx!—y^x+3(kXi—?/i)2—3=0,

+6y=3

2222

Ai=36fc(fca?i—yi)—12(3fc+1)[(kxi—%)?-1]=0,整理得3fc+1—(kxx—%)?=0,

即fc2(3—rci)+2kggi+1—g；=0,则3k%;+2kg%+■冠=0,解得k=一乎~,

33vi

于是"=一守(t-g)+%，即xrx+3yly=3,

3%

当切线出的斜率不存在时，4±g,0),PA的方程为2=一四或2=四，满足上式,

因此切线PA的方程为XiX+3yly=3,同理切线PB的方程为x2x+3y2y=3,

将P(g,队)代入切线PA,PB的方程，有/皿+3%%=3,N2g+3n2no=3,

从而直线AB的方程为x()x+3y()y=3,当W0时,

由｛：号；；@33消去y并整理得：(鬲+3若)/—620工+9(1=0,

显然就+3%¥0,&=（-6*2—4（就+3若）x9（1—若）=36*（1+2*）>0,

6g=9（1-若）

冗1+/2=舄+3加’12舄+3%

/8若+4

则|AB|=V9加

又点P(x0,y0)到直线AB的距离％=属+：启31=；+2*=亚页，

，就+9%74+8^2

于是4PAB的面积S5AB=y\AB\'h="+*产］，

22(2+若)

设±=71^1(0<*&4),则$.=^^"6(1,3］,：

LO

令/⑴=e(1，3］，求导得r⑶=若黑>0,即函数/⑴在(1,3］上单调递增，/⑴>/(1)=:，

r+3(r+3)4

当队=0,即g=±2时，由对称性不妨令2o=2,直线ABix=春,

Zt=3'解得标制，岫=1，"=2-告J京明•仁!

由

所以面积的最小值为j.

离心率为e=q.

(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

⑵过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆。的一条切线AM,4为切点，延长AM与“蒙日圆”E交于点

。，O为坐标原点,若直线OAf,O。的斜率存在，且分别设为自,心，证明：自•的为定值.

【解析】⑴由题意知2a=4,e="=.

c=l,fe2=3,

故椭圆的方程号■+<=1,

43

“蒙日圆”E的方程为力2+#=4+3=7,即为2+#=7

⑵当切线M4的斜率存在且不为零叱设切线M4的方程为沙二强+皿则

(y=kx-\-m

2

由y2_，消去g得(3+4%2)%2+87nkR+dm-12=0

/.A=64m2fc2—4(3+4fc2)(4m2—12)=0

:.m2=3+4k]

由{"2jit；，消去"得(1+A;2)^2+2mkx+m2—7=0

・•・A=4m2fc2-4(l+fc2)(m2-7)=16+12fc2>0

设。(如％),。(曲,仇)，则±1+±2=；，/巡2=：鼠]，

请_病一7।--Zmk।2

9922

.779例(.kxr+m^kxi+rn)kxrx2+km{xx+x^)+m卜,i+.+Knr[+后十？nm-7fc

・・儿1儿2――——2r_*?一

力巡2力巡2力巡2一—7m—7

l+/c2

*.*m2=3+4k2,

.77m2-7fc23+4fc2-7fc23

••砧2=kF=3+4*-7=F'

当切线AM的斜率不存在或为零时，易得%#2=—(■成立，

:,自•防为定值.

___________昼

2?/2_____

5.（2024•江西抚州•模拟预测）给定椭圆。与+当=l（a>b>0）,称圆心在原点O,半径为，？奇的圆

ab

是椭圆。的“准圆”.若椭圆。的一个焦点为尸（四,。0）,其短轴上的一个端点到户的距离为四.

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

⑵点P是椭圆。的“准圆”上的动点，过点尸作椭圆的切线。2交''准圆”于点跖N.

①当点P为''准圆"与？/轴正半轴的交点时，求直线Z14的方程并证明

②求证:线段AW的长为定值.

一一一"?/2

【解析】⑴C="。，。a=娓。,。.•.6=，^,・,•椭圆方程为二十k=1,准圆方程为62+#=9.

63

（2）（i）因为准圆力之+d二9与"轴正半轴的交点为F（0°3）,

设过点F（0。，。3）且与椭圆相切的直线为沙=强+3,

（y=kx-\-3°

所以由<dy2_得（1+2肥）/+i2fcz；+i2=0.

IT+T=1

因为直线。=k/+3与椭圆相切，所以△=144k之—4X12（1+2fc2）=0,解得k=±1,

所以。。，2方程为1/=力+3。y=—x+3,Vkti-ki2=—1,/.±Z2-

（ii）①当直线L。，。。中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则。：/=土，G,当Q/=时，。与准圆交于点（，6。V3）°（V6°,。—V3）,

此时。为。=，3（或g=—四），显然直线。。，2垂直；

同理可证当"：/=一四时，直线Zi。，。22垂直

②当。，。。为斜率存在时，设点P（g,go）,其中届+需=9.

设经过点_P（g。yo）与椭圆相切的直线为y=t（x—a:0）+队，

y-力（27_27。）—|—期。

2

dy2_得（1+2#/2_|_4力（坊—tx（））x+2（go—txo）—6=0.

（"6-+T=1

由Z\=0化简整理得（6—4）力2+2瓯颜力+3—若=0,

因为曷+*=9,所以有（6—舄）/+2x0y0t+（鬲—6）=0.

设。。，。。的斜率分别为右。右，因为，1。。与椭圆相切，

所以力。，。t2满足上述方程（6—鬲）F+2xoy&+（舄一6）=0,

所以友.力2=主^=—1,即心，。L垂直.，

6-iCo

综合①②知：因为。。，。12经过点P（g°%）,又分别交其准圆于点M。，。N,且。。，。L垂直.

所以线段皿N为准圆/+/=9的直径，|上fiV|=6,

所以线段皿N的长为定值6.

___________F

题型二:直径为圆问题

6.（2024.高三.河北.开学考试）已知椭圆1=l（a>b〉0）的离心率为多,且过点（2,1）.

⑴求椭圆的方程；

（2）直线/：,=建+小与椭圆。交于46两点，且以线段为直径的圆过椭圆。的右顶点河，求证:直

线/恒过定点,并求出该定点的坐标.

仁+工=1

a，十/1

"2=8

【解析】⑴依题意可得1e=二=返，解得2

a2[b=2'

a2=62+c2

所以椭圆。的方程为9+4=1.

o2

(2)设4到,%)，B(x2,y2),

联立可得(1+4%2)/2+8kmx+4m2—8=0,

且△=(8km)2-4(l+4A;2)(4m2-8)>0,8fc2+2>m2,

8km47T22—8

所以+x2=--„,2巡2=

l+4fc2l+4fc2

因为以AB为直径的圆经过点时（2方,0）,所以苏♦庙=0,

所以Qi—2^/2')•(劣2—2A/2)+yn/2—0,

所以(力1一2，^)•(62—2〃^)+(kxi+rn)(kx2+m)=0,

2

所以(兴+1)力便2+(fcm—2V2)(Ti+x2)+m+8=0,

所以街+1）言恭+（即—2回（一：?）+/+8=0,

当m=-6『儿时，l：n=kc-4二卜（6-）,过定点（^^,0）,符合题意；

当m=-2V2k时，l:y—kx—2V2fc=—2A/2)，过点71f(2，^,0)，不满足题意,

22

7.已知直线Z"—小沙一等=0,椭圆。：鼻+#=1,E、后分别为椭圆。的左、右焦点.

2m

⑴当直线I过右焦点B时,求直线I的方程.

（2）当直线I与椭圆。相离、相交时，求山的取值范围.

（3）设直线I与椭圆。交于人、B两点，△人月月、ABEE的重心分别为G、H.若原点。在以线段GH为

直径的圆内，求实数小的取值范围.

2_____

【解析】（1）直线I:x—my—=0经过用（“加一1,0）,

,_____2

Vm2—1-=0,

解得7n2=2.

又丁nz>1,

m—V2,故直线，的方程为x—V2y—1=0.

[x—my—=0

（2）由《"得，2m27/2+rn^y+—m2=0,

信+y=l4

因为m>1,所以2g?+rny+—1=0,

△VO得，m2—8^^-1）=8—rn<0,

解得m<—2^/2或?n>2^/2.

\*m>1,m>2^2.

由△>0得一2，^VTYIV2A/2^,故1VTnV2^/2,

当直线与椭圆相离时7n的取值范围是{m|m>2A/2};

当直线与椭圆相交时m的取值范围是{馆|1VnzV2，^}.

（3）设4（g,切），B（劣2,纺），后（一。,0）,同（。,0）.

由重心坐标公式得

Xi+c—cXi%+c—c%

XG=-3—=3'yG=-§—=T

可知G传卷），同理"（皆号.

•・•。在以线段GH为直径的圆内，

由已知/+7=:

工一my一肾=0

消去力，得8y2—4my+m2—4=0;

消去g,得8/-47储力+7722（^2—4）=Q.

方程8y2—4mly+m2—4=0的判别式△1=16m2—32（m2—4）>0,

方程8x2—4m2x+m2（m2—4）=0的判别式4二16m4—32m2（m2—4）>0,

,m4—4m2,m2—4«八

力僮2+yiV2=-----Q-----+一Q一<o,

oo

4222

Qm—3m—4V0=（m—4）（m+1）<0,r

.\m2<4,

又Tnz>1,

1<m<2,

实数的取值范围为{m|lVnzV2}.

8.（2024.高三.湖北.开学考试）已知平面内一动圆过点P（2,0）,且在g轴上截得弦长为4,动圆圆心的轨迹

为曲线C

（1）求曲线。的方程；

（2）若过点Q（4,0）的直线/与曲线。交于点河，N,问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出

这个定点;若不过定点,请说明理由.

【解析】（1）设动圆圆心（力,9），

当力#0时,依题意，Vl^P+22=J（力一2）?+才，即才=4/；

当力=0时，点。的轨迹为点（0,0）,满足才=4名,

所以点C的轨迹方程为y1=4x.

⑵依题意，直线I不垂直于y轴，设直线I方程为：x=my+4,7W（力（力2,故），

由（力丁"+4消去力并整理得#―47ng-]6=0,/\>0恒成立，

[y=4/

e22

则["1+依学，令圆心为口力石,利），则yE—2m,xE—2m+4,£；（2m+4,2m）,

1%例=—16

直径|7W|=Vm2+11阴一曲=Vm2+1•/(%+例)2—4阴改=4V(m2+l)-(m2+4),

则圆石的方程为[x—(2m2+4)]2+(y-2m)2=4(m2+1)(m2+4),

当力=0,g=0时，(2m?+4)2+(2m)2=4(m4+5m2+4)=4(m2+1)(m2+4),

因此对于VmeR,圆E恒过原点，

所以存在定点(0,0),以7WN为直径的圆过定点(0,0).

9.（2024.宁夏银川.一模）已知椭圆+V=l（a>b>0）的后心率e=，且点M（―弓2,丁^）在椭

圆E上,直线l：y=-^-x+m与椭圆E交于不同的两点A.B.

O

（1）求椭圆E的标准方程;

_______________________________

⑵证明:线段AB的中点。在直线为=—日土上;

O

（3）过点B作工轴的平行线,与直线l'-.y=一白的交点为M证明：点N在以线段AB为直径的圆上.

O

【解析】（1）•••€=£=空，又0?=（?—/,

a3

.1_£=5.上=4

a2-9"a2-9'

又/—1,b2=4,a2=9,

2a2b2

:.椭圆方程为会+与=1;

94

fy=­2x+।m

⑵联立直线与椭圆方程122,・・.8/+12加/+9一-36=0,

生+幺=1

194

又因为有两个交点，所以△=144m2—32（9m2—36）>0,

解得—2^2<m<2V2,设4（劣1，%），石（62,统），

,z,_3m_9（m2-4）

故61+力2一—一—,多逆2—-------------,

/O

。2।2

又幼=—Ti+m,y?=-~x+m,

oo2

2

*,•%+纺=石（61+62）+2m=m,

o

线段AB的中点C的坐标为（一竽，2），：一■!■（—五）=?，

线段48的中点。在直线在夕=白上;

O

⑶由已知得：N（一弩■，92）,

NA=+符~‘yi-y）'NB=（我+^^,。）,

电+孚=电+方传出+恒）=01+22+工馆=0,

：.NA-NB=Q,：.NA±NB,

.•.点N在以线段AB为直径的圆上.

2

10.（2024-山东泰安・模拟预测）已知抛物线E:x=2py饰>0）,焦点为F,点0（2,1）在E上,直线l1：y=kx

+1（3¥0）与E相交于两点,过分别向E的准线I作垂线，垂足分别为

2

⑴设△7^1B1,AJR4A1,AFBB1的面积分别为S1,S2,S3,求证：S；=4s-S3；

（2）若直线AC,BC分别与，相交于河,N,试证明以MN为直径的圆过定点P,并求出点P的坐标.

【解析】（1）将（7（2,1）代入，2=2py（p>0）,得p=2,所以抛物线方程为x2=4y,

由题意知F（O,l）,设纺—1）,4（电，-1）,

由hkx+i得，/2—或3—4=0,A=（―4fc）2+16>0,

{.x=4g

所以力i+g=4k,为何2=—4,

所以S；=（却1一X2）=4（©—力2）2=4（g——）2

8,53景明+1）㈤.景功+1）欣|（%+1）（纺+1）|，何2]（kx1+2）（kx2+2）\x1xii\

=肃4[（刈+电）一%」（1蚓+16）,即5=48居

22

[肥力任2+2k（力i+62）+4]|x1a;2|4（—4fc+8fc+4）

（2）直线AC的斜率如。=以”=1~=2会，

6]Z6]/4

故直线AC的方程为g—1=，¥（e一2）,令g=—1,得力=2----^-―,

461+2

所以点河的坐标为（2——二,一1）,同理，点N的坐标为（2——^―.

V/1+2/Vg+2

设线段MN的中点为（g,—1）,则g=4（2---y-z-+2-----

2\劣1+262+2/

4（6i+g+4）一24（为什力2+4）—2—4（4++4）___2

（劣1+2）（力2+2）[力162+2（劣i+电）+4]—4+2x4fc+4k

8（口一词

又|7VW|二（2-^+2）-（2-^+2）

2巡2+2（，1+22）+4

8/3+工2）2-4叩2=8\/16肥+164'W+i

上巡2+2（21+电）+4|8|fc|

所以以MN为直径的圆为（工+舒+3+产出『卜

即/+亳2+*+（9+1丫=4（1+（）令/=0得g=l或g=—3,

故以7WN为直径的圆过定点（0,1）和（0,—3）.

题型三:四点共圆问题

11.（2024•上海•三模）已知抛物线「:/=29的焦点为F,过点T（l,l）的直线Z与『交于两点.设T在

点4、8处的切线分别为Zi，L，。与2轴交于点M,勾与c轴交于点N,设。与。的交点为P

_____________步

⑴设点A横坐标为a,求切线。的斜率，并证明FM_Lh；

(2)证明：点P必在直线y=x-l±；

(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标.

【解析】⑴点A横坐标为a,则4a昌，

因为g=E，K=力,所以点A处的切线斜率为a

所以切线。的方程为g-=a(x—a),

切线。与力轴的交点为朋■(£,0),

因为405)，所以­=三一十，

2U

所以岛1屈・&=—1,所以MW_Lli,

当a=0时，亦有

结论得证.

⑵证明:设A(a,舄，耳居)，由9=弓，得"=人

所以&=0囱=6,

2/2

所以直线，i：g=ax——,直线l*y—bx——,

由，:二“仁£即两直线的交点。(警方

因为点人(见亨),,T(l,l)三点共线,

所以kAB=kBT,—=；］,得与一=-1—-,

b—ab—126—1

所以ab—(a+6)+2=0,所以普一勺也+1=0

所以点P在直线g=/一1上

272

(3)因为直线h：y=QN—,直线l2：y-bx——,

所以M倍,0),N借0),由⑵可知P(吟，明，

设△PMTV的外接圆方程为"+才+。/+坳+9=0,

与+华+F=0

则，号+号+F=0,

(空y+

解得。E=—F=牛

所以外接圆方程为1笥立工―衿沙+牛=。

将7(1,1)代入方程，得6—2(a+b)—ab=0

又a+b=ab+2,解得a+b=-^-,ab=-^-,

OO

所以点P坐标为(y.y)

_____________的

解法二:抛物线「的焦点,

由⑴可知同理可证得NF_U2,

所以F,M,N,P四点共圆，

所以PF是4PMN的外接圆的直径，

因为P、河、N、T四点共圆，所以点T在△PMN的外接圆上,

所以FT_LTP,

所以k-k=—l,即-―-k=-1,得k=-2,

FTTP1—0TPTP

所以直线TP方程为y—1=—2（力—1）,即y=—2x+3

又点P在直线g=/—l上，

则由卜=-2工+3,得小=7，

[y=x-l[y=j

所以点P坐标为（y,y）

⑵已知椭圆（+1=1（99。）的离心率为泉点4口分别为椭圆的右顶点和上顶点，且向匚"

⑴试求椭圆的方程;

⑵斜率为哼的直线，与椭圆交于尸、Q两点,点P在第一象限,求证：A,P,B,Q四点共圆.

【解析】⑴依题意知，\AB\=f,即a2+b2=7^Q2—b2=c2^^^a=2,b=，^,

・•.椭圆的方程为与+f=l.

43

⑵设直线PQ的方程为y=乎a;+小,根据点P在第一象限可知Y<m<V3,

因为A（2,0）,B（0,血），故AB方程为：5+1,

整理得AB方程为y——-^-x+V3,

过A,P,B,Q四点的曲线系方程为：

今+看一1+4（冬2一夕+机）（乌力+9一遍）=0,

7n

即rc2（-^-+-|-/l）+才（：-九）+初（咒--1-）+Ay（VS+m）—1—V3mA=0,

取心志

则方程可以转化为"+才+2（冬1—J）+（暇+等）—《―1皿=o①.

'124/v66/26

_______________________________B

w叶（述m1\2,/V3.m\2（7V3m\7m249vsm.679

此时（丁一1）+（丁+瓦）—4Ax（一了-p）=.+^^+而,

_+x3

一144'

而（987^）2-4x7x679x3=-28224<0,

故7馆2+984馆+679x3>0恒成立，

故（噜TH乎+柒-4x（一9*）>0,

则①为圆的方程，故对nzCR,A,P,B,Q总四点共圆.

13.已知双曲线C:i—娟=］,过*（2,0）的直线，与双曲线。的右支交于P,Q两点.

（1）若\PQ\=2V10,求直线I的方程，

（2）设过点A且垂直于直线I的直线n与双曲线。交于两点，其中双在双曲线的右支上.

⑴设△尸MN和的面积分别为&,S2,求Si+S2的取值范围；

⑻若河关于原点对称的点为T,证明：M为的垂心，且P,Q,N,T四点共圆.

【解析】⑴设_?（◎,%）,Q（,2,纺）,

结合题意知直线斜率不为0,设直线Z：c=小9+2,因为直线Z与双曲线右支相交，

故一1<771V1,

2

联立双曲线方程力2—才=1,得（^2—］）d+47ng+3=0,A=4（m+3）>0,

3

则以+仍=,yiy2=2，

m—1m—1

故IPQI=VIW|yi-d=241］曰）（丁+3）=2㈤,

\m-1\

即9m4—24m2+7=0,解得m2=4■，或m2=/（舍去）,

oo

因此从而直线l的方程为x=±-^-y+2.

oo

（2）⑴若nz=0,则\MN\=2a=2,

,,>led2A/（1+T?22）（7?22+3）L

由（1）可知,\PQ\="|2：——-=2V3,

|m-1|

此时8+S2=y|7W|-\PQ\=2V3;

当？71W0时，设A/（g,g3）,N（g,必），直线n:x——-—y+2,

____________屈

注意到Si+$2=]|AWHPQ

=X,2«1+病)(病+3),2j(l+匍(3+十)=2,(而+十+2乂3病+n+10)

2kTl1-il_____________H+i-2!

令+(0,+oo)网S+&=2J("4p+16)=2/34产+64序+2/64

m"ttVt

28,64

2J3+力F，

综上可知，$+$2的取值范围是［2，^,+8）.

（近）先证明河为APQN的垂心，只需证明赤•谒=0,

注意到，砺.谒=（砺+而）（而+而）=麻.成+砺.赤,

而RP-RQ=（为一2,阴）•（g—2,%）

=（，1-2）（附-2）+%纳=

同理加•丽=（1+」V

93%,

\m

MP-NQ=^\.+ni)y}y2+(1+2)%统

\m7

3(1+m2)-3m2(1+^-)3(1+m2)3(m2+l)

=--------1------------=-----------------=0f

2-1212i21

m—1