中考数学一轮复习重难点强化训练：图形的初步二（知识串讲+15大考点）原卷版

专题02图形的初步(2)

考点类型

模块四图形的性质

02讲图形的初步(2)

考点15：平行线的性质

口知识一遍过

(-)角的相关概念

(1)角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转

而形成的图。

(2)角的分类:

Za锐角直角钝角平角周角

范围0<Za<90°Za=90°90°<Za<180°Za=180°Za=360°

(3)角的表示法(四种):

①角可以用三个大写字母表示，但表示顶点的字母一定要写在中间，如/ABC(B为顶点)

②用一个字母表示角，必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如/A

③用一个数字表示角，在靠近顶点处画上弧线，写上数字，如/I

④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如/a

（二）角平分线及其性质

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

如图：AC是/BCD的角平分线，则

：AC平分/BCD

1

ZACD=ZACB=-ZACD

2

（三）角度制

（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360。，每一个大格为30°,每一个小格为6。.（每小时，时针

转过30°,即一个大格，分针转过360。，即一周；每分钟，分针转过6。即一个小格）

（2）角的度量：I，=60'；1'=60"；

1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°

（四）相交线所形成的角

两条直线相交所成的四个角中：h

（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长'、

线，性质是邻补角互补;M

①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的

两个角，互为邻补角。如：/1、Z2o

（2）相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。

②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有

这种关系的两个角，互为对顶角。如：N1、Z30对顶角相等。

（五）垂线及其性质

（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。

（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

（六）三线八角

（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方,又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位

角。如：N1和N5。

（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间,又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：N3和N5。

（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁

内角。如：N3和N6]

（七）平行公理及其推论

（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

几何描述:,:b〃a,c//a

：.b//c

____________b

（八）平行线的判定与性质

（1）平行线的判定

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称：内错角相等，两直线平行

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

*/Z3=Z2

AB/7CD（同位角相等，两直线平行）

Z1=Z2

AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

Z4+Z2=180°

/.AB/7CD（同旁内角互补，两直线平行）

（2）平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补

几何符号语言：

VAB//CD

/.Z1=Z2（两直线平行，内错角相等）

VAB//CD

/.Z3=Z2（两直线平行，同位角相等）

VAB//CD

；./4+/2=180。（两直线平行，同旁内角互补）

点一遍过

考点1：角的概念

典例1:（2023上•黑龙江佳木斯•七年级校考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（）

ZABCN4O8是平角射线是周角NCAB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1］（2023上•北京房山•七年级统考期末）下列四个图中，能用Nl、N。、NMON三种方法表示同一个

角的是（）

M

1

ON

A.ONB.

【变式2］（2023下,六年级课时练习）若N力为钝角,NB为锐角，则NA—NB是（)

A.钝角B.锐角

C.直角D.都有可能

【变式3］（2023上•江苏扬州•七年级统考期末）下列四个图中的N1也可以用乙4OB/O表示的是()

A.O

考点2：钟面角

典例2：（2023下•山东烟台•六年级统考期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分,则此时刻

钟表上的时针与分针的夹角为（）度.

A.40°B.50°C.60°D.70°

【变式1］（2022上•江苏淮安•七年级校考期末）下列时刻中,时针和分针所成的角为90。的是（)

A.11点20分B.3点C.10点10分D.9点30分

【变式2］（2023上•天津东丽•七年级统考期末）钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（）

A.3点整B.12点15分C.6点45分D.1点20分

【变式3］（2022上•重庆・七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（）度

A.20；15B.30；25C.30；22.5D.22.5；15

考点3：方向角

典例3：（2024上•北京海淀•七年级统考期末）如图，在正方形网格中有4,B两点，点C在点4的南偏东60。方

向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的（）

C.点C3处D.点处

【变式1］（2023下•河北邢台•七年级校考期中）利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示（图中

每个小正方形边长代表100m,每个小正方形的对角线长为规定正东、正北方向为x轴、y轴的

正方向，并且景点。和景点8的坐标分别是（-200,-100）和（300,300）.嘉嘉、淇淇分别对景点C的位置进行

了描述，则下列判断正确的是（）

嘉嘉：景点C的坐标是（0,0）；

淇淇：景点C在景点B的南偏东45。方向，相距300am处

A.只有嘉嘉说得对B.只有淇淇说得对

C.两人说得都对D.两人说得都不对

【变式2］（2023上•江苏•八年级专题练习）如图，从笔直的公路/旁一点P出发，向西走6km到达/；从尸

出发向北走6km也到达I.下列说法错误的是（）

北

A.公路/走向是南偏西45。

B.公路/走向是北偏东45。

C.从点尸向北走3km后，再向西走3km到达/

D.从点P向北偏西45。走3km到达/

【变式3］（2023上•河北石家庄•九年级校考期中）对于题目团"如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西

向东航行在4处看见小岛C在船北偏东60。的方向上.40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30。的

方向上.己知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有

没有进入危险区的可能？"小明同学在求解这个题过程中，求出了下面4个数据，错误的是（）

B.AACB=30°

C.BC=20海里

D.过点C向4B的延长线引垂线，垂足为。，求得CD=8次，小明得出结论有触礁危险

考点4:角的单位与角度制

典例4：（2024上•广东揭阳•七年级统考期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若乙40。=

C.36°30'33"D.36°30'3"

【变式1］（2023上•山西运城•七年级统考期末）如图，将一个三角板60。角的顶点与另一个三角板的直角顶

A.56°50'B.33°10,C.26°50,D.63°10,

【变式2】（2023上•广东广州•七年级统考期末）如图，OC是NAOB的平分线，ZAOC=26°18',则NAOB的

度数为（）

A.42°32'B.52°36'C.48°24'D.50°38'

【变式3】（2023上•内蒙古乌海•七年级统考期末）已知Ela=21。邮=0.36。,则Ela和邺的大小关系是（）

A.0a=0PB.0a>BPC.Ela<邨D.无法确定

考点5:角的大小比较

典例5：（2022上•山东枣庄•七年级校考期末）已知戊=36。18',£=36.18。，y=36.3。，下面结论正确的是

（）

A.a<y<^B.y>a=PC.a=y>pD.y<a<^

【变式1］（2022下•山东烟台•六年级统考期中）若乙1=25。15',42=25。13'30〃，Z3=25.35°,贝（）

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【变式2］（2023上•七年级课时练习）已知回A=25.12。，朋二25。12，，团01518，，那么的大小关系为（）

A.团A>团B>回CB.团AV团BVB1CC.回B>R1A>团CD.团C>团A>回B

【变式3］（2023上•北京通州•七年级统考期末）已知乙4=20。50',乙8=20.5。,4c=19。58,那么（）

A.Z.A>Z-B>Z.CB.Z,A=/-B>乙C

C.Z.C>Z.A=乙BD.Z-B>Z-A>乙C

考点6：角度制运算

典例6：（2023上•七年级课时练习）下列关于度、分、秒的换算正确的是（）

A.83.3°=83°30'B.26°12,15"=26.3°C.15°18'18"=15'36°D.41.15°=41°9,

【变式1］（2023上•山东枣庄•七年级校联考阶段练习）下列各式计算正确的是（）

A.（-）°=118z,B.38°15'=38.15°

2

C.24.8°x2=49.6°D.90°—85°45'=4°55'

【变式2］（2023上•四川眉山•七年级统考期末）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50,B.90--57°23'27"=32°37'33"

C.15°48'36''+37°27’59”=52°16’35"D.41.25°=41°15

【变式3］（2023下•山东东营•六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（）

A.35.5°=35°50'B.15°12'36"=15.48°

C.28°18'18"=28.33°D.65.25°=65°15'

考点7:角平分线计算

典例7：（2023上•全国•七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点0,射线OE在"08内部，且NDOE=

（1）若NCOF=54°,求N80E的度数；

（2）若NCOF=ADOE,可|3么。B平分NDOF吗？为什么？

【变式1】(2024上,重庆沙坪坝•七年级重庆一中校考期末)如图，NAOB为钝角，射线。C平分4WB,射线

。。在N40C内部，射线。E平分NBOD.

⑴若NCOD=10°,AAOB=140°.求NCOE的度数.

(2)请写出乙40。与"OE度数之间的等量关系，并说明理由.

【变式2】(2024上•江苏•七年级校考周测)已知乙4OB=120。，射线OC在乙408的内部，射线OM是乙4OC靠

近04的三等分线，射线ON是NBOC靠近。B的三等分线.

(1)若。C平分立力。8,求NM0N的度数；

(2)小明说：当射线0C绕点。在NAOB的内部旋转时，NM0N的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否

正确？说明理由；

⑶若。M、ON、OA,。8中有两条直线互相垂直，请直接写出N20C所有可能的值.

【变式3］（2022上•河北•七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射

线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条.如图1,N40B=2ABOC,贝UOB是“。C的一条三分线.

（1）如图1,若乙4OC=57。，贝ikBOC=_；

（2）如图2,若=120。，OC,。。是乙4。8的两条三分线，5.ZBOC<^AOC.

①贝!UCOD=_；

②若以点。为中心，将NCOD顺时针旋转打。（0<<90）得到NC，。），当。4恰好是Z_LO»的三分线时,

n的值为

考点8：余角和补角

典例8：（2023上•江苏苏州•七年级统考期末）若乙4,NB互为补角，且乙4<NB,贝吐4的余角是（）

A.5（Z_/1+Z_B）B.—Z.BC.］（NB—Z_4）D.—Z.A

【变式1］（2024上•陕西商洛•七年级统考期末）若41与42互为余角，N1与43互为补角，则下列选项，错误

的是（）

A.Z3+Z1=180°B.Z3-Z2=90°

C.Z3+Z2=270°—241D.Zl+Z2=180°

【变式2］（2023上•湖南长沙•八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）已知:如图=CD,乙B=NE=

90°,AC1CD,则正确的结论是（）

A.Z.A=乙DB.Z,A=Z2C.AB=EDD.Z1=Z2

【变式3］（2023上•北京房山•九年级统考期中）已知：在四边形4BCD中，AB||CD,NB=90。，点E是线

段BC上一点，且4E平分NBA。，DE平分给出下面四个结论：

①4EJ.DE；@£.AEB=AEDC；③AB•CD=BE•EC；@BE-ED=AE-EC

上述结论中，所有正确结论的序号是（

C.①②③D.①②③④

考点9：三线八角

典例9：（2024上•江苏南京,七年级校联考期末）如图，AB,CD相交于点0,OE1CD,射线。F平分NB。。,

下列结论中错误的是（）

A.NB。。与乙BOC互为补角B.乙BOF与乙EOF互为余角

C.NB。尸与NCOF互为补角D.

【变式1】（2023上,黑龙江绥化•七年级校考阶段练习）如图，点。在直线力B上，OC1OD,OC、OF分别

平分N40E和NB。。，若N40C=20。，贝I|NBOF=（）

【变式2］（2022下•上海,七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（）

（1）NA与/I是同位角；（2）NA和NB是同旁内角；（3）/4和N1是内错角；（4）N3和/I是同位角.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3］（2023上•四川巴中•七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①N1和

N4是同位角；②乙3和45是内错角；③/2和乙6是同旁内角；④和42是同位角；⑤N1和43是同旁内角；

其中正确的是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

考点10:垂线的应用

典例10：（2023下•七年级课时练习）如图，已知AOI3OB,COSDO,EIBOC=£。，则0A。。的度数为（）

AD

C、/

E

OB

A.•。一90°B.2£°—90°C.180°D.2/?°-180°

【变式1］（2023•广东清远•统考三模）如图所示，直线a||b,直线c与直线a,b分别交于点D,E,射线DF1

直线c,若=32。，贝吐2的度数是（）

C.32°D.58°

【变式2］（2023上•广东东莞,八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）如图，RtAABC中，乙4cB=

90。,。。于点。，则下列结论不一定成立的是（）

C.z2+z4=90°D.z2=z3

【变式3］（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于

则NBMC的度数是（）.

A.15°B.75°C.105°D.108°

考点11:垂线段最短

典例11:（2023下•山东潍坊,七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面

上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线/,当木条另一端逆时针从点8转动到点

C的过程中，在直线/下方木条长度的变化情况是（）

A

A.不变B.变大C.先变大再变小D.先变小再变大

【变式1】（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校联考期中）点P是直线a外一点，2、B、C三点在直线a上，又已

知24=12,PB=10,PC=8,那么点P到直线a的距离（）

A.8B.10C.大于8D.不大于8

【变式2】（2023上•河北衡水•八年级校联考阶段练习）如图2,OP平分N40B,PC1OA,。是。B上的动点，

若PC=3,贝UPD长的裹小值为（）

【变式3］（2023上•山西大同•八年级大同一中校考阶段练习）如图，在等边三角形4BC中，8C边上的中线

AD=6,E是力。上的一个动点，尸是边4B上的一个动点，在点E,尸运动的过程中，EB+EF的最小值是

考点12:点到直线的距离

典例12：（2024上•江苏南京,七年级校考期末）如图.PB1AC,PA1PC,垂足分别为B、P.下列说法中

错误的是（）

A

A.线段PB的长是点P到AC的距离

B.PA、PB、PC三条线段，PB最短

C.线段AC的长是点4到PC的距离

D.线段PC的长是点C到直线PA的距离

【变式1】（2023上•河南驻马店•八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，ZC=90°,若力C=6,AD=2CD,

BD平分乙ABC,则点。至必B的距离等于（）

A.4B.3C.2D.1

【变式2］（2023下•山东荷泽•七年级统考期中）如图，AB1AC,AD1BC,垂足为。，AB=3,AC=4,

BC=5,则点A到直线BC的距离为（）

A.5B.4C.3D.—

5

【变式31（2023下,安徽宿州•七年级统考期中）如图所示,ABAC=90°,AD1BC,则下列结论中：①1AC；

②4D与力C互相垂直；③线段4B的长度是点B到4C的距离；@^BAD=^C,其中正确的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

考点13：对顶角与邻补角

典例13：（2024上•重庆渝中•七年级统考期末）如图，直线48,CD相交于点O,^AOD=2乙DOE,若乙BOE=

30°,贝此4。。的度数为（）

A.25°B.30°C.40°D.45°

【变式1］（2024上•广东深圳•七年级统考期末）如图，NC。。是一个平角，OE平分NBOD.请根据量角器的

【变式2］（重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知直线48、CD相交于点O,

OE平分4COB,若NEO8=50°,贝此8。。的度数是（）

【变式3］（2023上•四川达州•七年级统考期末）如图，。是直线4B上一点.4BOC=52。,射线。。平分

NAOC,OE1OC,贝UNE。。的度数为（）

AOB

A.21°B.26°C.36°D.38°

考点14：平行线的判定

典例14：（2023上•黑龙江绥化•七年级校考阶段练习）如图，已知4D1BC,EF1BC,垂足分别为。、F,

N2+N3=180°.

求证：Z.GDC=ZB.

（）：SAD1BC,EF1BC（已知）

回乙4DB=4EFB=90°（）

团（）（同位角相等，两直线平行）

EJZ1+Z2=180°()

SZ2+N3=180°()

0Z1=Z3()

^ABWDG()

0ZGOC=ZB()

【变式1］（2023上•福建泉州,八年级校考期中）请把下列证明过程补充完整.

已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，力、F、E三点在同一直线上，N1=N2=NE,Z3=Z4.求证:

ABWCD.

证明：Z2=乙E,（己知）

II（），

Z3-Z（）

,:z3=z4（已知）

Z4=z（等量代换）.

•••zl=Z2（已知）

•••z.1+Z.CAF=Z.2+Z.CAF,

即N=Z

z4=z（等量代换），

ABWCD（