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文档简介
山西省长治市潞州区长治市第二中学2025届高考模拟训练题(一)数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.3.设复数满足为虚数单位),则()A. B. C. D.4.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为()A. B.C. D.5.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,则()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交,且交线垂直于 D.α与β相交,且交线平行于6.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.7.设复数满足,则()A. B. C. D.8.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4329.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()A. B. C. D.10.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.211.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.12.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知满足且目标函数的最大值为7,最小值为1,则___________.14.设为正实数,若则的取值范围是__________.15.曲线在点处的切线方程为________.16.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)从该地区城镇居民中,随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动,记这5位居民中经常阅读的人数为,若用样本的频率作为概率,求随机变量的期望.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已知函数.(1)若函数,试讨论的单调性;(2)若,,求的取值范围.19.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点(异于原点),求的取值范围.20.(12分)已知椭圆的焦距为,斜率为的直线与椭圆交于两点,若线段的中点为,且直线的斜率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点,且满足,问:是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.21.(12分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线的极坐标方程为,射线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出是何种曲线;(Ⅱ)若射线与曲线交于两点,射线与曲线交于两点,求面积的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,,所以是的一个零点,当时,,若,则,即,所以,解得;当时,,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.2.D【解析】
根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.3.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,所以.故选:B.本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.4.C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可,【详解】由题意可知几何体的直观图如图:上部是底面半径为1,高为3的圆柱,下部是底面半径为2,高为2的圆锥,几何体的表面积为:,故选:C本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.5.D【解析】
试题分析:由平面,直线满足,且,所以,又平面,,所以,由直线为异面直线,且平面平面,则与相交,否则,若则推出,与异面矛盾,所以相交,且交线平行于,故选D.考点:平面与平面的位置关系,平面的基本性质及其推论.6.B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7.D【解析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.本题考查复数的四则运算,属基础题.8.C【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.9.C【解析】展开式的通项为,因为展开式中含有常数项,所以,即为整数,故n的最小值为1.所以.故选C点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10.A【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A本题考查向量的投影,属于基础题.11.C【解析】
将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.12.D【解析】
先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选:D本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-2【解析】
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,表示直线在轴上的截距,只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.【详解】由题意得:目标函数在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,∴,,∴直线AB的方程是:,∴则,故答案为.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值的方法,属于基础题.14.【解析】
根据,可得,进而,有,而,令,得到,再用导数法求解,【详解】因为,所以,所以,所以,所以,令,,所以,当时,,当时,所以当时,取得最大值,又,所以取值范围是,故答案为:本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值,还考查了运算求解的能力,属于难题,15.【解析】
求导,得到和,利用点斜式即可求得结果.【详解】由于,,所以,由点斜式可得切线方程为.故答案为:.本题考查利用导数的几何意义求切线方程,属基础题.16.【解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】
(1)根据题意填写列联表,利用公式求出,比较与6.635的大小得结论;(2)由样本数据可得经常阅读的人的概率是,则,根据二项分布的期望公式计算可得;【详解】解:(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)根据样本估计,从该地区城镇居民中随机抽取1人,抽到经常阅读的人的概率是,且,所以随机变量的期望为.本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的数学期望的计算,考查运算求解能力,属于基础题.18.(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】
(1)由于函数,得出,分类讨论当和时,的正负,进而得出的单调性;(2)求出,令,得,设,通过导函数,可得出在上的单调性和值域,再分类讨论和时,的单调性,再结合,恒成立,即可求出的取值范围.【详解】解:(1)因为,所以,①当时,,在上单调递减.②当时,令,则;令,则,所以在单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)因为,可知,,令,得.设,则.当时,,在上单调递增,所以在上的值域是,即.当时,没有实根,且,在上单调递减,,符合题意.当时,,所以有唯一实根,当时,,在上单调递增,,不符合题意.综上,,即的取值范围为.本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围,还运用了构造函数法,还考查分类讨论思想和计算能力,属于难题.19.(1),;(2).【解析】
(1)先将曲线化为普通方程,再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系:,可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)由已知可得出射线的极坐标方程为,联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标,从而得出,由的范围可求得的取值范围.【详解】(1)曲线的普通方程为,即,其极坐标方程为;曲线的极坐标方程为,即,其直角坐标方程为;(2)射线的极坐标方程为,联立,联立,的取值范围是本题考查圆的参数方程与普通方程互化,圆,抛物线的极坐标方程与普通方程的互化,以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系,属于中档题.20.(1).(2)为定值.过程见解析.【解析】分析:(1)焦距说明,用点差法可得=.这样可解得,得椭圆方程;(2)若,这种特殊情形可直接求得,在时,直线方程为,设,把直线方程代入椭圆方程,后可得,然后由纺长公式计算出弦长,同时直线方程为,代入椭圆方程可得点坐标,从而计算出,最后计算即可.详解:(1)由题意可知,设,代入椭圆可得:,两式相减并整理可得,,即.又因为,,代入上式可得,.又,所以,故
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