湖北省襄阳市东风中学2024-2025学年高三5月质量调研(一模)数学试题试卷含解析_第1页
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文档简介

湖北省襄阳市东风中学2024-2025学年高三5月质量调研(一模)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.2.在原点附近的部分图象大概是()A. B.C. D.3.定义在R上的偶函数满足,且在区间上单调递减,已知是锐角三角形的两个内角,则的大小关系是()A. B.C. D.以上情况均有可能4.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.5.已知函数,则()A. B. C. D.6.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()A. B.1 C. D.27.已知集合A,则集合()A. B. C. D.8.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg9.若P是的充分不必要条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设,则A. B. C. D.11.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()A. B. C.8 D.612.设分别为的三边的中点,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知命题:,,那么是__________.14.已知等比数列的各项均为正数,,则的值为________.15.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.16.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)对于正整数,如果个整数满足,且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)18.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本(万元)与该月产量(万件)之间有如下一组数据:1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(2)①建立月总成本与月产量之间的回归方程;②通过建立的关于的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,产品的总成本为多少万元?(均精确到0.001)附注:①参考数据:,,,,.②参考公式:相关系数,,.19.(12分)若数列前n项和为,且满足(t为常数,且)(1)求数列的通项公式:(2)设,且数列为等比数列,令,.求证:.20.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时,湖北省累计接收捐赠物资615.43万件,包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个,医用一次性口罩172.87万个,护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A型卡车16次,B型卡车12次;每辆卡车每天往返的成本:A型卡车240元,B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?22.(10分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.2.A【解析】

分析函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】令,可得,即函数的定义域为,定义域关于原点对称,,则函数为奇函数,排除C、D选项;当时,,,则,排除B选项.故选:A.本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3.B【解析】

由已知可求得函数的周期,根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性,结合三角函数的性质即可比较.【详解】由可得,即函数的周期,因为在区间上单调递减,故函数在区间上单调递减,根据偶函数的对称性可知,在上单调递增,因为,是锐角三角形的两个内角,所以且即,所以即,.故选:.本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.4.D【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.5.A【解析】

根据分段函数解析式,先求得的值,再求得的值.【详解】依题意,.故选:A本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.6.B【解析】

先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.7.A【解析】

化简集合,,按交集定义,即可求解.【详解】集合,,则.故选:A.本题考查集合间的运算,属于基础题.8.D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71,则=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系,A正确;回归直线过样本点的中心(),B正确;该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确;该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg,D错误.故选D.9.B【解析】

试题分析:通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可.由p是的充分不必要条件知“若p则”为真,“若则p”为假,根据互为逆否命题的等价性知,“若q则”为真,“若则q”为假,故选B.考点:逻辑命题10.C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.11.D【解析】

作,垂足为,过点N作,垂足为G,设,则,结合图形可得,,从而可求出,进而可求得,,由的面积即可求出,再结合为线段的中点,即可求出到的距离.【详解】如图所示,作,垂足为,设,由,得,则,.过点N作,垂足为G,则,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因为,所以为线段的中点,所以F到l的距离为.故选:D本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识,属于中档题.12.B【解析】

根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.真命题【解析】

由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题:,,因为在上单调递增,则,所以是真命题,故答案为:真命题本题主要考查了判断全称命题的真假,属于基础题.14.【解析】

运用等比数列的通项公式,即可解得.【详解】解:,,,,,,,,,,,.故答案为:.本题考查等比数列的通项公式及应用,考查计算能力,属于基础题.15.【解析】

分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.16.【解析】

由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,模拟程序的运行,即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得:,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,,此时,满足条件,退出循环,输出的值为.故答案为:本题主要考查了程序和算法,依次写出每次循环得到的,的值是解题的关键,属于基本知识的考查.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,【解析】

(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时,根据对应关系得到,再计算,,得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;当为奇数时,时,最大为;综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,故.综上所述:.当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,故;当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.综上所述:使成立的为:或.本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.(1)见解析;(2)①②3.386(万元)【解析】

(1)利用代入数值,求出后即可得解;(2)①计算出、后,利用求出后即可得解;②把代入线性回归方程,计算即可得解.【详解】(1)由已知条件得,,∴,说明与正相关,且相关性很强.(2)①由已知求得,,所以,所求回归直线方程为.②当时,(万元),此时产品的总成本约为3.386万元.本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用,考查了计算能力,属于中档题.19.(1)(2)详见解析【解析】

(1)利用可得的递推关系,从而可求其通项.(2)由为等比数列可得,从而可得的通项,利用错位相减法可得的前项和,利用不等式的性质可证.【详解】(1)由题意,得:(t为常数,且),当时,得,得.由,故,,故.(2)由,由为等比数列可知:,又,故,化简得到,所以或(舍).所以,,则.设的前n项和为.则,相减可得数列的通项与前项和的关系式,我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.20.(1)没有(2)分布列见解析,(3)证明见解析【解析】

(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,根据期望公式求值.(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以,即.要证,即证,根据组合数公式,即证;易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树,下面分类讨论①当时,由论证.②当时,由论证.③当时,,设,再论证当时,取得最小值即可.【详解】(1)本次实验中,,故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,的可能取值为0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要证,即证;首先证明:对任意,有.证明:因为,所以.设个路口中有个路口种植杨树,①当时,,因为,所以,于是.②当时,,同上可得③当时,,设,当时,,显然,当即时,,当即时,,即;,因此,即.综上,,即.本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合,还考查运算求解能力以及必然与或然思想,属于难题.21.每天派出A型

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