江苏专用2025版高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案含解析

PAGEPAGE1§2.8函数的图象考情考向分析函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．1．函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当的点，全部这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，全部这些点组成的图形就是函数的图象．2．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)探讨函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至改变趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．3．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸缩变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,\s\do7(0<a<1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)．(4)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．概念方法微思索1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满意什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是______________．提示g(x)＝2b－f(2a－x)题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)题组二教材改编2．[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈[－1，0]，,－\f(1,2)x，x∈0，2]))3．[P31习题T6]方程|x－1|＝eq\f(1,x)的正实数根的个数是________．答案14．[P87习题T14改编]任取x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)是(a，b)上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号)答案④题组三易错自纠5．把函数f(x)＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))解析依据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x)).6．下列图象是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是________．(填序号)答案③7．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝eq\f(2x－1,x－1).解(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))其图象如图③所示．(4)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)娴熟驾驭几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要留意变换依次．

题型二函数图象的变换例1作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，然后依据f(x)的图象作出函数y＝－f(x)的图象，并说明两函数图象的关系．解f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．引申探究本例中，通过图象的变换分别画出函数y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．解各个函数图象如下图实线部分所示：各图象和y＝f(x)的图象关系如下：(1)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；(3)函数y＝f(|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))即在y轴上及其右侧图象与函数y＝f(x)图象相同，再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x<0时的图象；(4)函数y＝|f(x)|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≥0，,－fx，fx<0，))即在x轴上及其上方的图象与函数y＝f(x)图象相同，再将x轴下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象；(5)函数y＝f(x＋1)的图象是将y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的；(6)函数y＝f(x)＋1的图象是将y＝f(x)的图象向上平移一个单位得到的．思维升华到．跟踪训练1若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为________．(填序号)答案③解析要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，须要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，依据上述步骤可知③正确．题型三函数图象的应用命题点1探讨函数的性质例2(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)②f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)③f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)④f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案③解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉肯定值，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图，视察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满意0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则eq\f(n,m)＝________.答案9解析作出函数f(x)＝|log3x|的图象，视察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).从而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.

命题点2解不等式例3函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))解析当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝cosx>0.当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))时，y＝cosx<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1<x<eq\f(π,2)时，eq\f(fx,cosx)<0.又函数y＝eq\f(fx,cosx)为偶函数，所以在[－4,0]上，eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).思维升华(1)留意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,x3，－1≤x≤1，))若关于x的方程f(x)＝k(x＋1)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析在同一个直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)及y＝k(x＋1)的图象，则函数f(x)max＝f(1)＝1，设A(1,1)，B(－1,0)，函数y＝k(x＋1)过点B，则由图可知，要使关于x的方程f(x)＝k(x＋1)有两个不同的实数根，则0<k<kAB＝eq\f(1,2).(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于随意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，视察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特别点法、解除法、数形结合法等解决．娴熟驾驭中学涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．答案eq\f(9,2)解析由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，所以得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝loga－3＋b，,－2＝logab))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝4，))故a＋b＝eq\f(9,2).(2)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.答案e－x－1解析与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位长度，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位长度得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.(3)已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析①当0<a<1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图a.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<eq\f(2,3).②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图b，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解，所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).二、函数图象的应用例2(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.(2)不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－<0的整数解的个数为________．答案2解析不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－<0，即3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))<.设f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，g(x)＝，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x>1，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．答案(2,2024)解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x>1))的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2024，所以2<a＋b＋c<2024.1．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，则函数y＝f(x－3)＋2的图象经过的定点为________．答案(3,2)解析由于函数y＝f(x)是R上的奇函数，故它的图象过原点．又由于y＝f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数y＝f(x－3)＋2的图象，故y＝f(x－3)＋2的图象过点(3,2)．2．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是________．答案x＝1解析因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．答案－eq\f(1,2)解析由图(图略)知，当且仅当直线y＝2a过函数y＝|x－a|－1图象的最低点(a，－1)时，符合题意，故2a＝－1，即a＝－eq\f(1,2).4．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．答案2解析画出函数y＝2－x与y＝3－x2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2.5.若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)＝________.答案－1解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，解得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,lnx＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝________.答案－2解析由函数y＝f(x)的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，可得f(x)＝－a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，可得－a－log22－a－log24＝1，解得a＝－2.7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．答案{x|x≤0或1<x≤2}解析画出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,fx≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1，,fx≥0.))由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x＋1，－1≤x<0，,x3－3x＋2，0≤x≤a))的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是__________．答案[1，eq\r(3)]解析先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再探讨f(x)＝x3－3x＋2,0≤x≤a的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.又f(0)＝f(eq\r(3))＝2，f(1)＝0.所以1≤a≤eq\r(3).9．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，故kAB<k<0，kAB＝eq\f(0－1,2－－1)＝－eq\f(1,3)，∴－eq\f(1,3)<k<0.10．给定min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，b<a，))已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为__________．答案(4,5)解析作出函数f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．11．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x>0，))若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．答案(－∞，1)解析当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，因为H(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．13．已知定义在R上的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.答案0解析方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.14．已知函数f(x)＝eq\f(x,|x－1|)，g(x)＝1＋eq\f(x＋|x|,2)，若f(x)<g(x)，则实数x的取值范围是________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－1＋\r(5),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，＋∞))解析f(x)＝eq\b\lc