浙江专用2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系练习含解析_第1页
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PAGEPAGE6第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[基础达标]1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4 B.3C.2 D.1解析:选C.(干脆法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=eq\f(1,\r(2))=eq\f(\r(2),2)<1=r,所以直线与圆相交.2.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是()A.[-eq\r(2),eq\r(2)] B.[-2eq\r(2),2eq\r(2)]C.[-eq\r(2)-1,eq\r(2)-1] D.[-2eq\r(2)-1,2eq\r(2)-1]解析:选D.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d=eq\f(|2-1+m|,\r(2))=eq\f(|m+1|,\r(2)),若直线l与圆C恒有公共点,则eq\f(|m+1|,\r(2))≤2,解得-2eq\r(2)-1≤m≤2eq\r(2)-1,故选D.3.若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay-6=0的公共弦长为2eq\r(3),则a的值为()A.±2 B.2C.-2 D.无解解析:选A.圆x2+y2=a2的圆心为原点O,半径r=|a|.将x2+y2=a2与x2+y2+ay-6=0左右分别相减,可得a2+ay-6=0,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2+ay-6=0.原点O到直线a2+ay-6=0的距离d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)-a)),依据勾股定理可得a2=(eq\r(3))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)-a))eq\s\up12(2),所以a2=4,所以a=±2.故选A.4.(2024·台州中学高三月考)若直线y=kx+4+2k与曲线y=eq\r(4-x2)有两个交点,则k的取值范围是()A.[1,+∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),1)) D.(-∞,-1]解析:选B.曲线y=eq\r(4-x2)即x2+y2=4(y≥0),表示一个以(0,0)为圆心,以2为半径的位于x轴上方的半圆,如图所示.直线y=kx+4+2k即y=k(x+2)+4,表示恒过点(-2,4),斜率为k的直线,结合图形可得kAB=eq\f(4,-4)=-1,因为eq\f(|4+2k|,\r(1+k2))=2,解得k=-eq\f(3,4),即kAT=-eq\f(3,4),所以要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(3,4))).5.圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0(D<0,E为整数)的圆心C到直线4x-3y+3=0的距离为1,且圆C被截x轴所得的弦长|MN|=4,则E的值为()A.-4 B.4C.-8 D.8解析:选C.圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).由题意得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2)))-3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(E,2)))+3)),\r(42+(-3)2))=1,即|4D-3E-6|=10,①在圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0中,令y=0得x2+Dx-3=0.设M(x1,0),N(x2,0),则x1+x2=-D,x1x2=-3.由|MN|=4得|x1-x2|=4,即(x1+x2)2-4x1x2=16,(-D)2-4×(-3)=16.因为D<0,所以D=-2.将D=-2代入①得|3E+14|=10,所以E=-8或E=-eq\f(4,3)(舍去).6.已知圆C:(x-eq\r(3))2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则当t取得最大值时,点P的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(3\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2),\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2)))解析:选D.设P(a,b)为圆上一点,由题意知,eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))=0,即(a+t)(a-t)+b2=0,a2-t2+b2=0,所以t2=a2+b2=|OP|2,|OP|max=2+1=3,即t的最大值为3,此时kOP=eq\f(\r(3),3),OP所在直线的倾斜角为30°,所以点P的纵坐标为eq\f(3,2),横坐标为3×eq\f(\r(3),2)=eq\f(3\r(3),2),即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2))).7.(2024·浙江中学学科基础测试)由直线3x-4y+5=0上的一动点P向圆x2+y2-4x+2y+4=0引切线,则切线长的最小值为________.解析:当直线上的点到圆心(2,-1)的距离最短时,切线长最小.此时,圆心到直线的距离d=eq\f(|3×2-4×(-1)+5|,\r(32+(-4)2))=3,r=1,所以切线长为2eq\r(2).答案:2eq\r(2)8.(2024·杭州七校联考)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,直线l过圆心且交圆C于A,B两点,交y轴于P点,若2eq\o(PA,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→)),则直线l的斜率k=________.解析:依题意得,点A是线段PB的中点,|PC|=|PA|+|AC|=3eq\r(5),过圆心C(3,5)作y轴的垂线,垂足为C1,则|CC1|=3,|PC1|=eq\r((3\r(5))2-32)=6.记直线l的倾斜角为θ,则有|tanθ|=eq\f(|PC1|,|CC1|)=2,即k=±2.答案:±29.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为________.解析:已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(1,2),半径r=eq\r(2),若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PC⊥AB.在△PAC中,∠APC=30°,由正弦定理得eq\f(|AC|,sin30°)=eq\f(|PC|,sin∠PAC),所以|PC|=2eq\r(2)sin∠PAC≤2eq\r(2),故|PC|的最大值为2eq\r(2).答案:2eq\r(2)10.(2024·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=________.解析:如图,因为原点O到直线4x-3y+5=0的距离d=eq\f(|5|,\r(42+(-3)2))=1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,设O2(a,b),则由题意:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b+1=\r(a2+(b-1)2),b+1=\f(|4a-3b+5|,\r(42+(-3)2)))),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,b=1)).所以|O1O2|=eq\r(22+12)=eq\r(5).答案:eq\r(5)11.(2024·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.解:(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因为直线过点P,C,所以kPC=eq\f(2-0,2-1)=2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C到直线l的距离为eq\f(1,\r(2)),又因为圆的半径为3,所以弦AB的长为eq\r(34).12.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2eq\r(2),求圆O2的方程.解:(1)因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2.又|O1O2|=eq\r((2-0)2+(1+1)2)=2eq\r(2),所以r2=|O1O2|-r1=2eq\r(2)-2.所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8eq\r(2).(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=req\o\al(2,2),又圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,相减得AB所在的直线方程为4x+4y+req\o\al(2,2)-8=0.设线段AB的中点为H,因为r1=2,所以|O1H|=eq\r(req\o\al(2,1)-|AH|2)=eq\r(2).又|O1H|=eq\f(|4×0+4×(-1)+req\o\al(2,2)-8|,\r(42+42))=eq\f(|req\o\al(2,2)-12|,4\r(2)),所以eq\f(|req\o\al(2,2)-12|,4\r(2))=eq\r(2),解得req\o\al(2,2)=4或req\o\al(2,2)=20.所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.[实力提升]1.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R且ab≠0,则eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)的最小值为()A.1 B.3C.eq\f(1,9) D.eq\f(4,9)解析:选A.由题意知两圆的标准方程为(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0)和(0,2b),半径分别为2和1,因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,故有eq\r(a2+4b2)=3,即a2+4b2=9,所以eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)=eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)+\f(9,b2)))=eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(4b2,a2)+\f(a2,b2)+4))≥eq\f(1,9)×(1+4+4)=1.当且仅当eq\f(4b2,a2)=eq\f(a2,b2),即|a|=eq\r(2)|b|时取等号,故选A.2.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(12,5))) B.[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(12,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(12,5)))解析:选A.因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以eq\r(x2+(y-3)2)=2eq\r(x2+y2),化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤eq\r(a2+(2a-3)2)≤3.由eq\r(a2+(2a-3)2)≥1得5a2-12a+8≥0,解得a∈R;由eq\r(a2+(2a-3)2)≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤eq\f(12,5).所以点C的横坐标a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(12,5))).故选A.3.(2024·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P′(b+1,a-1),则圆C:x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C′的方程为______________;圆C与圆C′的公共弦的长度为________.解析:由题设将圆C:x2+y2-6x-2y=0中的x,y换为y+1,x-1可得圆C′的方程为(y+1)2+(x-1)2-6(y+1)-2(x-1)=0,即x2+y2-4x-4y-2=0,也即(x-2)2+(y-2)2=10;将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x-y-1=0,圆心C′(2,2)到该直线的距离d=eq\f(1,\r(2)),半径r=eq\r(10),故弦长L=2eq\r(10-\f(1,2))=eq\r(38).答案:(x-2)2+(y-2)2=10eq\r(38)4.(2024·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=my+2,,y2=2x))可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=eq\f(yeq\o\al(2,1),2),x2=eq\f(yeq\o\al(2,2),2),故x1x2=eq\f((y1y2)2,4)=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)=eq\f(-4,4)=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=eq\r((m2+2)2+m2).由于圆M过点P(4,-2),因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-eq\f(1,2).当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为eq\r(10),圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-eq\f(1,2)时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4),-\f(1,2))),圆M的半径为eq\f(\r(85),4),圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(9,4)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al

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