浙江专用2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系练习含解析

PAGEPAGE6第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[基础达标]1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：选C.(干脆法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1＝r，所以直线与圆相交．2．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]C．[－eq\r(2)－1，eq\r(2)－1] D．[－2eq\r(2)－1，2eq\r(2)－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(2))＝eq\f(|m＋1|,\r(2))，若直线l与圆C恒有公共点，则eq\f(|m＋1|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1，故选D.3．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2eq\r(3)，则a的值为()A．±2 B．2C．－2 D．无解解析：选A.圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a|.将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，可得a2＋ay－6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2＋ay－6＝0.原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)－a))，依据勾股定理可得a2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)－a))eq\s\up12(2)，所以a2＝4，所以a＝±2.故选A.4．(2024·台州中学高三月考)若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝eq\r(4－x2)有两个交点，则k的取值范围是()A．[1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．(－∞，－1]解析：选B.曲线y＝eq\r(4－x2)即x2＋y2＝4(y≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示．直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线，结合图形可得kAB＝eq\f(4,－4)＝－1，因为eq\f(|4＋2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，即kAT＝－eq\f(3,4)，所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4))).5．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为()A．－4 B．4C．－8 D．8解析：选C.圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由题意得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋3)),\r(42＋（－3）2))＝1，即|4D－3E－6|＝10，①在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，(－D)2－4×(－3)＝16.因为D<0，所以D＝－2.将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，所以E＝－8或E＝－eq\f(4,3)(舍去)．6．已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝eq\f(\r(3),3)，OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为eq\f(3,2)，横坐标为3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2))).7．(2024·浙江中学学科基础测试)由直线3x－4y＋5＝0上的一动点P向圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离d＝eq\f(|3×2－4×（－1）＋5|,\r(32＋（－4）2))＝3，r＝1，所以切线长为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．(2024·杭州七校联考)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则直线l的斜率k＝________．解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3eq\r(5)，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tanθ|＝eq\f(|PC1|,|CC1|)＝2，即k＝±2.答案：±29．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．解析：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝eq\r(2)，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得eq\f(|AC|,sin30°)＝eq\f(|PC|,sin∠PAC)，所以|PC|＝2eq\r(2)sin∠PAC≤2eq\r(2)，故|PC|的最大值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．(2024·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，则|O1O2|＝________．解析：如图，因为原点O到直线4x－3y＋5＝0的距离d＝eq\f(|5|,\r(42＋（－3）2))＝1，到直线y＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋1＝\r(a2＋（b－1）2),b＋1＝\f(|4a－3b＋5|,\r(42＋（－3）2))))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1)).所以|O1O2|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)11．(2024·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，因为直线过点P，C，所以kPC＝eq\f(2－0,2－1)＝2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0，圆心C到直线l的距离为eq\f(1,\r(2))，又因为圆的半径为3，所以弦AB的长为eq\r(34).12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)，求圆O2的方程．解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝eq\r(（2－0）2＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，所以r2＝|O1O2|－r1＝2eq\r(2)－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq\r(2).(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req\o\al(2,2)，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋req\o\al(2,2)－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝eq\r(req\o\al(2,1)－|AH|2)＝eq\r(2).又|O1H|＝eq\f(|4×0＋4×（－1）＋req\o\al(2,2)－8|,\r(42＋42))＝eq\f(|req\o\al(2,2)－12|,4\r(2))，所以eq\f(|req\o\al(2,2)－12|,4\r(2))＝eq\r(2)，解得req\o\al(2,2)＝4或req\o\al(2,2)＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.[实力提升]1．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．1 B．3C．eq\f(1,9) D．eq\f(4,9)解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有eq\r(a2＋4b2)＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)＋\f(9,b2)))＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4b2,a2)＋\f(a2,b2)＋4))≥eq\f(1,9)×(1＋4＋4)＝1.当且仅当eq\f(4b2,a2)＝eq\f(a2,b2)，即|a|＝eq\r(2)|b|时取等号，故选A.2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))) B．[0，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(12,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))解析：选A.因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以eq\r(x2＋（y－3）2)＝2eq\r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋（2a－3）2)≤3.由eq\r(a2＋（2a－3）2)≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由eq\r(a2＋（2a－3）2)≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤eq\f(12,5).所以点C的横坐标a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).故选A.3．(2024·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为______________；圆C与圆C′的公共弦的长度为________．解析：由题设将圆C：x2＋y2－6x－2y＝0中的x，y换为y＋1，x－1可得圆C′的方程为(y＋1)2＋(x－1)2－6(y＋1)－2(x－1)＝0，即x2＋y2－4x－4y－2＝0，也即(x－2)2＋(y－2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x－y－1＝0，圆心C′(2，2)到该直线的距离d＝eq\f(1,\r(2))，半径r＝eq\r(10)，故弦长L＝2eq\r(10－\f(1,2))＝eq\r(38).答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10eq\r(38)4．(2024·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2)，x2＝eq\f(yeq\o\al(2,2),2)，故x1x2＝eq\f(（y1y2）2,4)＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(－4,4)＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝eq\r(（m2＋2）2＋m2).由于圆M过点P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为eq\r(10)，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－eq\f(1,2)时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq\f(\r(85),4)，圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al