江苏省扬州市宝应县2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025年学年度第一学期期末测试试题九年级数学（满分：150分测试时间：120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）1.将一元二次方程化为的形式，其常数项是（）A.15 B. C.14 D.2.某校有15名同学参加校园文化艺术节某单项比赛，预赛分数各不相同，取前8名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这15名同学分数的（）A众数 B.中位数 C.平均数 D.方差3.在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（）A. B. C. D.无法比较4.如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（）A. B. C. D.5.抛物线与x轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.36.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.对称轴为 B.顶点坐标为C.函数有最大值是 D.函数有最小值是7.如图，在中，点D、E为边三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）A.1 B. C.2 D.38.如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.将二次三项式配方成的形式，则b的值是_____________．10.若，则_____________．11.已知是的比例中项，若，，那么_______．12.如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少米？13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为_____________．14.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为_____________．15.将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________．16.如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为_____________（结果保留）．17.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．18.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是___________三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）求二次函数的顶点坐标（要写出求解过程）；（2）根据图示，求中值．20.（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．21.在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是；信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：选手统计量甲乙丙平均数m中位数n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值：_______，_______；（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．22.南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．23.如图，在中，、分别是边上的动点，且．（1）求证：；（2）当，是否存在，若存在请求出；若不存在，请说明理由．24.如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏．（1）为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；（2）怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明．25.如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．（1）求证：EF与相切；（2）若，求的长．26.设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…（1）若，求二次函数的表达式；（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求取值范围．27.某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具销售单价为x元（x＞40），请用含x的代数式表示该玩具的销售量.（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？（3）该商场计划将（2）中所得的利润的一部分资金采购一批B种玩具并转手出售，根据市场调查并准备两种方案，方案①：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案②：如果只到月末出售可直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元，请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？28.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系．【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程．【一般化探究】如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明；【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．

2024-2025年学年度第一学期期末测试试题九年级数学（满分：150分测试时间：120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）1.将一元二次方程化为的形式，其常数项是（）A.15 B. C.14 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可．【详解】解：∴∴常数项是故选：D．2.某校有15名同学参加校园文化艺术节某单项比赛，预赛分数各不相同，取前8名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这15名同学分数的（）A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差【答案】B【解析】【分析】本题考查中位数概念的理解，解题的关键在于正确理解相关概念．根据中位数的概念求解，即可解题．【详解】解：取前8名同学进入决赛，故15名同学的成绩从大到小排列，进入决赛的成绩高于或等于排在第8位的成绩，故要判断能否进入决赛，只需知道这15名同学成绩的中位数；故选：B．3.在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（）A. B. C. D.无法比较【答案】B【解析】【分析】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．由在中，，的对边分别是、、则，由此即可得到答案．【详解】解：∵在中，，的对边分别是、、∴故选：B．4.如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，又∵为直径，即，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．5.抛物线与x轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数，当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴有没有交点，根据解析式列式判断，即可解题．【详解】解：，又，，抛物线与x轴的交点个数是个，故选：C．6.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.对称轴为 B.顶点坐标为C.函数有最大值是 D.函数有最小值是【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为∵∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，为∴A、B、C选项错误，D选项正确故选：D7.如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．【详解】解：、为边的三等分点，，，，，，是的中位线，，，，，即，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8.如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．【详解】解：如图，连接、，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四边形中，，∴，∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示∴，∵由旋转可知，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴．故选：A二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.将二次三项式配方成的形式，则b的值是_____________．【答案】【解析】【分析】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．由题意可得，即可得到答案．【详解】解：∵，∴b的值是，故答案为：10.若，则_____________．【答案】【解析】【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，则，代入原式计算即可．详解】解：设，∴，∴故答案为：11.已知是的比例中项，若，，那么_______．【答案】【解析】【分析】根据比例中项的性质，即可求出的值．【详解】解：∵是的比例中项，，，∴∴故答案为：．【点睛】此题考查了比例中项的定义，或，那么线段叫做线段的比例中项．12.如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少米？【答案】旗杆高度为8米．【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：如图：，，，，，，即，，旗杆高度为8米．13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为_____________．【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∴可以取值，，故答案为：，1（答案不唯一）．14.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为_____________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：，，设的面积为，设的面积为，和是以点为位似中心的位似图形，．故答案：．15.将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．【详解】解：∵，∴抛物线向右平移3个单位后得到，∴新抛物线的顶点作为：．故答案为：．16.如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为_____________（结果保留）．【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，结合线段垂直平分线的性质证明为等边三角形，进而求出的度数，最后根据弧长公式求解，即可解题．【详解】解：连接，，，是垂直平分线，，为等边三角形，，，，半径，弧的长为；故答案为：．17.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；当时，，解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为．故答案为：18.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是___________【答案】3【解析】【分析】结合垂径定理以及与坐标轴的交点来判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由三角形三边关系得：，当P、O、Q共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．【详解】解：作于Q，连接、、，如图：∵，，∴，∴为等腰直角三角形，由得，当时，；当时，即点，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴是的中线，则，由三角形三边关系得：，由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大，∵P为中点，∴，∴，∴；故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的相关知识点的应用：垂径定理，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标；综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）求二次函数的顶点坐标（要写出求解过程）；（2）根据图示，求中的值．【答案】（1）；（2），，【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标、三角函数值的求法．理解相关知识点是解题关键．（1）把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标，（2）根据三角函数的定义即：为的对边比斜边，为的对边比邻边，为的对边比邻边，可解题．【详解】解：（1），∴顶点．（2）∵，，，∴在中，，∴，，．20（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【答案】（1）或（2）第三边的长是或【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，分类讨论是解题的关键．（1）用因式分解法解即可；（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．【详解】解：（1）解得：或；（2）当两条直角边分别为3和5时，根据勾股定理得，第三边为；当一条直角边为3，斜边为5时，根据勾股定理得，第三边为．答：第三边的长是或．21.在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是；信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：选手统计量甲乙丙平均数m中位数n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值：_______，_______；（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．【答案】（1）；（2）甲（3）应该推荐甲选手，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差与稳定性之间的关系：（1）根据平均数与众数的定义求解即可；（2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；（3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可．【小问1详解】解：由题意得，；把丙的五次成绩按照从低到高排列为：，∴丙成绩的中位数为分，即；故答案为：；；【小问2详解】解：由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，故答案为：甲；小问3详解】解：应该推荐甲选手，理由如下：甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大，∴应该推荐甲选手．22.南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．【小问1详解】解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为．23.如图，在中，、分别是边上的动点，且．（1）求证：；（2）当，是否存在，若存在请求出；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证；（2）依据题意，由，从而得出，又四边形是平行四边形，故，又设，则，代入比例式解析计算即可求解．【小问1详解】证明：，，．【小问2详解】解：，，四边形是平行四边形，．设，．，解得：，即．24.如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏．（1）为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；（2）怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明．【答案】（1）所利用旧墙的长为米；（2）当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）设米，则米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答；（2）设矩形菜园面积为平方米，根据题意可得：，然后进行即可解答．【小问1详解】解：设米，则米，由题意得：，解得：，，当时，米，当时，米，（尽可能利用旧墙，舍去）所利用旧墙的长为米；【小问2详解】解：设矩形菜园面积为平方米，由题意得：，，当时，最大，此时米，当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大．25.如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．（1）求证：EF与相切；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵为半径，∴EF与相切；【小问2详解】解：设半径为x，则，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，经检验，是所列方程的解，∴半径为4，则，在中，，，，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．26.设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…（1）若，求二次函数的表达式；（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．【小问1详解】解：把，代入，得，解得：，∴．【小问2详解】解：∵，在图象上，∴抛物线的对称轴为直线，∴当时，则时，随的增大而减小，【小问3详解】解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，∴，解得：．【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．27.某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请用含x的代数式表示该玩具的销售量.（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？（3）该商场计划将（2）中所得的利润的一部分资金采购一批B种玩具并转手出售，根据市场调查并准备两种方案，方案①：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案②：如果只到月末出售可直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元，请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？【答案】（1）；（2）；（3）资金小于10000元时，选择方案①，资金等于10000元时，方案①、方案②获利一样多，资金大于10000元而小于