浙教版七年级数学常见题型专练：实数的运算（5种题型）（解析版）

第14讲实数的运算（5种题型）

【知识梳理】

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正

数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则

及运算性质等同样适用.

【考点剖析】

题型一：实数的混合混算

例1.计算：

（1）痫=—.（2）4+J（T）2=—.（3）的立方根为—.

（4）如果&的平方根是±3,则W-17=—.

【答案】4834

【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；

（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；

（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；

（4）根据平方根的定义先求出。，然后代入求解即可.

【详解】解：（1）痫=4；

（2）4+JD?=4+痴=4+4=8;

（3）回扃=8,

回屈的立方根即为8的立方根，8的立方根为3,

回庖的立方根为3；

（4）回&的平方根是±3,

=（±3）2=9,

13a=9?=81,

0Va-17=习81-17=版=4：

故答案为：4；8；3；4.

【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关基本概念是解

题关键.

【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是

【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可.

【详解】解：根据题意可得：

(2丫

S阴影=2x2—^xl—I=4—yr.

故答案为：4-万.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式.

【变式2】若妊F与我M互为相反数，贝。(1-4严=.

【答案】-1

【分析】根据题意，可得：&W+师石=0,所以1-2X=-(3X-5),据此求出x的值是多少，再应用代

入法，求出(1-五)血的值是多少即可.

【详解】解：•••MF与反不互为相反数，

#1-2x+§3x-5=0，

1_2x=_(3x—5),

解得：x=4,

.-.(I-6严।=(1一/严i=(1_2严।=(-I)?必=-1,

故答案为：-L

【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立方根互为相反

数得到关于X的方程是关键点.

【变式3】计算：|-V3|-V27+V4.

【答案】否-1

【分析】先逐项化简，再算加减即可.

【详解】解：原式=0-3+2=6-1,

故答案为：V3-1.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键.

【变式4】(2022•浙江金华•七年级期末)计算：

(1)a+4+(-2)(2)-12022+32XV16

【答案】⑴1

⑵35

【分析】(1)原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；

(2)原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案.

⑴

师+4+(-2)

=3-2

=1

⑵

-12022+32XV16

=-1+9x4

=-1+36

=35

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

【变式5】计算：

(1)716-^64x^8；(2)|V2-31+^(-3)2-(-1)2019.

【答案】⑴12

(2)7-0

【分析】(1)直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；

(2)直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.

⑴解：原式=1x(-2)=12；

⑵解：原式=3-夜+3+1=7-&.

【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

【变式6】(2022•浙江台州•七年级期中)计算，记+河'+|1-押

【答案】73

【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行

计算即可.

【详解】解：JM+竹+|i-押

=4—3+>^—1

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键.

【变式7](2022•浙江台州•七年级期中)计算：

(1)5/16—^27;(2)2>/3+|A^—2|.

【答案】⑴1

(2)2+73

【分析】(1)根据算术平方根和立方根化简后计算即可；

(2)去绝对值后计算即可.

(1)

解：716-^27

=4-3

=1;

(2)

2A/3+|>/3-2|

=2g+2-百

=>/3+2.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键.

题型二：程序设计与实数运算

例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为而,则输出的结果为.

【答案】15.

【分析】根据输入的为厉，按照运算程序，计算结果即可.

【详解】解：回输入的》为A，是无理数，

回以X为边长的正方形的面积是：y/15?V1515,

故答案是：15.

【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键.

【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入X=-3,则最后输出的结果是.

【答案】276.

【分析】读懂计算程序，把x=-3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可.

【详解】当输入x,若J(X+4)X(-2)2=2而7的结果是无理数,即为输出的数，

当x=-3时，2Jx+4=2,不是无理数，

因此，把x=2再输入得，2Jx+4=2」,

故答案为：2任.

【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键.

【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为则输出的结果应为

输入a--->平方---->|~5|---->|xQ.5|---->输出

【答案】|

【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可.

【详解】解：根据题意，得

((>/TO)2-5)XO.5

=(10-5)x05

_5

"2,

故答案为：g.

【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键.

【变式3】(2022•浙江台州•七年级期中)如图是一个无理数筛选器的工作流程图.

⑴当x为9时，y值为；

(2)如果输入0和1,(填"能"或"不能")输出y值；

⑶当输出的y值是正时，请写出满足题意的x值：.(写出两个即可)

【答案】⑴人

(2)不能

(3)5或25(答案不唯一)

【分析】(1)根据运算流程图，即可求解；

(2)根据0的算术平方根是0,1的算术平方根是1,即可判断；

(3)根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值.

(1)

解：当输入x=9时，9的算术平方根为3,不是无理数，3的算术平方根为近，

即y=G；

故答案为：V3

（2）解：当输入x=0或1时，因为。的算术平方根是0,始终是有理数，1的算术平方根是1,也始终是

有理数，

所以不能输出y；

故答案为：不能

（3）解:当丫=有时，，=的=5,此时x=5；

当了=6时，y2=（A/5）=5,5?=25,此时x=25；

故答案为：5或25（答案不唯一）

【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键.

题型三：新定义下的实数运算

例3.（2022•浙江台州•七年级期中）设（2表示小于x的最大整数，如（3]=2,（-1.6]=-2,则下列结论中

正确的是（）

A.（0]=0B.x-（x]的最小值是0C.了-（幻的最大值是1D.不存在实

数x,使x-（x]=0.2

【答案】C

【分析】根据新定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、（0]=-1,故本选项错误，不符合题意；

B、因为（幻表示小于x的最大整数，所以尤-（划>0,故本选项错误，不符合题意；

C、因为（X]表示小于x的最大整数，所以0<x-（x]Vl的最大值是1,故本选项正确，符合题意；

D、存在实数x,使尤-⑶=0.2,如x=0.2,则x-（x]=0.2-0=0.2,故本选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解（幻表示小于x的最大整数是解题的关

键.

【变式1】任何实数a,可用同表示不超过a的最大整数，如[4]=4,[后]=1,现对72进行如下操作，

72第一次，尼卜8第二次,而卜2第一次>[6卜1,这样对72只需进行3次操作即可变为1,类似地，对

81只需进行（）次操作后即可变为1.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据新运算依次求出即可.

【详解】解：［闻］=9,［次］=3,［^］=1,共3次操作，

故选B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键.

【变式2】定义新运算"因'：a回b」+g（其中a、b都是有理数），例如：203=|+!=1,那么3回（-4）的

ab236

值是（）

7117

A.1-B.--C.—D.—

12121212

【答案】c

【详解】试题解析：3团（-4）

__1_1__1__1___1__

-3-4-34-12,

故选C.

【变式3】（2022•浙江•宁波市邺州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：

a*b=ab+a~b,其中，a,b为有理数，贝ija*什（8一々）*8等于（）

A.a2—bB.b2—bC.b2D.b2—a

【答案】B

【详解】a*b+Qb-d）*b-ab+a-b+（b-a）b+（b-a）-b

=ab+a—b+b2—ab+b—a—b=b2—b

故选：B.

【变式4］（2022•浙江杭州•七年级期中）用"保"定义新运算：对于任意实数a,b,都有a③QZAH.例

如：78）4=42+1=17,那么202285=；当m为实数时，机区（加凶2）=.

【答案】2626

【分析】首先用5的平方加上1,求出2022位5的值；然后用2的平方加上1,求出m®2的值，进而求出

m®（m®2）的值即可.

【详解】解：团对于任意实数a,b,都有。奶=〃+1,

02O22®5=52+1=26；

当m为实数时，

m®(m®2)

=m®(22+l)

=m®5

=52+l

=25+1

=26.

故答案为：26、26.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确"®"的运算方法.

【变式5】（2022•浙江•七年级专题练习）观察下列等式（式子中的"！"是一种数学运算符号）

1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,4!=4x3x2xl,

2013!_

那么计算:

2014!J

1

【答案】

2014

【分析】根据"！"的运算方式列式计算即可.

2013!2013x2012x2011>…x2xl1

【详解】解:

2014!-2014x2013x2012x---x2xl-2014

【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算"！"是解题的关键.

【变式6】（2022•浙江绍兴•七年级期末）如河={1,2,耳，我们叫集合/W.其中1,2,x叫做集合/W的元

素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如xwl,XH2）,无序性（即改变元素的顺

序，集合不变）.若集合N={x,l,2},我们说M=N.已知集合&={1,0,。},集合8=],凡[,若

A=B,则人一。的值是.

【答案】-1

【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断.

【详解】^A=B,。片0,

团—w0,同w0,

b

回_=0,即〃=0,

a

回工=1,同或L=〃，lai=1,

aa

团a=l或a=-1（舍去），

国b—a=0—l=—L,

故答案为：-1.

【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出。和6的值.

【变式7】定义新运算：对于任意实数a,b,都有储。=4+凡例如7X4=7+42=23.

（1）求5X4的值.

（2）求7派（1※逝）的平方根.

【答案】（1）21；（2）±4

【分析】（1）根据定义新运算即可求5X4的值；

（2）根据定义新运算求7派（1※应）的值，再计算平方根即可得出答案.

【详解】（1）由定义新运算得：5X4=5+42=5+16=21；

（2）由定义新运算得：7X（1^V2）=7X（1+2）=7X3=7+9=16,

团7派（1※也）的平方根为±片=±4.

【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键.

【变式8】任何实数a,可用⑷表示不超过a的最大整数，如⑷=4,[6]=L现对72进行如下操作：72

第一次[、阮]=8,第二次[&]=2,第三次这样对72只需进行3次操作变为1.

（1）对10进行1次操作后变为,对200进行3次作后变为;

（2）对实数m恰进行2次操作后变成1,则m最小可以取到；

（3）若正整数m进行3次操作后变为1,求m的最大值.

【答案】（1）3；1；（2）4Mm<16；（3）机的最大值为255

【详解】解：（1）032=9<（710）2=10<42=16,

03<V1O<4,

国[啊=3,

团对10进行1次操作后变为3；

同理可得14<>/555<15,

0[V2OO]=14,

同理可得3<J万<4，

团[何=3,

同理可得1<6<2,

团[。]=1,

回对200进行3次作后变为1,

故答案为：3；1；

（2）设m进行第一次操作后的数为x,

0[%]=1,

01<x<2.

01<\[m<4■

01<AW<16.

回要经过两次操作.

0Vm>2.

团机，4.

I?l4<m<16.

故答案为：4<m<16.

（3）设m经过第一次操作后的数为〃，经过第二次操作后的数为x,

0W=1,

即Kx<2.

团1工薪<2.

Ell<n<4.

1<\[m<16.

^\<m<256.

国要经过3次操作，故加216.

团16<m<256.

回加是整数.

回机的最大值为255.

【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键.

题型四：实数运算的实际应用

例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为-1,点B表示的数为3,点C表示的数为6.若子轩同

学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表

示的数是.

-2-101234567

【答案】4+6或6-6或2-6

【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠

与C点重合的点表示的数即可.

【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+(3+1)=7.

与C重合的点表示的数：3+(3-月)=6-石.

第二次折叠，折叠点表示的数为：《(3+7)=5或《(-1+3)=1.

此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：

5+(5-6+6)=4+6或：1-(百-1)=2-君.

故答案为：4+6或6-后或2-

【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键.

【变式1】设x,y是有理数，且x,y满足等式x+2y-0y=17+4四，则6+y的平方根是.

【答案】±1

【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合

并，所以x、2y都不能与血进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可

求解.

【详解】解：取、y为有理数，

0x+2y为有理数，

0x+2y-y^=17+472

卜+2y=17

,,3=4

=5-4=1,1的平方根是士1.

故答案为±1.

【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y

的值.

【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据

刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v=16眄，其中”表示车速（单位：千

米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），/表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d=32

米，/=2,请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【分析】先把“32米，f=2分别代入v=16强,求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答.

【详解】解：把“32,「2代入v=16强，

v=16732x2=128（km/h）,

0128>100,

团肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算.

【变式3】已知小正方形的边长为1,在4x4的正方形网中.

（1）求与=.

（2）在5x5的正方形网中作一个边长为旧的正方形.

【答案】(1)10；(2)见解析

【分析】(1)用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；

(2)边长为旧的正方形，则面积为(ai)2=13,则每个三角形的面积为:(5X5T3)=3,据此作图即

可.

【详解】解：(1)S阴=4x4-gxlx3x4=10,

故答案为：10；

(2)边长为屈的正方形，则面积为(JB)2=13,

则每个三角形的面积为。(5X5-13)=3,

4

则作图如下：

【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边

长.

【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的

内在联系，它是“数形结合"的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

操作一：

（1）折叠纸面，若使表示的点1与-1表示的点重合，则-2表示的点与表示的点重合；

操作二：

（2）折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，回答以下问题：

①百表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数

分别是;

操作三：

（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分

某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1：1：2,则折痕处对应的点所表示的数

可能是.

剪断处

71o37

【答案】⑴2（2）①-2-指②53（3）

2oo

【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点。，可以得出-2与2重合；

（2）根据对称性找到折痕的点为-1,

①设6表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；

②因为AB=8,所以A到折痕的点距离为4,因为折痕对应的点为-1,由此得出A、B两点表示的数；

（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是X,如图1,当AB：BC：CD=1：1：2时，所

9

以设AB=a,BC=a,CD=2a,得a+a+2a=9,a=-,得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图

2、3对应的x的值.

【详解】操作一,

（1）团表示的点1与-1表示的点重合,

团折痕为原点0,

则-2表示的点与2表示的点重合,

操作二:

（2）团折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合,

则折痕表示的点为-1,

①设质表示的点与数a表示的点重合，

则后（-1）=-l-a,

a=26；

②团数轴上A、B两点之间距离为8,

历数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4,

EIA在B的左侧，

则A、B两点表示的数分别是-5和3；

操作三：

（3）设折痕处对应的点所表示的数是X,

如图1,当AB：BC：CD=1：1：2时,

I

AB：CD

II_______I______I______________]

-1:8

折痕图1

设AB=a,BC=a,CD=2a,

a+a+2a=9,

9

a

999

回AB二一，BC=-,CD=-,

442

如图2,当AB：BC：CD=1：2：1时，

AB：CD

I____।________|______1_______i

-1：8

折痕图2

设AB=a,BC=2a,CD=a,

a+a+2a=9,

9

a二“

999

团AB二一，BC二一，CD=-,

424

如图3,当AB：BC：CD=2：1：1时,

A5：CD

।1111

-18

病痕图3

设AB=2a,BC=a,CD=a,

a+a+2a=9,

9

99

团AB二一，BC=CD=—,

24

9937

x=-l+-+-=—,

288

19737

综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是9或;或2.

O2O

题型五：与实数运算相关的规律题

例5.如图将1、0、出、而按下列方式排列.若规定(抽”)表示第加排从左向右第〃个数，贝1(5,4)与

(15,8)表示的两数之积是().

1第1排

JlJi第2排

Ji1iSi第3樗

JiJi\J2私排

J3J611J2J3第5排

A.1B.0C.73D.而

【答案】B

【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排

第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案.

【详解】解：(5,4)表示第5排从左往右第4个数是夜，(15,8)表示第15排第8个数，从上面排列图中

可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1,且为第8个，所以1和血的积是0.

故本题选B.

【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力.

【变式1】将实数1,0,6,而按如图所示的方式排列，若用旧，")表示第m排从左向右数第n个数，则

(5,4)与(11,7)表示的两数之积是

1(第1排)

0V3(第2排)

A/61V2(第3排)

6A/61V2(第4排)

6761726(第5排)

【答案】2

【分析】所给一系列数是4个数一循环，看(5,4)与(11,7)是第几个数，除以4,根据余数得到相应

循环的数即可.

【详解】解：团第4排最后一个数为第10个数(1+2+3+4=10),

0(5,4)表示第14个数(10+4=14),

014+4=3...2,

团(5,4)表示的数为0,

团第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+...+10=丑如=55,

2

0(11,7)表示第62个数(55+7=62),

062+4=15...2,

0(11,7)表示的数为0,

则(5,4)与(11,7)表示的两数之积是后x0=2.

故答案为：2.

【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题.

【变式2】若|a-l|+(ab-2)2=0,则益+而工丽石+…+再1而西=-----'

【答案*

【分析】先由|a-l|+(ab-2)2=0,利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用

1=--一二裂项求和可得.

n〃+1

【详解】解：0|a-l|+(ab-2)2=O,

团a-1=0且ab-2=0,

解得a=l,b=2,

则原式小1

+---+H------------

2x311x12

11

-5

故答案为：—•

12

【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，分式的化简求值，观察式子特征用裂项的方法，相抵消

是解题的关键.

【变式3】借助计算器计算下列各题：

⑴/=；

(2)#77=；

(3)Vl3+23+33=；

(4)713+23+33+43=；

⑸根据上面计算的结果，发现JF+23+...+/=.(用含n的式子表示)

【答案】(1)1;(2)3；(3)6；(4)10；(5)里詈

【分析】由计算器计算得：

⑴"=1；

⑵后声=3可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2;

⑶+23+33=6可看做被开方数中每个加数底数的和,即1+2+3；

⑷JF+23+33+43=10可看做被开方数中每个加数底数的和,即1+2+3+4

所以由以上规律可得(5)&3+23+…+=i+2+3+...+n=

【详解】解：(1)#=1；

(2)713+23=3

(3)在+23+33=6

(4)>/13+23+33+43=10

/-----------------n(n+l]

(5)JF+23+…+>=i+2+3+...+n='2

上心生田口n(n+l]

故答案是：1,3,6,10,-----------

2

【点睛】此题主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律.

、111

【变式4]已知：|-a-l|+(Z?-2)=0,求g_i)仅+i)+(a_2)仅+2)+…+(._]00)e+]00)的值。

25

【答案】

【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入分解，加减抵消即可得.

—<2—1=0

【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得:

b-2=0

a=-1

解得

b=2

则原式一(-l-l)x(2+l)+(-l-2)x(2+2)+…+(-1-100)x(2+100)

111

2^33^4101x102

111111

———I———————...-----|----

2334101102

11

=---1----

2102

_25

一一彳

【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、与实数运算有关的规律型问题，将所求式子进行

分解，结合加减抵消法是解题关键.

【过关检测】

选择题(共6小题)

1.(2022秋•郸州区校级月考)若〃/?=杂1，贝!]〃-/?=()

A.4B.-4C.6D.-6

【分析】利用平方根及立方根定义求出〃与人的值，代入〃-匕计算即可求出值.

【解答】解：-5,6=杂7^=-1,

.'.a-b—-5-（-1）—-5+1=-4.

故选：B.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是-1,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；

③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤。与b两数的平方和表示为

次+房.其中错误的是（）

A.①②B.②③C.②③④D.③④⑤

【分析】根据立方根，平方根，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答.

【解答】解：①立方根等于本身的是-1,0,1,故①正确；

②平方根等于本身的数是0,故②不正确；

③两个无理数的和不一定是无理数，故③不正确；

④实数与数轴上的点是一一对应的，故④正确；

⑤。与方两数的平方和表示为/+后,故⑤正确；

所以，上列说法中，错误的是②③，

故选：B.

【点评】本题考查了实数的运算，立方根，平方根，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

3.（2022秋•西湖区校级期中）如果a,。是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（）

A.0B.2022C.4044D.-4044

【分析】根据a,b是2022的两个平方根，可得：a+b=0,ab=-2022,据此求出a+2ab+b的值即可.

【解答】解：b是2022的两个平方根，

0,ab=-2022,

a+2ab+b

=

=0+2X（-2022）

=0+（-4044）

=-4044.

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数的运算，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数

有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

4.（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是-1,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；

③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤ZL是负分数；⑥两个有理

3

数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数.其中正确的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据立方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；根据互为相反数的两个数的和为0判断

③；根据实数与数轴上的点是一一对应判断④；根据无理数的定义判断⑤；通过举例子判断⑥.

【解答】解：立方根等于本身的数是±1,0,故①符合题意；

平方根等于本身的数是0,故②不符合题意；

&+（-/2）=0,故③不符合题意；

实数与数轴上的点是一一对应的，故④符合题意；

-空是无理数，不是负分数，故⑤不符合题意；

3

两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，例如1和2之间有百,

VTE，U55等无数个,泥和F之间有1.51,1.511等无数个，故⑥符合题意；

...正确的个数有3个，

故选：A.

【点评】本题考查了立方根，平方根，数轴与实数，无理数，实数的运算，注意-空是无理数，而负

3

分数是有理数.

5.（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（）

A.。=0,b=3B.。=1,b=2C.〃=4,b=lD.。=9,b=0

【分析】对于每个选项，先判断mb的大小，若a（b,结果=企；若a>b,结果=-企.

【解答】解：A选项，,・,0<3,

•,.而+M=如,故该选项不符合题意；

B选项，Vl<2,

:.a+'、n=i+M,故该选项不符合题意;

C选项，V4>1,

-'./i=2-1=1,故该选项不符合题意;

。选项，V9>0,

:.炳-瓜=3,故该选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a<6,结果=«+企；若a>b,

结果=遍-而是解题的关键.

6.（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x,我们规定印表示不大于x的最大整数，如

[4]=4,[V3]=1,[-2.5]=-3,现对82进行如下操作

对100只需进行多少次操作后变为1（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】按照例题的思路，进行计算即可解答.

【解答】解：io。第一次［也&］=10第二次［_£3=（第二次［一¥-］=兀

10V10V3

.•.对100只需进行3次操作后变为1,

故选：c.

【点评】本题考查了实数的运算，理解例题的思路是解题的关键.

二.填空题（共12小题）

7.（2022秋•滨江区校级期中）已知x,y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3-1）尤=3-

贝！Jx=-3,y=9.

【分析】直接利用x,y是两个不相等的有理数，根据已知等式得出x的值，进而得出y的值.

【解答】解：•・・（3&-l）x=3-&y,

-x=3-&y,

.*.x=-3,

则3&X（-3）=-

解得：y=9.

故答案为：-3,9.

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出x的值是解题关键.

8.（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为则输出的结果应为1.

输入数一►平方一►-5——AX0.5——>输出

【分析】直接把已知数据代入，进而计算得出答案.

【解答】解：由题意可得：[（J7）2-5]X0.5

=（7-5）X0.5

=2X0.5

=1.

故答案为：L

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确代入数据是解题关键.

9.（2022秋•镇海区校级期中）计算：7I.44X^/125=6-

【分析】先根据算术平方根和立方根化简，然后再计算即可.

【解答】解：V1.44XV125=l.2X5=6-

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了算术平方根、立方根等知识点，正确求得算术平方根和立方根是解答本题的关

键.

10.（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b=4a2+b，例如10*2]=

V102+21=lb则W5*（J7*2）的运算结果为4.

【分析】根据题意给出的新定义运算法则即可求出答案.

【解答】解：VV*2={）2+2=>/^=3,

V13*3=iy）2+3=Vl6=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用新定义运算法则，本题属于基础题型.

11.（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+36-2c+2〃z的值是19.

我不小心把茗师留的作业题弄丢我告诉你："a与。互为相反数,

了，只记得式子是3a+3fr-2r+2m。的倒数为-2,m的算术平方根

是3”

【分析】直接利用互为相反数以及算术平方根、倒数的定义得出a+b=。,c=-l,m=9,进而计算得

2

出答案.

【解答】解：由题意可得：a+b=O,c=--,m=9,

2

故原式=3(a+b)-2c+2m

=3X0-2X(--1)+2X9

2

=0+1+18

=19.

故答案为：19.

【点评】此题主要考查了互为相反数以及算术平方根、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键.

12.(2021秋•浙江期末)计算：北函+'△=-1.

【分析】先化简各数，然后再进行计算即可.

［解答］解：1_27+也

=-3+2

=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键.

13.(2021秋•东阳市期末)若a与b互为相反数，相与n互为倒数，k的算术平方根为亚，则

2022。+20216+7”油+M的值为4.

【分析】根据题意得a+b=0,山〃=1,左=2,整体代入求值即可.

【解答】解：与6互为相反数，相与”互为倒数，上的算术平方根为血,

・・4+Z?=0,inn~-1,4=2,

・•・原式=2021(〃+/?)+〃+。+4

=0+0+

=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了实数的运算，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键.

14.(2022秋•宁波期中)任意写出两个无理数，使它们的和为2：岳.+2与-亚.

【分析】写出两个无理数，使其之和为2即可.

【解答】解：根据题意得：V2+2+(-V2)=2,

故答案为：&+2与-料

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15.(2022秋•温州期末)按如图所示的程序计算，若输入的。=3,6=4,则输出的结果为5

【分析】把a、b的值代入计算即可求出值.

【解答】解：当。=3,6=4时，

Va2+b2=V32+42=,^25=5,

所以输出的结果为5.

故答案为：5.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(2022秋•瑞安市期中)对于任意实数对(a,b)和(c,d),规定运算“凶”为(a,b)0(c,d)=

(ac,bd)；运算“㊉”为(a,b)©(c,d)=(a+c,b+d).例如(2,3)(g)(4,5)=(8,15)；(2,

3)0(4,5)=(6,8).若(2,3)0(p,q)=(-4,9),贝I(1,-5)㊉(p,q)=(-1,-

2).

【分析】读懂题意，利用新定义计算，先根据新定义列等式，求出p、q的值，再代入新定义计算.

【解答】解：(2,3)0(p,q)=(-4,9),

.*.2/7=-4,p=-2,

3q=9,q=3,

：.(1,-5)㊉(p,夕)=(1,-5)㊉(一2,3)=(-1,-2).

故答案为：(-1,-2).

【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，能利用新定义正确的进行计算.

17.(2022秋•青田县期中)计算：V16-^27=—!—•

【分析】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：原式=4-3=1,

故答案为：1

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（2022秋•新昌县期中）已知:“与〃互为相反数,c与1互为倒数，。是右的整数部分，则、后+2（m-Hi）-a

的值是-1.

【分析】首先根据有理数的加法可得〃计〃=0,根据倒数定义可得cd=l,然后代入代数式求值即可.

【解答】解：...根与”互为相反数，

・・Z71+Z20,

与1互为倒数，

••cd=1,

Ya是通的整数部分，

••a—2,

•"-Vcd+2（m+n）-a=1+2X0-2--1.

故答案为：-L

【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握相反数和为0,倒数积为L

三.解答题（共7小题）

19.（2022秋•堇B州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法

等等，请计算下列各式：

⑴1.1.1-1—4040

1X33X55X7-2019X2021—2021一

小111…16066

1X44X77X10-2020X2023—2023-

(3)|1W2|+|V2-V3|+IV3-V4|++IV2021-V2022|=V2022-1

【分析】(1)裂项后乘以2,将各项相加，消掉和互为相反数的项；

（2）裂项后乘以3,将各项相加，消掉和互为相反数的项;

（3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉.

【解答】解：(1)原式=2X(1-1+1-1+1-!+•+.1L）

3355720192021

=2X(1-—

2021

—4040

2021

(2)原式=3X(1-—+—