圆知识点梳理及专项练习-2025年中考数学一轮复习

专题12圆

1.圆的有关概念

(1)圆上各点到圆心的距离都等于.圆由两个元素决定，分别是______和圆心确定圆的

半径确定圆的.圆心相同，半径不等的圆是；圆心不同，半径相等的圆是.

⑵连接圆上任意两点的线段叫作______.直径是经过_______的弦，是圆中的弦.

⑶圆上任意两点间的部分叫作_______大于半圆的弧叫作小于半圆的弧叫作.

2.圆周角与圆心角的关系

顶点在圆心的角叫作；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作.在同圆或等圆中，如果两个圆

心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量_________那么它们所对应的其余各组量都分别—

—.同弧或等弧所对的圆周角都等于它所对的圆心角的_______.直径所对的圆周角是__________；90。

的圆周角所对的弦是.

3.垂径定理

垂直于弦的直径平分并且平分；平分弦(不是直径)的________垂直于弦，并且

平分.

4.点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种：①②，③.

5.直线与圆的位置关系

⑴直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③—.对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的

数量关系分别为④dr,⑤dr,@dr.

(2)切线的判定方法有：①与圆有____公共点的直线是圆的切线；②到的距离等于的直线是圆的切

线；③经过半径的并且____这条半径的直线是圆的切线.在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线

段的长叫作这点到圆的；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长圆心和这一点的连线

两条切线的夹角.

6.圆与圆的位置关系

⑴圆与圆的位置关系共有三大种：①，③，②，也可分为五小种：①,③,③—

一④，⑤.

(2)两圆的圆心距d和两圆的半径R,r(RNr)之间的数量关系分别为①dR-r,②dR-r,③R-r_

dR+r,®dR+r,⑤dR+r.

7.圆的有关计算

(1)弧长、扇形面积的计算

已知0O的半径为R,圆心角为n。的弧长1的计算公式为；圆心角为n。的扇形的面积为或—

(2)圆锥侧面积、全面积的计算

圆锥的侧面积就是其侧面展开图的扇形面积；圆锥的全面积就是它的与它的的和.

8.圆中常见的辅助线

(1)遇到时，一般要引直径上的圆周角，将直径这一条件转化为的条件.

(2)遇到时，一般要弓|的半径，以便利用切线的性质定理；或连接的弦，以便利用弦切角

定理

(3)遇到过圆外一点作圆的两条时，常常引这点到圆心的以便利用切线长定理及其推论.

(4)遇两圆______，要添加，或者连心线，特别是_________它在相交两圆中起着桥梁作用.

实战演练

1.如图在△ABC中，/ACB=9(F,AB=5,BC=4以点A为圆心,i•为半径作圆，当点C在。A内且点B在0A

外时，r的值可能是()

A.2B.3

C.4D.5

2.如图,AD,BC是OO的直径点P在BC的延长线上,PA与。。相切于点A,连接BD,若/P=40°,贝此AD

B的度数为)

A.65°B.60°

C.50°D.25°

3.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与/奶所在圆相切于点A,B,若该圆半径是9cm,/P=40。,则

AMB的长是)

M

正面

图1图2

A.llucm

11

B.—Ticm

2

C.771cm

DC.-7Ticm

2

4.如图,△ABC内接于。O,AD是。O的直径，若/B=20。,则NCAD的度数是)

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

5.如图,△ABC内接于OO,NC=46。,连接OA,则NOAB=()

A.44°

B.45°

C.54°

D.67°

6.如图,AB是圆O的直径，弦AD平分NBAC,过点D的切线交AC于点E,NEAD=25。,则下列结论错误

的是（）

E,C

D

A.AE±DE

B.AE/70D

C.DE=OD

D.ZBOD=50°

7.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A,B两点，他测得“图上”

圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳

升起的速度为

海平线

A.1.0厘米/分

B.0.8厘米/分

C.1.2厘米/分

D.1.4厘米/分

8.如图，在矩形ABCD中，AB=®BC=2,以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E,连接AE,则

DE的长为（）

BE

A.47I/3

C.27T/3

9.如图,AB是。O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD.gZBAC=28°J!JZD=

10.如图,。0是四边形ABCD的外接圆，若NABC=110。,则NADC=

11.如图在口ABCD中,AD=12以AD为直径的。。与BC相切于点E,连接0C.若OC=AB,则口ABCD的周长为

12.已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为.

13.已知AB为0O的直径,AB=6,C为0O上一点，连接CA,CB.(1)如图①，若C为43的中点，求/CAB的大小

和AC的长；⑵如图②，若AC=2,OD为。0的半径，且ODLCB,垂足为E,过点D作。0的切线，与AC的延长

线相交于点F,求FD的长.

14.如图,AB为。0的直径,CD是。0的切线,C为切点，连接BC.ED垂直平分0B，垂足为E，且交BC-于点F,

交BC于点P,连接BF,CF.

(1)求证:/DCP=/DPC;

(2)当BC平分/ABF时，求证:CF〃AB;

⑶在⑵的条件下,OB=2,求阴影部分的面积

D

15.如图,圆0中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.

⑴M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长；

⑵点F在CD上，且CE=EF,求证:AF_LBD.

压轴预测

1.如图，矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm以B为圆心,BC为半径画弧交AD于点E,则扇形EBC的面

积为（）

A.2ncm2

B.Sncm2

C.12ncm2

D.15/rcm2

2.如图.△ABC中,AB=2,AC=V2以点A为圆心,1为半径的圆与BC相切分别交AB,AC于点D,E,则DE的

长是（）

C.it/2

3.如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰

好为“2”和“8”(单位：cm),那么该圆的半径为cm.

4.如图，扇形AOB中泮径0A=2,圆心角/AOB=60。以OA为直径的半圆交OB于点C,则图中两个阴影部分

面积的差的绝对值是.

5.如图,△ABC为。0的内接三角形，且AB为。。的直径,DE与。。相切于点D,交AB延长线于点E,OD与

BC交于点F,ZE=ZADC.

(1)求证:AD平分/BAC;

(2)若CF=2DF,AC=6,求。O的半径r.

参考答案

1.(1)圆的半径圆心半径位置大小同心圆等圆

⑵弦圆心最长

(3)弧优弧劣弧

2.圆心角圆周角相等相等相等一半直角圆的直径

3.弦弦所对的两条弧直径弦所对的两条弧

4.点在圆内点在圆上点在圆外

5.(1)相离相切相交>=<

⑵唯一圆心半径外端垂直于切线长相等平分

6.(1)相离相切相交内含内切相交外切外离

(2)<=<<=>

7.(1)/=-S=—S=-lR

(2)底面积侧面积

8.(1)直径直角

(2)切线过切点过切点

⑶切线连线

⑷相交公共弦公共弦

1.C【解析】本题考查勾股定理、点和圆的位置关系.在R3ABC中,AB=5,BC=4,由勾股定理可得AC=3」.•点

C在0A内,，r>3.又点B在。A外,.」<5,；.3«<5,即r的值可能是4,故选C.

2.A【解析】本题考查切线的性质、三角形的外角性质、圆周角定理.因为PA与。O相切，所以NOAP=90。.

又NP=40。,所以/AOB=NOAP+ZP=130。,所以4ADB==65。，故选A.

3.A【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长公式.设圆心为O,连接OA,OB,由题意得OAUAQBLPB,

由四边形的性质知"OB=1800-ZP=180°-40°=140。,所以AMB的度数是360°-140°=220。,所以

AMB=?之:£。=11兀(51)故选A.

4.C【解析】本题考查圆周角定理的推论.连接BD.因为AD是圆O的直径.所以NABD=90。又NABC=20。,所

以上CBD=90°-20°=70°,,所以NCAD=/CBD=70°,故选C.

5.A【解析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质.如图.连接OB.VZC=46°,.\ZAOB=2ZC=92°.

又。4=OB,AOAB=180°-92-=44。，故选A.

6.C【解析】本题考查切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理.因为OA=OD,所以/OAD=NODA.因

为AD平分NBAC,所以/OAD=NCAD,所以/ODA=/CAD,所以AE〃OD,故B选项正确;因为DE是圆。的切线,

所以ODLDE,所以AEJ_DE,故A选项正确;在直角梯形ODEA中,OA>DE.又OA=OD.所以OD>DE,故C选项

错误;因为/EAD=25°,所以NBAD=/EAD=25。,所以NBOD=2/BAD=50。,故D选项正确，故选C.

7.A【解析】本题考查圆的性质、勾股定理、垂径定理如图过点。作OHLAB于点H,连接OA,则AH=BH=

=8厘米在RtAAOH中,NOHA=9(r,OA=10厘米，所以由勾股定理得OH=y/OA2-AH2=6厘米.又因为从

目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，所以图上”太阳升起的速度为(6+10)勺6=1.0厘米/分

故选A.

8.C【解析】本题考查矩形的性质、勾股定理、弧长公式.在矩形ABCD中.NDAB=/B=90o,AD=BC=2,；.A

E=AD=2.在RtAABE中,AB=V3,.1.BE=VTIE2-AB2=I,/.BE=\AE,：.ABAE=30。，二乙DAE=60°,•••I

607r，2211.,

DE=E=§兀，故选C

9.62【解析】本题考查圆周角定理的推论.如图，连接BC.：AB是。O的直径,NACB=90。.：/BAC=28。，

ZABC=90°-28o=62o,.\ZD=ZABC=62°.

10.70【解析】本题考查圆内接四边形的性质四边形ABCD内接于OO,/ABC=ll(T,；./ADC=180。-/-ABC

=180°-110°=70°.

11.24+6V5【解析】本题考查圆的性质、圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质.如图，连接OE,

过点C作CHXOD于点H厕OE，BC,OE〃CH.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD〃BC又AD=12,所以CH

=OE=6.因为AB=CD,OC=AB,所以OC=CD,所以(OH=DH=池=3.在RtACDH中,由勾股定理得CD=

V32+62=3近，所以AB=CD=3V5,,所以平行四边形ABCD的周长为((12+3遥)x2=24+6亚.

12.3兀【解析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的面积.•・,圆锥的侧面展开图是扇形，.

・•.S=Tirl=3x1xyr=3兀，，该圆锥的侧面展开图的面积为3兀.

侧

掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解答本题的关键.

13.(1)45°,3V2(2)2V2

(1)根据直径所对的圆周角是直角得/ACB=90。,再根据等弧所对的弦相等，进而证明4ABC是等腰直角三角

形，利用勾股定理可求出AC的长；⑵根据切线的性质和已知垂直关系以及/ACB=90。,可判定四边形ECFD是矩

形，得对边相等，求出FD与CB的数量关系，在RtAABC中，利用勾股定理求出CB的长，即可求出FD的长.

解:(1)：AB为。O的直径，

ZACB=90°.

由C为AB的中点，得.*=BC.

：.AC=BC得/ABC=/CAB.

在RtAABC中,/ABC+NCAB=90。，

ZCAB=45°.

根据勾股定理，有力"+BC2=AB2.

又AB=6相24c2=36,AC=3a.

(2)：FD是。。的切线，

ODXFD.SPZODF=90°.

；OD，CB,垂足为E,

1

••・乙CED=90°tCE=^CB.

同(l)可得NACB=90。,有NFCE=90。.

JZFCE=ZCED=ZODF=90°.

・•・四边形ECFD为矩形.

____-1

；.FD=CE.于是FD=^CB.

在RtAABC中，由AB=6,AC=2彳导

CB=7AB2—AC?=4V2.FD=2A/2.

14.⑴略⑵略(3)y-V3

(1)连接OC,根据切线的性质及EDXOB得到两组互余的角，再根据等边对等角结合等角的余角相等进行等

量代换，即可得证；⑵连接OF,证明△OFB是等边三角形，根据等边三角形的性质与圆周角定理求出NFCB的度

数，结合角平分线的性质求出/OBC的度数，然后利用平行线的判定即可证明结论成立；(3)根据圆周角定理及半

径相等证明△COF是等边三角形，再结合垂直平分线及勾股定理求出EF的长，然后利用三角形的面积公式与扇形

的面积公式求解即可.

解:⑴证明:连接0C.

：CD是。。的切线，

ZOCB+ZDCP=90°.

VEDXOB,

ZOBC+ZEPB=90°.

VOC=OB,

ZOCB=ZOBC.

ZDCP=ZEPB.

,/ZEPB=ZDPC,

ZDCP=ZDPC.

⑵证明:连接OF.

,/ED垂直平分OB,OF=FB.

又：OF=OB,

...△OFB是等边三角形.

/.ZFOB=ZFBO=60°.

.­.Z.FCB=-^FOB=30°,

2

：BC平分NABF,

•••乙OBC=乙FBC=-^FBO=30

2

二•NOBONFCB.

・・・CF〃AB.

(3)由(2)得NFBO30。，

・•・ZCOF=60°.

VOF=OC,

AACOF是等边三角形.

VOB=2,JOF=OC=CF=2.

VED垂直平分OB,OF=2,

JZOEF=90°,OE=1,

・•・由勾股定理，得EF=V3.

SC0F=|x2xV3=V3.

C60XTTX222TT

s=-----------=—,

角^OF3603

''•S^=S辘coF—ScoF=q_®

15.(1)3有⑵略

(1)连接OC,OD.根据M是CD的中点可得DM=CM=在OMD,利用勾股定理即可得出半径O

D的长;⑵连接AC,延长AF交BD于点N,证明△AEC^AAEF,可得ZEACZEAF,根据/BAC=/BDC

以及三角形外角的性质即可证明/AND=90。.

解:⑴如图，连接OC,OD,

因为M是CD的中点且CD=12,

所以CM=DM=6且OM±DM.

在RtAOMD中,由勾股定理得

OD=VOM2+MD2=V32+62=3低

所以圆O的半径长为3V5

⑵证明:如图.连接AC延长AF交BD于点N.

在仆AEC与4AEF中，

因为AE=AE,/AEC=NAEF,EC=EF,

所以△AEC^AAEF.

于是NEAC=/EAF.

又因为NBAC=NBDC.

所以NAND=/BAN+/ABN

=ZCDB+ZABD=90°.

于是AF_LBD.

压轴预测

1.C【解析】本题考查矩形的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积公式.在矩形ABCD中,NA=NABC=9

0。.在RtAABE中,AB=6,BE=BC=12,.\cos/ABE=ABE=ZABE=60°,ZEBC=30°,Sc

3°鲁之=12兀。病,即扇形EBC的面积为12兀cm?,故选Q

DOU

2.D【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长的计算公式.设BC与圆相切于点F,连接AF厕AFXBC.在R

tAAFB中,AB=2,AF=1,；.ZABF=30°,.\NBAF=60°.在RtAAFC中,AC=V2,AF=1,/.CF=1,.\ZCAF=45。,；.

^BAC=105DE=当3=上故选D.

'18012

3.Y【解析】本题考查垂径定理、勾股定理.如图，取圆心O,设切点为点C,直尺与圆相交于A,B两点，

连接OA,OC,OC交AB于点D,则线段AB=8-2=6(cm)