圆与正多边形 单元综合检测（重点）-2024-2025学年沪教版九年级数学下册同步训练（含答案）

第07讲圆与正多边形单元综合检测（重点）

一、单选题

1.一个正多边形的中心角为60。，则该正多边形的边数为（）

A.6B.8C.10D.12

2.下列说法正确的是（）

A.垂直平分弦的半径平分弧B.圆心角相等，对应弧相等

C.三角形的内心到三边距离相等D.三角形的外心到三边距离相等

3.已知点4在半径为3的圆。上，如果点/到直线。的距离是6,那么圆O与直线。的位

置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D,以上答案都不对

4.如图，CD是。。的直径，于点若4B=8,MC=2,则r长是（）

5.如图，在。。中，点C是弧AB的中点，ZOAB=55°,则弧BC的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

6.如图，在RtzX/BC中，ZC=90°,AC=4,BC=1,点。在边上，CD=3,OA

的半径长为3,与ON相交，且点8在0。外，那么。。的半径长「可能是（）

试卷第1页，共6页

DB

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

二、填空题

7.。。的半径为5,若点。到P的距离为4,则点P在___（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）

8.已知0a与。。2内切，的半径为4,O,o2的长等于6,那么。。2的半径等于.

9.正二十边形中心角的正弦值为

10.水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油

面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为一分米.

11.如果半径分别为厂和2的两个圆内含，圆心距d=3,那么r的取值范围是.

12.如图，在。。中，若彘=前=&）,则ZC与2CD的大小关系是：AC

2CD.（填“>”，或“=”）

13.已知一个正六边形的边心距为百，则它的半径为.

14.已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,那么这两个圆有个公共点.

15.如图，N8是的直径，AD=BC,ZBOC=3Q°，则”的度数是.

试卷第2页，共6页

16.如图，AB是。。的弦，C是的三等分点，连接OC并延长交。。于点。.若

OC=3,CD=2,则圆心。到弦N3的距离是.

.4/\_______

/C\\

J\I

O

\t

17.如图，0a和。。2相交于N和8,过点/作。02的平行线交两圆于c、D,设

Ofi2=a,则皮=（用含£代数式表示）

18.如图，在矩形4BCD中，AB=4,8c=6,点E是的中点，连接NE,点。是线

段/E上一点，的半径为1,如果。。与矩形的各边都没有公共点，那么线段/。

长的取值范围是

AD

BEC

三、解答题

19.如图，。。中，弦48与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.求证：AD=BC-

试卷第3页，共6页

20.如图，。是O。的弦2C的中点，A是劣弧前上一点，半径与线段8c交于点E,

已知6M=7,3c=10.

(1)求线段。。的长；

⑵当OE:2E=5:4时，求NOED的余弦值.

21.如图，AB、/C是。。的两条弦，AAB=AC.

Q)若AB=4店BC=8,求半径。1的长.

22.如图，在RM/03中，ZAOB=90°,以点。为圆心，6M长为半径的圆交2B于点C,

(1)判断直线CD与。。的位置关系，并说明理由；

24

(2)^tanZODC=OB=32,求。。的半径.

23.如图，OQ和0。2相交于A、B两点，。。2与AB交于点C,Q/的延长线交OQ于

点D,点E为AD的中点，AE=AC,连接。也.

(1)求证：OXE-OXC-

试卷第4页，共6页

(2)如果QQ=10,。乃=6,求OQ的半径长.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线＞=£^2+&+4与无轴相交于点/(-1,0),5(3,0),

与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点。，交线段8C

于点E,交抛物线于点尸，过点下作直线2c的垂线，垂足为点G.

⑴求抛物线的表达式；

⑵以点G为圆心，2G为半径画。G；以点E为圆心，E尸为半径画。E.当。G与。E内切

时.①试证明£尸与£8的数量关系；②求点尸的坐标.

25.如图，已知半圆。的直径为点A在半径而上，8为血的中点，点C在俞上,

以/8、3c为邻边作矩形/BCD,边CD交MN于点、E.

试卷第5页，共6页

(1)如果MN=6,AM=2,求边5c的长；

⑵连接CN,当ACEN是以CN为腰的等腰三角形时，求NA4N的余切值;

(3)连接。。并延长，交AB于点P,如果AP=24P,求空的值.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题考查的是正多边形中心角.熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键.

根据正n边形的中心角的度数为3吧602°，进行计算即可得到答案.

n

【详解】解：设正多边形的边数为小

解得n=6,

〃=6是所列方程的解，且符合题意，

该正多边形的边数为6.

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查垂径定理，三角形的内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容

及应用条件是解题的关键.分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可.

【详解】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合

题意；

B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意；

C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意;

D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符

合题意；

故选：C

3.D

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若d<r,则直线与圆相交；若"=，，则直线与

圆相切；若则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即

可；

【详解】•••/在半径为3的圆。上，如果点/到直线。的距离是6,

•••圆O与直线。的位置关系可能是相切或相离，

故选：D.

4.D

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理.由垂径定理得到==设

答案第1页，共21页

OA=OC=r,贝|OM=OC-CM=r-2,由勾股定理可建立方程/=+42,解方程

即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接04,

是。。的直径，ABVCD,

.-.AM=-AB=4,

2

i^OA=OC=r,贝|OA/=OC-CM=r-2,

在RtZUOM中，由勾股定理得Of=。河2+/加2,

...丫2=(—2)2+42,

•7=5,

/.OM=r-2=3,

故选：D.

5.A

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角

形性质和三角形内角和定理求出//阳，根据弧中点得出/BOC=；/AOB,代入求出即可.

【详解】解：・・・/。45=55。，OA=OB,

・•・AOBA=ZOAB=55°,

：^AOB=\80°-55°-55°=70°,

,•,点C是弧力8的中点，

-AC=BC^

ABOC=AAOC,

/BOC=L/AOB=35。,

2

部的度数为35。，

故选：A.

答案第2页，共21页

6.B

【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交

两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键

连接/。交。/于E,根据勾股定理求出的长，从而求出。E、D8的长，再根据相交两

圆的位置关系得出厂的范围即可.

【详解】解：连接/。交。/于£,如图1,

在RtA/C。中，由勾股定理得：AD=Y1AC2+CD2=A/42+32=5-

则。E=/O-/E=5-3=2,

VBC=7,CZ>=3,

：.BD=1-3=4,

二。。与。/相交，且点B在。。外，必须2<r<4,

即只有选项8符合题意，

故选：B.

7.圆内

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关

系有3种，当d>r时，点在圆外，当d=7”时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

【详解】：。。的半径为r=5,尸到圆心。的距离为d=4,

即d<r,

点尸在圆内.

故答案为：圆内.

8.10

【分析】本题考查两圆的位置关系.根据圆心距和两圆半径之间的关系：d=q-4（/>2）

即可得出.

答案第3页，共21页

【详解】解：:oa与。Q内切，0a的半径为%设。Q的半径为。。。2的长等于6,

4<6,

••・只可能是6=马-4

的半径为弓=4+6=10.

故答案为：10

1

9.-##0.5

2

【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得

到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及

特殊角的三角函数值是解决问题的关键.

【详解】解：正二十边形中心角为m360=°3。。，

.•.正二十边形中心角的正弦值为疝30。=；,

故答案为：y.

10.5

【分析】根据垂径定理得到4。=4分米，再利用勾股定理即可解答.

【详解】解：过点。作于点D,

•；NC=8分米，BD=2分米,

“0=4分米，

二设。1二X分米，

・・.8=(x—2)分米，

・••在Rt^OAD中，OA2=OD2+AD2,

.*.x2=(x-2)2+16,

x-5,

•••该圆柱形油槽的内半径为5分米，

故答案为5.

答案第4页，共21页

H

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

11.r>5

【分析】根据圆心距d与两圆内含的性质得出d的取值范围即可.本题考查了圆与圆的位置

关系，当+r时，两圆外离；当d=A+r时，两圆外切；当1<R+，,时，两圆相交；当

d=时，两圆内切；当时，两圆内含；

【详解】解：；半径分别为〃和2的两个圆内含，圆心距d=3,

：.d<r-2,

d=3,

:.3<r—2,

■,■r>5

”的取值范围是厂>5,

故答案为：r>5.

12.<

【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到

AB+BC>AC.如图，连接BC,根据题意知，AB=BC=CD,又由三角形三边关

系得到48+8O/C得到：AC<2CD.

【详解】解：如图，连接48、BC,

在。。中，若彘=前二五,

AB=BC=CD,

答案第5页，共21页

在△/8C中，AB+BC>AC.

AC<2CD.

故答案为：<.

13.2

【分析】设正六边形的中心是。，一边是4B,过。作OG1.N8与G,在直角△02G中,

根据三角函数即可求得04.

【详解】解：如图，过。作OGJL4&与G,

ZAOB=60°,0A=0B,

6

ZAOG=-ZAOB=30°,

2

在RtaNOG中，OG=G，ZAOG=30°,

•••6M=OG+cos30°=且也=2,

2

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计

算，属于常规题.

14.2

［分析］根据圆心距于两个圆半径间的关系即可判断得解.

【详解】解:•••半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,

:6—2<d<6+2

•••两圆相交，即是2个圆有两个交点，

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了圆与圆的位置关系，当外切时，圆心距=两圆半径的和，当内切时,

圆心距=两圆半径的差，两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间时，圆有两个交点.

15.120°##120度

答案第6页，共21页

【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得

ZAOC,结合同弧所对圆心角相等求得//OD,即可求得NCOD.

【详解】解：：NBOC=30°,4B是。。的直径，

-.ZAOC=150°,

■■AD=BC>

ZAOD=30°,

ZCOD=120°,

故答案为：120。.

16.V7

【分析】延长。。交圆于点E,作。尸，42于点尸，连接。2,根据相交线定理首先求得圆

的半径，然后在Rt^OB厂中，利用勾股定理求得。尸的长.本题考查了垂径定理和相交弦定

理，根据定理求得圆的半径长是关键.

【详解】解：延长。。交圆于点E,作。尸于点尸，连接08.

则OE=OC+C0=5,CE=8,

•/DCCE=ACBC,

:.2x8=AC-2AC,

解得：AC=26,

贝1J/3=3/C=6后,

OFVAB,

:.BF=-AB=3y/2,

2

在RtAOSF中，OF=VOS2-BF2=,25-18=V7-

故答案为：疗.

17.—2a

答案第7页，共21页

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，向量以及垂径定理，先过点q和Q分别作OE，/c、

即可作

02FLAD,证明四边形尸E是矩形，再运用垂径定理得出ECAE,DF=AF,

答.

【详解】解：如图：过点Q和&分别作O.FVAD,

•••过点A作。。2的平行线交两圆于C、D,

OXEJ_002，

•・・Qi£_LZC、02F1AD,

・•・四边形/屯是矩形,

EF=OXO2,

vO.ELAC,02F1AD,

EC=AE,DF=AF,

：.CD=2OXO2,

,**0^02=a,

则DC=-2a-

故答案为：-2答

18.-<AO<—

34

【分析】根据题意，需要分。。分别与边/反8E相切两种情况下,计算出/。长度即可解

答.

【详解】解：设。。与相切于点尸，连接。尸，OF=1,

答案第8页，共21页

AD

■■.AE=yjAB2+BE2=A/42+32=5，

△ABE中,

•・.AB>BE,

・•・ABAE<ABEA

•・•AD〃BC,

・•・/DAE=NBEA,

・•・/BAE</DAE,

-ZAFO=ZABE=90°,/FAO=/BAE,

・•・/\AFOSAABE,

•・•/DAE>/BAE,

.•・若。。与4D相切时，和一定相交；

若。。与48相切时，和40一定相离.

同理当。。与8C相切于点别■时，连接0河，0M=\,计算得£。=以,

.•.当g</。<t时，QO与矩形ABCD的各边都没有公共点，

故答案为：j<AO<.

【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种

答案第9页，共21页

情况计算.

19.证明见详解

【分析】由/8=CZ)知/g=CZ),得到/£)+/C=，即可得出ZZ)=5C.

【详解】解：•.・45=0

'4B=CD'即N£)+/C=3C+/C，

■■AD=BC.

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②

所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关

键.

20.(1)2A/6

(2)1

【分析】(1)连接02,先根据垂径定理得出OD1BC,BD=；BC,在RMB。。中，根

据勾股定理即可得出结论；

(2)在中，设BE=x,则。£=缶，ED=6-x,再根据勾股定理即可得出结

论.

【详解】(1)解：连接。8,如图所示：

在RMB。。中，OD2+BD2=BO2,

•：B0=A0=7,BD=5,即“2+52=72

0D=2-\/6：

(2)解：在RtAEOD中，OD2+ED2=EO2,

■■OE-.BE=5-A,

答案第10页，共21页

设BE=4x,贝!|0E=5x,ED^5-4x,

(2指『+(5-4X)2=(5X)2,即9X2+40X-49=0,则(9x+49)(x-l)=0,

解得x-(舍)，x=\,

:.ED=\,£0=5.

ED1

在Rt/XEOD中，cos/DEO=——=-

OE5

【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知

识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

21.(1)证明见解析

(2)OA=5

【分析】(1)连接。5、0C,由弧弦圆心角的关系可得，进而可得△/斯四△/OC(SAS),

得到=即可求证；

(2)延长/。交2c于点。，由三线合一可得BD=^BC=4,利用勾股定理可

得AD=jAB2-BD2=8,设。。的半径为X，则。/=08=x，0D=S-x,在RM2。。中再

利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：连接。8、0C,

■：AB=AC,

NAOB-ZAOC,

OB=0C,AO=AO,

AAOB^AAOC(SAS),

ZOAB=NOAC,

.,./O平分/R4C；

(2)解：延长/。交BC于点

■：AB=AC,40平分N5/C,

答案第11页，共21页

・•・ADIBC,

：./LADB=90°,BD=^BC=4,

■■AD=^AB2-BD2=J（4扃-42=8,

设。。的半径为x,则。4=O8=x,OD=S-x,

在RaBOD中，BD2+OD2=OB2,

.,.42+（8-x）2=x2,

解得x=5,

OA=5.

【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾

股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

22.(1)直线CD与。。相切，理由见解析

⑵24

【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键.

(1)连接。C,由O/=OC得NO4c=NOC4,结合CD=BD,即可求解；

7_________25

(2)设。。的半径为人可得CO=AD=/厂，根据辰(0方可得//，即

可求解；

【详解】(1)解：直线CD与。。相切，理由如下：

.-.ZOAC=ZOCA

答案第12页，共21页

•••CD=BD

/DCB=NDBC

•・•ZDBC+ZOAC=90°

・•.ZDCB+ZOCA=90°

・•.NOCD=180°-(/DCB+/OCA)=90°

•・・OC为半径，

・•・直线CD与OO相切

(2)解：设OO的半径为,，

,八OCr24

tanZ.ODC===——,

CDCD7

7

：.CD=BD=—r,

24

・•.OD=yj0C2+CD2=—r

24

••,OB=OD+BD=32

257c

/.——rd-----r=32,

2424

解得：r=24

23.（1）证明见解析；（2）5.

【分析】（1）连接利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△O/E三即

可；

（2）利用△。2EO|s△。2CA即可解答.

【详解】（1）OQ和OQ相交于A、B两点，

.•・4。2是人8的垂直平分线，

••.zO1CA=90°,

•••E为AD的中点，

•••OxE1AD,

.•"EA=90。，

.•.NQCA=NOIEA,

答案第13页，共21页

如图，连接。/

•••AE=AC,QA=qA

••.△O/ESO/C,

••OE=qc.

(2)VOJEIAD,

.•2。氏。2=90。，

在RtaQEa中，NQEQ=90。，QO?=10,QE=6,

22

OtE+O2E=OQ；,

.-.O^2=102-62,

QE=8,

■■■Z-O^EO-,=ZO2CA=90°,X.O2—Z,O2,

.-.△□JEO^AOJCA,

ACAO2

op,,

■：OXO2=10,AC=AE=CE—。2A=8—A。?，QE=6,

8-40、AO,

610

AO2=5,

即。。2的半径长为5.

答案第14页，共21页

故答案为5.

【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连

心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键.

483

24.(l)y=--x~2+-X+4

(2)①EF=EB,证明见解析；②[

【分析】(1)将抛物线的解析式可以写成y=”(x+l)(x-3)的形式，与了="2+加+4对比

即可求出0,6的值，进而求出抛物线的表达式；

(2)①画出大致图形，证明点8是。G与内切时的切点，即可得到所=班；②设点

F的坐标为]机,-3川+g加+4,用含m的代数式分别表示出所和EB,列等式即可求出m

的值.

【详解】(1)解：•••抛物线广办2+瓜+4与x轴相交于点”(TO),8(3,0),

••・抛物线的解析式可以写成y=a(x+l)(x-3)的形式,

即〉=ax2-2ax一3。,

・••-3a=4,-2a=b,

_48

•••〃=_]，b=],

4«

••・抛物线的表达式为片-京+4.

(2)解：由题意作图如下，

答案第15页，共21页

・•.GE是。G与。E圆心的连线，

•.•两圆相切时，圆心的连线经过切点，

.•・当。G与。E内切时，GE经过切点，

•••点3是线段G£延长线上的点，且在。G上,

.・•点2是。G与。E内切时的切点，

.•.点3在以点£为圆心，斯为半径的。£上,

・•・EF=EB,

48

②在＞=_1/+y+4中，

令x=0得y=4,

••・抛物线与y轴交于点C的坐标为（0,4）,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将C（0,4）和8（3,0）的坐标代入，

[4=b

得｛n2,人，

[0=3左+6

6=4

答案第16页，共21页

4

・•・设直线BC的解析式为y=-§x+4.

•・•点尸在抛物线上，

二设点F的坐标为（加,一1•/+|加+4

由题意即/加轴，

；.点E的坐标为■加+41，

•・•点尸在的上方，

4g(4、4

EFm2+m+42

­­=\yF-yE\=yF-yE=--~-\加+4=--m+4m,

4Wa

•••抛物线y=~x2+3元+4的对称轴为直线：x=J、=1,

33Oxz__

m>1,

vC(0,4),5(3,0),

・・・。。=4,08=3,

'-BC=y!oC2+OB2=5,

.OC4

sin/OBC=-----=一,

BC5

•・•尸。/加轴，

・•・EDLOB,

./八”ED4

sin/OBC=-----=一,

EB5

sinZO5C4

・・•点£在线段BC上,

%>°，

--m+4——m+5,

3，

EF=EB,

整理得，4m2-17m+15=0,

解得吟或3,

答案第17页，共21页

当加=3时，点区F,8重合，此时。石不存在,

故加=3不合题意，应舍去，

5

：.m=—,

4

当机时，力=_然偿1+久仅〕+4=0,

43⑷3⑷4

521

二求点F的坐标为

45T

【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点

的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点2是。G与。E内切时的切点，进

而得到EF=EB是解题的关键.

25.

⑵41—1

⑶等

【分析】(1)连接08,过点。作。〃工8C,垂足为由圆周角定理可得NMO8=90。，

进而可得N8=W，再证明根据sin/480=sin/B0〃，可得空="，

ABBO

即可求解；

Of)°_zy

(2)连接OC,设ZCON=a,贝|NCNO=NNCO=----------,ZCOH=,

22

aary

求出/。。"=45。+上，得到/。。£=45。-上，进而得到/ECN=45。，ZCEN=45°+-,

222

分CE=CH和CN=EN两种情况解答即可求解；

(3)由48〃0〃〃CE可得里=三=1,进而得到/。=。£,可证明△/OP三△E。。，

BHAO

得到QZ=Z)£,AO=OE=x,AP=ED=y,则45=3歹，AE=2x,证明△4Q5

-AEDA,得到当，即可得到2尤2=3/,由勾股定理8C=/Z)=石即可求解.

EDAE

【详解】(1)解：连接。8,过点。作0"13C,垂足为“，

答案第18页，共21页

,・•点5是前中点,

・•・/MOB=-ZNOM=lxl80°=90°,

22

-MN=6,

OM=ON=OB=-MN=3,

2

.'.OA=OM-AM=3-2=1,

••AB=yloA2+OB2=A/12+32=Vio，

・.•矩形/BCD,

・•・AB