圆压轴题动点问题分类训练（4种类型40道）（原卷版）-2024-2025学年人教版九年级数学上册专项训练

圆压轴题动点问题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1动点定值问题】........................................................................1

【题型2动点最值问题】........................................................................5

【题型3动点探究数量关系】....................................................................9

【题型4二次函数与圆综合的动点问题】........................................................13

【题型1动点定值问题】

1.如图所示，。。的半径是4,PA,PB分别与。。相切于点/、点、B,若P4与PB之间的夹角

AAPB=60°.

⑴若点C是圆周上的一动点，乙4cB的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数.

(2)求a/lBP的周长.

2.如图，。。是等边△ABC的外接圆，尸点是。。劣弧4B上的一个动点(不与点/,B重合).

⑴求乙4PB的度数；

(2)若24=3,PB=4,求PC的长;

(3)若=48，点P在劣弧48上运动的过程中，

①P4+PB的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围.

②试探究P42+PB2+PC2的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其的取值范围.

3.如图1,E点为x轴正半轴上一点，G)E交x轴于/、B两点,尸点为劣弧前上一个动点，且4(—1,0)、

£(1,0).

⑴前的度数为°;

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,则。G的最大值为二

(3)如图3,连接AC、AP、CP、CB.若CQ平分NPCD交P4于Q点，求4Q的长；

⑷如图4,连接24、PD,当P点运动时(不与B、C两点重合)，求证：嗡£为定值，并求出这个定值.

4.综合探究

如图，在扇形。MN中，0M=3/M0N=90。/是而上异于用网的动点，过点4作ZB10M于点8,作AC1ON

于点C,连接8C,点E,D在线段BC上，且BE=ED=DC.

⑴求证：四边形0E4D是平行四边形.

⑵当点4在而上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不

存在，请说明理由.

⑶求证：+3202是定值.

5.如图1,E点为无轴正半轴上一点，OE交支轴于2、B两点，交y轴于C、。两点，P点为劣弧前上一个动

点，且2(-1,0)、£(1,0).

(1)如图1,连结PC,取PC中点G,连结。G,贝!JOG的最大值为.

(2)如图2,连接4C、4P、CP、CB.若CQ平分NPCD交P2于Q点，求4Q的长;

(3)如图3,连接24、PD,当P点运动时(不与B、C两点重合)，求证：嗡£为定值，并求出这个定值.

6.如图1,点G为等边△力8C的重心，点。为BC边的中点，连接GD并延长至点。，使得DO=DG,连接GB,

GC,OB,0C

A

图2②

⑴求证：四边形BOCG为菱形.

(2)如图2,以。点为圆心，0G为半径作。。

①判断直线2B与。。的位置关系，并予以证明.

②点M为劣弧BC上一动点(与点B、点C不重合)，连接BM并延长交AC于点E,连接CM并延长交AB于点F,

求证：2E+4尸为定值.

7.已知△4BC内接于OO.

⑴如图1,过点B作8D14C于点N,交。。于点0,过点4作2E1BC于点E,交BD于点M,试探究4M与4。

的数量关系，并说明理由;

⑵如图2,在（1）的条件下，过点。作。H1BC于点H,试证明：AM=20H；

⑶如图3,作ABAC的角平分线4D交圆。于点0,若点P为劣弧BC上一动点，连接PB、PC,过点。作D”1PC

于点H,试猜想总手的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由.

Ln

8.已知直径力B、CD互相垂直，点M是AC上一动点，连AM、MC、MD.

图1图2

⑴如图1,求证：MD-MC=&MA；

(MI)2-MC2)

(2)如图2,求证:-MA-MB-为定值.

9.如图，已知48是OO中一条固定的弦，点C是优弧4CB上的一个动点(点C不与/、8重合).

⑴如图1,CD1AB于。，交0。于点N,求证：4ACO=4BCD.

(2)如图2,设力B=8,。。半径为5,若CE平分N4CB,交。。于点四边形力CBE的面积是否是定值？若

是定值，求出这个定值，若不是定值，求出四边形4CBE面积的取值范围.

10.如图，已知BC是。。的弦，A是。0外一点，aABC为正三角形，D为BC的中点，M为。0上一点.

(1)若AB是。0的切线，求NBMC；

(2)在(1)的条件下，若E,F分别是AB,AC上的两个动点，且/EDF=120。，的半径为2,试问BE+CF

的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【题型2动点最值问题】

11.如图1,在O。中，2。为。。的直径，弦801。于点E,弦BG14C于点F,BG与AD交于点H.

1

⑴求证：乙GBC=①乙BAC.

(2)如图2,点。落在BG上.

①求证：△ABC为等边三角形;

②如图3,若。。的半径为2,点P是直线8D上的动点，将点P绕点。逆时针旋转120。得点Q,连接

0P,0Q,PQ,BQ.求。P+BQ的最小值.

12.如图，四边形A8CD内接于。。，AC为O。的直径，4ADB=4CDB.

⑴试判断△力BC的形状，并给出证明；

(2)若AB=VLAD=1,求CD的长度.

⑶在(2)的条件下，如图2,若E是线段力C上的动点，连接EB,将aBEC绕点B逆时针旋转得到△4BF,①

求证：4尸是。。的切线；②连接EF,如图3,求EF的最小值.

13.如图，在矩形48CD中，AD=4,Z.BAC=30°,点。为对角线47上的动点（不与人C重合）,以点。为

圆心在4C下方作半径为2的半圆。，交2C于点E、F.

⑴当半圆。过点4时，求半圆。被4B边所截得的弓形的面积；

⑵若M为丽的中点，在半圆。移动的过程中，求BM的最小值;

⑶当半圆。与矩形4BCD的边相切时，求4E的长.

14.问题背景：在RtaaBC中，乙4=90。，AB=AC,由勾股定理可知：BC=^2AB.

⑴问题探究：如图①，BC是。。的直径，点4在。。上，AB=AC,P为弧BmC上一动点(不与B,C重

合)，求证：V^PA=PB+PC.请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程.

(2)类比迁移：如图②，。。的半径为4,点4B在。。上，C为。。内一点，AB=AC,ABLAC,垂足为

A,求。C的最小值.

15.【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题:

点4为。。内一定点，点P为。。上一动点，确定点P的位置，使线段4P最长.

【问题解决】以下是小华的方法：

如图①，连结力。并延长交O。于点P,点P为所求.

理由如下：在O。上取点P'（异于点P）,连结AP'、0P'.

接下来只需证明AP>AP'.

请你补全小华的证明过程.

【类比结论】点力为。。外一定点，点P为。。上一动点，设。。的半径为r,4。的长为小，则线段力P长度

的最大值为，线段4P长度的最小值为.（用含八爪的代数式表示）

【拓展延伸】如图②，在半圆。中，直径力B的长为10，点。在半圆。上，2。=6,点C在丽上运动，连结

AC,“是4C上一点，且ND”C=90。，连结B凡在点C运动的过程中，线段长度的最小值为

16.已知O。的直径48为10,。为O。上一动点(不与4、B重合)，连接2D、BD.

(1)如图1,若4。=8,求BD的值；

⑵如图2,弦。C平分乙4DB,过点4作AE1CD于点E,连接BE.

①当△BDE为直角三角形时，求BE的值；

②在点。的运动过程中，请直接写出8E的最小值.

17.己知，。。的半径为1,BC为。。的弦，直径MN1BC在劣弧前上），/为BN上一动点（不与2、

N重合），ABAC=60。.

（D如图1,求BC的长.

（2）如图2,。为4C上一点且CD=4B,E为BD中点，连接力E,求4E的长.

⑶（选做）如图3,在（2）的条件下，连接B。，将8。绕8点顺时针旋转90。得到8F,当/在丽上运动时,

EF的最小值为

18.如图①，在O。中，劣弧48的度数为120。，点P是优弧48上的动点，且不与点48重合，弦PB的垂直

平分线分别交射线P4弦PB于点C,D.

⑴求证：△PC8是等边三角形；

(2)4P0C能否为等腰三角形？如果能，求此时NPOC的度数；如果不能，请说明理由;

⑶若。。的半径为2,则△POC面积的最大值是.

19.如图，圆。为Rt△4BC的外接圆，乙4cB=90。，BC=4V3,AC=4,点。是圆。上的动点，且点C、D

分别位于4B的两侧.

5,

⑴求圆。的半径；

⑵当CD=4鱼时，求N4CD的度数；

⑶设4。的中点为M,在点。的运动过程中,线段CM的最大值为_______

20.在Rt△48c中，Z.BCA=90°,C4=CB,点。是△ABC外一动点(点B,点。位于AC两侧)，连接CD,

AD.

图1图2图3

⑴如图1,点。是4B的中点，连接。C,OD,当△4。。为等边三角形时，N4DC的度数是；

⑵如图2,连接BD,当N4DC=135。时，探究线段BD,CD,。力之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,。。是△ABC的外接圆，点。在前上，点E为4B上一点，连接CE,DE,当力E=LBE=7时,

直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长.

【题型3动点探究数量关系】

21.已知O。是△4CD的外接圆，点。是前的中点.

⑴如图1,连接0。交力C于点E,过点4作C。的垂线交CO延长线于点F.设NZMC=a,4FAC=例请用含a

的代数式表示S；

(2)如图2,过点C作BC14C,交弦4。的延长线于点B.

①求证：AD=BD；

②若。。的半径为4,AD=5,求的值；

(3)如图3,若就是半圆，点P是。。上的动点，且点。，P分别位于力C的两侧，作△APD关于2D的轴对称

图形△4QD,连接CQ,试探究CQ2,DQ2,4Q2三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论.

22.如图，△4BC内接于O。，4B是O。的直径，点P是半径0B上一动点（不与0,B重合），过点P作射

线Z14B交BC于点。点.

⑴实践与操作：过点C作。。的切线交直线Z于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字

母）

（2）猜想与证明：试猜想线段。?与CF的数量关系，并加以证明.

23.如图，AB是O。的直径，点尸是O。上的动点(P与A,B不重合)，连接4P,BP,过点O分别作0E1AP

于E,OF1BP^-F.

⑴若直径4B的长度不变，当点尸在。。上运动时，线段EF的长会不会改变？若会改变，请说明理由：若不

会改变，请求出EF与4B的数量关系；

(2)若4P=BP,判断四边形OEPF是何特殊四边形，请说明理由.

24.如图1,在正方形48CD中，P是边BC上的动点,E在aABP的外接圆上，且位于正方形48CD的内部,

备用图

(2)如图2,连接DE,过点E作EF1BC于点F,请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由;

⑶当点P是的中点时，DE=4,求的长.

25.如图，A,8是O。上的两个定点，尸是O。上的动点（P不与/、8重合）

⑴若4B是。。的直径，贝iU4PB=一。；

（2）若。。的半径是LAB=痘,求乙4PB的度数；

⑶已知。2是。。1外一点，以。2为圆心作一个圆与。。1相交于4、2两点，P是。。1上的动点（尸不与

重合），直线P4、P8分别交。。2于M、N（点M与点/、点N与点8均不重合），连接4V,试探索N2PB

与NAMN、41N8之间的数量关系.

26.已知O。是△ABC的外接圆，且丽=前，乙48c=60。，。为O。上一动点

D

⑴如图1,若点。是4B的中点，则=

(2)如图2,点。是通上一动点，过点B作直线2D的垂线，垂足为点E,求证：CD=DE+AE；

(3)如图3,ND=30。，连接4。，探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由

27.如图，直角坐标系中，。7为第一象限的角平分线，4(6,0),点P为。4上一动点，Q为y轴上一动点,

AP=OQ,以PQ为直径的圆与。T相交于点C.

(1)若NOCQ=45°,求点P坐标(_,_)

⑵求证：CP=CQ；

⑶判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明;

28.如图1,在Rt△力BC中，AB=AC=4,4。1BC于D,E为48边上的点，过4、D、E三点的O。交4c

于F,连接DE,DF.

⑴求证：AE=CF-

⑵如图2,点P为弧DE上一动点，连接PD,PE,PF.在点P运动过程中，试探索PD,PE,PF之间的数量

关系，并证明；

⑶如图3,在扇形4BC中，M为弧BC上任意一点，过点M作MN1AC于点N,设Q为△AMN的内心，当点M

从点B运动到点C时，请直接写出内心Q所经过的路径长.

29.如图，点尸是等边三角形48C中AC边上的动点(0。〈乙48P<30。)，作△BCP的外接圆交4B于点

。.点E是圆上一点，且PD=PE,连接DE交BP于点尸.

⑴求证：BE=BC

(2)当点尸运动变化时，ABFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求ABFD的度数.

⑶探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明.

30.如图1,点。为A48C的外接圆上的一动点(点。在就上，且不与点/,C重合)，乙4DB=ABAC=

⑴求证：A48c是等边二角形；

(2)连接CD,探究4D,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由；

⑶如图2,记8。与/C交于点£,过点E分别作EN1/8于点M,ENLBC于点N,连接MN,若/8=6,

求的最小值.

【题型4二次函数与圆综合的动点问题】

31.在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6久+c的图象与x轴交于4(一1,0),B(3,0)两点，交y轴于点

C,点尸是第四象限内抛物线上的一个动点.

甲乙

⑴求二次函数的解析式：

(2)如图甲，连接AC,PA,PC,若Sgac=3,求点尸的坐标；

⑶如图乙，过/,8,P三点作OM,过点P作PElx轴，垂足为。，交OM于点E.点尸在运动过程中

线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长.

32.如图，二次函数，=一/+法+(；(£140)的图像经过点4(一1,0),5(3,0),交y轴于点C,点£为该二

次函数图象上第一象限内一动点.

(1)6=，c=；

(2)如图①，连接4E与BC相交于点尸，当S^PBE—SAPAC的值最大时，求点E的坐标；

(3汝口图②，过点E作EHlx轴于“点，交直线BC于点R以EF为直径的OM与BC交于点R,当△EFR周

长最大时，求点£的坐标.

33.二次函数y=/—+巾2+6—5.

图2

(1)当巾=1时，函数图象与x轴交于点4、B,与y轴交于点C.

①写出函数的一个性质；

②如图1,点P是第四象限内函数图象上一动点，求出点P坐标，使得ABCP的面积最大；

③如图2,点Q为第一象限内函数图象上一动点，过点Q作QFlx.轴，垂足为尸，△ABQ的外接圆与QF交于

点。，求DF的长度；

⑵点用(0,月)、N(%2,y2)为函数图象上任意两点，且Xi＜尤2.若对于*1+x2＞3时，都有力＜y2,求m的取

值范围.

34.如图(1),二次函数y=a/—5久+c的图像与久轴交于4(一4,0),B(b,O)两点,与y轴交于点C(0,—4).

图⑵

⑴求二次函数的解析式和6的值.

1

⑵在二次函数位于X轴上方的图像上是否存在点M,使S^BOM=NOBC?若存在，请求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

⑶如图(2),作点4关于原点。的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点斤是圆在x轴上方圆弧上的动点

(点皆不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合)，平移线段4E,使点E移动到点E一线段4E

的对应线段为4E,连接EC,A'A,44的延长线交直线石£于点N,求箸的值.

35.在平面直角坐标系中，二次函数尸步+fec+c的图象与x轴交于4-2,0）,2（4,0）两点，交＞轴于点

C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.

（1）求二次函数的解析式；

1C

（2）如图甲，连接/C,PA,PC,若S^p4c=万，求点P的坐标；

（3）如图乙，过/,B,P三点作0M,过点P作PElx轴，垂足为。，交。"于点£.点尸在运动过程中

线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长.

甲乙

36.己知如图，二次函数y=a久2+法+2的图象经过/（3,3）,与x轴正半轴交于2点，与y轴交于C点,

AABC的外接圆恰好经过原点Q

（1）求8点的坐标及二次函数的解析式；

（2）抛物线上一点Q（加，〃什3）,（优为整数），点M为A48C的外接圆上一动点，求线段。河长度的范围;

（3）将A40C绕平面内一点尸旋转180。至ATOO（点。与。为对应点），使得该三角形的对应点中的两

个点落在y=ax2+bx+2的图象上，求出旋转中心P的坐标.

37.如图，在平面直角坐标系中，四边形0/3C是边长为2的正方形，二次函数＞=-»2+bx+c的图象经过

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/、E两点，且点E的坐标为（-§,0）,以0