浙教版九年级数学同步训练：特殊二次函数的性质（解析）

第04讲特殊二次函数的性质

*如识点梳理

一、二次函数丫=2*2(a#0)与丫=@*2+(^#0)的图象及性质(复习图像，分析性质，数形

结合)

1.二次函数y=ax2(a20)的图象的性质

二次函数丫=@/(aWO)的图象的性质，见下表:

函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值

2

y=axa>0向上(0,0)y轴x>0时，y随x当x=0时，

增大而增大；y最小二0

k2x<0时,y随x

oX增大而减小.

2

y二axa<0iz向下(0,0)y轴x>0时，y随x当x=0时，

o增大而减小；y最大=0

x<0时,y随x

7]飞增大而增大.

2.二次函数y=ax2+c(aW0)的图象的性质

关于二次函数>=以2+。(4/0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、

函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究.下面结合图象，将其性质列表归

纳如下：

函数y=ax2+c(a>0,c>0)y=ax2+c(a<0,c>0)

却)

图象

0X*rv

开口方向向上向下

顶点坐标(0,c)(0,c)

对称轴y轴y轴

当x>0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；

函数变化

当x<0时，y随x的增大而减小.当x<0时，y随x的增大而增大.

最大(小)值当％二°时，y最小值二c当x=0时，y最大值=。

二、二次函数y=a(x-h)2(ah0)与y=a(x-h)2+k(aH0)的图象与性质

1.函数y=a(x-h)\a*0)的图象与性质

〃的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，y随x的增大而增大；尤时，y随

6Z>0向上(h,0)x=h

x的增大而减小；龙="时，y有最小值0.

时，y随x的增大而减小；时，y随

a<Q向下(h,0)x=h

x的增大而增大；x=/z时，y有最大值0.

2.函数y=«(x-h)2+k(a*0)的图象与性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，y随x的增大而增大；尤<九时，y随

a>Q向上(h,k)X二h

x的增大而减小；龙=入时，y有最小值机

x>/z时，y随x的增大而减小；无v/z时，y随

a<0向下（力，k）x=h

x的增大而增大；x=/z时，y有最大值左.

^WW<IBW

、'例1.下列说法中正确的是（）

A.在函数y=2Y中，当x=0时y有最大值0

B.在函数y=2/中，当x>0时y随x的增大而减小

C.抛物线y=2x?,y=-Y,>=中，抛物线y=2/的开口最小

D.不论a取何值，了="2的顶点都是坐标原点

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用y=aN（存0）图象的性质分别分析得出答案.

A由函数的解析式y=2/,可知抛物线顶点坐标在原点，开口方向向上，故当广。时y有最

小值0,故A错误；

B由函数的解析式y=2x2,可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x<0）,y随尤增大而减

小，对称轴的右边（x>0）,y随x增大而增大，故B错误；

C根据二次函数的性质，可知系数。决定开口方向和开口大小，且。的绝对值越大，函数图

象开口越小，可知抛物线>=2尤2的开口最小，故C正确；

D不论a是正数还是负数，抛物线>=依2（"0）的顶点都是坐标原点，故D错误

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确产"2（际0）的图像的特点.

、：例2.函数y=x+i,y=x2+2,y=x2,y=-2x2+1中，当x>0时，y随x的增大

而增大的函数共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一次函数与二次函数的图象与性质即可判断.

解：当x>0时，y随x的增大而增大的函数是一次函数y=x+l和二次函数y=x?+2和y

=x2.

故选C.

【点睛】

此题主要考查函数的图象，解题的关键是熟知一次函数与二次函数的图象与性质.

［例3.下列关于二次函数y=2Y的说法正确的是()

A.它的图象经过点(0,2)B.它的图象的对称轴是直线x=2

C.当x<0时，y随x的增大而减小D.当40时，y有最大值为。

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象性质即可判断.

解：A、当x=0时，y=0#2,故此选项错误；

B、它的图象的对称轴是直线x=0,故此选项错误；

C、当x<0时，y随x的增大而减小，当尤>0时，y随尤的增大而增大，故此选项正确；

D、当x=0时，y有最小值是0,故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解

题关键.

-、-，例4.点(4%),(9,%)均在抛物线y=Y-1上，下列说法正确的是()

A,若％=%，则玉=无2B.右X[=~x2,则>1=1%

C.若0<无1<尤2，则”>为D.若玉</<。，则%>%

【答案】D

【解析】

解：由图象，根据二次函数的性质，有

A.若％=>2，则占=—x2，原说法错误；

B.若玉=-%，则％=y?，原说法错误；

c.若。<玉<%,则%〈必，原说法错误；

D.若不<尤2<。，则%>必，原说法正确.

故选D.

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质.

，1例5.点P(m,n)在函数y=x2的图象上，当-lWmW2时，则n的取值范围是

()

A.1<n<4B.0<n<4C.0<n<lD.-1<n<2

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出m取值范围内的最大值，然后写出n

的取值范围即可.

解：函数y=x2,所以对称轴为y轴，

V-l<m<2,a=l>0即开口向上，

当m=0时，n有最小值0,

当m=2时，n有最大值为22=4,

所以n的取值范围是0<n<4.

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并利用二次函数的增减性以及最值问题进

行分析是解题的关键.

例6.已知二次函数y=3(x-2y+5,则有()

A.当x>-2时，>随x的增大而减小B.当尤>-2时，>随x的增大而增大

C.当x>2时，y随X的增大而减小D.当x>2时，y随X的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】

根据抛物线顶点式解析式特征，结合抛物线图象的性质，开口向上的抛物线，在对称轴的右

边，》随尤的增大而增大，据此解题即可.

,J=3(X-2)2+5

，抛物线开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为（2,5）

根据抛物线图象的性质，当尤>2时，>随x的增大而增大

:4、B、D都不正确，

D正确

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

已知抛物线y=（X-2）2上任意两点A（XI,V）与B（X2,>2）,若

>2,则y/和丫2的大小关系是（）

A.yi>y2B.yi<y2C.yi>y2D.yi<y2

【答案】B

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B两点与对称轴的远近，判断〃与”的大小

关系即可；

解：：抛物线y=（x-2）2,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,

'.X2>XI>2,则”>经，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的

关键.

若二次函数y=(x-〃z)2-1.当XW3时，>随x的增大而减小，则加的取值范

围是（)

A.加=3B.m>3C.m>3D.m<3

【答案】C

【解析】

【分析】

由题知道二次函数对称轴为X=，〃，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x在对称轴左

边的时候y随x的增大而减小，即可得解.

解：由题知二次函数对称轴为x=w,开口向上，

根据二次函数图像的性质：只需满足即可满足题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键.

[•j例9.如图，抛物线yi=a(x+2)2-3与y2=：(x-3)z+1交于点A(1,3),过点A

作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值

总是正数；②a=l；③当x=0时，y2-yi=4；④2AB=3AC；其中正确结论是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由=：。-3)2判断①；把A点坐标代入抛物线yi=a(x+2)2-3求出a值判断

②；由x=0求得y2,yi作差后判断③；由二次函数的对称性求出B,C的坐标，进一步验证

2AB=3AC判断④.

解：对于①，%=；(尤-3)2+1..1>0,.•.无论x取何值，y2的值总是正数正确；

2

对于②，：抛物线yi=a(x+2)2-3过点A(1,3),贝|3=a(1+2)2-3,解得。=§,②错误;

对于③，乂="|(%+2)2-3,%=：(x-3)2+1,当x=0时，③错误;

322.\5)6

对于④，：抛物线yi=a(x+2)2-3与必=；(无一3>+1交于点A(1,3),...可求得B(-5,

3),C(5,3),求得AB=6,AC=4,则2AB=3AC,④正确.

故选D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题.

'例10.当a>0时，抛物线y=a(x-〃)2的开口,对称轴是直线,顶点

坐标是，当x=/i时，y有最____值为0,当了<//时，y随x的增大而；当

时，y随尤的增大而.

当。<0时，抛物线y=a(x-4的开口，对称轴是直线,顶点坐标是,

当时，y有最值为0,当时，y随尤的增大而；当x>/z时，y随x的增

大而.

【答案】向上x=h(/i,0)小减小增大向下x=h(/?,

0)大增大减小

【解析】

略

八

、］例U.已知二次函数y=(a+2)N有最小值，那么〃的取值范围是.

【答案】a>-2.

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，当二次项系数大于。时抛物线开口向下，函数有最小值，即可得出答

案.

解：因为二次函数y=(a+2)N有最小值，

所以a+2>0,

解得a>-2.

故答案为：a>-2.

【点睛】

本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图象性质是解题关键.

在2例I2.当-1WX42时，二次函数y=Y的最大值是,最小值是

【答案】40

【解析】

【分析】

利用二次函数图像找到-14x42范围内的图像变化规律，从而求解.

,二次函数y=/,

•••对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，

y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随尤的增大而增大.

...当-14x42时，最小值是当x=0时，y=0；

当x=-l时，y=l；当x=2时，y=4.

故答案为4；0.

【点睛】

本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键.本题难度不大，

注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值.

例13.设4(—2,〃)、8(1,”)、C(2,刈是抛物线y=—(无+1/+左上的三点，则”、

”、”的大小关系为.

【答案】%>%>为

【解析】

【分析】

本题要比较％,七，%的大小，由于外,尤%是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根

据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称

点H的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，，随x的增大而减小，便可得出％,

为，的大小关系.

解：抛物线y=-(x+l)2+k,

二对称轴为x=-l,

,A点关于x=T的对称点4(0,乂)，

CL——1V0,

在x=-1的右边y随x的增大而减小，

A(0,%),8(1,%),C(2,%),0<1<2,

故答案选：%>%>%.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：«>0

时，在对称轴左边，y随尤的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大；。<0时，

在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小.

['1例14.

已知关于X的二次函数y=(x-/?>+3,当1WXW3时，函数有最小值2/Z,则人

的值为____________

3

【答案】:或6

2

【解析】

【分析】

依据二次函数的增减性分lWh03、h<l、h>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，

解之可得.

'/y=(尤-/ip+3中cz=l>0,

当尤<//时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；

①若l<h<3,

则当广九时，函数取得最小值3,

即2〃=3,

3

解得：吟

②若则在1WXW3范围内，x=l时，函数取得最小值2/z,

即(l-〃y+3=2/z,

解得：h-2；(舍去)

③若〃>3,则在1WXW3范围内，x=3时，函数取得最小值2h,

即(3-/7)2+3=2"

解得:/i=6,/i=2(舍去);

故答案为：;或6.

【点睛】

本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.

|'例15.我们知道：二次函数：y=(x-l)2,当x=l时，y有最小值，y=(x-2p当x=2

时，y有最小值；那么请同学们探究一下：y=(x-l)2+(x-2)2,当*=时，y有最小

值.y=(%—”1)2+(%—Q2)+…+(]—40),当x=202时y有最小值,则囚+%+•…+〃io=.

3

【答案】-2020

【解析】

【分析】

利用二次函数的，开口向上，求出对称轴，当X为对称轴的值时，函数取最小值即可.

由y=(x_l)2+(x—2)2=2%2_6x+5=2(%2—3x)+5=,

当x=£3时，y有最小值.

由y二(兀-—2)+…+(%—Go)，

2

y=10x—2(q+%+,+4o)x+a；9

当X=-3=+〃=202.函数取最小值

2a10

...q+%++=2020,

3

故答案为：；，2020.

2

【点睛】

本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数中a决定开口方向，当a>0时，抛物线开口向

bh

上，x=-二时函数取最小值，反之，当a<0时，抛物线开口向下，x=-丁时函数取最大值

2a2a

是解题关键.

心蹑踪钏瀛

一、单选题

1.关于抛物线y=-f+2下列说法正确的是()

A.开口向上B.对称轴是y轴C.有最小值D.当x<0时，函数y

随x的增大而减小

【答案】B

【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项,

可求得答案..

【解析】解：•••抛物线解析式为y=_*+2,-K0,

•••抛物线开口向下，对称轴为y轴，

；•函数有最大值，当x<0时，函数y随x的增大而减小，

；•四个选项中只有选项B符合题意，

故选B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与系数的关系和二次函

数的性质是解题的关键.

2.己知抛物线y=(2-a)d+i有最低点，那么〃的取值范围是()

A.a>0B.a<0C.a>2D.a<2

【答案】D

【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物

线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到由此即可得到“的

取值范围.

【解析】解：•••二次函数y=(2-a)d+l的图像有最低点，

二函数图象开口向上，

则2—a>0,

解得a<2.

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键.

3.对于二次函数>=-3。-2)2的图象，下列说法正确的是()

A.开口向上B.对称轴是直线x=-2

C.当x>-2时，y随X的增大而减小D.顶点坐标为(2,0)

【答案】D

【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线x=2,顶

点坐标为(2,0),在对称轴的左侧，y随X的增大而增大，

【解析】对于二次函数y=-3(x-2)2,-3<0,则开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐标

为(2,0),

故A,B选项错误，D选项正确，

当尤<2时，y随尤的增大而增大，当%>2时，y随x的增大而减小，

.•.当x>-2时，y随尤的增大先增大后减小，故c选项错误，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

4.已知二次函数y=a(x-〃z)2(a<0)的图象经过点A(-1,p),B(3,q),且p<q,

则m的值可能是()

A.-1B.-V2C.0D.|

【答案】D

【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点48坐标求出A,B关于

对称轴对称时机的值，进而求解.

【解析】解：•・•、=〃(x-m)2(〃<0),

・・・抛物线开口向下，对称轴为直线

-1+3

当p=q时,m1,

2

p<q,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

5.已知某二次函数，当尤<1时，y随x的增大而增大；当x>l时，y随x的增大而减小，则

该二次函数的解析式可以是（）

A.y=2（x+l）2B.y=2（尤一IpC.y=-2（x+l）2D.j=-2（x-l）2

【答案】D

【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线尤=1,然后对各选项进

行判断.

【解析】解：：当x<l时，y随尤的增大而增大；当x>l时，y随x的增大而减小，

...抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

二y=-2（x-lp符合条件,

故选：D

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线x=l是

解题的关键.

6.在下列函数图象上任取不同的两点次%,X）,。（马，必），一定能使上显<°的是（）

%—X]

2

A.y=—（尤>0）B.y=—（尤一2）~9+5（尤20）

C.y=（x-3）2-4（x<0）D.y=3x+7

【答案】C

【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可.

2

【解析】解：A、y=——（x>0）中，k=—2<Q,则当x>0时，y随x的增大而增大，

x

即当%>马时，必有必>必，

此时取=>0,故本选项不成立；

x2一石

B、：y=(尤一2)2+5(xN0)的对称轴为直线尤=2,

.,.当0<x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时y随x的增大而增大，

...当x>2时，当玉>/时，必有力>当，

此时21二五>0,故本选项不成立；

x2一芭

C、：y=(x-3)2_4(x<0)的对称轴为直线x=3,

当尤<3时，y随尤的增大而减小，

...当x<0时，当王>彳2时，必有％<必，

此时上工<0,故本选项成立；

无2一%

D、：y=3x+7中，k=3>0,

随x的增大而增大，即当天时，必有%>%，

此时三二工>。，故本选项不成立.

x2一再

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的

增减性是关键.

7.已知点A(m,%),3(%2，%)是一"次函数y=(x-3)+3上的两点，右尤］<3<%,xl+x2>6,

则下列关系正确的是()

A.%<3<%B.3<yl<y1C.3<y2VMD.%<%<3

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论.

【解析】解：y=(x-3)2+3,对称轴为尤=3,。=1>0,

抛物线的开口向上，当x=3时，函数取得最小值，、=3,抛物线上的点离对称轴越远，

函数值越大，

<3<x2,+x2>6,

.♦.点A,B在对称轴的两侧,且上-3|<同一3|,

3<%<%;

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键.

2

8.设函数M=(x-aJ,%=卜一生)一，=(x-a3).直线x=b的图象与函数X,%,以

的图象分别交于点A,G),B(b,cj,C,cJ,()

A.若b＜a、＜&,则。2＜。3＜6

B.若a,＜6＜/＜/，则q＜。2＜。3

C.若a、＜b＜a、,则03＜。2＜缶

D.若为＜。2＜。3＜人，则。3＜。2＜。1

【答案】D

【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x=l，与二次函数图象的交点进行判断

即可.

【解析】解：如图所示，

A.由图象可知，若6＜/＜生＜/，当X=b时，q＜C2＜c3,故选项错误，不符合题意；

B.由图象可知，若0＜6＜/＜见，，当X=b时，9＜。2＜。3不一定成立，故选项错误，不

符合题意；

C.由图象可知，若/＜。2＜%＜/，当X=b时，。3＜。2＜9不一定成立，故选项错误，不符

合题意；

D.由图象可知，若兄＜见＜见＜＞，当x=b时，c3＜c2＜clt故选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.

9.如图，抛物线＞=内2+。(a＞0,c＜0)与x轴交于A,B两点，直线AC交抛物线于

另一点C,直线3方交抛物线于另一点。，AC的解析式为“=左/+伉，的解析式为

y2=k2x+b2,若AC〃皿，则&和4和%的关系都正确的是()

B.—k2=0,4+4=0

C.左]+无2=。,—b2=0D.—k2=0,bt—b2=0

【答案】B

【分析】利用一次函数的特征，先求得A-?，。，8b

2，o,再由抛物线—加+c（<2>0,

凡）k2

b也

c<0）与x轴交于A,8两点，得=0,进而一次函数平行的性质即可得解.

%k2

【解析】解：：AC的解析式为％=%x+4，3D的解析式为％=&x+%，

by

•••令％=0得0=%x+4,解得尤=一1

b?

令丫2=。得。=□+%,解得彳=一忒,

*2

B-14

:抛物线y=ox?+c(o>0,c<0)与x轴交于A,3两点,

b2

b=0,

AC//BD,

..k]=k、,

kl—kj=0,4+Zz,=0,

故选B.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的

关键.

10.如图，抛物线y=（x-/7）2+A的顶点在AQ5的边。4所在的直线上运动，点A的坐标为

（2,1）,点8的坐标为（。，3）,若抛物线与，AC®的边AB、Q4都有公共点，则人的取值范围是

y,

31

A.-2<h<-B.0<h<2C.——<h<2D.-2<h<2

22

【答案】C

【分析】先求得直线。4的解析式为：y=然后由抛物线的顶点在直线y=上，可

求得左=3/7,于是得到抛物线的解析式为y=（xj）2，由图形可知当抛物线经过点A和

点。时抛物线与A03的边AB、Q4郡有公共点，然后将点A和点。的坐标代入抛物线的解

析式可求得力的值，从而可判断出场的取值范围.

【解析】解：设直线的解析式为：'=冰，

点A的坐标为（2,1）,

2a=1J

解得

••・直线。4的解析式为：y=^x,

抛物线y=（x-/7/+人的顶点为：依，好,且在“103的边。4所在的直线上运动，

k—h,

2

••・抛物线解析式为：y=（x~/i）2+1/7,

当抛物线经过点。时，

将（0，。）代入>=（》-〃）2+3力得：

〃〜+]/z=0,解得4=0,=――,

当抛物线经过点A时，

将A（2,l）代入丁="一/?）2+3/7得：

913

（2-/?X+-/7=l,解得九=2,/72=|,

综上所述，。的取值范围为：-；4九42,

故选：c.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通

过平移抛物线探究得出抛物线与3A03的边AB、Q4都有公共点，抛物线经过的“临界点”为

点A和点。是解题的关键.

二、填空题

11.如果抛物线丫="2-3的顶点是它的最高点，那么。的取值范围是.

【答案】a<0

【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解.

【解析】解：：顶点是抛物线，=以2-3的最高点，

，抛物线开口向下，

••〃<0.

故答案为：a<0.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的

关键.

12.已知点人(-2,乂)、3(—3,%)为二次函数>=(尤+1『图像上的两点，那么

%必.(填或“<”)

【答案】<

【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道4B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代

入二次函数解析式求出力、为值，再比较即可

【解析】解：当x=-2时，

%=(-2+1)~=1,

当x=—3时，

%=(-3+1)2=4,

；•%<必.

故答案为：<.

【点睛】本题考查了二次函数图像上的两点y值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横

坐标代入二次函数解析式求出y值.

13.二次函数y=2/-5的最小值是.

【答案】-5

【分析】根据二次函数的顶点式即可得到答案.

【解析】解：•；y=2x2-5,

XV2>0,

.,.当x=o时，y有最小值，最小值为-5.

故答案为：-5.

【点睛】本题考查二次函数的最值：对于二次函数y=a（尤-"）2+刈。彳0）,当。>0时，当

x=/z时，y有最小值上；当.<0时，当x=〃时，y有最大值吼

14.若点。（占,〃7）、。（马，”）在抛物线y=-2（x-3）2的图象上，且玉>%>3,则相与"的

大小关系为.

【答案［m<n/n>m

【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质

求解即可.

【解析】解：由抛物线y=-2（x-3）2可得，a<0,开口向下，对称轴为x=3,

...当x>3时，y随x的增大而减小，

又：尤1>无2>3,

:.m<n

故答案为：相Y-

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质.

15.关于二次函数y=2（x-4y+6,下列说法正确的是.（写序号）

①最大值为4；②对称轴为直线x=4；③最大值为6；④最小值为6.

【答案】②④/④②

【分析】通过二次函数的图象及其性质：开口方向，对称轴，最值问题即可解决.

【解析】由y=2（x-4）2+6,

2>0；

；•二次函数开口方向向上，有最小值6,故④正确；

由二次函数y=2（x-4『+6可知，顶点坐标为（4,6）,

二对称轴为直线x=4,故②正确；

故答案为：②④.

【点睛】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最值，解此题的关键是明确二次函

数的性质，会求函数的最值.

16.已知二次函数y=（x-l）一,当时，函数值y的取值范围是.

【答案】0<y<l

【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可.

【解析】解：y=（x-iy的对称轴为直线x=l,a=\>0,开口向上，

当x=i时，y最小为o,

3

X0<x<—,

2

，x=o时，y最大为i

.\0<y<l

故答案为：owywi.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性.

17.在研究二次函数y=-(x+l)2-3的图象和性质时，甲、乙、丙、丁四位同学的说法如下：

甲：图象的顶点坐标为(T，-3)；乙：函数的图象关于直线x=-l对称；丙：当尤=1时，函数

取得最大值-3；T：当时，>随x的增大而增大.其中，说法错误的是同学.

【答案】丙

【分析】根据y=-(x+l)2-3总结归纳抛物线的性质，再逐一比对即可.

【解析】解：VJ=-(X+1)2-3,

•••抛物线的顶点坐标为：(T，-3),抛物线的对称轴为直线x=-l,抛物线的开口向下，

当天=-1时，函数取得最大值y=-3,

当x<-l时，y随X的增大而增大.

•••甲，乙，丁的说法正确，丙的说法错误；

故答案为：丙.

【点睛】本题考查的是抛物线的性质，熟练的掌握y=+左的图象与性质是解本题

的关键.

18.已知函数/(尤)=x?—2(a+2)x+a~,g(x)=—x~+2(a—2)x—+8.

设乜(x)=max{〃x),g(x)},(x)=min{/(x),g(%)},max{p,q}表示p,q中的较大值,

min{p,q}表示p,q中的较小值，属(元)记得最小值A,凡(力得最大值为B,则A—B=

【答案】-16

【解析】因为/(x)=x2-2(«+2)x+<72=(%-«-2)2-4a-4,

8(%)=-尤2+2(4—2)龙一(32+8=-(尤-。+2)2-412+12.

所以当x=a+2时，f(x)=g(x尸-4a-4；当x=a-2时，f(x)=g(x)=-4a+12,

而gmax=g(a-2)=-4a+12,所以H2(X)Wg(X)Wgmax,又fmin=f(a+2)=-4a-4,所以Hl(X)Nf(X)Nfinin,所

以A=-4a-4,B=-4a+12,则A-B=-16,故答案为-16.

三、解答题

19.已知函数y=(m+3)/+4，“-3+5是关于x的二次函数.

⑴求m的值；

⑵函数图象的两点A(l,yJ,B(5,y2),若满足为>%,则此时机的值是多少？

【答案】(1)加=1或〃?=一5

⑵〃?=一5

【分析】(1)根据二次函数的定义可得加+3wO,7/+4〃?->=N，即可求解；

(2)点4(1,%),3(5,%)，且%>%，可得在对称轴右边，>随天的增大而减小，即可进

行解答.

【解析】(1)解：：函数y=(m+3)/+4吁3+5是关于x的二次函数，

.Jm+30

[m2+4m一3=2'

解得：m=1或相=-5.

(2).该函数的对称轴为y轴，点8(5,%)，且%>%，

・♦•在对称轴右边，y随x的增大而减小，

m+3<0,解得m<-3

••m——5*

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项

系数不为0,次数最高为2；。>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小,

在对称轴右边，y随尤的增大而增大，。<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大

而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小.

20.已知抛物线y=&+「过点(-2,-3)和点(1,6).

(1)求这个函数的关系式；

(2)写出当无为何值时，函数)随x的增大而增大.

【答案】(1)y=-3x2+9；(2)当无<0时，函数>随x的增大而增大

【分析】(1)根据待定系数法即可求解；

(2)求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解.

【解析】解:(1)•抛物线片加+6过点(-2,-3)和点(1,6),

4a+b=-3a=-3

,解得

a+b=6b=9

•••这个函数得关系式为：y=-3d+9.

(2)•.•二次函数y=-3jf+9开口向下,对称轴为x=0,

.,.当x<0时，函数)随x的增大而增大.

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.

21.已知抛物线y=(x+2)2-1.

(D其开口方向为-

(2)顶点坐标为.

(3)当x时，y随x的增大而增大.

⑷最(填“大”或“小”)为.

【答案】(1)向上

⑵(-2,-1)

(3)x>-2

(4)小，-1

【分析】(1)根据即可判断开口方向向上；

(2)根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为也k)求解即可；

(3)根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；

(4)根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解.

【解析】⑴解：：y=(x+2)2-l

二.其开口方向向上，

故答案为：向上；

(2)解：Vy=(x+2)2-l

；•顶点坐标为

故答案为：(-2,-1)；

(3)解：：y=(x+2)2-l开口向上，对称轴为x=—2

.,.当x>-2时，y随x的增大而增大；

故答案为：>-2；

(4)解：：y=(x+2)2-1,开口向上，顶点坐标为(-2,-1),

.,.函数有最小值，最小值为-1,

故答案为：小，-1.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.在自变量的所有

取值中：当。>0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的

增大而增大，函数有最小值；当心。时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对

称轴右侧，y随尤的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性

来判断.

22.已知函数y=Xx+l)2-8.

(1)写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(2)求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；

(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

(4)当x取何值时，函数有最大值(或最小值)？并求出最大(或小)值？

【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴是直线尤=-1,顶点坐标是(-1,-8)；(2)图象

与y轴交于(0,-6)；(3)得当x>-l时，y随x的增大而增大；当x<-l时，y随x的增

大而减小；(4)由顶点坐标，得当x=-l时，y有最小值，最小值是-8.

【分析】(1)根据二次函数性质，即可得到答案；

(2)令y=0,x=0,分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标；

(3)根据二次函数的性质，即可得解；

(4)根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案.

【解析】解：(1)由函数y=2(尤+1)2-8,

•；a=2>0,h=—l,k=—8>

抛物线的开口向上，对称轴是直线犬=-1,顶点坐标是(-1,-8).

(2)令y=0,即2(x+l)2-8=0,

解得%=1,x2=-3.

图象与x轴交于(1,0),(-3,0).

令x=0,即y=2-8=-6,

...图象与y轴交于(0,-6).

(3)由二次函数的性质，得:当x>T时，y随x的增大而增大；当x<-l时，y随x的增

大而减小.

(4)由顶点坐标，得：当x=-l时，y有最小值，最小值是-8.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的

交点坐标.

23.已知函数丫=一;。+2)2-2.

⑴填空：函数图像的开口方向是,对称轴是直线.

⑵当x时，y随x的增大而减小.

(3)以y轴为对称轴，将抛物线>=-：(尤+2)2-2进行轴对称变换，求变换后所得到的抛物

线解析式.

【答案】(1)向下，犬=-2

⑵>-2

1,

(3)y=--(%-2)2-2

【分析】(1)直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴；

(2)根据二次函数的性质得出结论；

(3)根据轴对称的性质即可得到结论.

【解析】(1)解：函数y=-g(》+2)2-2图象的开口向下，对称轴为直线龙=-2；

故答案为：向下，x=-2；

(2)解：当％>-2时，y随X的增大而减小；

故答案为：>-2；

(3)解:将抛物线>=-：(尤+2)2-2沿y轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是

1,

y=--(x-2)--2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记

住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意.

24.已知抛物线y=a(x-h)