浙教版九年级数学同步训练：二次函数的应用-几何应用（原卷版）

第07讲二次函数的应用•几何应用

产知识点梳理

1、和最小，差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。

在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。

解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据

问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，

构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最

值）。

2、求面积最大连接AC,在第四象限抛物线上找一点P,使得AACP面积最大，求出P

坐标。

解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重

不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲

变量的最值问题转化为："定值+变量的最值“

3、讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为直角三角形，求出P坐

标。

或者在抛物线上求点P,使小AC尸是以AC为直角边的直角三角形.

解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的“直角边“”和“斜边”

不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。

4、讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为等腰三角形，求出P坐

标。

解决方案：分析同上4,在能组成小的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。

5、讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点尸在抛物线上，且以3,A,F,

E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点尸的坐标。

解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以

3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。

6、相似三角形（第4章）问抛物线上是否存在一动点D,使得AABDs^ABC。

解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解

方程并验证是否合符题意。

心真奥鳍范囱

工|例1.如图1,在RtZkABC中，ZABC=90°,己知点P在直角边A3上，以lcm/s的

速度从点A向点8运动，点。在直角边8C上，以2cm/s的速度从点B向点C运动.若点P,

。同时出发，当点尸到达点8时，点。恰好到达点C处.图2是V3PQ的面积y（cn?）与点P

的运动时间f（s）之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段

AC的长为（）

[^2]例2.如图，矩形ABC。中，AB=8cm,5C=4cm,动点E和尸同时从点A出发,

点E以每秒2cm的速度沿的方向运动，到达点。时停止，点尸以每秒4cm的速度沿

Af8fCf。的方向运动，到达点。时停止.设点厂运动无（秒）时，AAEP的面积为

y（cm2）,则y关于x的函数的图象大致为（

3.如图，在R/AABC中，ZACB=90°,BC=曲,AC=2s/5,ADEF”AABC,

点、B,C,D,E在同一直线上（点C和点。重合）,△。斯从点C出发沿射线CB方向以每

秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动.设运动时间为x秒,

△ABC和AD即重叠部分的面积为y,下列图象能反映y与尤之间函数关系的是

（）

例4.如图，过点/（-2,0）的抛物线小y=-£x2+2（l-?）x+4（常数f>0）与x轴

和V轴分别交于点N,点尸，点。是抛物线乙上一点，且尸Q//x轴，作直线和OQ.甲、

乙、丙三人的说法如下：甲：用，表示点。的坐标为（，-2,4）；乙：当5寸如=0,f的值有

2个，则0<。<4；丙：若OQ〃MP,点。'是直线上的一点，点M到直线尸。的最大距

离为2小.下列判断正确的是（）

A.甲对，乙和丙错B.乙对，甲和丙错C.甲和丙对，乙错D.甲、乙、丙都对

例5.已知抛物线>=办2-4办-5”与X轴交于48两点，P为抛物线顶点，且当尤41

时,y随x的增大而减小，若AA8尸为等边三角形，则。的值为（）

A.一如B.BC.-73D.目

33

,|例6.如图，正方形A8CD的边长为5,动点P的运动路线为ABTBC,动点。的运

动路线为BD点P与。以相同的速度分别从A,B两点同时出发，当一个点到达终点停止

运动时另一个点也随之停止.设点尸运动的路程为x,ABP。的面积为y,则下列能大致表

示y与x的函数关系的图象为（）

BC

c.D.

0510

.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=-：尤2+；犬+3与X轴交于A、B两点

(点3在点A的右侧)，与y轴交于点C,。为线段OB上一点.过点。作x轴的垂线与抛

物线交于点E,与直线BC相交于点R则点E到直线8C距离d的最大值为.

例8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形

面积的公式：设三角形的三条边长分别为。、b、c,则三角形的面积可由公式

s=1p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中P为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九

韶公式，现有一个三角形的边长满足。=3,〃+8=5,则此三角形面积的最大值为.

例2如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的一边A3在x轴上，顶点B在无轴

正半轴若抛物线y=N-5x+4经过点C、D,则点B的坐标为.

「例10.如图，将直角AABC沿斜边AC翻折后B点的对应点B，,点、P、Q是线段AB,

就王的动点，S.BP=B'Q,已知A8=12,BC=5,则线段P。的最小值为.

，跟踪酬瀛

一、单选题

1.如图，在正方形ABC。中，AB=3,点、E,尸分别为AB,8c上的点，DE,AF交于点

G,AE=BF=x.若四边形CDGP与△AEG的面积分别为航，邑，则H-S?与尤的函数

A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系

2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段BC上的动点，以鹿为边作正方形

连接AF,M为Ab的中点，且AB=4,则线段的最小值是（）

3.如图，矩形A3CD中，AB=6cm,BC=4cm,动点E从点8出发，沿折线BCD运动到

点。停止，过点E作座交AO于点尸，设点E的运动路程为xcm,DF=ycm,则y

与x对应关系的图象大致是（）

4.如图，在正方形ABC。中，AB^2,点E从点B出发以每秒0个单位长度的速度沿路

径3-。-C运动，点/从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿路径C-O-4运动，当点

E与点C重合时停止运动，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为则能反映，与x

之间函数关系的图象大致为（）

k

5.如图，已知A、2是反比例函数y=］左>0,x>0）图象上的两点，3C〃x轴，交y轴于

点C.动点P从坐标原点。出发，沿OfAfC（图中“一”所示路线）匀速运动，终点

为C过尸作PMLx轴，轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,P

6.如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，底边8C的长为8cm,边长为4cm的正方形纸片

DEFG的边。G在直线BC上，设3D的长为xcm,两个纸片重叠部分的面积为yen?,则表

示y与x之间函数关系的图象大致是（）

将。尸绕点P顺时针旋转90。得到线段EP,过B作EP平行线交DC延长线于

F,设BP长为x,四边形段EP的面积为y下列图象能正确反映出y与x函数关

系的是（）

8.如图1所示的矩形窗框A5CD的周长及其两条隔断昉、G”的总长为。米，且隔断所、

G”分别与矩形的两条邻边平行，设8C的长为尤米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关

于X的函数图像如图2,则下列说法正确的是（）

A.矩形ABCD的最大面积为8平方米B.>与x之间的函数关系式为>=一£+2兀

C.当x=4时，矩形ABCD的面积最大D.。的值为12

9.已知抛物线y=-g（尤+l）（x-4）的图象与无轴交于A,B两点（点A在点8的左则），与

y轴交于点c,连接3C,直线>=履+1（%>0）与y轴交于点。，交BC上方的抛物线于点E,

交BC于点F,下列结论中错误的是（

A.点C的坐标是（0,2）B.OC=2OD

C.当芸的值取得最大时，k。

D.是直角三角形

DF3

10.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AO上一点，动点P,。同时从点8出发，点P

沿折线3E-£D-DC运动到点C时停止，点。沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度

都是1cm7秒，设P,。同时出发t秒时，V8PQ的面积为ycmt已知y与/的函数关系图像

如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（）

图⑴图⑵

A.AB:AD=4:5B.当r=2.5秒时，PQ=45

「当,29BQ5

c-当"彳时’而一3D.当VBPQ的面积为4cm2时，f的值是JfU'或

47

—秒

二、填空题

11.如图，在平面直角坐标系中，正方形Q4BC的点A在y轴的负半轴上，抛物线

>="。+2）2+以。>0）的顶点为£,且经过点A、B.若AABE为等腰直角三角形，则”的

值是.

12.已知抛物线丁=一k2+次+几(/?＞。)的顶点为4交y轴于点3；抛物线y=Y+2Z?%+m的

顶点为C,交y轴于点D若帆-〃=6,且以A,B,C,。四点为顶点的四边形为矩形，则

b=.

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+2%—3的图象与坐标轴相交于A,B,C

三点，连接AC,BC.已知点E坐标为(J,。］,点。在线段AC上，且AO=乎.则四边

14.如图，平移抛物线y="2+bx+c,使顶点在线段AB上运动，与无轴交于C,0两点.若

A(-2,-3),3(4,-3),四边形ABDC的面积为15,则。=

15.如图，点£＞为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4,连接AD,以仞为边作正方

形ADEF,连接CE、CF,则当皮＞=时，△€£厂的面积为最小值________.

16.已知抛物线丫=0?+a+3的图象与x轴相交于点A和点3(1,0),与y轴交于点C,连

接AC,有一动点。在线段AC上运动，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于

点EAB=4,设点。的横坐标为m.连接AE,CE,则AACE的最大面积为.

y

17.如图，抛物线6:必=”。+1)2+2与5:%=-食-2)2-1交于点8(1,_2),且分别与y轴

交于点O,E.过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A,C.则以下结论：

②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到;

③当—3<x<l时，随着x的增大，％的值先增大后减小；

④四边形AECD为正方形.

其中正确的是.(填写正确的序号)

18.已知人(网,必)，氏超，%)是抛物线>="2-3工+1上的两点，其对称轴是直线X=x0,若

上-不|>归2-％|时，总有力>上，同一坐标系中有M(T,-2),N(3,2)且抛物线

y=o?-3x+l与线段MN有两个不相同的交点，则。的取值范围是.

三、解答题

19.如图，抛物线>=加+为+《“0)与x轴交于点A(-LO)、点3(3,0),与y轴交于点

C(0,3).

(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点尸平移后的对

应点为点。，如果8=0。，求点。的坐标.

20.如图，已知抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点3的左边),与y轴

交于点C,连接BC.

⑴求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；

⑵若已知x轴上一点则在抛物线对称轴上是否存在一点0,使得ACNQ是直角三

角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

+fcr+c与X轴相交于A、8两点，与y轴相交于点C（0,3）,A（-3,0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若点。是线段AC上方抛物线上的一个动点（点。与A,C不重合），求点。到直线AC

的最大距离.

⑶当/W尤W/+1时，函数y=-尤2+bx+c的最大值为-5,求f的值.

22.如图，已知二次函数y=o?+bx+c的图象与无轴交于A,8两点（A在B的左侧）,与

y轴的交点为C（0,3）,且顶点坐标为双2.4）.

备用图

⑴求二次函数的表达式；

（2）若抛物线上有一点矶4,加），将线段AE沿着y轴向上平移，使平移后的线段AE与该抛

物线恒有公共点，设点A的纵坐标为小求”的取值范围；

⑶当q+lVxVq+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2,求q的值.

12

23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线=交x轴于A、B两点，交y

(1)^^点A、B、C的初^,

⑵将笳物线L向右平移1%单位，得到新抛物线L',点E在坐标平面内，在新抛物线Z/的

对称轴/上是否存在点。，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出

点。的坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图，抛物线>=一/+a+0与x轴交于4(1,0),3(—5,0)两点，与y轴交于点C,P是

抛物线上的任意一点(不与点C重合)，点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

⑵当相为何值时，P点最高？并求出此时△POC的面积；

(3)将线段A5先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A®,若抛物

线丁=-炉+云+。平移后与线段A的有两个交点，且这两个交点恰好将线段A的三等分，求

抛物线平移的最短路程；

25.新定义：我们把抛物线>=以2+笈+。(其中出冲。与抛物线y=6/+以+c称为“关联

抛物线”，例如，抛物线y=2f+3x+l的“关联抛物线”为y=3/+2x+l已知抛物线G：

y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“关联抛物线”为C2,G与y轴交于点E.

⑴若点£的坐标为(0,-1),求C1的解析式；

⑵设G的顶点为尸，若A是以。尸为底的等腰三角形，求点E的坐标；

⑶过x轴上一点尸，作无轴的垂线分别交抛物线Ci，G,于点M,N.

①当MN=6时，求点尸的坐标；

②当a-4VxWa-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

26.如图1,二次函数y=aY+bx-3的图象尸交x轴于A,B两点(点A在点B左侧)，交

y轴于点C,且OB=OC=3Q4,直线/：>=丘-左一3交图象厂于M,N两点(点M在点N

(1)求二次函数的解析式；

(2)已知点当MA〃NE>,且M4=NE>时，求左的值;

⑶如图2,设图象厂的顶点为P,线段MV的中点为S,连接SP,求证：不论左取何值，—

MN

的值不变.

［域真即演练

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一、单选题

1.（2022•山东荷泽・统考中考真题）如图，等腰RjABC与矩形。EFG在同一水平线上，

AB=DE=2,DG=3,现将等腰RjABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到

达。E之时开始计算，至AB离开G尸为止.等腰RbABC与矩形DEPG的重合部分面积记

为必则能大致反映y与尤的函数关系的图象为（）

2.（2022・辽宁•统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC=4,在MADEF中,ZEDF

=90°,ZF=30°,DE=4,点B,C,D,E在一条直线上，点C,。重合，△ABC沿射线

方向运动，当点8与点E重合时停止运动.设^ABC运动的路程为无，△ABC与RSDEF

重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的图象是（）

发，以每秒1个单位长度的速度沿射线A2运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位

长度的速度沿折线A。—OC—CB运动，当点N运动到点8时，点N同时停止运动.设

△AMV的面积为》运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）

4.（2021・辽宁盘锦.统考中考真题）如图，四边形ABC。是菱形，BC=2,NA8C=60。，

对角线AC与3。相交于点O,线段沿射线AD方向平移，平移后的线段记为尸0,射线

尸。与射线AC交于点M，连结PC,设。M长为x,APMC面积为九下列图象能正确反映

出，与x的函数关系的是（）

5.（2022.辽宁锦州.统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E,点

/分别为边4。，。中点，点。为正方形的中心，连接OE,OF,点P从点E出发沿E-O—F

运动，同时点。从点8出发沿BC运动，两点运动速度均为Icm/s,当点尸运动到点尸时，

两点同时停止运动，设运动时间为ts,连接2尸,尸。，V3PQ的面积为Sen?,下列图像能正

确