浙教版九年级数学同步训练：二次函数（十二大题型综合归纳 ）（解析版）

第12讲二次函数（十二大题型综合归纳）

题型1：二次函数的概念

1.以下函数式二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=（2x-l）--4x2C.y=-^-+—+c（c?^O）D.y=（x—l）（x—2）

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=a?+bx+c（a、以c是常数，awO）的函数叫做二次函

数，进行判断.

【解析】解：A、当a=O时，y="2+6x+c不是二次函数，故本选项错误；

B、由y=（2x-l）2-4*2得到y=Tx+l,是一次函数，故本选项错误；

C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；

D、由原函数解析式得到y=/-3x+2,符合二次函数的定义，故本选项正确.

应选：D.

【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键.

2.二次函数y=2x（尤-3）的二次项系数与一次项系数的和为（）

A.2B.-2C.-1D.-4

【答案】D

【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可.

【解析】解：y=2x（x-3）=2x2-6x,

二次项系数是2,一次项系数是-6,

；.2-6=-4,

故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键.

题型2：二次函数的值

3.已知二次函数y=/+2x-5,当无=3时，＞=.

【答案】10

【分析】把x=3代入y=f+2x-5计算即可.

【解析】把x=3代入y=*+2x-5,得

y=32+2x3-5=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键.

4.已知二次函数、=办2+2°,当x=2时，函数值等于8,则下列关于区。的关系式

中，正确的是（）

A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=4

【答案】B

【分析】把x=2,y=8代入计算即可.

【解析】解：由题意得：

把x=2,y=8代入y=尔+2c得：

8=4a+2c

等号两边同除以2得：2a+c=4

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于a，。的关系式是解决本题的关键.

5.二次函数旷=加+笈-3（4彳0）的图象经过点（2,-2）,则代数式2a+6的值为.

【答案】g

【分析】把（2,-2）代入函数解析式，即可求解.

【解析】解：把（2,-2）代入函数解析式，得

4。+2b—3=—2,

:.2Ca+b7=—1,

2

故答案为：.

【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键.

题型3：二次函数的条件

6.已知,=晟"-2l+2mx+l是y关于x的二次函数，则机的值为（）

A.0B.1C.4D.0或4

【答案】C

【分析】利用二次函数定义可得：|m-2|=2,且加H0,再解即可.

【解析】由题意得：|机-2|=2,且〃?学0,

解得：m—4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如'=办,+弧+八。、b、c是常数，。#0）的

函数，叫做二次函数.

7.关于x的函数y=（4-6）尤2+1是二次函数的条件是（）

A.a1bB.a=bC.b=0D.a=0

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；

【解析】解：•••y=（a—》）d+l是二次函数，

••ci—Z?wO,

解得：a'b,

故选A.

【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0.

题型4：列二次函数关系式

8.己知有“个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为山，则相关于”的函数解析式为

【答案】m=^n2-^n

【分析】根据"个球队都要与除自己之外的（〃-1）球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的

场次，即可求出函数关系式.

【解析】解：根据题意，得昨若』=#一］,

故答案为：”?=—〃——n.

22

【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键.

题型5：特殊二次函数的图像和性质

3

9.关于二次函数>的图像，下列说法错误的是（）

4

A.抛物线开口向下

B.对称轴为直线x=0

C.顶点坐标为

D.当x<o时，y随x的增大而减小，当天>。时，y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质依次判断.

【解析】解：・・・y=——1,

4

.••抛物线开口向下，对称轴为直线尤=0,顶点坐标为（0,-1）,

当x<o时，y随x的增大而增大，当x>o时，y随尤的增大而减小，

:.A,B,C正确，D错误，

故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数y="?+c的性质，熟记二次函数y=«^+c的性质是解题的关键.

10.抛物线>与抛物线>=-=炉+3的相同点是（）

44

A.顶点相同B.对称轴不相同

C.开口方向一样D.顶点都在y轴上

【答案】D

【分析】由抛物线y=与抛物线丁=一1/+3,可知，对称轴是y轴，顶点都在y轴上，进而求解.

44

【解析】解：.••抛物线y=与抛物线>=-：/+3,对称轴是y轴，顶点都在y轴上，

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

11.如果二次函数y=o?+7”的值恒大于0,那么必有（）

A.a>0,加取任意实数B.a>0,m>0

C.a<0,m>0D.a,加均可取任意实数

【答案】B

【分析】二次函数y=62+，w的值恒大于o,则该函数开口向上，顶点在无轴上方，由此即可得到答案.

【解析】解：：二次函数丫=公，机的值恒大于0,

•••二次函数开口向上，顶点在X轴上方，

a>0,m>0.

故选B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

12.对于二次函数>=-3。-2）2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线x=-2

C.当x>-2时，y随X的增大而减小D.顶点坐标为（2,0）

【答案】D

【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2,0）,

在对称轴的左侧，y随X的增大而增大，

【解析】对于二次函数>=-3（尤-2）2,-3<0,则开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2,0）,

故A,B选项错误，D选项正确，

当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随尤的增大而减小，

.•.当x>-2时，y随X的增大先增大后减小，故C选项错误，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

13.二次函数：

®y=--^2+1；②y=w（x+l）2-2；③y=-；（x+l）2+2；@y=—x2；@y=--（x-1）2；®y=-{x-Xy.

J乙乙乙乙乙

（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线X=—1的是（只填序号）；

（2）以上二次函数有最大值的是（只填序号）；

（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是（只填序号）.

【答案】②③①③⑤⑤⑥

【分析】因为二次函数的解析式均已确定，所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断.

【解析】（1）二次函数的图象的对称轴为直线广-1,也就是在顶点式中/，=/，故满足条件的函数有②③.

（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0,故满足条件的函数有①③⑤.

（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且〃，左的值相同,

故满足条件的函数为⑤和⑥.

故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，

熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键.

14.设函数%=（彳一4）,直线x=b的图象与函数弘，力,%的图象分别交

于点A他G）,3（6,。2），C,，G）,（）

A.若b<a、<a2<a,,贝！Jc2<c,<c,

B.若a<b<生<见，则q<。2<。3

C.若a、</<b<生,则©3<。2<6

D.若/<生</<6,贝

【答案】D

【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x=b与二次函数图象的交点进行判断即可.

【解析】解：如图所示，

A.由图象可知，若＜/＜/，当x=b时，q＜c2＜c3,故选项错误，不符合题意；

B.由图象可知，若W＜6＜凡＜/，，当x=b时，G＜。2＜。3不一定成立，故选项错误，不符合题意;

C.由图象可知，若。1＜。2＜匕＜。3,当X=b时，,3＜02＜9不一定成立，故选项错误，不符合题意；

D.由图象可知，若/＜生＜。3＜》，当x=b时，c3＜c2＜ct,故选项正确，符合题意；

故选:D

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.

15.已知二次函数y=(x-m)2,当立1时，y随工的增大而减小，则机的取值范围是.

【答案】m>l

【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可

知二次函数的对称轴x=m^\.

【解析】解：・・•二次函数尸(x-m)2,中，。=1>0,

・・・此函数开口向上，

•・,当时，函数值y随x的增大而减小，

.，・二次函数的对称轴x=m^l.

故答案为：加2L

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键.

16.已知关于x的一元二次方程N-(2徵+1)x+/-1=0有实数根〃，b,则代数式层-"+按的最小值为

9

【答案】

16

【分析】由韦达定理得出。，b与机的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出机的取值范围，再

对代数式。2-必+〃配方并将和必整体代入化简，然后再配方，结合用的取值范围可得出答案.

【解析】•・•关于x的一元二次方程N-(2徵+1)x+汴-1=0有实数根〃，b,

«+Z?=2m+l,ab=m2-1,A>0,

.*.△=[-(2m+1)]2-4x1x(m2-1)

=4m2+4m+l-4m2+4

=4m+5>0,

,、5

・・m>——.

-4

'.a2-ab+b2

=(〃+Z?)2-3ab

=(2m+l)2-3(m2-1)

=4m2+4m+l-3m2+3

=m2+4m+4

=（机+2产,

：.岸-"+匕2的最小值为：L^+2?=—.

I4J16

9

故答案为：—.

16

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用

韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点.

题型6：与特殊二次函数有关的几何知识

17.在平面直角坐标系中，点A是抛物线尤-4?+左与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点,

且AB//X轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.

【答案】24

【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即

可求解.

［解析】抛物线y=。(尤一4)2+左的对称轴是x=4

过C点作CD,AB于点。，如下图所示

则以为边的等边ABC的周长为3x8=24.

故答案为24.

【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键.

18.在平面直角坐标系内有线段尸。，已知尸(3,1)、Q(9,1),若抛物线y=(x-a)2与线段有交点,

则a的取值范围是.

【答案】2<a<10

【分析】由>=(尤-。)2可得抛物线随。值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P,。所对应的。的值即

可.

【解析】解：由y=(x-a)2可得抛物线的对称轴直线为x=。，顶点坐标为(。，0),

当对称轴在点P左侧时，a<3,

把尸(3,1)代入y=(无一得l=(3-a『，

解得a=2或a=4(舍去)，

当对称轴在点P右侧时，a>9,

把Q(9,1),代入y=(x-a)2得l=(9-ap,

解得。=10或。=8(舍去)，

.•.当2Wa410时，抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，

故答案为：2VaV10

【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随加值的变化左右移动是解题的关键.

19.二次函数了=-。+3)2+/7(区》4/+2)的图象上任意二点连线不与x轴平行，则f的取值范围为.

【答案】区-5或此-3

【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称

轴的右边，即可进行解答.

【解析】解：•••二次函数表达式为y=-(x+3)2+〃(rvxwr+2),

该函数的对称轴为直线x=-3,

:图象上任意二点连线不与无轴平行，

**•x4-3或xN—3,

Vt<x<t+2,

[^>-3

解得：5或，>-3.

故答案为：5或此-3.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函

数的表达式求出函数的对称轴.

题型7：二次函数'=依2+人尤+。的图像和性质

20.下列抛物线中，与抛物线y=f-2x+8具有相同对称轴的是（）

A.y=4x?+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2尤?+4x

【答案】D

【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可

解答本题.

【解析】解：：抛物线y=/-2x+8的对称轴是直线尤=-二=1,

2x1

71

A、y=4d+2x+4的对称轴是直线彳=一二=一：，故该选项不符合题意；

2x44

B、y=x?-4x的对称轴是直线%=-丁==2,故该选项不符合题意；

2x1

_i1

C、丁=2/-尤+4的对称轴是直线龙=-三*=-,故该选项不符合题意；

D、y=-21+4x的对称轴是直线x=-2xj1）=1'故该选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查抛物线的对称轴，解答本题的关键是熟练计算抛物线的对称轴.

21.若抛物线y=f+^+l的顶点在y轴上，则。的值为（）

A.2B.1C.0D.-2

【答案】C

【分析】根据顶点在y轴上，可知对称轴为y轴，根据对称轴公式得到关于。的方程，计算即可.

【解析】解：抛物线y=V+ox+l的顶点在y轴上，

对称轴直线工=一£=0,

解得4=0.

故选：C.

【点睛】此题考查了二次函数顶点与对称轴的性质，解题的关键是熟悉二次函数图像顶点的性质与对称轴

公式.

22.抛物线y=（x-l）（x+5）图象的开口方向是（填响上”或“向下”）.

【答案】向上

【分析】把抛物线解析式化为化为一般式，即可求解.

【解析］解：y=（x-l）（x+5）=x2+4x-5,

a=l>0,

.••抛物线开口向上.

故答案为：向上

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

23.当二次函数y=（xt2+6x+c有最大值时，。可能是（）

A.1B.2C.-2D.3

【答案】C

【分析】根据二次函数有最大值，。<0即可得出结论.

【解析】解：:二次函数y=有最大值，

•*-a<0,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

24.已知抛物线；y=尤2-2fev+Z?2-2b+l（6为常数）的顶点不在抛物线y=Y+c（c为常数）上，则c应满

足（）

A.c<2B.c<2C.c>2D.c>2

【答案】D

【分析】先求出抛物线y=V-2桁+/-26+1（b为常数）的顶点为伍,-2。+1）,求出顶点作，—处+1）在

y=/+c上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线y=Y+c（c为常数）上时c的取值范围.

【解析】解：由>=炉-26x+〃-26+l=（x-Z?y-28+1知，抛物线y=无？-26x+/-2b+1（b为常数）的

顶点为伍,—26+1）,

当顶点（反一2。+1）在y=x?+c上时，贝I-26+1=62+c,贝Uc=-/-26+1=-（6+1）?+242,

...抛物线y=丁-26x+62-26+1（6为常数）的顶点不在抛物线y=x?+c（c为常数）上时，则c应满足c>2.

故选：D

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键.

25.已知二次函数丁=--2g+根的图象经过A(l,y),6(5,%)两个点，下列选项正确的是()

A.若加＜1,则%＞为B.若1＜m＜3,则

C.若1＜5,贝IJ%%D.若根＞5,贝！］%＜%

【答案】B

【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答.

【解析】解：■,二次函数y=f—23+加，

,抛物线的开口向上，对称轴为直线尤=-半=〃?，

；二次函数丫=f-2蛆+帆的图象经过4(1,%),3(5,%)两个点

若机＜1,A(l,yJ,3(5,%)两个点都在抛物线对称轴的右边，丫随x的增大而增大，则故A选

项错误，不符合题意；

・•.若1(加＜3,点A。,%)比点3(5,%)更接近抛物线的对称轴，则％＜%，故B选项正确，符合题意；

・•・若1＜加＜5,不能确定A(LM),3(5,%)两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减

性，则不能确定％,上的大小，故C选项错误，不符合题意；

若加＞5,％),8(5,%)两个点都在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小，则%＞为，故D选

项错误，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二

次函数的性质是解题的关键.

题型8：二次函数丫=依2+法+。的最值与求参数范围问题

26.已知直线y=2x+f与抛物线丁=加+云+°(4W0)有两个不同的交点A(3,5)、,且点B是抛物

线的顶点，当时，加的取值范围是.

【答案】机24或mW2

【分析】根据点在直线上，可求出直线解析式，用含机的式子表示点5,再将二次函数变形为顶点式,

把点A代入，由此即可求解.

【解析】解：把A(3,5)代入y=2x+f,得y-l,

在直线y=2%+，上

y=ax2+bx+c=a^x—mf+2m—1

A(3,5)在抛物线上,

:.5=a（3—mf+2m—1,

/.a（3—mj=6—2m=2（3—m）,

A(3,5)、是两个不同的交点,

/.m^3,

:.a（3—m）=2,

rn=3—,

a

••・当一2Wa<0时，m>4；当0VQ<2时，m<4.

【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数，二次函数图像的性质，交点的意义等

知识是解题的关键.

27.已知抛物线丁=/+法+。经过点(1,-2),(-2,13).

(1)求抛物线解析式及对称轴.

(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值-3,有最大值1,求机的取值范围.

【答案】⑴抛物线解析式为了=炉-4x+l,对称轴为x=2；

(2)2<m<4

【分析】(1)把点(1，-2),(-2,13),代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据题意画出图象，结合图象即可求解.

【解析】(1)解：将点(1，-2),(-2,13)代入抛物线,=/+公+。，得

[-2=l+b+c

[13=4-2b+c'

抛物线解析式为y=x2~4x+l,

，…b-4

对称轴为：x~~~—一~—=2；

2a2

(2)解：如图，由抛物线的对称性可画出草图,

由图象可知：当2<加44时，y的最小值为-3,最小值为1,

.,.当OWxcwi时，对应的函数的的最小值为-3,最小值为1,%的取值范围为2<mW4.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

28.已知二次函数y=-4加2^-3(%为常数，m>0).

(1)若点(-2,9)在该二次函数的图象上.①求加的值：②当OVxW。时，该二次函数值》取得的最大值为18,

求。的值；

⑵若点尸(x,V)是该函数图象上一点，当0V与V4时，yp<-3,求加的取值范围.

【答案】⑴①根=1;②a=7

(2)777>7

【分析】(1)①将点(-2,9)代入解析式，根据〃2>0,即可求解；

②由①得抛物线的对称轴为x=2,顶点(2,-7),将y=18代入，得出x=7或x=—3,根据当OWxWa,即可

求解；

(2)对称轴为x=2加，抛物线与y轴的交点为(0,-3),由机>0,得出对称轴x=2机>0,依题意得出，当

x=4时，y<-3,列出不等式，即可求解.

【解析】(1)解：①：点(-2,9)在二次函数y=〃吠2-4疗x-3的图像上，

/.9=4根+Sm2-3,整理得2m2+m-3=0,

3

解得M=1或加=一］,

*.*m>0,

••AZZ=1;

②由①得y=/_4x_3=(x_2)2_7,

.••抛物线的对称轴为x=2,顶点(2,-7),

当'=18时，(x-2)2-7=18,

解得x=7或x=-3,

•.•当OWxMa时,>的最大值为18,

4=7;

(2)二•二次函数y=mx?-4疗％-3,

・•・对称轴为x=2m,抛物线与丁轴的交点为(0,-3),

*.*m>0,

对称轴x=2m>0,

:点P(Xp,3)是该函数图象上一点，当。w与(4时，jp<-3,

・••当工=4时，y<—3,BPm-42—4m2-4—3<—3,16m—16m2<0

*.*m>0,

••m>l.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

题型9：根据二次函数〉=〃/+法+。的图像判断有关信息

29.函数丁=冰2+区+0(4。0)与丁=丘的图象如图所示，现有以下结论：

①。=3；

②左二3；

③3Z?+c+6=0；

④当I<xv3时，J+(〃—1)<0.

其中正确的为.(填写序号即可)

y

M

【答案】①③④

【分析】根据二次函数与正比例函数的性质与图象即可判断①②，利用当％=3时y=3可判断③，根据

1<%<3时，+可对④进行判断.

【解析】函数丁=加+麻+c("0)经过(0,3),(1,1),(3,3),

c=3

<a+b+c=1,

9。+3b+c=3

a=l

解得卜=-3,

c=3

1.y=%2-3尤+3,

•二①正确；

函数y=日经过(U),

k=i,y=%，

②错误；

.当x=3时y=3,且。=1,

「♦3=9+36+。，

•*-3〃+c+6=0,

，③正确；

根据图象中，当l<x<3时，尤?+6无+c<x,

*,.x?+(6—l)x+c<0,

，④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查二次函数与正比例函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系，注意数形结合，熟练

掌握二次函数的性质是解题的关键.

30.如图，已知二次函数y=加+bx+c（a^0）的图象与x轴交于点A（-l,0）,与y轴的交点在（0,-2）和（0,-1）

19

之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l,下列结论：@4a+2b+c>0；®4ac-b2<8a;③一<。<一；

33

@b>c；⑤直线>=勺（勺>o,i=l,2,3,…，2023）与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中

正确结论的个数有（）

C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可.

【解析】•••二次函数,=加+法+。（"0）的图象与x轴交于点A（-LO）,对称轴为直线x=l,

•••二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象与x轴的另一个交点为：（3,0）,

...当一l<x<3时，y<0,

二.当％=2时，y=4a—2b+c<0,

故①错误；

•・,二次函数丁=办2+笈+4"0）的图象与％轴有两个交点，

2

**•b-4QC>0,

**•4ac一〃<0,

•.•二次函数丁=办2+乐+4〃。0）的图象开口向上，

••〃>o,

••8a>0,

・4ac—b2<Sa,

.②正确；

二次函数y=ax2+bx+c（a中0）的图象与无轴交于点A（-l,0）,

当％=1时，y=a-b+c=0,

x—1,

-2=i,

2a

—b=2a,

a+2a+c=0,

3a=-c,

二次函数y=依2+笈+c（aWo）的图象与y轴的交点在（0,_2）和（0,-1）之间,

—2vcv—1,

1<—c<2,

1<3tz<2,

12

一<Q<一,

33

③正确；

-b=2a,3a=-c,a>0,

b>c,

④正确；

1、b,

—（z%1+x）=--=1,

222a

Xj+x2=2,

（x,+赴）］+（占+々）2+…+（玉+龙2）,=2,，

当，=2023时，2x2023=4046,

二⑤正确；

正确的为：②③④⑤.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

题型10：二次函数的应用

31.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞.门洞内的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一

盏灯，两灯间的水平距离为6m,则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.

【解析】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为。点，画出y轴，建立直角坐标系,

由题意可知各点坐标为A(-4,0),3(4,0),£>(-3,4),

设抛物线解析式为y=依2+力0)把2、。两点带入解析式，

4

a=——

16。+。=07

9"+』,解得：

64'

c=一

7

解析式为y=4Y+当，贝UC(o,野

所以这个门洞内部顶端离地面的距离为6号4m,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.

32.某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间尤与高度y的关系为>=依2+法.若

此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高.()

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

【答案】B

【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的.

【解析】解：根据题意可得：函数的对称轴为直线尢=话3=10.5,

10与10.5差值最小,

即当x=10时函数达到最大值.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也

相等”是解决这个问题的关键.

33.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一

条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具

153

有函数关系户-白龙2+打+9则小康这次实心球训练的成绩为（)

1682

D.10米

【答案】B

【分析】根据铅球落地时，高度＞=。,把实际问题可理解为当y=o时，求x的值即可.

153

【解析】解：当y=。时，贝＞白龙2+3+；=。,

1682

解得x=-2（舍去）或x=12.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自

变量的特殊值列方程求解是解题关键.

34.某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）.有

下列结论：

②池底所在抛物线的解析式为y=*/-5；

③池塘最深处到水面CD的距离为3.2m；

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m.

其中结论错误的是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】计算长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可

得出抛物线方程，进而逐项判断即可.

【解析】①由题可知，AB=15-(-15)=30m,则①正确;

②对称轴为y轴，交V轴于点(0,-5),设函数解析式为》=以2-5,

将点(15,0)代入解析式得0=15%-5,

解得«=—>

45

池底所在抛物线解析式为了=《无2-5,则②正确；

45

③将x=12代入解析式得y=^xl22-5,

解得y=-L8,

则池塘最深处到水面CD的距离为(-1.8)-(-5)=3.2m,则③正确；

④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，

将x=6代入y=*x2—5,得y=-4.2,

可知此时最深处到水面的距离为5-4.2=0.8(m),故④不正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数

法求解.

35.某建筑工程队借助一段废弃的墙体CO,8长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓

库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺

口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段。C的延长线上，图纸2点A在线段QC上），设川=无

米，图纸1,图纸2的仓库总面积分别为％平方米，%平方米.

图纸I

（1）分别写出3%与％的函数关系式;

（2）小红说："％的最大值为384.%的最大值为507.”你同意吗？请说明理由.

3°

【答案】⑴％=-+48x；y2=—3x+78x；

⑵不同意，理由见解析.

【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即可求解；

（2）把（1）中的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.

【解析】（1）解：对于图纸1,=

AZ）=：（76+2+18-3x）=；（96-3尤）,

13

y^—x,•—^96—3%）=——x2+48x；

对于图纸2,*.*AB=x,

・•・AD=76+2—3x=78—3%，

2

y2=x-（78-3x）=-3x+78%；

（2）解：不同意,理由如下：

3237

由⑴=__X+48X=--（X-16）+384,

・••当％=16时，%的最大值为384；

%=-3x2+78%=-3-13)2+507,

.,.当x=13时，A£）=76—13x3=37>18,

；•%的最大值为507的说法不符合题意.

答：不同意小红的说法.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键.

题型11：二次函数的解答证明题

36.已知二次函数>=-尤2+打+。.

（1）当匕=4,c=3时，

①求该函数图象的顶点坐标.

②当-1WXW3时，求y的取值范围.

（2）当XV0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3,求二次函数的表达式.

【答案】⑴①（2,7）；②当-D3时,一2WyW7

（2）y=-x2+2x+2

【分析】（1）①将6=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；

②已知顶点（2,7）,根据二次函数的增减性，得出当x=2时，>有最大值7,当x=-l时取得最小值，即可求

解；

b

（2）根据题意xvo时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3,得出抛物线的对称轴在y轴的

右侧，即方>0,由抛物线开口向下，XVO时，y的最大值为2,可知c=2,根据顶点坐标的纵坐标为3,

求出匕=2,即可得解.

【解析】⑴解:①当6=4,c=3时，y=-x2+4.r+3=-U-2）2+7,

；.顶点坐标为（2,7）.

②；顶点坐标为（2,7）.抛物线开口向下，

当-1WXW2时，y随x增大而增大，

当24xw3时，y随x增大而减小，

.•.当x=2时，y有最大值7.

又2-（-1）>3-2

...当x=-l时取得最小值，最小值k-2；

.,.当TWx43时，-2Wy<7.

(2)时，y的最大值为2；x>o时，y的最大值为3,

h

.♦•抛物线的对称轴尤=1在y轴的右侧，

：.b>0,

:抛物线开口向下，xWO时，y的最大值为2,

c=2,

xc-b2

又=3,

4x(-1)

b=±2，

VZ?>0,

：.b=2,

・•・二次函数的表达式为y=--+2工+2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的

性质是解题的关键.

37.如图，已知二次函数y=工2+法+。的图象与x轴交于A。。)，B)与>轴交于点c(0,-.CD//x

轴交抛物线于点D.

(1)求/?,C的值.

(2)已知点石在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB,CD于点忆G,且G石=2GD,

求点E的坐标.

【答案】(1)6=3,c=-1

(2)力|

0=——+b+c

【分析】（1）将A。，。）、cfo,-12

，代入y=/+灰+。得，＜，计算求解即可;

5

——=c

[2

5

（2）由（1）可得，y=一;对称轴为直线尤=3,贝6,-,,设E，则方（帆0）,

222

,GE=+3m,GD=6-m,由GE=2GZ）,可得一;+3加=2（6-加），计算求出满足要

(2

求的解即可.

0=~—+b+c

解：将A（1,O）、ck-|，代入）=一；/+"+。得，＜2

【解析】（1）

5

——二c

[2

仿=3

解得5，

2

5

b=3,c=——

2

(2)解:由（1）可得，y=-万，+3%-g,

，对称轴为直线x=3,

"I,

L/+3加一*5

设司机,一，则尸（帆0）,G772,——

22

1

:・GE=—m9+3m,GD=6—m,

2

,?GE=2GD,

-^m2+3m=2(6-m),

解得机=4,m=6（舍去），

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数的图象与性质.解题的关键在于对

知识的熟练掌握与灵活运用.

38.在直角坐标系中，设函数y=以2+笈+。（〃，b,c是常数，awO）.

(1)已知4=1.

①若函数的图象经过(0,3)和(-1,0)两点，求函数的表达式；

②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值.

⑵若函数图象经过(-2,m),(-3,小和5,c),^_c<n<m,求％的取值范围.

【答案】⑴①y=f_4x+3；②1

(2)—5<x0<—3

【分析】(1)①利用待定系数法求解即可；②先求出平移后的抛物线解析式为y=/+bx+c-2,再根据

与X轴只有一个交点，求出C=!〃+2,由此得到b+c=g〃+b+2,根据二次函数的性质即可求出答案；

(2)先求出抛物线对称轴为直线x=血；当即抛物线开口向上时，可推出抛物线对称轴在直线x=-2

22

的左侧，止匕时加，这与已知条件c<〃<相矛盾；〃<0,离对称轴越远，函数值越小，则

x-0

o2^>5%+3>5%+2,解得一5<x0<-3.

c]_b_|_c_0

【解析】(1)解：①把(0,3)和(-1,0),。=1代入y=ax2+bx+c得：一，

[c=3

.••函数的表达式为y=f-4x+3；

②由题意得，平移后的抛物线解析式为y=/+bx+c-2,

•••平移后的抛物线与x轴恰好有一个交点，

A=/?2-4(C-2)=0,

c——b~+2,

4

119

・・・。+。=一/+0+2=—("2)+1,

44V7

>0,

4

・,•当人=一2时，b+c的值最小，最小为1；

(2)解：在y=。工2+加；+。中，当％=0时，y=c,

；•抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),

...抛物线经过点(x0,c),

抛物线对称轴为直线x="血=之；

当。>0,即抛物线开口向上时，

•••函数图象经过(-2,.),(-3,"),且〃<〃?，

离直线x=-3比直线x=-2离抛物线对称轴更近，

/.抛物线对称轴在直线x=-1的左侧，

此时C>〃Z,这与已知条件矛盾，

••a<0,

.•.离对称轴越远，函数值越小

*/c<n<m,

11cle

•'«xo~^xo>5工。+3>5尤0+2,

—XQ>—XQ~+3JVQ+9>a尤o~+2x。+4,

解得-5<x0<-3.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质等等，灵

活运用所学知识是解题的关键.

题型12：二次函数压轴题

39.在平面直角坐标系中，抛物线y=-Y-4x+c与