中考数学一轮复习重难点强化训练：特殊三角形（知识串讲+13大考点）原卷版

专题05特殊三角形

厂考点类型

考点7：垂直平分线的性质

考点1：等腰三角形性质——等边对等角

考点8：垂直平分线的判定

考点9：直角三角形一斜边中线

模块四图形的性质

考点10：直角三角形——含30°角

05讲特殊三角形

考点11：直角三角形——含45°角

考点12：直角三角形一勾股定理

考点13：直角三角形——两角互余

匚下7知识一遍过

(一)等腰三角形的性质与判定

(1)性质

①等边对等角:两腰相等，底角相等，即AB=AC=NB=NC；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的中线或底边上的高)所在的直线就是对

称轴.

(2)判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰二角形；

②等角对等边:即若NB=NC,贝必ABC是等腰三角形.

注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.

失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30。，则另

外两个角的度数为30°、120。或75°、75°.

(二)等边三角形的性质与判定

(1)性质

①边角关系：三边相等,三角都相等且都等于眦.

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相笠的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60。）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60。的等腰三角形是等边三角形.

即若AB=AC,且/B=60。，贝!!△ABC是等边三角形.

注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的角60。，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30。角的性质，即

BD=iAB.

2

（三）角平分线与垂直平分线的性质

（1）角平分线

①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若

Z1=Z2,PALOA,PBLOB,则用=阳

②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。

（2）垂直平分线

①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若。垂直且平分力6,则阳=期

②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

（四）直角三角形的性质

（1）两锐角互余.即NA+NB=2Q2；

（2）30。角所对的直角边等于斜边的二生.即若NB=30。，则AC=|包；

（3）斜边上的空线长等于斜边长的一半.即若CD是中线，则CD=^AB.

（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a?+b2=贮.

（五）直角三角形的判定

（1）有一个角是直鱼的三角形是直角三角形.即若/C=2QS则AABC是直角三角形;

（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的二生，那么这个三角形是直角三角形.

即若AD=BD=£2，贝必ABC是直角三角形

（3）勾股定理的逆定理：若a?+b2=k，则AABC是直角三角形.

'看」考点一遍过

考点1:等腰三角形的性质一一等边对等角

典例1:（2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图，AABC三△4DE,点。在BC

上，若4氏4。=30。，则乙4DE的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【变式1］（2013上・江苏苏州•八年级统考期中）如图，△ABC中，以8为圆心,8c长为半径画弧,分别交2C、AB

于。、E两点，并连接BD、DE.若NA=30。，AB=AC,贝UNBDE的度数为（）

A.67.5°B.52.5°C.45°D.75°

【变式2］（2024上•四川内江•八年级统考期末）如图，AABC和AECD都是等腰直角三角形，aABC的顶点

A在AECD的斜边。E上.下列结论：其中正确的有（）

@KACE=ABCD@BD+ADDE

③NZMB=乙BCD@AE2+AD2=2BC2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式31（2018・天津河东•八年级统考期末）如图AaOBmAADC,40=乙0=90。,记NSW=a,Z.ABO=£,

当4。||BC时，a与0之间的数量关系为（）.

A.a+P=90°B.a+2/?=180°C.a=0D.a=2/3

考点2：等腰三角形的性质一一三线合一

典例2：（2024上•河北沧州•八年级统考期末）如图，等腰A/IBC的底边BC长为3,面积是6,腰力B的垂直

平分线EF分别交4B,AC于点E,F,若点。为底边8c的中点，点M为线段EF上一动点，则ABDM的周长

最小值为（）

A

A.4.5B.5C.5.5D.6

【变式1］（2023上•新疆喀什•八年级校联考期中）如图，AC=48=80,AABD=90°,BC=6,则△BCD

的面积为（）

A

A.9B.6C.10D.12

【变式2］（2023上•山东聊城•八年级校考阶段练习）如图，己知等边△ABC中，点。是4C的中点，点E是BC

延长线上的一点，且CE=CD,DM1BC,垂足为求证：点加是BE的中点.

【变式3】（2023上•江西南昌•八年级校考阶段练习）如图，在AABC中，AB=AC,CD垂直力B于D,P为BC

上的任意一点，过P点分别作PE1A8,PF1CA,垂足分别为E,F.

⑴若P为BC边中点，则PE,PF,CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？

（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？

【变式4】(2023上,全国•八年级课堂例题)如图①所示，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC.

(1)若4。=AE,求证：BD=CE.

(2)如图②所示，若BD=CE,E为DE的中点，^BAF=70°,求NC的度数.

【变式5](2024上•江苏•八年级姜堰区实验初中校考周测)如图，AABC中，4。是边BC上的高，E、F分别

是CF、48的中点，5.DC=BF.

⑴判断并说明OE与CF的位置关系;

(2)若力B=10,CF=8,求DE.

考点3：等腰三角形判定

典例3：(2024上•湖南常德•八年级校联考期末)如图所示，在AABC中，BE平分乙48C,DE\\BC.

⑴求证：ABDE是等腰三角形；

(2)若NZ=30°,ZC=70°,求NBDE的度数.

【变式1】（2024上,甘肃武威,八年级校联考期末）如图，在AABC中，乙4cB=90。，CE是斜边力B上的高,

角平分线BD交CE于点M.

⑴求证：aCDM是等腰三角形.

（2）若4B=10,AC=8,求CA/的长度.

【变式2】（2024上•湖南长沙•八年级统考期末）如图，在AABC中，B。平分N4BC,C。平分N4CB,过点。作

BC的平行线与4B,AC分别相交于点M,N.若4B=5,AC=6,求AAMN的周长.

【变式3］（2023上•江苏苏州,八年级校考阶段练习）如图，将矩形4BCDCAB<AD）沿BD折叠后，点C落

在点E处，且8E交4D于点F,若48=6,BC=8.

⑴求DF的长；

（2）求4DBF^ADEF的面积；

（3）求4DBF中产点到BD边上的距离.

考点4：等边三角形性质

典例4：（2024上•江西赣州•八年级统考期末）如图，AABC是等边三角形，已知AE=CD,BQ1AD于Q,

BE与4D交于点P,下列结论中不一定成立的是（）.

A./.APE=ZCB.BP=2PQC.AQ=BQD.AE+BD=AB

【变式1X2024上•全国•九年级专题练习）如图，。是等边△ABC边AB上的一点，且AD:OB=1:2,现将ATIBC

折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E,F分别在4C和BC上，贝。CE:CF=（）

【变式2］（2024上•湖北恩施•八年级统考期末）如图，△4BC是等边三角形，点。是4B边上一点，连接CD,

点E是CO上一点，Z.CAE=上BCD,则下列结论正确的是（）

A.AE=ADB.Z.AED=60°C.BD=CED.^AEC=乙BDC

【变式3］（2023上•山东临沂•九年级校考阶段练习）如图，aaBC为等边三角形，点。，E分别在边BC,

AB上，N2DE=60。若BD=4DC,DE=2.4,贝!|力。的长为（）

A

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

考点5:等边三角形判定

典例5：(2022上・北京•八年级校联考期末)如图，E是N40B的平分线上一点，EC1OB于C,ED1。4于

D,连接CD交OE于点F,若N40B=60°.

⑴求证：△OCD是等边二角形;

(2)若DE=6,求线段OF的长.

【变式1】(2023上•江苏宿迁•八年级校联考期中)如图，ATlBC和ACDE都是等边三角形，且点A、C、E

在一条直线上，4D与BC相交于点M,BE与CD相交于点N.

求证：

(1)XD=BE；

⑵ACMN是等边三角形.

【变式2](2023上,广东广州•八年级铁一中学校考期中)如图，在AABC中，AB=AC,^BAC=120°,AD

是BC上的中线，E是AC的中点，连接DE.

⑴求证：AADE为等边三角形;

(2)若2。=3,求4B的长.

【变式3](2023上•江苏盐城•八年级统考期中)已知：如图，等边ATIBC中，点E在边BC上，CD||AB,

且CD=BE.

⑴求证：XABE2ACD；

(2)判断ANDE的形状，并说明理由.

考点6：等边三角形判定与性质综合

典例6：(2024上•山西吕梁•八年级统考期末)如图，△力8c是等腰三角形，=4C,点£>,E分别在边BC,

北上，将△CDE沿着DE折叠，点C的对应点厂恰好落在4B上，且CD=C，B.

⑴求证：△4LE是等腰三角形；

(2)连接CC，交。E于点F,若乙4=60°,AB=8,求DF的长度.

【变式1】（2024上•湖南邵阳,八年级统考期末）如图1,点A、C、E在同一条直线上，在AACB和AECD中,

CA=CB,CD=CE,^ACB=乙DCE=a,AD,BE相交于点M.

（2）用含a的式子表示N2MB的度数；

⑶如图2,当a=60。时，取力D,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,判断ACPQ的形状，并加

以证明.

【变式2］（2024上•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知，如图△4BC,E是上一

点，ABAC=^AEB=a,△ABC角平分线BD交4E于H,G为。H中点，延长2G交BC于尸.

⑴求证：AH=AD；

(2)若a=80°,ZC=40°,求证：AF=AB.

【变式3】（2024上,湖南长沙,八年级统考期末）如图，点P,M,N分别在等边△ABC的各边上，且MP14B

于点P,MN1BC于点M,PN14C于点N.

⑴求证：APMN是等边三角形;

（2）若AC=12cm,求CM的长.

考点7：垂直平分线的性质

典例7：（2024上•安徽合肥•八年级统考期末）如图，在AABC中，力。是8c边上的高，4E是NB4C的角平分

线，MF垂直平分4E,垂足为点X,分别交4B、AD,AC于点N、G、F,交CB的延长线于点连接EF,

下列结论中错误的是（）

A.NM=^DAEB.Z.DAE=|{/.ABC-ZC)

C.EF||ABD.乙EFC=2/-M+Z-C

【变式1】（2023上,黑龙江哈尔滨•八年级统考期末）如图，△ABC中，ABAC=60°,ABAC的平分线AD与

边BC的垂直平分线MD相交于D,DE14B交4B的延长线于E,DF14c于F,现有下列结论：①DE=DF；

（2）DE+DF=AD-,③DM平分NEDF；@AB+AC=2AE-,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2］（2018下•山东枣庄•九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算Na=（）

【变式3］（2023上•安徽亳州•八年级校考期末）如图，在A/IBC中，分别以点力和C为圆心，以大于的

长为半径作弧，连接两弧的交点与分别交于点。，点、E,连接CD,若=CD,贝叱4C8的度数为（）

考点8：垂直平分线的判定

典例8：（2024上•陕西商洛•八年级统考期末）如图，在△ABC中，4D平分NB4C,DE14B于点E,DF1AC

于点R连接EF交4。于点。.

A

⑴求证：4。垂直平分EF；

(2)若NBAC=60。，AD=5,求线段。。的长.

【变式1](2023上•河北承德•八年级校考期末)如图是风筝的结构示意图，点Z)是等边三角形A8C的外部

一点，且AD=CD,过点。作DE||4B交力C于点F,交BC于点E.

⑴求证：BD垂直平分线段4C；

(2)若BC=10,CF=4,求DE的长.

【变式2］（2023上•甘肃定西•八年级统考期中）如图，在△力BC中，AD平分NB4C,ZC=90°,DE1AB于

点E,点F在4C上，BD=DF.

⑴求证：CF=EB.

（2）连接CE,求证力。垂直平分CE.

【变式3】（2023上•河南周口•八年级校联考阶段练习）在A8CN中，BC=BN,点N在线段4B上（如图位

置），AB为Rt△4的斜边，MNLAB于N,MN交AC于M,连接BM,CN相交于R^ACB=90°.

(l)RtAMBC=RtAMBN.

(2)BM垂直平分CM

考点9：直角三角形一一斜边中线

典例9：（2024•陕西西安•校考模拟预测）如图，在△ABC中，乙4cB=90。，乙4=22.5。，CD14B于点D,

点E为4B的中点，连接CE,若CD=正,贝MB的长为（）

A.2V3B.8C.4V3D.3V6

【变式11（2023上•浙江杭州•八年级统考期中）如图，已知RtAABC,Rt△DBA,RtAE/lC,其中点F,G,H

分别为斜边BC,BA,AC的中点，连接DG,AF,EH.则线段DG,AF,EH的数量关系是（）

A.2AF2=2DG2+EH2B.2AF2=DG2+2EH2

C.AF2=DG2+EH2D.2AF2=DG2+EH2

【变式2]（2024上•广东清远•九年级统考期末）如图，正方形4BCD的边长为8,E为CD边上一点，连接BE,

器=；,取BE中点凡连接CF,则CF的长为（）

EC3

A.3B.4C.5D.6

【变式3】（2024上•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=4,点。

为A8的中点，点、E、尸分别在边2C、BC上，且NEDF=90。，则下列说法：

①EC+CF=y[2AD-,

@EC2+CF2=2DF2；

③）SAAED+S&BFD=^SAABC（S代表二角形面积）；

@）CA4ED+CABFD=，A4BC（C代表二角形周长）

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点10：直角三角形一一含30°角

典例10：（2023上■广东江门•九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点4在久轴负半轴上,

点B在y轴正半轴上，经过4B,0,C四点，AACO=120°,AB=4,则圆心点。的坐标是（）

A.（V3,l）B.（-V3,l）C.（-1,V3）D.（-2,273）

【变式1］（2024上•天津宁河•八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC,D,£是△力BC内部的两点,

4。平分NBAC,Z£BC==60°,若BE=5,DE=2,贝!|8C的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式2］（2024上•广东云浮•九年级罗定中学校联考期末）如图，在RtAABC中，AACB=90°,乙4=60。，

AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到此时点4恰好在4B边上，则点?与点B之间的距

离为（）

B'

-----?------7

A.12B.6C.6V2D.6V3

【变式3］（2023上•广东肇庆•八年级统考期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,Z71=30°,4B的垂直平

分线交4C于D,交4B于E,连接BD,给出下歹！J结论：①DB平分NCDE；（2）AE=BC；③BC=2CD-,@BD+

DE=AC.

考点11:直角三角形一一含45°角

典例11：（2023上•江苏无锡•八年级校考阶段练习）如图在等腰直角△ABC中，若乙4c8=90。，E为AD中

点，CD=CE,贝吐D4B的度数为（）

A.60°B.30°C.45°D.15°

【变式1］（2022上•湖南株洲•八年级统考期末）如图，等腰直角A4BC中，0BAC=9O°,AOI3BC于。，0ABC

的平分线分别交AC、于£、尸两点，M为EF的中点，延长AM交2C于点N,连接。下列结论：

①AE=A尸；②AM0EF；（3）AF=DF；@DF=DN,其中正确的结论有（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2］（2022•江苏无锡,校联考一模）如图，等腰R/EL48c中，AB=AC=6,0BAC=9O°,。是BC边的

中点，过点。作。分别交A3、AC于£、尸（不与8、C重合）.取跖的中点。，连接AO并延长交

BC于G,连接EG、FG.随着点£、尸的位置的变化，有以下四个结论：①DE=DF；②四边形AED尸的

面积始终为9；（3）0£GF=9O°；④四边形AEG尸的面积有最小值为其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【变式3］（2022・四川南充•统考一模）如图，在等腰直角0ABe中，AACB=90°,。是斜边的中点，点

D、E分别在直角边AC、BC上,且NDOE=90。，DE交OC于点、P.给出下列结论:

(1)AD=CE；

(2)CD+CE=V2OC；

(3)的面积等于四边形COOE的面积的2倍;

(4)POPC=PD-PE.

C.2D.1

考点12:直角三角形一一勾股定理

典例12：（2024上•福建泉州•八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC,ABAC=90。，点尸、。在BC上，

且BP=CQ,PD14Q于E,交AC于。，连结4P.下歹U结论：①NP4Q=45°；②PA=PD；（3）AB2-AP2=

i（BC2-PQ2）；④BP?+。。2=24p2.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

【变式11（2024上•全国•九年级专题练习）如图，在RtAABC中，4B=AC,D,E是斜边BC上两点，且NZME=

45°,将AADC绕点2顺时针旋转90。后，得到A/IFB,连接