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文档简介
专题05尺规作图
厂考点类型
考点L尺规作图——作线段
考点2:尺规作图——作角
模块五图形的变换
05讲尺规作图
'-知识一遍过
(一)作线段
已知:线段4,作一条线段AB,AB=a?
aa\
•-------------------------------------1-----
作法:①用直尺画射线AC
②用圆规在射线AC上截取AB=a
二线段AB即为所求
(二)作角
已知:ZAOB
求作:ZAOB=ZAO'B'
作法:①以0为圆心,任意长为半径画弧,交0A与点D,交0B于点E;
②作射线O'B'
③以。'为圆心,0D长为半径画弧,交08于点E'
④以E'为圆心,ED长为半径画弧,交上一步所画的弧与D'
⑤过。'作射线O'A,NAO'B'为所求
(三)作角平分线
作法:①在0A和0B上分别截取OD、0E,使0D=0E。
②分别以D、E为圆心,以大于一DE的长为半径作弧,两弧在/AOB内交于点C
2
③作射线0C,则0C就是/AOB的平分线
(四)作垂直平分线
作法:①以A为圆心大于长为半径作弧,以B为圆心大于‘AB长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD,即为所求
事考点一遍过
考点1:尺规作图一一作线段
典例1:(2024上•福建泉州•九年级统考期末)如图,在RtA48C中,NBAC=90。.
C
(1)延长AC至点M使得4N=4B;过点N作ND1BC,与BC的延长线交于点。(要求:尺规作图,不写作
法,要保留作图痕迹);
⑵在(1)的条件下,延长B4至点M,使得AM=AC,求证D,M,N三点共线.
【答案】⑴见解析
⑵见解析
【分析】本题考查作图-基本作图,全等三角形的判定和性质,解题的关键是理解题意,正确寻找全等三
角形解决问题.
(1)根据要求画出图形;
(2)假设ND的延长线交B4的延长线于点M,,利用同一法证明.
(2)假设ND的延长线交84的延长线于点
ON。1BC,
团乙NDC=乙CAB=90°,
团乙NCD=AACB,
^\Z.ANM'=Z.B,
EINM4M'=ABAC=90°,AN=AB,
0ANAM'三ABAC(ASA),
EL4M'=AC,
SAMAC,
0M,W重合,
EIM,D,N共线.
【变式11(2024上•福建泉州•八年级校考期末)如图,直线MN||PQ,直线28分别与MN,PQ相交于点4B.
⑴尺规作图(保留作图痕迹):
①作NM4B的角平分线与PQ交于点C;
②在射线2N上找一点D,使AB=AD-,
(2)连接CD,若四边形4BCD的对角线BD=6,AC=8,则四边形力BCD的面积为,直线MN与直线PQ
的距离为.
【答案】⑴见解析
(2)24;4.8
【分析】(1)根据角平分线的尺规作图法作图和直接在射线4N上截取4。=4B即可;
(2)如图,连接BD,交4C于点。,过点。作DE1BC,可证四边形力BCD为菱形,然后由菱形的面积计算
方法计算即可;
【详解】(1)解:①如图,射线AC即所求.
(2)如图,连接BD,交2C于点。,过点。作DE1BC
•••AD||BC
Z.DAC=Z.ACB
■.Z.DAC=Z.BAC
Z.BCA=Z.BAC
BC=BA=AD
・•・四边形为平行四边形
AB=AD
・•・四边形/BCD为菱形
•••AC1BD,AO=CO=4,BO=DO=3
••・四边形为菱形的面积为:|-XC-BD=|x8x6=24
BC=JOB2+OC2=J32+42=5
•••DE1BC
••・四边形4BCD为菱形的面积为:BC=5•0E=24
24
DE=—=4.8
二直线MN与直线PQ的距离为4.8
故答案为:24;4.8
【点睛】本题考查了常见的尺规作图,菱形的判定和性质,勾股定理,菱形的面积计算,熟练运用这些知
识解决问题是解题的关键.
【变式2](2023上•八年级课时练习)如图,RtA48C中,Z.ACB=90°.尺规作图:(不写作法,保留作图
痕迹)
A
CB
⑴在斜边力B上找一点D,使AD=AC;
⑵作NB4C的平分线,交BC于点E,连结DE;
⑶在(1)、(2)的条件下,请判断ABDE的形状,并说明理由.
【答案】⑴见解析
⑵见解析
(3)ABDE是直角三角形,证明见解析
【分析】(1)在48截取=4C即可;
(2)利用基本作图作BBAC的平分线;
(3)证明AACE三△ADE得到乙4CE=NHDE=90。,从而得到NBDE=90。.
【详解】([)如图,点。即为所求的点.
A
(2)如图,2E即为所求;
(3)ABDE是直角三角形
EL4E平分48"
SZ.CAE=/-DAE,
在△"£■和△ADE中,
EI/IC=AD,Z.CAE=Z.DAE,AE=AE,
0AACESAADE(SAS),
0ZXCF=/.ADE=90°,
0ZXDF+乙BDE=180°
ElNBOE=90°
团ABDE是直角三角形
【点睛】本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了全等三角形的判
定与性质.
【变式3](2023•江苏南京・统考一模)如图,已知线段a.求作AABC,使N/1=90。,AB=AC,且分别满
足下列条件:
,a,
(1)BC=a.
(2)AABC的周长等于a.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明.)
【答案】⑴见解析
⑵见解析
【分析】(1)先作线段BC=a,再作分别以点2,。为圆心,大于画弧,两弧分别交于点E,F,然后
作直线EF交BC于点。,再以点。为圆心,BD为半径画弧,交直线EF于点A,连接4B,4C,则AABC即为
所求;
(2)先作线段MN=a,再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点。,再以点£>为圆心,MD为半径画弧,
交直线EF于点P,连接MP,再作NPMN的平分线交直线EF于点A,然后以点A圆心,AD长为半径画弧,
交MN于点8,C,连接则△ABC即为所求.
【详解】(1)解:如图,先作线段BC=a,再作线段BC的垂直平分线EF交BC于点D再以点。为圆心,BD
为半径画弧,交直线EF于点A,连接4B,AC,则△ABC即为所求.
理由:根据作法得:EF垂直平分线段BC,AD=BD,
EL4B=AC,4ADB=90°,
E1Z4BC=乙BAD=45°,
团乙4cB=^ABC=45°,
0Z5AC=90°;
(2)解:如图,先作线段MN=a,再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点Q,再以点。为圆心,MD为
半径画弧,交直线EF于点尸,连接MP,再作NPMN的平分线交直线EF于点A,然后以点A为圆心,4。长
为半径画弧,交MN于点、B,C,连接4B,AC,则△ABC即为所求.
理由:根据作法得:EF垂直平分线段BC,MD=PD,4M平分NPMN,AD=BD=CD,AB=AC,
团NPDM=90°,4AMN=-A.PMD,AABC=乙ACB,
2
回匕PMD=乙MPD=45°,2LABC=4BAD=KACB=45°,
团乙PMO=乙ABD,ABAC=90°,
团4/MN=-/LABD,
2
团ZJ1BO=乙AMN+4BAM,
团乙4MN=/-BAM,
BAB=BM,
同理ZC=CN,
团48+AC+BC=BM+CN+BC=MN=a.
【点睛】本题主要考查了尺规作图一一画等腰三角形,熟练掌握几种基本尺规作图的方法,等腰直角三角形
的判定是解题的关键.
考点2:尺规作图一一作角
典例2:(2023•福建泉州•校联考模拟预测)如图,在AABC中,4B边上有一点D
⑴尺规作图:在4C上取一个点E,使得(尺规作图,保留作图痕迹)
⑵在(1)的基础上,若AD=3cm,AC=6cm,BC=5cm,求DE的长度.
【答案】⑴见解析
{2}DE=|cm
【分析】(1)利用基本作图,作乙4DE=乙4cB即可,因为由乙4DE=/.ACB,/.A=乙4,可得出△力。E-△"B;
(2)由△ADEsAZCB可得丝=竺,再代入数据求解即可.
【详解】(1)如图所示,点E即为所求.
E
(2)0AADE-LACB,
"ODE
0-=—
ACBC
吗若
SDE=-cm.
2
【点睛】本题考查了作图-基本作图及相似三角形的判定及性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知
线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
【变式1](2023•黑龙江绥化•统考模拟预测)如图,在AABC中,。是48边上的一点.
⑴请用尺规作图法,在AABC内,求作乙4DE,使=DE交AC于点E(不要求写作法,保留作图
痕迹);
(2)在(1)的条件下,若券=2,DE=4,求BC的长.
【答案】(1)见解析
(2)BC=6
【分析】(1)根据要求,利用基本作图(作一个角等于已知角)4ADE=4B;
(2)根据=乙4=NA则可判断出AADEsAaBC利用相似三角形的性质求解.
【详解】([)解:如图,41DE即为所求;
A
(2)vZ.ADE=Z.B,Z.A=Z-A,
ADE^△ABC,
-AD-=-D-E,
ABBC
AD仁
—=2,
DB
.2_4
一=9
3BC
•••BC=6.
【点睛】本题考查作图-复杂作图,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用
所学知识解决问题.
【变式2](2023•福建泉州•统考二模)如图,在RtAZBC中,N4CB=90。,乙4<NB.
⑴在4B的延长线上,求作点。,使得△CBDSAAC。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若力B=5,S“BC=5,求tan/CDB的值.
【答案】⑴见解析
.
【分析】(1)以点C为顶点,作=DC交28延长线于点D,则问题可解;
(2)过点C作CM1AB于点M,过点B作BN1CD于点N.由面积可求CM=2,证明NBCM=N力,利用正
切定义得到比例式吧=生,求出BM=1,设BD=x,CD=y,分另ij禾!1用△CBD“△乙4CD和CD?=+
CMAM
CMZ构造关于久,y的方程求出x,则tan/CDB可求.
【详解】(1)利用尺规作图
如图,点。为所求.
c
依据:有作图,4DCB=4A,
应LBDC=Z-CDAf
[?]△CBD~AACD;
(2)法一:
如图,过点C作CM,48于点M,过点B作8N_LCD于点N.
C
;4B=5,S^ABC~5,
-AB-CM=5,
2
・•.CM=2.
•・•乙BCM=90°-Z.CBA,LA=90°-Z,CBA,
・•・乙BCM=
nITAR[-tBMCM
・•・tanzBCM=tan4即一=—,
CMAM
.BM_2
•,2-5-BM9
解得BM=1,(BM=5舍去).
设=x,CD=y,
乙BCD=Z.A,Z-CDB=乙ADC,
・•.△CBDZ.ACD,
.CD_BD
,,—,
ADCD
・•.CD2=BD•AD,
•••y2=x(x+5),
在放△COM中,CD2=DM2+CM2,
y2=(%+I)2+22,
•••x(x+5)=(%+l)2+22,
解得汽=£
*'•DM=—F1=一,
33
CM23
VSLXIZ-CDB=—=w=—•
DM4
法二:
如图,过点。作。“于点M,取48的中点。,连接0C.
4B=5,S^ABC=5,
■■--AB-CM=5,
2
・•.CM=2.
・乙
••BCM=90°-2LCBAtZ,A=90°-^CBAf
乙BCM=Z-A,
riE"入AnriBMCM
•••tanzBCM=tanZ,即一=—,
CMAM
BM_2
•・2-5-BMf
解得3M=1,(BM=5舍去).
•・・△48c是直角三角形,AO=BO,
OC=-AB=OA=OB
22
•••Z-ACO=Z-A,
•••乙BCD=Z-A,
・••Z-ACO=乙BCD,
•・•/.ACO+Z.OCB=90°,
•••乙BCD+乙OCB=90°,
即乙DC。=90°.
・•・乙CDB+乙COD=90°,
•・•ZOCM+ZCOD=90°,
••・乙CDB=Z-OCM,
53
OM=OB-BM=--l=~,
22
•.tanzCDB=tanzOCM=-=—=
CM24
【点睛】本题考查利用尺规作已知角、相似三角形的性质和判定以及正切的定义,解答关键是利用相似三
角形的性质构造方程求解.
【变式3](2023•福建泉州・统考模拟预测)如图,在△ABC中,点。、E分别在边8C、4C上,且DE团4B.
⑴求作功凡4,使得点尸在边力C上,且功凡4=〃;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若。C==45o,/C=30。,BC=15+15V3,求线段OF的长.
【答案】⑴见解析图;
(2)572.
【分析】(1)利用等腰三角形的性质作图即可;
(2)要求DF长,则需求DE长即可,添加辅助线构造特殊直角三角形即可.
【详解】(1)如图,
(2)如图,过E作EGJ.BC与点G,设EG=zn,
EIDE||AB,
团NEDG=KB=45°,
团在Rt/XDEG中,DG=GE=m,DE=V2m,
在RtZkEGC中,ZC=30°,
团GC=y/3EG=V3m,
^\DC=-BC,
3
WC=1(15+15V3)=5+5V3,
0DC=DG+CG—m+V3m,
解得:m-S,
SDE=V2m=5V2,
由(1)作图得DF=DE=5V2.
【点睛】本题考查了尺规作图和特殊三角形的性质,解此题的关键是熟练掌握含30。和45。直角三角形的性
质.
考点3:尺规作图一一作角平分线
典例3:(2023•山东青岛・统考模拟预测)如图,在AABC中,NC=90。,AB=10,BC=6,P是边48上的
一点,以P为圆心,P8为半径作OP.
⑴尺规作图:求作OP,使得OP与直线4c相切;(保留作图痕迹)
(2)求⑴中G)P的半径.
【答案】⑴见解答
(2)?
【分析】(1)作N4BC的平分线交AC于。点,再过。点作4c的垂线交AB于P点,然后以P点为圆心,PD为半
径作圆即可;
(2)设切点为O,连接PO,如图,设OP的半径为r,则PB=PD=r,根据切线的性质得到PO_LAC,则
可判断PD瓯,再证明利用相似比得至钎*然后解方程求出卿可.
【详解】([)解:如图,OP为所求作;
•・・。2与直线4(7相切于£),
PD1AC,
:.4ADP=90°,
ZC=90°,
•••Z-ADP=Z-C,
・•・PDWBC,
••・2APD~AABC,
PD_AP
,,=,
BCAB
即工=
610
解得丁=¥,
4
即OP的半径为
4
【点睛】本题考查了作垂线,作角平分线,切线的性质,相似三角形的性质与判定,掌握基本作图与切线
的性质是解题的关键.
【变式1](2022•福建厦门・统考模拟预测)如图,已知△ABC,乙4cB=90。.
备用图
⑴求作菱形4DEF,使得D,E,尸分别在边力B,BC,4C上;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
⑵在(1)的条件下,连接力E,CD,过点E作EG14E,交48于点G,若4G=8,N2GE=60。,求CD的
长.
【答案】⑴见解析;
(2)277.
【分析】(1)根据菱形的对角线平分对角先想到作ABAC的平分线AE交BC于点E,再由菱形的对角
线互相垂直平分想到作AE的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点F,则以4、D、E、F四点为
顶点的四边形就是所求的菱形;
(2)先求得乙DEG=Z.DGE=60°,可证明△DEG是等边三角形,得GE=GD=AD=ED=^AG=4,
再证明乙DEB=90°,贝U乙GEB=ZF=30°,得GB=GE=4,贝。BD=8,AB=12,由勾股定理求得
BE=4V3,而力C=^AB=6,贝ijBC=6百,所以CE=2百,贝!]CD=VCF2+ED2=2近;
回如图,菱形4DEF即为所求.
解:EFG1AE
:.£.AEG=90°
El在RtAAEG中,AG=8,^AGE=60°,
AFFG
^GAE=30°,sin^AGE=—,cos^AGE=—
AGAG
EL4E=8X—=4V3,
2
1
EG=8x—=4
2
由(1)知,四边形ADEF是菱形
DE||AC,乙CAB=2^CAE=2/LGAE=60°,
•••乙DEC=180°-4ACB=90°,乙EDG=ACAB=60°,
..乙DEG=180°-乙EDG-/.AGE=60°,
.•.△DEG为等边三角形,
•••DE=EG=4.
•.,在Rt△ACE中,CE^AE-sin^CAE=4V3x|=2V3.
.•.在RtACED中,CD=yJCE2+DE2=V12+16=2小
【点睛】此题重点考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识,此题
综合性较强,难度较大.
【变式2】(2022•福建泉州•校考模拟预测)已知:RtAXBC,4c=90°.
⑴点E在BC边上,且AACE的周长为4C+BC,以线段4E上一点。为圆心的O。恰与AB、8C边都相切,请
用无刻度的直尺和圆规确定点E、。的位置;
(2)若8c=12,AC=9,求O。的半径.
【答案】⑴见解析
⑵。。的半径为意
【分析】(1)作4B的垂直平分线交BC于E,贝UE4=EB,所以△4CE的周长为力C+BC;再作入4BC的平分线
交4E于点0,则点。满足条件;
(2)过。点作0DL4B于D,OF1BC于F,如图,设。。的半径为r,先利用勾股定理计算出4B=15,由
于(12-BE/+92=8所,则可求出BE=接着根据切线的性质得到。。=。9=r,然后利用面积法得到
8
-X—xr+-xl5xr=-x—x9,然后解方程即可.
28228
【详解】(1)解:如图,点反。为所作;
(2)解:过。点作0D14B于D,。尸18。于尸,如图,设。。的半径为r,
在Rt△ABC,
0ZC=90。,BC=12,AC=9,
•••AB=V92+122=15,
0A4CE的周长为AC+BC,
EL4E=BE,
在RtAZCE中,
SCE2+AC2=AE2
0(12-BE)2+92=BE?,解得BE=
8
团。。与48、BC边都相切,
团。O=OF=r,
•••S^BOE+^LAOB=S—BE,
-x—xr+-xl5xr=-x—x9,
28228
解得r=g,
即O。的半径为意
【点睛】本题考查了作图一复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质和切线的
性质.
【变式3](2011•广东珠海・统考中考模拟)如图,AABC是等腰三角形,AB=AC,乙4=36。.
⑴尺规作图:作NB的角平分线BD,交4C点。(保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断ADBC是否为等腰三角形,并说明理由.
【答案】⑴见详解,
(2)ADBC是等腰三角形,理由见解析
【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法作图即可;
(2)根据三角形内角和定理求出乙4BC=NC=72。,根据角平分线的定义求出ADBC,再利用三角形内角
和定理求出NBDC,可得乙BDC=4C,则A08C是等腰三角形.
【详解】(1)解:如图:
(2)ADBC是等腰三角形;
理由:国4ABC是等腰三角形,AB=AC,乙4=36。,
=NC=180。-乙4_180°-36°72°,
2—2
团80为448C的平分线,
SZ.DBC=-/-ABC=36°,
2
0Z5DC=180°-乙DBC一4C=72°,
0ZFDC=",
0BZ)=BC
团ADBC是等腰三角形.
【点睛】本题考查了尺规作角平分线,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理,熟练掌握角平分线
的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
考点4:尺规作图一一作三角形
典例4:(2023•福建泉州•统考模拟预测)如图,AABC=70°,AB=BC.
A
BC
⑴求作ABC。及N8CE,满足ABC。为等边三角形,/.BCE=170°,其中AB=CE,点。,E与点4在BC的同
侧;(要求:尺规作图,不写作法,保留痕迹)
(2)在(1)的条件下,求NB4E的度数.
【答案】⑴见解析
(2)N84E=85°
【分析】(1)先由三边相等的三角形为等边三角形作△BCD,再由题中条件,根据邻补角定义作NECM=
NABD即可得到答案;
(2)根据等腰三角形的性质求解.
【详解】(1)解:如图所示:
、/
•、、____一,
•・•(ABC=70°,Z.DBC=60°,
・•・乙ABD=10°,
延长BC,尺规作图4ECM=乙48。=10。,
••・△BCD及乙BCE=170。即为所求;
.・.AB=BD=BC=CD=CE,
•••乙ABD=10°,/,A=Z.ADB=85°,Z.CDE=Z.CED=35°,
.•・/.ADE=/-ADB+BDC+UDE=180°,
・•・/,D,E三点共线,
・•.ABAE=^A=85°.
【点睛】本题考查了复杂作图-作相等线段及作相等角,掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
【变式1](2022上•福建福州•九年级闽清天儒中学校考阶段练习)如图,点尸是等边三角形ABC内一点,
连接B4,PB,PC,将△248绕点3逆时针旋转60。得到△ODB,其中点尸的对应点是
A
⑴请画出AQDB(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若28=2,求24+PB+PC的最小值.
【答案】⑴见解析
(2)273
【分析】(1)以点B与点P为圆心,以BP长为半径画弧,交于点Q,同理,以点B与点4为圆心,以B力长
为半径画弧,交于点0,连接BD,BQ,DQ,则AQD8为所求三角形;
(2)过点。作2C的垂线,垂足为E,连接尸。,CD,由题可知APAB三AQOB,即可证得APBQ是等边
三角形,根据△ABC是等边三角形,即可得到BE、CE的长,继而根据勾股定理求得DE、CD的长,于是根
据由两点之间,线段最短可得DQ+QP+PC2CD,故当C,P,Q,。四点共线时,即可得到P4+P8+PC
的最小值.
【详解】(1)解:
如图所示,AQDB即为所求作的三角形.
(2)解:过点。作的垂线,垂足为E,连接尸。,CD,
Si^BED=90°.
HAP4B绕点2逆时针旋转60。得到△QDB,其中点P的对应点是Q,
0APAB三△QDB,乙4BD=4PBQ=60°,
SPA=DQ,PB=QB,BD=AB=2,
0APBQ是等边三角形,
EIPB=QP.
HA力BC是等边三角形,
0ZXBC=60°,BC=AB=2.
0ZXBC+乙ABD+乙DBE=180°,
0ZDBF=60°,^BDE=30°,
0SF=-BD=1,SCE=BC+BE=3.
2
在Rt△BDE中,OE=y/BD2-BE2=V3.
在Rt△CDE中,CD=VCE2+DE2=2^3.
由两点之间,线段最短可得0Q+QP+PC2C。,
当且仅当C,P,Q,。四点共线时,等号成立,
I3DQ+QP+PC>2V3,即P4+PB+PC>2百,
SPA+PB+PC的最小值是2次.
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质,尺规作三角形,掌握相关性质
以及定理是解题的关键.
【变式2](2023下•八年级课时练习)在△ABC中,NC=90。,/.CAB=cr(O°<a<45°),将AABC绕点A
逆时针旋转,旋转角为。(0。<。<180。),记点8,C的对应点分别为。,E.
D
C
(1)若△ABC和线段4。如图所示,请在图中作出△ADE(要求;尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
⑵M是4B的中点,N是点M旋转后的对应点,连接MN,CD,BD,则是否存在£与a的某种数量关系,使
得无论a取何值时,都有MN=CD?若存在,请说明理由,并直接写出此时BC与BD的数量关系;若不存在,
也请说明理由.
【答案】⑴见解析
⑵存在,理由见解析,BD=2BC
【分析】(1)根据全等三角形的判定和尺规作图的方法,根据题意画出图形即可;
(2)连接MN,CM,根据三角形的外角定理可得ND4B=NCMB,贝“DAIICM,再通过证明四边形DNMC是
平行四边形,得出MN=CD,即可得出结论.
【详解】(1)解:如图△40E即为所求.
解法一(利用SSS作全等三角形):
解法二(利用SAS作全等三角形或作点C旋转后的对应点E):
解法三(利用ASA作全等三角形):
当/?=2a时,无论a取何值时,都有MN=CD.
理由如下:
00°<a<45°,a<P<180°,
EL4C始终在△4BC的外部.
连接MN,CM,
0CM==BM=-AB.
2
团4CZM=Z.MCA.
回〃;时8是44MC的外角,
^Z.CMB=Z,CAM+/.MCA=2/.CAM,
又团/?=2a,即=
^\Z-DAB=乙CMB.
血411cM.
团△ZDE由△ZBC绕点4逆时针旋转得到,且点。是点B旋转后的对应点,点N是点M旋转后的对应点,
^BAD=/MAN,AM=AN.AB=AD.
又团点M在48上,
^BAN=乙MAN.
^BAD=乙BAN,即点N在AD上.
^\AN=DN=-AD=-AB.
22
SDN=CM.
又回£MIICM,
回四边形DNMC是平行四边形.
0M/V=CD.
此时,BD=2BC.
解法二:
00°<a<45°,a<£<180°,
团4。始终在△ABC的夕卜部.
连接MN,CM,
回在△ABC中,ZC=90°,M是AB的中点,
1
团CM=AM=BM=-AB.
2
团NC/M=/-MCA.
团△ADE由△ABC绕点/逆时针旋转得到,且点。是点B旋转后的对应点,点N是点M旋转后的对应点,
^BAD=^MAN,AM=AN,AB=AD.
又团点M在AB上,
国匕BAN=乙MAN.
^BAD=乙BAN.即点N在/。上.
1i
团4N=DN=-AD=-AB.
22
国DN=CM.
要使得无论a取何值时,都有MN=CD,只要使四边形DNMC是平行四边形.
国DN=CM,
团要使四边形DNMC是平行四边形,只要使D4||CM.
即要使"AB=乙CMB.
团CM=AM,
^Z-CAM=/-MCA.
又回4cM8是4AMC的外角,
0ZCMS=/.CAM+AMCA=2ACAM.
El要使NDAB=乙CMB,
只要使N£MB=2/.CAM,即0=2a.
回当£=2a时,无论a取何值时,都有MN=CD.
此时,BD=2BC.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定,尺规作图,三角形的外角定理,平行四边形的判定和性质,
旋转的性质,解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用.
【变式3](2022上•福建福州•九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习)如图,点D是等边A/IBC外部一点,
把△BCD绕点C顺时针旋转60。得到A/ICE,其中点力,E分别是点B,。的对应点.
⑴利用无刻度的直尺和圆规作出AaCE;(保留痕迹,不写作法)
⑵在(1)的情况下,在线段上取点P,且PB=PC,若N/1BD=ND8C+N4EC,求证:P,C,E三点共
线.
【答案】⑴作图见解析;
(2)证明见解析.
【分析】(1)分别以点C、。为圆心,CD的长为半径画弧,两弧在线段CD的下方相交于点E,连接4E、CE,
则AACE即为所求;
(2)证明乙4cp+/.ACE=180。即可.
【详解】(1)解:如图1,AACE即为所求;
A
(2)证明团如图2,
^AB=ACfPB=PC,
乙乙
^1Z-ABC=Z-ACBfPBC=PCB,
^Z.ABP=Z.ACP,
由旋转的性质可知,ABCD且ACE,
⑦乙
DBC=Z.CAEf
乙乙
^CAE+Z,AEC+Z.ACE=180°,ABD=DBC+^AECf
团乙ABD+乙ACE=180°,
^ACP+^ACE=180°,
团点尸,C,E共线.
【点睛】本题考查作图-复杂作图,全等三角形的性质,等边三角形的性质,解题关键是灵活运用所学知识
解决问题,属于中考常考题型.
考点5:尺规作图一一作垂直平分线
典例5:(2023•广东清远•统考一模)如图,△力BC中,AB=AC>BC
c
⑴求作边AB的垂直平分线,交力C于点。;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若8。=BC,求乙4的大小.
【答案】⑴详见解析
(2)36°
【分析】本题主要考查了作图,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握基本作图方法是解
题的关键.
(1)根据线段垂直平分线的作法作图即可;
(2)结合(工)以及三角形的内角和利用BD=BC,即可求出答案.
【详解】([)解:如图所示,0E即为所求;
(2)解:rDE是力B的垂直平分线,
AD=BD,
・•・Z.A=Z.DBA,
••・BD=BC,
AD=BD=BC,Z.BDC=",
•••AB=AC,
乙ABC=Z-ACB,
•••(BDC=Z.A+Z-DBA=2乙/,
Z.C=Z-ABC=2/-A,
・•・5〃=180°,
•••AA=36°.
【变式1](2023•广东潮州•二模)如图,在固4BCD中,AC为对角线.
⑴求证:△ABC三△CD4.
(2)尺规作图:作4C的垂直平分线,分别交2D,BC于点、E,尸(不写作法,保留作图痕迹);
(3)若4CDE的周长为10,求回48CD的周长.
【答案】⑴见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】(1)根据平行线的性质得到=^BCA,利用AAS即可证明AaBC=△CDA;
(2)以4C分别为圆心,大于长为半径作弧交于两点,过两交点作直线,即为所作垂直平分线;
(3)利用垂直平分线的性质可以得到CE=AE,结合CE+ED+CD10,得到4。+CD=10,根据平行
四边形的性质即可求得结论;
【详解】(1)团四边形4BCD是平行四边形,
EL4DIIBC,NB=ND,
^DAC=ABCA,
在△ABC和AGX4中,
(Z-B=zD
\z.DAC=乙BCA,
IAC=CA
0AABC=△CDA(AAS);
(2)如图,EF即为所作;
AE/D
B
(3)IBEF垂直平分4C,
AD
0CE=AE,
IHAG)E的周长为10,
BCE+ED+CD=10,
^\AE+ED+CD=10,
团AD+CD=10,
团四边形/BCO是平行四边形,
BAD=BC,AB=CD,
团团/BCD的周长=AD+BC+AB+CD=2(AD+CD)=20.
【点睛】本题考查平行四边形的性质,三角形全等的判定,作垂直平分线,垂直平分线的性质,准确作图
是解题的关键.
【变式2](2023・湖北襄阳•统考中考真题)如图,4C是菱形48CD的对角线.
⑴作边力B的垂直平分线,分别与AB,4C交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接FB,若乙。=14。。,求NC8F的度数.
【答案】⑴见解析
(2)120°
【分析】(1)分别以点2,点B为圆心,大于的长为半径作弧,交于点M,点N,作直线MN交48于点E,
交4c于点F,连接EF即可;
(2)连接FB,由菱形的性质得到乙4BC=ND=140。,4B=CB,则NBAC=Z8C4=20。,由线段的垂直
平分线的性质可得4F=BF,故得至!k4BF=NB4C=20。,贝(JNCBF=N4BC-41BF=120。.
【详解】(1)解:
(2)解:连接FB,
•・,菱形/BCD,
•••乙ABC==140°,AB=CB,
:.Z.BAC=^BCA=|(180。-140°)=20°,
•••MN垂直平分4B,
•••AF=BF,
•••^ABF=Z.BAC=20°,
..4CBF=Z.ABC-4ABF=120°.
【点睛】本题主要考查基本作图,菱形的性质,等腰三角形的性质,线段的垂直平分线的性质.按照要求
作出边4B的垂直平分线是解题的关键.
【变式3](2023•湖北鄂州•校考模拟预测)如图,四边形A8CD中,2B||为对角线.
(1)尺规作图:作2C的垂直平分线分别交48、AC.DC于点£、F、G.连接4G,CE(不写作法和结论,保留
作图痕迹);
⑵求证:四边形4ECG是菱形(请补全下面的证明过程).
【答案】⑴见解析
⑵见解析
【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法进行作图即可;
(2)先证明AAEF三△CGF,得出4E=CG,根据力E||CG,得出四边形力ECG为平行四边形,根据4E=CE,
得出四边形4ECG为菱形.
【详解】(1)解:如图,EG为求作的力C的垂直平分线;
(2)证明:团EG为ZC的垂直平分线,
24F=CF,AE=CE,
BAEWCD,
^AEF=Z.CGFf^EAF=Z.GCFf
AEFCGF(AAS),
团4E=CG,
团4EIICG,
团四边形/ECG为平行四边形,
^\AE=CE,
回四边形4ECG为菱形.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作图,垂直平分线的性质,菱形的判定,三角形全等的判定和性质,
熟练掌握这些知识点是解题关键.
考点6:尺规作图一一作垂线
典例6:(2023•山西忻州•校联考模拟预测)如图,在13aBe。中,BE平分乙48c交4D于点E.
4-------步——7D
--------------
⑴实践与操作:利用尺规作图,过点4作BE的垂线,分别交BE,BC于点尸,G;(要求:尺规作图并保留作
图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)猜想与证明:试猜想线段4E与8G的数量关系,并加以证明.
【答案】⑴见解析;
(2)4E=8G,理由见解析.
【分析】(1)利用基本作图,作BE的垂直平分线即可;
(2)根据平行四边形的性质得到2DIIBC,求得乙CBE="EB,根据角平分线的定义得到乙4BE=NCBE,
求得N4BE=^AEB,得到力B=4E,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【详解】(1)如图,FG为所作;
理由:国四边形4BCD是平行四边形,
SADWBC,
回乙
CBE=Z-AEBf
回BE平分乙/BC交/。于点E,
团乙ABE=Z.CBE,
^Z.ABE=Z.AEB,
团48=AE,
团4F1BE,
在尸与△G8F中,
Z-ABF=乙GBF
BF=BF,
,AFB=乙GFB=90°
SAABF=△GBF(ASA),
团AB=BG,
团4E=BG.
【点睛】此题考查了作图-基本作图,全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,正确地作出图形是
解题的关键.
【变式1](2023•广东云浮•统考一模)如图,为。。的直径,C为。。上的一点.
B
A
⑴过点8作。。的切线PB,交4C的延长线于点P(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若。D1BC,垂足为D,0D=2,PC=9,求PB的长.
【答案】⑴见解析
(2)3713
【分析】(1)以8为圆心,小于。8的长为半径画弧,与直线48有两个交点,再以这两个交点为圆心,大于
这两点的长的一半为半径画弧,两弧的交点和点B的连线所在的直线交4C的延长线与点P;
(2)由垂径定理得=则0D为△ABC的中位线,得4C=2。。=4,由圆周角定理得乙4cB=90。,
由切线的性质得NPB4=90°,推出Rt△PBC-RtAPAB,从而利用相似三角形的性质可得答=《即鸟=
PAPB4+9
券进行计算即可得到答案.
【详解】(1)解:如图,PB为所作;
(2)解:•・・OD1BC,
•••BD—CD,
OB=0A,
.•・。。为的中位线,
・•.AC=2OD=4,
・•・48为。。的直径,
Z.ACB=90°,
・••尸8为。。的切线,
・•・AB1PB,
・•・乙PBA=90°,
•••Z.BPC=Z.APB,
・•・Rt△PBC〜Rt△
PBPC
--=--j
PAPB
PB9
即Hn-----,
4+9PB
解得PB=3V13,
即PB的长为3g.
【点睛】本题考查了作图一复杂作图,切线的性质定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,熟练掌握
切线的判定定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,是解题的关键.
【变式2](2023•江苏连云港•统考中考真题)如图,在AABC中,AB=AC,以力B为直径的。。交边力C于
点D,连接BO,过点C作CEII力B.
⑴请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作O。的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字
母)
(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.
【答案】⑴见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据尺规作图,过点B作4B的垂线,交CE于点F,即可求解;
(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角,证明=根据平行线的性质以及等
腰三角形的性质得出BCD=NBCF,进而证明ABCD三ZkBCF(AAS),即可得证.
【详解】(1)解:方法不唯一,如图所示.
A
OJ\
E
(2)朋B=AC,
⑦乙ABC=L.ACB,
又团CEIL4B,
团乙4BC=Z-BCF,
^\Z-BCF=Z-ACB.
团点。在以ZB为直径的圆上,
^Z.ADB=90°,
^Z.BDC=90°.
又团BF为。。的切线,
回乙ABF=90°.
^CEWAB,
回乙BFC+乙ABF=180°,
^Z.BFC=90°,
团乙BDC=乙BFC.
团在△BCD和中,
ZBCD=乙BCF,
乙BDC=Z.BFC,
、BC=BCf
回△8C0wZkBCF(AAS).
回=BF.
【点睛】本题考查了作圆的切线,切线的性质,直径所对的圆周角是直角,全等三角形的性质与判定,熟
练掌握以上知识是解题的关键.
【变式3](2023•广东广州•校考二模)在比△ABC中,入4=90。,AB=6,AC=8,点。为边的中点.
⑴尺规作图,过点。作DEIBC交边AC于点E;
(2)求ED、EC的长;
⑶点P为射线力B上的一动点,点。为边4C上的一动点,且NPDQ=90。,若BP=2,求CQ的长.
【答案】⑴见解析
(2)DE=拳15以=?25
⑶CQ=崇吟
【分析】(1)如图:以。为圆心,以任意长为半径画弧与BC交于点M、N,然后分别以点M、N为圆心,以
大于(MN为半径画弧,两弧交于。,连接DQ交4c于E即可;
(2)由勾股定理可得BC=10,贝UCD==5;然后再证^CDE-△CAB,然后根据相似三角形的性质
即可解答;
(3)分点尸在线段48上和线段4B的延长线上两种情况,分别运用相似三角形的判定与性质即可解答.
图I
(2)解:如图1,•••"=90°,AB=6,AC=8,
团根据勾股定理得到,BC=y/AB2+AC2=10,
0CD=-BC=5.
2
回DE1BC.
团=乙CDE=90。,/。=乙。,
[?]△CDE-△CAB,
团DE:AB=CE:CB=CD:CA,即OE:6=CE:105:8,
152S
团DE=—,CE=—.
44
(3)解:如图2:当点尸在线段上时,
ISACDE—△CAB,
回=乙DEC,
团41+Z4=90°.
团乙1+匕2=90°,
团42=Z4,
PBD-△QED,
期=吗
EQED
端=总
4
国EQ=I,
2,31Q
田CQ=CE-EQ=
yx424
如图2:当点尸在线段ZB的延长线上时,
团Z■区=DEC,
国乙PBD=乙QED.
Q
EIZPDQ=90°,
0Z1+N2=90°.
0Z3+z2=90°,
0zl=z3,
0APBD-△QED,
EIEQ=
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判
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