中考数学一轮复习重难点强化训练：尺规作图（知识串讲+9大考点）解析版

专题05尺规作图

厂考点类型

考点L尺规作图——作线段

考点2：尺规作图——作角

模块五图形的变换

05讲尺规作图

'-知识一遍过

（一）作线段

已知：线段4,作一条线段AB,AB=a?

aa\

•-------------------------------------1-----

作法：①用直尺画射线AC

②用圆规在射线AC上截取AB=a

二线段AB即为所求

（二）作角

已知：ZAOB

求作：ZAOB=ZAO'B'

作法：①以0为圆心，任意长为半径画弧，交0A与点D,交0B于点E；

②作射线O'B'

③以。'为圆心,0D长为半径画弧，交08于点E'

④以E'为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与D'

⑤过。'作射线O'A,NAO'B'为所求

（三）作角平分线

作法：①在0A和0B上分别截取OD、0E,使0D=0E。

②分别以D、E为圆心，以大于一DE的长为半径作弧，两弧在/AOB内交于点C

2

③作射线0C,则0C就是/AOB的平分线

（四）作垂直平分线

作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于‘AB长为半径作弧，两弧交于C、D两点

②连接CD,即为所求

事考点一遍过

考点1：尺规作图一一作线段

典例1：（2024上•福建泉州•九年级统考期末）如图，在RtA48C中，NBAC=90。.

C

（1）延长AC至点M使得4N=4B；过点N作ND1BC,与BC的延长线交于点。（要求：尺规作图，不写作

法，要保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，延长B4至点M,使得AM=AC,求证D,M,N三点共线.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三

角形解决问题.

(1)根据要求画出图形；

(2)假设ND的延长线交B4的延长线于点M，，利用同一法证明.

(2)假设ND的延长线交84的延长线于点

ON。1BC,

团乙NDC=乙CAB=90°,

团乙NCD=AACB,

^\Z.ANM'=Z.B,

EINM4M'=ABAC=90°,AN=AB,

0ANAM'三ABAC(ASA),

EL4M'=AC,

SAMAC,

0M,W重合，

EIM,D,N共线.

【变式11(2024上•福建泉州•八年级校考期末)如图，直线MN||PQ,直线28分别与MN,PQ相交于点4B.

⑴尺规作图(保留作图痕迹)：

①作NM4B的角平分线与PQ交于点C；

②在射线2N上找一点D,使AB=AD-,

(2)连接CD,若四边形4BCD的对角线BD=6,AC=8,则四边形力BCD的面积为,直线MN与直线PQ

的距离为.

【答案】⑴见解析

(2)24；4.8

【分析】(1)根据角平分线的尺规作图法作图和直接在射线4N上截取4。=4B即可；

(2)如图，连接BD,交4C于点。，过点。作DE1BC,可证四边形力BCD为菱形，然后由菱形的面积计算

方法计算即可；

【详解】(1)解：①如图，射线AC即所求.

(2)如图，连接BD,交2C于点。，过点。作DE1BC

•••AD||BC

Z.DAC=Z.ACB

■.Z.DAC=Z.BAC

Z.BCA=Z.BAC

BC=BA=AD

・•・四边形为平行四边形

AB=AD

・•・四边形/BCD为菱形

•••AC1BD,AO=CO=4,BO=DO=3

••・四边形为菱形的面积为：|-XC-BD=|x8x6=24

BC=JOB2+OC2=J32+42=5

•••DE1BC

••・四边形4BCD为菱形的面积为：BC=5•0E=24

24

DE=—=4.8

二直线MN与直线PQ的距离为4.8

故答案为:24；4.8

【点睛】本题考查了常见的尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积计算，熟练运用这些知

识解决问题是解题的关键.

【变式2］（2023上•八年级课时练习）如图，RtA48C中，Z.ACB=90°.尺规作图：（不写作法，保留作图

痕迹）

A

CB

⑴在斜边力B上找一点D,使AD=AC；

⑵作NB4C的平分线，交BC于点E,连结DE；

⑶在（1）、（2）的条件下，请判断ABDE的形状，并说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

（3）ABDE是直角三角形，证明见解析

【分析】（1）在48截取=4C即可；

（2）利用基本作图作BBAC的平分线；

（3）证明AACE三△ADE得到乙4CE=NHDE=90。，从而得到NBDE=90。.

【详解】（［）如图，点。即为所求的点.

A

(2)如图，2E即为所求；

(3)ABDE是直角三角形

EL4E平分48"

SZ.CAE=/-DAE,

在△"£■和△ADE中，

EI/IC=AD,Z.CAE=Z.DAE,AE=AE,

0AACESAADE(SAS),

0ZXCF=/.ADE=90°,

0ZXDF+乙BDE=180°

ElNBOE=90°

团ABDE是直角三角形

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了全等三角形的判

定与性质.

【变式3](2023•江苏南京・统考一模)如图，已知线段a.求作AABC,使N/1=90。，AB=AC,且分别满

足下列条件：

,a,

(1)BC=a.

(2)AABC的周长等于a.

(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.)

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)先作线段BC=a,再作分别以点2,。为圆心，大于画弧，两弧分别交于点E,F,然后

作直线EF交BC于点。，再以点。为圆心，BD为半径画弧，交直线EF于点A,连接4B,4C,则AABC即为

所求;

(2)先作线段MN=a,再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点。，再以点£＞为圆心，MD为半径画弧,

交直线EF于点P,连接MP,再作NPMN的平分线交直线EF于点A,然后以点A圆心，AD长为半径画弧，

交MN于点8,C,连接则△ABC即为所求.

【详解】(1)解：如图，先作线段BC=a,再作线段BC的垂直平分线EF交BC于点D再以点。为圆心，BD

为半径画弧，交直线EF于点A,连接4B,AC,则△ABC即为所求.

理由：根据作法得：EF垂直平分线段BC,AD=BD,

EL4B=AC,4ADB=90°,

E1Z4BC=乙BAD=45°,

团乙4cB=^ABC=45°,

0Z5AC=90°；

(2)解：如图，先作线段MN=a,再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点Q,再以点。为圆心，MD为

半径画弧，交直线EF于点尸，连接MP,再作NPMN的平分线交直线EF于点A,然后以点A为圆心，4。长

为半径画弧，交MN于点、B,C,连接4B,AC,则△ABC即为所求.

理由：根据作法得：EF垂直平分线段BC,MD=PD,4M平分NPMN,AD=BD=CD,AB=AC,

团NPDM=90°,4AMN=-A.PMD,AABC=乙ACB,

2

回匕PMD=乙MPD=45°,2LABC=4BAD=KACB=45°,

团乙PMO=乙ABD,ABAC=90°,

团4/MN=-/LABD,

2

团ZJ1BO=乙AMN+4BAM,

团乙4MN=/-BAM,

BAB=BM,

同理ZC=CN,

团48+AC+BC=BM+CN+BC=MN=a.

【点睛】本题主要考查了尺规作图一一画等腰三角形，熟练掌握几种基本尺规作图的方法，等腰直角三角形

的判定是解题的关键.

考点2：尺规作图一一作角

典例2：（2023•福建泉州•校联考模拟预测）如图，在AABC中，4B边上有一点D

⑴尺规作图：在4C上取一个点E,使得（尺规作图，保留作图痕迹）

⑵在（1）的基础上，若AD=3cm,AC=6cm,BC=5cm,求DE的长度.

【答案】⑴见解析

{2}DE=|cm

【分析】（1）利用基本作图，作乙4DE=乙4cB即可，因为由乙4DE=/.ACB,/.A=乙4,可得出△力。E-△"B；

（2）由△ADEsAZCB可得丝=竺，再代入数据求解即可.

【详解】（1）如图所示，点E即为所求.

E

(2)0AADE-LACB,

"ODE

0-=—

ACBC

吗若

SDE=-cm.

2

【点睛】本题考查了作图-基本作图及相似三角形的判定及性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知

线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.

【变式1］（2023•黑龙江绥化•统考模拟预测）如图，在AABC中，。是48边上的一点.

⑴请用尺规作图法，在AABC内，求作乙4DE,使=DE交AC于点E（不要求写作法，保留作图

痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若券=2,DE=4,求BC的长.

【答案】（1）见解析

（2）BC=6

【分析】（1）根据要求，利用基本作图（作一个角等于已知角）4ADE=4B；

（2）根据=乙4=NA则可判断出AADEsAaBC利用相似三角形的性质求解.

【详解】（［）解：如图，41DE即为所求；

A

（2）vZ.ADE=Z.B,Z.A=Z-A,

ADE^△ABC,

-AD-=-D-E，

ABBC

AD仁

—=2,

DB

.2_4

一=9

3BC

•••BC=6.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

【变式2］（2023•福建泉州•统考二模）如图，在RtAZBC中,N4CB=90。,乙4<NB.

⑴在4B的延长线上，求作点。，使得△CBDSAAC。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在（1）的条件下，若力B=5,S“BC=5,求tan/CDB的值.

【答案】⑴见解析

.

【分析】（1）以点C为顶点，作=DC交28延长线于点D,则问题可解；

（2）过点C作CM1AB于点M,过点B作BN1CD于点N.由面积可求CM=2,证明NBCM=N力，利用正

切定义得到比例式吧=生，求出BM=1,设BD=x,CD=y,分另ij禾！1用△CBD“△乙4CD和CD?=+

CMAM

CMZ构造关于久，y的方程求出x,则tan/CDB可求.

【详解】（1）利用尺规作图

如图，点。为所求.

c

依据：有作图，4DCB=4A,

应LBDC=Z-CDAf

[?]△CBD~AACD；

(2)法一：

如图，过点C作CM，48于点M,过点B作8N_LCD于点N.

C

；4B=5,S^ABC~5,

-AB-CM=5,

2

・•.CM=2.

•・•乙BCM=90°-Z.CBA,LA=90°-Z,CBA,

・•・乙BCM=

nITAR[-tBMCM

・•・tanzBCM=tan4即一=—,

CMAM

.BM_2

•,2-5-BM9

解得BM=1,(BM=5舍去).

设=x,CD=y,

乙BCD=Z.A,Z-CDB=乙ADC,

・•.△CBDZ.ACD,

.CD_BD

,,—,

ADCD

・•.CD2=BD•AD,

•••y2=x(x+5),

在放△COM中，CD2=DM2+CM2,

y2=(%+I)2+22,

•••x(x+5)=(%+l)2+22,

解得汽=£

*'•DM=—F1=一,

33

CM23

VSLXIZ-CDB=—=w=—•

DM4

法二：

如图，过点。作。“于点M,取48的中点。，连接0C.

4B=5,S^ABC=5,

■■--AB-CM=5,

2

・•.CM=2.

・乙

••BCM=90°-2LCBAtZ,A=90°-^CBAf

乙BCM=Z-A,

riE"入AnriBMCM

•••tanzBCM=tanZ,即一=—,

CMAM

BM_2

•・2-5-BMf

解得3M=1,(BM=5舍去).

•・・△48c是直角三角形，AO=BO,

OC=-AB=OA=OB

22

•••Z-ACO=Z-A,

•••乙BCD=Z-A,

・••Z-ACO=乙BCD,

•・•/.ACO+Z.OCB=90°,

•••乙BCD+乙OCB=90°,

即乙DC。=90°.

・•・乙CDB+乙COD=90°,

•・•ZOCM+ZCOD=90°,

••・乙CDB=Z-OCM,

53

OM=OB-BM=--l=~,

22

•.tanzCDB=tanzOCM=-=—=

CM24

【点睛】本题考查利用尺规作已知角、相似三角形的性质和判定以及正切的定义，解答关键是利用相似三

角形的性质构造方程求解.

【变式3］（2023•福建泉州・统考模拟预测）如图，在△ABC中，点。、E分别在边8C、4C上，且DE团4B.

⑴求作功凡4,使得点尸在边力C上，且功凡4=〃；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若。C==45o,/C=30。，BC=15+15V3,求线段OF的长.

【答案】⑴见解析图；

（2）572.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质作图即可；

（2）要求DF长，则需求DE长即可，添加辅助线构造特殊直角三角形即可.

【详解】（1）如图，

（2）如图，过E作EGJ.BC与点G,设EG=zn,

EIDE||AB,

团NEDG=KB=45°,

团在Rt/XDEG中，DG=GE=m,DE=V2m,

在RtZkEGC中，ZC=30°,

团GC=y/3EG=V3m,

^\DC=-BC,

3

WC=1（15+15V3）=5+5V3,

0DC=DG+CG—m+V3m,

解得：m-S,

SDE=V2m=5V2,

由（1）作图得DF=DE=5V2.

【点睛】本题考查了尺规作图和特殊三角形的性质，解此题的关键是熟练掌握含30。和45。直角三角形的性

质.

考点3：尺规作图一一作角平分线

典例3：（2023•山东青岛・统考模拟预测）如图，在AABC中，NC=90。，AB=10,BC=6,P是边48上的

一点，以P为圆心，P8为半径作OP.

⑴尺规作图：求作OP,使得OP与直线4c相切；（保留作图痕迹）

（2）求⑴中G）P的半径.

【答案】⑴见解答

（2）?

【分析】（1）作N4BC的平分线交AC于。点，再过。点作4c的垂线交AB于P点，然后以P点为圆心，PD为半

径作圆即可；

（2）设切点为O,连接PO,如图，设OP的半径为r,则PB=PD=r,根据切线的性质得到PO_LAC,则

可判断PD瓯，再证明利用相似比得至钎*然后解方程求出卿可.

【详解】（［）解：如图，OP为所求作；

•・・。2与直线4（7相切于£）,

PD1AC,

：.4ADP=90°,

ZC=90°,

•••Z-ADP=Z-C,

・•・PDWBC,

••・2APD~AABC,

PD_AP

,,=,

BCAB

即工=

610

解得丁=¥，

4

即OP的半径为

4

【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，切线的性质，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图与切线

的性质是解题的关键.

【变式1］（2022•福建厦门・统考模拟预测）如图，已知△ABC,乙4cB=90。.

备用图

⑴求作菱形4DEF,使得D,E,尸分别在边力B,BC,4C上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，连接力E,CD,过点E作EG14E,交48于点G,若4G=8,N2GE=60。，求CD的

长.

【答案】⑴见解析；

（2）277.

【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作ABAC的平分线AE交BC于点E,再由菱形的对角

线互相垂直平分想到作AE的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点F,则以4、D、E、F四点为

顶点的四边形就是所求的菱形;

(2)先求得乙DEG=Z.DGE=60°,可证明△DEG是等边三角形，得GE=GD=AD=ED=^AG=4,

再证明乙DEB=90°,贝U乙GEB=ZF=30°,得GB=GE=4,贝。BD=8,AB=12,由勾股定理求得

BE=4V3,而力C=^AB=6,贝ijBC=6百，所以CE=2百，贝!]CD=VCF2+ED2=2近；

回如图，菱形4DEF即为所求.

解：EFG1AE

：.£.AEG=90°

El在RtAAEG中，AG=8,^AGE=60°,

AFFG

^GAE=30°,sin^AGE=—,cos^AGE=—

AGAG

EL4E=8X—=4V3,

2

1

EG=8x—=4

2

由（1）知，四边形ADEF是菱形

DE||AC,乙CAB=2^CAE=2/LGAE=60°,

•••乙DEC=180°-4ACB=90°,乙EDG=ACAB=60°,

.­.乙DEG=180°-乙EDG-/.AGE=60°,

.•.△DEG为等边三角形，

•••DE=EG=4.

•.,在Rt△ACE中，CE^AE-sin^CAE=4V3x|=2V3.

.•.在RtACED中，CD=yJCE2+DE2=V12+16=2小

【点睛】此题重点考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性

质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题

综合性较强，难度较大.

【变式2】（2022•福建泉州•校考模拟预测）已知：RtAXBC,4c=90°.

⑴点E在BC边上，且AACE的周长为4C+BC,以线段4E上一点。为圆心的O。恰与AB、8C边都相切，请

用无刻度的直尺和圆规确定点E、。的位置；

（2）若8c=12,AC=9,求O。的半径.

【答案】⑴见解析

⑵。。的半径为意

【分析】（1）作4B的垂直平分线交BC于E,贝UE4=EB,所以△4CE的周长为力C+BC；再作入4BC的平分线

交4E于点0,则点。满足条件；

（2）过。点作0DL4B于D,OF1BC于F,如图，设。。的半径为r,先利用勾股定理计算出4B=15,由

于（12-BE/+92=8所,则可求出BE=接着根据切线的性质得到。。=。9=r,然后利用面积法得到

8

-X—xr+-xl5xr=-x—x9,然后解方程即可.

28228

【详解】（1）解：如图，点反。为所作；

(2)解：过。点作0D14B于D,。尸18。于尸，如图，设。。的半径为r,

在Rt△ABC,

0ZC=90。,BC=12,AC=9,

•••AB=V92+122=15,

0A4CE的周长为AC+BC,

EL4E=BE,

在RtAZCE中，

SCE2+AC2=AE2

0(12-BE)2+92=BE?,解得BE=

8

团。。与48、BC边都相切，

团。O=OF=r,

•••S^BOE+^LAOB=S—BE,

-x—xr+-xl5xr=-x—x9,

28228

解得r=g,

即O。的半径为意

【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质和切线的

性质.

【变式3](2011•广东珠海・统考中考模拟)如图，AABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.

⑴尺规作图：作NB的角平分线BD,交4C点。(保留作图痕迹，不写作法);

(2)判断ADBC是否为等腰三角形，并说明理由.

【答案】⑴见详解，

(2)ADBC是等腰三角形，理由见解析

【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法作图即可；

(2)根据三角形内角和定理求出乙4BC=NC=72。，根据角平分线的定义求出ADBC,再利用三角形内角

和定理求出NBDC,可得乙BDC=4C,则A08C是等腰三角形.

【详解】(1)解：如图：

(2)ADBC是等腰三角形；

理由：国4ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。,

=NC=180。-乙4_180°-36°72°,

2—2

团80为448C的平分线，

SZ.DBC=-/-ABC=36°,

2

0Z5DC=180°-乙DBC一4C=72°,

0ZFDC=",

0BZ）=BC

团ADBC是等腰三角形.

【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线

的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.

考点4：尺规作图一一作三角形

典例4：（2023•福建泉州•统考模拟预测）如图，AABC=70°,AB=BC.

A

BC

⑴求作ABC。及N8CE,满足ABC。为等边三角形，/.BCE=170°,其中AB=CE,点。，E与点4在BC的同

侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，求NB4E的度数.

【答案】⑴见解析

（2）N84E=85°

【分析】（1）先由三边相等的三角形为等边三角形作△BCD,再由题中条件，根据邻补角定义作NECM=

NABD即可得到答案；

（2）根据等腰三角形的性质求解.

【详解】（1）解：如图所示:

、/

•、、____一，

•・•(ABC=70°,Z.DBC=60°,

・•・乙ABD=10°,

延长BC,尺规作图4ECM=乙48。=10。,

••・△BCD及乙BCE=170。即为所求；

.・.AB=BD=BC=CD=CE,

•••乙ABD=10°,/,A=Z.ADB=85°,Z.CDE=Z.CED=35°,

.•・/.ADE=/-ADB+BDC+UDE=180°,

・•・/,D,E三点共线，

・•.ABAE=^A=85°.

【点睛】本题考查了复杂作图-作相等线段及作相等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

【变式1］（2022上•福建福州•九年级闽清天儒中学校考阶段练习）如图，点尸是等边三角形ABC内一点,

连接B4,PB,PC,将△248绕点3逆时针旋转60。得到△ODB,其中点尸的对应点是

A

⑴请画出AQDB（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

（2）若28=2,求24+PB+PC的最小值.

【答案】⑴见解析

（2）273

【分析】（1）以点B与点P为圆心，以BP长为半径画弧，交于点Q,同理，以点B与点4为圆心，以B力长

为半径画弧，交于点0,连接BD,BQ,DQ,则AQD8为所求三角形；

（2）过点。作2C的垂线，垂足为E,连接尸。，CD,由题可知APAB三AQOB,即可证得APBQ是等边

三角形，根据△ABC是等边三角形，即可得到BE、CE的长，继而根据勾股定理求得DE、CD的长，于是根

据由两点之间，线段最短可得DQ+QP+PC2CD,故当C,P,Q,。四点共线时，即可得到P4+P8+PC

的最小值.

【详解】（1）解：

如图所示，AQDB即为所求作的三角形.

（2）解：过点。作的垂线，垂足为E,连接尸。，CD,

Si^BED=90°.

HAP4B绕点2逆时针旋转60。得到△QDB,其中点P的对应点是Q,

0APAB三△QDB,乙4BD=4PBQ=60°,

SPA=DQ,PB=QB,BD=AB=2,

0APBQ是等边三角形，

EIPB=QP.

HA力BC是等边三角形，

0ZXBC=60°,BC=AB=2.

0ZXBC+乙ABD+乙DBE=180°,

0ZDBF=60°,^BDE=30°,

0SF=-BD=1,SCE=BC+BE=3.

2

在Rt△BDE中，OE=y/BD2-BE2=V3.

在Rt△CDE中，CD=VCE2+DE2=2^3.

由两点之间，线段最短可得0Q+QP+PC2C。，

当且仅当C,P,Q,。四点共线时，等号成立，

I3DQ+QP+PC>2V3,即P4+PB+PC>2百，

SPA+PB+PC的最小值是2次.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，尺规作三角形，掌握相关性质

以及定理是解题的关键.

【变式2］（2023下•八年级课时练习）在△ABC中，NC=90。，/.CAB=cr（O°<a<45°）,将AABC绕点A

逆时针旋转，旋转角为。（0。<。<180。），记点8,C的对应点分别为。，E.

D

C

（1）若△ABC和线段4。如图所示，请在图中作出△ADE（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵M是4B的中点，N是点M旋转后的对应点，连接MN,CD,BD,则是否存在£与a的某种数量关系，使

得无论a取何值时，都有MN=CD?若存在，请说明理由，并直接写出此时BC与BD的数量关系；若不存在，

也请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵存在，理由见解析，BD=2BC

【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可；

（2）连接MN,CM,根据三角形的外角定理可得ND4B=NCMB,贝“DAIICM,再通过证明四边形DNMC是

平行四边形，得出MN=CD,即可得出结论.

【详解】（1）解：如图△40E即为所求.

解法一（利用SSS作全等三角形）：

解法二（利用SAS作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）：

解法三（利用ASA作全等三角形）:

当/?=2a时，无论a取何值时，都有MN=CD.

理由如下：

00°<a<45°,a<P<180°,

EL4C始终在△4BC的外部.

连接MN,CM,

0CM==BM=-AB.

2

团4CZM=Z.MCA.

回〃;时8是44MC的外角，

^Z.CMB=Z,CAM+/.MCA=2/.CAM,

又团/?=2a,即=

^\Z-DAB=乙CMB.

血411cM.

团△ZDE由△ZBC绕点4逆时针旋转得到，且点。是点B旋转后的对应点，点N是点M旋转后的对应点,

^BAD=/MAN,AM=AN.AB=AD.

又团点M在48上，

^BAN=乙MAN.

^BAD=乙BAN,即点N在AD上.

^\AN=DN=-AD=-AB.

22

SDN=CM.

又回£MIICM,

回四边形DNMC是平行四边形.

0M/V=CD.

此时，BD=2BC.

解法二：

00°<a<45°,a<£<180°,

团4。始终在△ABC的夕卜部.

连接MN,CM,

回在△ABC中，ZC=90°,M是AB的中点，

1

团CM=AM=BM=-AB.

2

团NC/M=/-MCA.

团△ADE由△ABC绕点/逆时针旋转得到，且点。是点B旋转后的对应点，点N是点M旋转后的对应点,

^BAD=^MAN,AM=AN,AB=AD.

又团点M在AB上，

国匕BAN=乙MAN.

^BAD=乙BAN.即点N在/。上.

1i

团4N=DN=-AD=-AB.

22

国DN=CM.

要使得无论a取何值时，都有MN=CD,只要使四边形DNMC是平行四边形.

国DN=CM,

团要使四边形DNMC是平行四边形，只要使D4||CM.

即要使"AB=乙CMB.

团CM=AM,

^Z-CAM=/-MCA.

又回4cM8是4AMC的外角,

0ZCMS=/.CAM+AMCA=2ACAM.

El要使NDAB=乙CMB,

只要使N£MB=2/.CAM,即0=2a.

回当£=2a时，无论a取何值时，都有MN=CD.

此时，BD=2BC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，

旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用.

【变式3］（2022上•福建福州•九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，点D是等边A/IBC外部一点,

把△BCD绕点C顺时针旋转60。得到A/ICE,其中点力，E分别是点B,。的对应点.

⑴利用无刻度的直尺和圆规作出AaCE；（保留痕迹，不写作法）

⑵在（1）的情况下，在线段上取点P,且PB=PC,若N/1BD=ND8C+N4EC,求证：P,C,E三点共

线.

【答案】⑴作图见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）分别以点C、。为圆心，CD的长为半径画弧，两弧在线段CD的下方相交于点E,连接4E、CE,

则AACE即为所求；

（2）证明乙4cp+/.ACE=180。即可.

【详解】（1）解：如图1,AACE即为所求;

A

(2)证明团如图2,

^AB=ACfPB=PC,

乙乙

^1Z-ABC=Z-ACBfPBC=PCB,

^Z.ABP=Z.ACP,

由旋转的性质可知，ABCD且ACE,

⑦乙

DBC=Z.CAEf

乙乙

^CAE+Z,AEC+Z.ACE=180°,ABD=DBC+^AECf

团乙ABD+乙ACE=180°,

^ACP+^ACE=180°,

团点尸，C,E共线.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质，等边三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

考点5：尺规作图一一作垂直平分线

典例5：(2023•广东清远•统考一模)如图，△力BC中，AB=AC>BC

c

⑴求作边AB的垂直平分线，交力C于点。；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若8。=BC,求乙4的大小.

【答案】⑴详见解析

（2）36°

【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图方法是解

题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；

（2）结合（工）以及三角形的内角和利用BD=BC,即可求出答案.

【详解】（［）解：如图所示，0E即为所求；

(2)解：rDE是力B的垂直平分线,

AD=BD,

・•・Z.A=Z.DBA,

••・BD=BC,

AD=BD=BC,Z.BDC=",

•••AB=AC,

乙ABC=Z-ACB,

•••(BDC=Z.A+Z-DBA=2乙/,

Z.C=Z-ABC=2/-A,

・•・5〃=180°,

•••AA=36°.

【变式1](2023•广东潮州•二模)如图，在固4BCD中，AC为对角线.

⑴求证：△ABC三△CD4.

(2)尺规作图：作4C的垂直平分线，分别交2D,BC于点、E,尸(不写作法，保留作图痕迹);

(3)若4CDE的周长为10,求回48CD的周长.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)20

【分析】(1)根据平行线的性质得到=^BCA,利用AAS即可证明AaBC=△CDA；

(2)以4C分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；

(3)利用垂直平分线的性质可以得到CE=AE,结合CE+ED+CD10,得到4。+CD=10,根据平行

四边形的性质即可求得结论；

【详解】(1)团四边形4BCD是平行四边形，

EL4DIIBC,NB=ND,

^DAC=ABCA,

在△ABC和AGX4中，

(Z-B=zD

\z.DAC=乙BCA,

IAC=CA

0AABC=△CDA(AAS)；

(2)如图，EF即为所作；

AE/D

B

(3)IBEF垂直平分4C,

AD

0CE=AE,

IHAG）E的周长为10,

BCE+ED+CD=10,

^\AE+ED+CD=10,

团AD+CD=10,

团四边形/BCO是平行四边形，

BAD=BC,AB=CD,

团团/BCD的周长=AD+BC+AB+CD=2（AD+CD）=20.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图

是解题的关键.

【变式2］（2023・湖北襄阳•统考中考真题）如图，4C是菱形48CD的对角线.

⑴作边力B的垂直平分线，分别与AB,4C交于点E,F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在（1）的条件下，连接FB,若乙。=14。。，求NC8F的度数.

【答案】⑴见解析

（2）120°

【分析】（1）分别以点2,点B为圆心，大于的长为半径作弧，交于点M,点N,作直线MN交48于点E,

交4c于点F,连接EF即可；

（2）连接FB,由菱形的性质得到乙4BC=ND=140。，4B=CB,则NBAC=Z8C4=20。，由线段的垂直

平分线的性质可得4F=BF,故得至!k4BF=NB4C=20。，贝（JNCBF=N4BC-41BF=120。.

【详解】（1）解:

（2）解：连接FB,

•・,菱形/BCD,

•••乙ABC==140°,AB=CB,

：.Z.BAC=^BCA=|（180。-140°）=20°,

•••MN垂直平分4B,

•••AF=BF,

•••^ABF=Z.BAC=20°,

.­.4CBF=Z.ABC-4ABF=120°.

【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质.按照要求

作出边4B的垂直平分线是解题的关键.

【变式3］（2023•湖北鄂州•校考模拟预测）如图，四边形A8CD中，2B||为对角线.

（1）尺规作图：作2C的垂直平分线分别交48、AC.DC于点£、F、G.连接4G,CE（不写作法和结论，保留

作图痕迹）；

⑵求证：四边形4ECG是菱形（请补全下面的证明过程）.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；

（2）先证明AAEF三△CGF,得出4E=CG,根据力E||CG,得出四边形力ECG为平行四边形，根据4E=CE,

得出四边形4ECG为菱形.

【详解】（1）解：如图，EG为求作的力C的垂直平分线；

(2)证明：团EG为ZC的垂直平分线，

24F=CF,AE=CE,

BAEWCD,

^AEF=Z.CGFf^EAF=Z.GCFf

AEFCGF(AAS),

团4E=CG,

团4EIICG,

团四边形/ECG为平行四边形，

^\AE=CE,

回四边形4ECG为菱形.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质,

熟练掌握这些知识点是解题关键.

考点6：尺规作图一一作垂线

典例6：(2023•山西忻州•校联考模拟预测)如图，在13aBe。中，BE平分乙48c交4D于点E.

4-------步——7D

--------------

⑴实践与操作：利用尺规作图，过点4作BE的垂线，分别交BE,BC于点尸，G；(要求：尺规作图并保留作

图痕迹，不写作法，标明字母)

(2)猜想与证明：试猜想线段4E与8G的数量关系，并加以证明.

【答案】⑴见解析；

(2)4E=8G,理由见解析.

【分析】(1)利用基本作图，作BE的垂直平分线即可；

(2)根据平行四边形的性质得到2DIIBC,求得乙CBE="EB,根据角平分线的定义得到乙4BE=NCBE,

求得N4BE=^AEB,得到力B=4E,根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）如图，FG为所作；

理由：国四边形4BCD是平行四边形，

SADWBC,

回乙

CBE=Z-AEBf

回BE平分乙/BC交/。于点E,

团乙ABE=Z.CBE,

^Z.ABE=Z.AEB,

团48=AE,

团4F1BE,

在尸与△G8F中，

Z-ABF=乙GBF

BF=BF,

，AFB=乙GFB=90°

SAABF=△GBF（ASA）,

团AB=BG,

团4E=BG.

【点睛】此题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确地作出图形是

解题的关键.

【变式1］（2023•广东云浮•统考一模）如图，为。。的直径，C为。。上的一点.

B

A

⑴过点8作。。的切线PB,交4C的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

(2)在(1)的条件下，若。D1BC,垂足为D,0D=2,PC=9,求PB的长.

【答案】⑴见解析

(2)3713

【分析】(1)以8为圆心，小于。8的长为半径画弧，与直线48有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于

这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点B的连线所在的直线交4C的延长线与点P；

(2)由垂径定理得=则0D为△ABC的中位线，得4C=2。。=4,由圆周角定理得乙4cB=90。,

由切线的性质得NPB4=90°,推出Rt△PBC-RtAPAB,从而利用相似三角形的性质可得答=《即鸟=

PAPB4+9

券进行计算即可得到答案.

【详解】(1)解：如图，PB为所作；

(2)解：•・・OD1BC,

•••BD—CD,

OB=0A,

.•・。。为的中位线,

・•.AC=2OD=4,

・•・48为。。的直径，

Z.ACB=90°,

・••尸8为。。的切线，

・•・AB1PB,

・•・乙PBA=90°,

•••Z.BPC=Z.APB,

・•・Rt△PBC〜Rt△

PBPC

--=--j

PAPB

PB9

即Hn-----，

4+9PB

解得PB=3V13,

即PB的长为3g.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，是解题的关键.

【变式2］（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,以力B为直径的。。交边力C于

点D,连接BO,过点C作CEII力B.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作O。的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字

母）

（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据尺规作图，过点B作4B的垂线，交CE于点F,即可求解；

（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明=根据平行线的性质以及等

腰三角形的性质得出BCD=NBCF,进而证明ABCD三ZkBCF（AAS）,即可得证.

【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示.

A

OJ\

E

(2)朋B=AC,

⑦乙ABC=L.ACB,

又团CEIL4B,

团乙4BC=Z-BCF,

^\Z-BCF=Z-ACB.

团点。在以ZB为直径的圆上，

^Z.ADB=90°,

^Z.BDC=90°.

又团BF为。。的切线，

回乙ABF=90°.

^CEWAB,

回乙BFC+乙ABF=180°,

^Z.BFC=90°,

团乙BDC=乙BFC.

团在△BCD和中，

ZBCD=乙BCF,

乙BDC=Z.BFC,

、BC=BCf

回△8C0wZkBCF(AAS).

回=BF.

【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

【变式3](2023•广东广州•校考二模)在比△ABC中，入4=90。，AB=6,AC=8,点。为边的中点.

⑴尺规作图，过点。作DEIBC交边AC于点E；

(2)求ED、EC的长；

⑶点P为射线力B上的一动点，点。为边4C上的一动点，且NPDQ=90。，若BP=2,求CQ的长.

【答案】⑴见解析

(2)DE=拳15以=?25

⑶CQ=崇吟

【分析】(1)如图：以。为圆心，以任意长为半径画弧与BC交于点M、N,然后分别以点M、N为圆心，以

大于(MN为半径画弧，两弧交于。，连接DQ交4c于E即可；

(2)由勾股定理可得BC=10,贝UCD==5；然后再证^CDE-△CAB,然后根据相似三角形的性质

即可解答；

(3)分点尸在线段48上和线段4B的延长线上两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答.

图I

(2)解：如图1,•••"=90°,AB=6,AC=8,

团根据勾股定理得到，BC=y/AB2+AC2=10,

0CD=-BC=5.

2

回DE1BC.

团=乙CDE=90。，/。=乙。，

[?]△CDE-△CAB,

团DE：AB=CE：CB=CD：CA,即OE：6=CE：105：8,

152S

团DE=—,CE=—.

44

(3)解：如图2：当点尸在线段上时，

ISACDE—△CAB,

回=乙DEC,

团41+Z4=90°.

团乙1+匕2=90°,

团42=Z4,

PBD-△QED,

期=吗

EQED

端=总

4

国EQ=I，

2，31Q

田CQ=CE-EQ=

yx424

如图2：当点尸在线段ZB的延长线上时,

团Z■区=DEC,

国乙PBD=乙QED.

Q

EIZPDQ=90°,

0Z1+N2=90°.

0Z3+z2=90°,

0zl=z3,

0APBD-△QED,

EIEQ=

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判