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文档简介
第1讲三角形的边、角、三线专题探究
考点一三角形的边角关系
【知识点睛】
边:三角形任何两边的和大于第三边,任何两边的差小于第三边
❖角:三角形三个内角的和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和
应用:
1.判断三条线段能否构成三角形的方法:
①找出最长的线段,然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较;
②若较短的两条线段之和,最长线段,则能构成三角形
若较短的两条线段之和W最长线段,则不能构成三角形
2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察,另外,有折叠,
亦有角相等
如图,有:
❖飞镖模型:
ZADC=ZA+ZB+ZC
【类题训练】
1.一个三角形的两边长分别为2和5,且第三边长为整数,这样的三角形的周长最大值是
()
A.10B.11C.12D.13
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围;再根据第三边是整数,
从而求得周长最大时,对应的第三边的长.
【解答】解:设第三边为
根据三角形的三边关系,得:5-2<。<5+2,
即3<6Z<7,
•.Z为整数,
:.a的最大值为6,
则三角形的最大周长为6+2+5=13.
故选:D.
2.为了估计池塘两岸A、8间的距离,小明在池塘的一侧选取了一点P,测得B4=12机,
PB=13m,那么AB间的距离不可能是()
A.6mB.18mC.26mD.20m
【分析】由B4=12m,PB=13m,直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范
围,继而求得答案.
【解答】解::PB=13m,
:.PA-PB<AB<PA+PB,
即加<AB<25〃z,
间的距离不可能是:26m.
故选:C.
3.已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数,则该三角形的周长为()
A.7B.8C.13D.14
【分析】根据三角形三边关系得出,任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第
三边,即可得出第三边的取值范围.
【解答】解:•••此三角形且两边为3和4,
第三边的取值范围是:1〈尤<7,
:第三边为整数,
周长为13这个范围内,符合要求.
故选:C.
4.下列长度的三条线段能构成三角形的是()
A.1,2,3B.4,5,10
C.5,10,13D.2a,3a,6a(<?>0)
【分析】根据三角形的三边关系计算,判断即可.
【解答】解:A.V1+2=3,
;•不能构成三角形,本选项不符合题意;
B.V4+5<10,
;•不能构成三角形,本选项不符合题意;
C.V13-5<10<5+13,
,长度为5,10,13的三条线段能构成三角形,本选项符合题意;
D.2a+3a<6a(。>0),
;•不能构成三角形,本选项不符合题意.
故选:C.
5.如图,在△ABC中,ZBAC=60°,ZBCE=40°,平分/8AC,CE_LAB于点E,
则的度数为()
A.100°B.90°C.80°D.50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出与NBA。的度数即可求解.
【解答】解:
.\ZB£C=90o,
VZBC£=40°,
:.ZB=50°,
\"ZBAC=60°,A。平分/BAC,
ZBAD=izBAC=30°,
2
180°-ZB-ZBAD
=180°-50°-30°
=100°.
故选:A.
6.根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有()
①/A+NB=NC,②4卷41/(?③NA:NB:NC=5:2:3,@ZA=2ZB
=3ZC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】利用三角形内角和定理,进行计算求解即可.
【解答】解:;/A+N8=NC,ZA+ZB+ZC=180°,
AZC=90°,
...△ABC是直角三角形,
故①符合题意;
VZA=AZB=AZC,ZA+ZB+ZC=180°,
23
.•.NA=30°,NB=60°,ZC=90°,
.♦.△ABC是直角三角形,
故②符合题意;
VZA:ZB:ZC=5:2:3,ZA+ZB+ZC=180°,
ZA=180°X―5—=90°,ZB=180°X_2_=36°,ZC=180°X―3—=
5+2+35+2+35+2+3
54°,
.♦.△ABC是直角三角形,
故③符合题意;
VZA=2ZB=3ZC,ZA+ZB+ZC=180°,
;工乙4=180°,
6
.•.4=1080°.
11
ZC=360^,
1111
...△ABC不是直角三角形,
故④不符合题意;
综上,符合题意得有3个,
故选:C.
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,将△&£>£1沿。E折叠至位置,
点A的对应点为R若NA=15°,ZBDF=120°,则/CEF的度数为()
【分析】由折叠性质可得ZAED=ZFED,由邻补角可求得/AD/=60°,
则NAZ)E=30°,由三角形的内角和可求得/AED=135°,由三角形的外角求得NOEG
=45°,则可求NC跖的度数.
【解答】解:由题意得:/ADE=NFDE,NAED=NFED,
VZBDF=120°,
/.ZADF=180°-ZBDF=60°,
・・・NADE=30°,
/.ZAE£)=180°-ZA-ZADE=135°,
ZDEG=ZA+ZADE=45°,
:.ZDEF=135°,
:・/CEF=/DEF-NDEG=90°.
故选:A.
8.(2022春•秦淮区期中)如图,在△Cb中,NE=80°,ZF=60°,AB//CF,AD
//CE,连接3C、CD,则NA的度数是40°.
【分析】先利用三角形的内角和求出NRSE,再利用平行线的性质说明NA与/FCE的
关系得结论.
【解答】解:延长尸。交A0于点G.
VZE=80°,ZF=60°,
:.ZFCE=180°-ZE-ZF
=180°-80°-60°
=40°.
U:AB//CF,AD//CE
:.ZA=ZFGDfZFCE=ZFGD.
:.ZA=ZFCE=40°.
故答案为:40.
B
A
一G
9.(2019•枣庄)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直
角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则Na的度数是()
【分析】先根据三角形的内角和得出/CGF=NDG2=45°,再利用/a=
可得答案.
【解答】解:如图,
VZAC£>=90°、ZF=45°,
:.ZCGF=ZDGB=45°,
则/a=NO+NDGB=30°+45°=75°,
故选:C.
10.(2020•吉林)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则/a的大小为()
【分析】利用三角形外角的性质解答即可.
【解答】解:如图所示,
A
a
Za=ZE+ZACB=300+45°=75°,
故选:B.
11.已知:如图,在△ABC中,/A=55°,H是高B。、CE的交点,则度.
BC
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余,可求得NABD再根据三角形的一个外角等
于和它不相邻的两个内角和,进而求出NBHC.
【解答】解:在中,
VBDXAC,
AZABD=90°-/A=35°,
ZBHC=900+35°=125°.
12.(2020春•和平区校级期中)已知a,b,c是一个三角形的三边长,化简|a+c-b|-|b-
c+a\-\a-b-c|=a-3Z?+c.
【分析】根据三角形三边关系得到b-c+tz>0,a-b-c<0f再去绝对值,
合并同类项即可求解.
【解答】解:b,C是一个三角形的三条边长,
.\a+c-b>0,b-c+a>0,a-b-c<0,
|〃+c-b\-\b-c+〃|-\a-b-c\=a+c-b-b+c-a+a-b-c=a-3/?+<?,
故答案为:a-3b+c.
13.(2020春•东湖区期末)已知三角形的两条边长分别为3cm和2c相,如果这个三角形的
第三条边长为奇数,则这个三角形的周长为8cm.
【分析】可先求出第三边的取值范围,找出其中为奇数的数,即为第三边的长,从而求
得周长.
【解答】解:设第三边长为X.
根据三角形的三边关系,则有3-2<x<2+3,
即1cx<5,
因为第三边的长为奇数,
所以尤=3,
所以周长=3+3+2=8.
故答案为:8;
14.三角形中一个内角a是另一个内角0的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其
中a称为“特征角”,如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°,那么这个“特征
三角形”的最小内角的度数为.
【分析】根据已知一个内角a是另一个内角P的两倍得出P的度数,进而求出最小内角
即可.
【解答】解:由题意得:a=20,a=110°,则0=55°,
180°-110°-55°=15°,
故答案为:15°.
15.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+Cb-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
【分析】(1)直接根据非负数的性质即可得出结论;
(2)根据三角形的三边关系可得出c的取值范围,进而可得出结论.
【解答】解:(1);(a-6)2+(&-c)2=0,
••u-b=0,b-c==0,
••u—:b~—ci
/.△ABC是等边三角形;
(2)'.'a—5,b=2,且c为整数,
.*.5-2<c<5+2,即3Vc<7,
;.c=4,5,6,
...当c=4时,/XABC周长的最小值=5+2+4=11;
当c=6时,ZVIBC周长的最大值=5+2+6=13.
16.(2022春•建湖县期中)如图,C。是△ABC的角平分线,DE//BC,交AB于点E.
(1)若NA=42°,NBDC=75°,求NCED的度数;
(2)若NA-/ACD=17°,/EDB=95°,求NA的度数.
【分析】(1)利用三角形内角和定理求出/ACB,再求出NEC。,/EOC即可求解;
(2)设,则NACD=x°-17°,根据/瓦啰=NA+/AED,构建方程求解即
可.
【解答】解:(1)ZCDB^ZA+ZACD,
:./ACD=15°-42°=33°,
,:CD是AABC的角平分线,
:.ZDCB=ZACD=33°,
':DE//BC,
:./EDC=NDCB=33°,
AZCE£>=180°-33°-33°=114°;
(2)设乙4=x°,则/AC。*-17°,
,:CD是△ABC的角平分线,
/.ZACB=2(x°-17°),
':DE//BC,
:.ZAED=ZACB=2(x°-17°),
•;ZEDB=ZA+ZAED,
:.95°=xa+2(x°-17°),
;.x=43°,
:.ZA=43°.
考点二三角形的“三线”及其作用
【知识点睛】
类型所在位置作用
三角形的中线线段△内部1.△的中线能把原△分成面积相等的两部分,同比三等分线可
以三等分原△的面积
2.△三条中线的交点叫重心,重心将中线分为2:1两部分
△内部、△中,有,时一求长度,想高线一有高线,想面积一有面积,想
三角形线段外部、边等积法;有,时一求角度,想90°-△中,直角外的两个小角
的高线上互余
三角形的角平分线线段△内部△的角平分线出现时,可得角相等,亦可得N1=%N2类结论
三角形角平分线夹角模型:
BcABN「
空p、CD分别别平分NABC、NA
BD、CD分别别平分NABC、NA6B),、CD分别别平分ZEBC、NF
则ZBZX?=9(r」ZA贝!
则NBDC=9O°+-ZA2
22
❖角的“8”字模型:
£ZA+ZB=ZC-\-ZD
❖△高线与角平分线夹角模型:
【类题训练】
1.下列判断错误的是()
A.三角形的三条高的交点在三角形内
B.三角形的三条中线交于三角形内一点
C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【分析】根据三角形的角平分线,中线,高的定义一一判断即可.
【解答】解:4锐角三角形的三条高的交点在三角形内,故本选项说法错误,符合题意;
8、三角形的三条中线交于三角形内一点,故本选项说法正确,不符合题意;
C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点,故本选项说法正确,不符合题意;
£(、三角形的三条角平分线交于三角形内一点,故本选项说法正确,不符合题意.
故选:A.
2.如图,已知。、E分别是△ABC的边BC、AC的中点,AG是△ABE的中线,连接BE、
AD,GD,若AABC的面积为40,则阴影部分△AOG的面积为()
A.10B.5C.8D.4
【分析】连接如图,先判断DG为△2CE的中位线,贝UDG〃AC,根据平行线之间
的距离和三角形面积公式得到SAADG=SAEDG,然后利用三角形的中线将三角形分成面积
相等的两部分,贝!JSA8CE=」"&ABC=20,SABDE=-1SAEBC=10,S^EDG=-S^BDE=5.
222
【解答】解:连接。E,如图,
为8c的中点,G为8E的中点,
.,.DG为△BCE的中位线,
C.DG//AC,
••S^ADG=S/\EDGf
・・・6点为AC的中点,
SABCE=-S^ABC—工义40=20,
22
•.•。点为BC的中点,
SABDE=—S^EBC=-1X20=10,
22
:G点为BE的中点,
5AEDG=-5ABDE=—X10=5.
22
故选:B.
3.如图,在△ABC中,已知点。、E、尸分别是BC、AD.CE的中点,且S4ABC=10c”/,
则阴影部分的面积为acm2.
一2一
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.
【解答】解:♦.,点E是AD的中点,
SAABE=—S^ABD,S^ACE=ASAADC,
22
.112
••5AABE+SAACE=—S/\ABC=—X10=5cm,
22
.19
:•SABCE=—S^ABC=5cm,
2
:点尸是CE的中点,
/.S&BEF=—S^BCE=AX5=AC/??2.
222
故答案为:A.
2
4.如图,在△ABC中,平分/ABC,CM平分NAC2,若NM=117°,则NA为
)
M
BC
A.44°B.54°C.58°D.64°
【分析】先利用角平分线的性质得到ZMCB=1ZACB,再根据三
22
角形内角和定理得到NMBC+NMC8+NAf=180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,则NAf
=90°+1ZA,然后把NM=117°代入可计算出NA的度数.
2
【解答】解:平分/ABC,CM平分NACB,
AZMBC=1.ZABC,ZMCB=1.ZACB,
22
:.ZMBC+ZMCB=1CZABC+ZACB),
2
VZMBC+ZMCB+ZM^180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,
AZM=180°-A(180°-ZA)=90°+AZA,
22
VZM=117°,
.•.90°+AZA=117°,
2
AZA=54°.
故选:B.
5.如图,△ABC的中线A。、BE相交于点E下列结论正确的有()
@SAABD=SADCA;®S/\AEF=S/\BDF;③S四边形石尸QC=2S/V4E尸;@S^ABC=3S^ABF
B
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据三角形面积公式,利用5£>=CDAE=CE^^IJSZ^5O=5^ACO=」S"BC,
2
S^ABE=S^BCE=-S^ABCf所以弘45。=弘4超,则可对①进行判断;利用面积的和差得到
2
SAAEF=SABDF,则可对②进行判断;连接CR如图,利用三角形面积公式得到5旷四=
SAFCD,SAFAE=SAFCE,贝I可对③进行判断;先判断SMBF=S四边形EFOC,再利用S四边形EFDC
=2SAAEF,则可对④进行判断.
【解答】解:♦•.△ABC的中线A。、BE相交于点尸,
:,BD=CD,AE=CE,
S/\ABD=S/\ACD=S/\ABCJS/\ABE~S/\BCE=—S/\ABCJ所以①正确;
22
•••SAABD=SAABE,
AS^AEF=S^BDF;所以②正确;
连接。尸,如图,
SAFBD=S^FCD,SAFAE=S^FCE,
而SAAEF=S/\BDF,
S四边形EFDC=2SAAEF;所以③正确;
•**SAABE=S/\ADC=—S/\ABCJ
2
=
S/\ABFS四边形EFDC,
而S四边形
=
S/\ABF=S^AEF~^~S/\BDFS四边形EFDC,
•'.S^ABC=3SMBF,所以④正确.
故选:D.
6.如图,NAOB=60°,点M、N分别在。4、08上运动(不与点。重合),ME平分/
AMN,ME的反向延长线与NMNO的平分线交于点足在M、N的运动过程中,//的
B.变小C.等于45°D.等于30°
【分析】由/AMN是△OMN的外角,NEMN是△FMN的外角,得到NAMN=/O+/
ONM,NEMN=NF+NFNM,
再由角平分线,得到/AMN=2/EMMZONM=2ZFNM,从而得到//=工/。.
2
【解答】解::NAMN是△OMV的外角,
・•・ZAMN=/O+/ONM,
,/ZEMN是△尸MN的外角,
ZEMN=ZF+ZFNM.
,:ME平分NAMN,FN平分NMNO,
:・/AMN=2/EMN,Z0NM=2ZFNMf
:.ZO=2ZF,
:.ZF=30°.
故选:D.
7.(2022春•碑林区校级期中)如图,已知A"是△ABC的中线,点P是AC边上一
动点,若△ABC的面积为10,AC=4,则MP的最小值为()
A.5B.2.5C.1.4D.1.25
【分析】根据AM是△A5C的中线,求出三角形AMC的面积,根据垂线段最短
及三角形面积公式,求出的最小值.
【解答】解:是△A5C的中线,
.•.SAAMC=1SAABC=5,
当MPJ_AC时,有最小值,
XMP=5
1XAC-
;.MP=2.5,
故选:B.
8.如图,在△A8C中,AD,AE分别是△A8C的角平分线和高线.
(1)若NB=40°,ZC=60°,求NZME的度数;
(2)若/ZME=15°,求NC-NB的大小.
【分析】(1)利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出/BAD,
再利三角形外角与内角的关系求出/A£>E,最后利用三角形外角与内角的关系求出/
DAE;
(2)在RtZXABE和Rt/XACE中表示出48、ZC,两式相减得结论.
【解答】解:(1)VZB=40°,ZC=60°,
:.ZBAC=180°-ZB-ZC=80°.
'.'AD,AE分别是AABC的角平分线和高线,
AZBAD=^ZBAC=4Q°,ZAEC=90°.
2
VZADE=ZB+ZBAD=80°,ZAEC=ZADE+ZDAE,
:.ZDAE=90°-80°=10°.
(2)在RtAABE和RtAACE中,
":ZB+ZBAE^90°,ZC+ZCAE=90°,
:.ZB=9O°-ABAE,/C=90°-ZCAE.
:.ZC-ZB=90°-ZCAE-(90°-NBAE)
=ZBAE-ZCAE
=ZBAD+ZDAE-CZCAD-NDAE)
=2/DAE
=30°.
9.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形.例如,在图1中,△AQB的内
角NA02与△C。。的内角NC。。互为对顶角,则△AOB与△C。。为对顶三角形,根据
三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质:ZA+ZB=ZC+Zr).
(1)【性质理解】
如图2,在“对顶三角形”△AOB与△CO。中,ZEAO=ZC,ZD=2ZB,求证:Z
EAB=ZB;
(2)【性质应用】
如图3,在△ABC中,点。、E■分别是边AB、AC上的点,ZBOD=ZA,若NEC。比/
DBE大20°,求的
度数.
【分析】(1)根据对顶三角形可得再根据角的和差即可得解;
(2)根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可.
【解答】(1)证明:由对顶三角形可得N0A2+N8=NC+ND
:.ZOAB-ZC=ZD-ZB,
":ZEAO=ZC,ND=2NB,
:.ZOAB-/EAO=/B,
即NE43=N&
(2)解:由题意得,ZECD-ZDBE=20°,
由(1)得,ZDBE+ZBDO=ZECD+ZOEC,
ZBDO-ZOEC=ZECD-ZDBE=20°,
':ZBOD=ZA,ZBOZ)+ZZ)OE=180o,
・・・NA+NOOE=180°,
ZADO+ZAEO=180°,
ZAEO+ZOEC=ZBDO+ZADO=180°,
・•・NBDO=ZAEO,
・・・N3QO+NOEC=180°,
•:/BDO-NOEC=20°,
AZBDO=100°.
10.在△ABC中,
(1)如图(1),ZABC.NAC8的平分线相交于点P.
若NA=60°,求N5PC的度数.
若NA=/,则N5尸C=.
(2)如图(2),在AABC中的外角平分线相交于点。ZA=n°,求N5QC的度数.
(3)如图(3),/XABC的NA3C、NACB的平分线相交于点P,它们的外角平分线相交
A
于点。直接回答:二」
NBPC与ZBQC具有怎样的数量关系?
(4)如图(4),△ABC中的内角平分线相交于
点P,外角平分线相交于点Q,延长线段BP、
图⑴A图(2夕E
QC交于点E,
△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2
倍,求NA的度数.
Q
图(3)图(4)
【分析】(1)利用角平分线性质和三角形内角
和定理计算.
(2)利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解.
(3)利用(1)(2)题结论得出.
(4)利用(3)题结论列方程求解.
【解答】解:(1)VZA=60°/.ZABC+ZACB=120°
•//ABC、ZACB的平分线相交于点P
.•.ZI=AZABC,Z2=AZACB
22
.*.Z1+Z2=ACZABC+ZACB)=60°
2
:.ZBPC=1SQ°-(Z1+Z2)
=180°-A(180°-NA)
2
=90°+AZA
2
=120°.
故答案为:90°+ln°.
2
(2)':ZDBC=ZA+ZACB,ZFCB^ZABC+ZA,ZA^n
:.ZDBC+ZFCB=ZA+ZACB+ZABC+ZA
=180°+ZA
=180°+n.
VAABC的外角平分线相交于点Q.
:.ZQBC=1-ZDBC,ZQCB=^.ZFCB.
22
:.ZQBC+ZQCB=1.(NDBC+/ECB)
(180°+n°)=90°+X?°.
22
:.ZBQC=18Q0-(ZQBC+ZQCB)
=180°-(90°+A»°)
2
=90°-Aw°.
2
(3)由(1)知,ZBPC=90°+工〃°,
2
由(2)知:ZBQC=90°+kn°,
2
:.ZBPC+ZBQC=180°.
(4);BQ,BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线,
:.ZEBQ=90°.
当NE5Q=2NBQC时,90°=2X(90°-An°).
2
・"=90.
/.ZA=90°.
当N3QC=2NE时,
VZBQC+ZE=90°.
:.ZBQC=60°.
.*.90°-L°=60°.
2
・"=60.
AZA=60°.
当NE5Q=2NE时,2NE=90°,
:.ZE=45°.
:.ZBQC=90°--1H°=45°
・"=90.
AZA=90°.
当NE=2N3QC时,
VZE+ZB2C=90°.
/.ZBQC=30°.
.•.90°-AH°=30°.
2
."=120.
AZA=120°.
综上:ZA=90°,60°,120°
11./MON=90°,点A,2
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