浙教版八年级数学上册专项突破：三角形基础知识之三角形的边、角、“三线”（解析版）

第1讲三角形的边、角、三线专题探究

考点一三角形的边角关系

【知识点睛】

边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边

❖角：三角形三个内角的和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

应用：

1.判断三条线段能否构成三角形的方法：

①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；

②若较短的两条线段之和,最长线段，则能构成三角形

若较短的两条线段之和W最长线段，则不能构成三角形

2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，

亦有角相等

如图，有：

❖飞镖模型：

ZADC=ZA+ZB+ZC

【类题训练】

1.一个三角形的两边长分别为2和5,且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是

()

A.10B.11C.12D.13

【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，

从而求得周长最大时，对应的第三边的长.

【解答】解：设第三边为

根据三角形的三边关系，得：5-2<。<5+2,

即3<6Z<7,

•.Z为整数，

:.a的最大值为6,

则三角形的最大周长为6+2+5=13.

故选：D.

2.为了估计池塘两岸A、8间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P,测得B4=12机，

PB=13m,那么AB间的距离不可能是()

A.6mB.18mC.26mD.20m

【分析】由B4=12m,PB=13m,直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范

围，继而求得答案.

【解答】解：：PB=13m,

：.PA-PB<AB<PA+PB,

即加<AB<25〃z,

间的距离不可能是：26m.

故选：C.

3.已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（）

A.7B.8C.13D.14

【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第

三边，即可得出第三边的取值范围.

【解答】解：•••此三角形且两边为3和4,

第三边的取值范围是：1〈尤<7,

:第三边为整数，

周长为13这个范围内，符合要求.

故选：C.

4.下列长度的三条线段能构成三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,10

C.5,10,13D.2a,3a,6a（<?>0）

【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可.

【解答】解：A.V1+2=3,

；•不能构成三角形，本选项不符合题意；

B.V4+5<10,

；•不能构成三角形，本选项不符合题意；

C.V13-5<10<5+13,

，长度为5,10,13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意;

D.2a+3a<6a（。>0）,

；•不能构成三角形，本选项不符合题意.

故选：C.

5.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,ZBCE=40°,平分/8AC,CE_LAB于点E,

则的度数为（）

A.100°B.90°C.80°D.50°

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出与NBA。的度数即可求解.

【解答】解：

.\ZB£C=90o,

VZBC£=40°,

：.ZB=50°,

\"ZBAC=60°,A。平分/BAC,

ZBAD=izBAC=30°,

2

180°-ZB-ZBAD

=180°-50°-30°

=100°.

故选：A.

6.根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（）

①/A+NB=NC,②4卷41/(?③NA：NB：NC=5：2：3,@ZA=2ZB

=3ZC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可.

【解答】解：；/A+N8=NC,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=90°,

...△ABC是直角三角形，

故①符合题意；

VZA=AZB=AZC,ZA+ZB+ZC=180°,

23

.•.NA=30°,NB=60°,ZC=90°,

.♦.△ABC是直角三角形，

故②符合题意；

VZA：ZB：ZC=5：2：3,ZA+ZB+ZC=180°,

ZA=180°X―5—=90°,ZB=180°X_2_=36°,ZC=180°X―3—=

5+2+35+2+35+2+3

54°,

.♦.△ABC是直角三角形，

故③符合题意；

VZA=2ZB=3ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

；工乙4=180°,

6

.•.4=1080°.

11

ZC=360^,

1111

...△ABC不是直角三角形，

故④不符合题意；

综上，符合题意得有3个，

故选：C.

7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，将△&£>£1沿。E折叠至位置,

点A的对应点为R若NA=15°,ZBDF=120°,则/CEF的度数为（）

【分析】由折叠性质可得ZAED=ZFED,由邻补角可求得/AD/=60°,

则NAZ）E=30°,由三角形的内角和可求得/AED=135°,由三角形的外角求得NOEG

=45°,则可求NC跖的度数.

【解答】解：由题意得：/ADE=NFDE,NAED=NFED,

VZBDF=120°,

/.ZADF=180°-ZBDF=60°,

・・・NADE=30°,

/.ZAE£）=180°-ZA-ZADE=135°,

ZDEG=ZA+ZADE=45°,

：.ZDEF=135°,

：・/CEF=/DEF-NDEG=90°.

故选：A.

8.（2022春•秦淮区期中）如图，在△Cb中，NE=80°,ZF=60°,AB//CF,AD

//CE,连接3C、CD,则NA的度数是40°.

【分析】先利用三角形的内角和求出NRSE,再利用平行线的性质说明NA与/FCE的

关系得结论.

【解答】解：延长尸。交A0于点G.

VZE=80°,ZF=60°,

：.ZFCE=180°-ZE-ZF

=180°-80°-60°

=40°.

U：AB//CF,AD//CE

：.ZA=ZFGDfZFCE=ZFGD.

：.ZA=ZFCE=40°.

故答案为：40.

B

A

一G

9.（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直

角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则Na的度数是（）

【分析】先根据三角形的内角和得出/CGF=NDG2=45°,再利用/a=

可得答案.

【解答】解:如图,

VZAC£>=90°、ZF=45°,

：.ZCGF=ZDGB=45°,

则/a=NO+NDGB=30°+45°=75°,

故选：C.

10.（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则/a的大小为（）

【分析】利用三角形外角的性质解答即可.

【解答】解：如图所示，

A

a

Za=ZE+ZACB=300+45°=75°,

故选：B.

11.已知：如图，在△ABC中，/A=55°,H是高B。、CE的交点，则度.

BC

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得NABD再根据三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角和，进而求出NBHC.

【解答】解：在中，

VBDXAC,

AZABD=90°-/A=35°,

ZBHC=900+35°=125°.

12.（2020春•和平区校级期中）已知a,b,c是一个三角形的三边长，化简|a+c-b|-|b-

c+a\-\a-b-c|=a-3Z?+c.

【分析】根据三角形三边关系得到b-c+tz>0,a-b-c<0f再去绝对值，

合并同类项即可求解.

【解答】解：b,C是一个三角形的三条边长，

.\a+c-b>0,b-c+a>0,a-b-c<0,

|〃+c-b\-\b-c+〃|-\a-b-c\=a+c-b-b+c-a+a-b-c=a-3/?+<?,

故答案为：a-3b+c.

13.（2020春•东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2c相，如果这个三角形的

第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为8cm.

【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求

得周长.

【解答】解：设第三边长为X.

根据三角形的三边关系，则有3-2<x<2+3,

即1cx<5,

因为第三边的长为奇数，

所以尤=3,

所以周长=3+3+2=8.

故答案为：8；

14.三角形中一个内角a是另一个内角0的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其

中a称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°,那么这个“特征

三角形”的最小内角的度数为.

【分析】根据已知一个内角a是另一个内角P的两倍得出P的度数，进而求出最小内角

即可.

【解答】解：由题意得：a=20,a=110°,则0=55°,

180°-110°-55°=15°,

故答案为：15°.

15.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.

(1)若a,b,c满足(a-b)2+Cb-c)2=0,试判断△ABC的形状；

(2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值.

【分析】(1)直接根据非负数的性质即可得出结论；

(2)根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论.

【解答】解：(1);(a-6)2+(&-c)2=0,

••u-b=0,b-c==0,

••u—:b~—ci

/.△ABC是等边三角形；

(2)'.'a—5,b=2,且c为整数,

.*.5-2<c<5+2,即3Vc<7,

；.c=4,5,6,

...当c=4时，/XABC周长的最小值=5+2+4=11；

当c=6时，ZVIBC周长的最大值=5+2+6=13.

16.(2022春•建湖县期中)如图，C。是△ABC的角平分线，DE//BC,交AB于点E.

(1)若NA=42°,NBDC=75°,求NCED的度数；

(2)若NA-/ACD=17°,/EDB=95°,求NA的度数.

【分析】(1)利用三角形内角和定理求出/ACB,再求出NEC。，/EOC即可求解；

(2)设,则NACD=x°-17°,根据/瓦啰=NA+/AED,构建方程求解即

可.

【解答】解：(1)ZCDB^ZA+ZACD,

:./ACD=15°-42°=33°,

,:CD是AABC的角平分线，

：.ZDCB=ZACD=33°,

'：DE//BC,

:./EDC=NDCB=33°,

AZCE£>=180°-33°-33°=114°；

(2)设乙4=x°,则/AC。*-17°,

,:CD是△ABC的角平分线，

/.ZACB=2(x°-17°),

'：DE//BC,

：.ZAED=ZACB=2(x°-17°),

•；ZEDB=ZA+ZAED,

：.95°=xa+2(x°-17°),

；.x=43°,

：.ZA=43°.

考点二三角形的“三线”及其作用

【知识点睛】

类型所在位置作用

三角形的中线线段△内部1.△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可

以三等分原△的面积

2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分

△内部、△中，有，时一求长度，想高线一有高线，想面积一有面积，想

三角形线段外部、边等积法；有，时一求角度，想90°-△中，直角外的两个小角

的高线上互余

三角形的角平分线线段△内部△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得N1=%N2类结论

三角形角平分线夹角模型:

BcABN「

空p、CD分别别平分NABC、NA

BD、CD分别别平分NABC、NA6B),、CD分别别平分ZEBC、NF

则ZBZX?=9(r」ZA贝!

则NBDC=9O°+-ZA2

22

❖角的“8”字模型:

£ZA+ZB=ZC-\-ZD

❖△高线与角平分线夹角模型:

【类题训练】

1.下列判断错误的是（）

A.三角形的三条高的交点在三角形内

B.三角形的三条中线交于三角形内一点

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可.

【解答】解：4锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；

8、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；

C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；

£（、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意.

故选：A.

2.如图，已知。、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、

AD,GD,若AABC的面积为40,则阴影部分△AOG的面积为（）

A.10B.5C.8D.4

【分析】连接如图，先判断DG为△2CE的中位线，贝UDG〃AC,根据平行线之间

的距离和三角形面积公式得到SAADG=SAEDG,然后利用三角形的中线将三角形分成面积

相等的两部分，贝!JSA8CE=」"&ABC=20,SABDE=-1SAEBC=10,S^EDG=-S^BDE=5.

222

【解答】解：连接。E,如图，

为8c的中点，G为8E的中点，

.,.DG为△BCE的中位线，

C.DG//AC,

••S^ADG=S/\EDGf

・・・6点为AC的中点,

SABCE=-S^ABC—工义40=20,

22

•.•。点为BC的中点，

SABDE=—S^EBC=-1X20=10,

22

：G点为BE的中点，

5AEDG=-5ABDE=—X10=5.

22

故选：B.

3.如图，在△ABC中，已知点。、E、尸分别是BC、AD.CE的中点，且S4ABC=10c”/,

则阴影部分的面积为acm2.

一2一

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.

【解答】解：♦.,点E是AD的中点,

SAABE=—S^ABD,S^ACE=ASAADC,

22

.112

••5AABE+SAACE=—S/\ABC=—X10=5cm,

22

.19

:•SABCE=—S^ABC=5cm,

2

:点尸是CE的中点，

/.S&BEF=—S^BCE=AX5=AC/??2.

222

故答案为：A.

2

4.如图，在△ABC中，平分/ABC,CM平分NAC2,若NM=117°,则NA为

)

M

BC

A.44°B.54°C.58°D.64°

【分析】先利用角平分线的性质得到ZMCB=1ZACB,再根据三

22

角形内角和定理得到NMBC+NMC8+NAf=180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,则NAf

=90°+1ZA,然后把NM=117°代入可计算出NA的度数.

2

【解答】解：平分/ABC,CM平分NACB,

AZMBC=1.ZABC,ZMCB=1.ZACB,

22

：.ZMBC+ZMCB=1CZABC+ZACB),

2

VZMBC+ZMCB+ZM^180°,ZABC+ZACB+ZA=180°,

AZM=180°-A(180°-ZA)=90°+AZA,

22

VZM=117°,

.•.90°+AZA=117°,

2

AZA=54°.

故选：B.

5.如图，△ABC的中线A。、BE相交于点E下列结论正确的有()

@SAABD=SADCA；®S/\AEF=S/\BDF；③S四边形石尸QC=2S/V4E尸；@S^ABC=3S^ABF

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据三角形面积公式，利用5£>=CDAE=CE^^IJSZ^5O=5^ACO=」S"BC,

2

S^ABE=S^BCE=-S^ABCf所以弘45。=弘4超，则可对①进行判断；利用面积的和差得到

2

SAAEF=SABDF,则可对②进行判断；连接CR如图，利用三角形面积公式得到5旷四=

SAFCD，SAFAE=SAFCE,贝I可对③进行判断；先判断SMBF=S四边形EFOC,再利用S四边形EFDC

=2SAAEF,则可对④进行判断.

【解答】解：♦•.△ABC的中线A。、BE相交于点尸，

:,BD=CD,AE=CE,

S/\ABD=S/\ACD=­S/\ABCJS/\ABE~S/\BCE=—S/\ABCJ所以①正确;

22

•••SAABD=SAABE,

AS^AEF=S^BDF；所以②正确；

连接。尸，如图，

SAFBD=S^FCD,SAFAE=S^FCE,

而SAAEF=S/\BDF,

S四边形EFDC=2SAAEF；所以③正确；

•**SAABE=S/\ADC=—S/\ABCJ

2

=

S/\ABFS四边形EFDC,

而S四边形

=

S/\ABF=S^AEF~^~S/\BDFS四边形EFDC，

•'.S^ABC=3SMBF,所以④正确.

故选：D.

6.如图，NAOB=60°,点M、N分别在。4、08上运动（不与点。重合），ME平分/

AMN,ME的反向延长线与NMNO的平分线交于点足在M、N的运动过程中，//的

B.变小C.等于45°D.等于30°

【分析】由/AMN是△OMN的外角，NEMN是△FMN的外角，得到NAMN=/O+/

ONM,NEMN=NF+NFNM,

再由角平分线，得到/AMN=2/EMMZONM=2ZFNM,从而得到//=工/。.

2

【解答】解：:NAMN是△OMV的外角,

・•・ZAMN=/O+/ONM,

,/ZEMN是△尸MN的外角，

ZEMN=ZF+ZFNM.

,:ME平分NAMN,FN平分NMNO,

：・/AMN=2/EMN,Z0NM=2ZFNMf

：.ZO=2ZF,

：.ZF=30°.

故选：D.

7.（2022春•碑林区校级期中）如图，已知A"是△ABC的中线，点P是AC边上一

动点，若△ABC的面积为10,AC=4,则MP的最小值为（）

A.5B.2.5C.1.4D.1.25

【分析】根据AM是△A5C的中线，求出三角形AMC的面积，根据垂线段最短

及三角形面积公式，求出的最小值.

【解答】解：是△A5C的中线,

.•.SAAMC=1SAABC=5,

当MPJ_AC时，有最小值，

XMP=5

1XAC-

；.MP=2.5,

故选：B.

8.如图，在△A8C中，AD,AE分别是△A8C的角平分线和高线.

（1）若NB=40°,ZC=60°,求NZME的度数；

（2）若/ZME=15°,求NC-NB的大小.

【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出/BAD,

再利三角形外角与内角的关系求出/A£>E,最后利用三角形外角与内角的关系求出/

DAE；

（2）在RtZXABE和Rt/XACE中表示出48、ZC,两式相减得结论.

【解答】解：（1）VZB=40°,ZC=60°,

：.ZBAC=180°-ZB-ZC=80°.

'.'AD,AE分别是AABC的角平分线和高线,

AZBAD=^ZBAC=4Q°,ZAEC=90°.

2

VZADE=ZB+ZBAD=80°,ZAEC=ZADE+ZDAE,

：.ZDAE=90°-80°=10°.

(2)在RtAABE和RtAACE中，

"：ZB+ZBAE^90°,ZC+ZCAE=90°,

：.ZB=9O°-ABAE,/C=90°-ZCAE.

：.ZC-ZB=90°-ZCAE-(90°-NBAE)

=ZBAE-ZCAE

=ZBAD+ZDAE-CZCAD-NDAE)

=2/DAE

=30°.

9.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形.例如，在图1中，△AQB的内

角NA02与△C。。的内角NC。。互为对顶角，则△AOB与△C。。为对顶三角形，根据

三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：ZA+ZB=ZC+Zr）.

（1）【性质理解】

如图2,在“对顶三角形”△AOB与△CO。中，ZEAO=ZC,ZD=2ZB,求证：Z

EAB=ZB；

（2）【性质应用】

如图3,在△ABC中，点。、E■分别是边AB、AC上的点，ZBOD=ZA,若NEC。比/

DBE大20°,求的

度数.

【分析】（1）根据对顶三角形可得再根据角的和差即可得解;

（2）根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可.

【解答】（1）证明：由对顶三角形可得N0A2+N8=NC+ND

：.ZOAB-ZC=ZD-ZB,

"：ZEAO=ZC,ND=2NB,

：.ZOAB-/EAO=/B,

即NE43=N&

(2)解：由题意得，ZECD-ZDBE=20°,

由(1)得，ZDBE+ZBDO=ZECD+ZOEC,

ZBDO-ZOEC=ZECD-ZDBE=20°,

'：ZBOD=ZA,ZBOZ)+ZZ)OE=180o,

・・・NA+NOOE=180°,

ZADO+ZAEO=180°,

ZAEO+ZOEC=ZBDO+ZADO=180°,

・•・NBDO=ZAEO,

・・・N3QO+NOEC=180°,

•:/BDO-NOEC=20°,

AZBDO=100°.

10.在△ABC中，

(1)如图(1),ZABC.NAC8的平分线相交于点P.

若NA=60°,求N5PC的度数.

若NA=/,则N5尸C=.

(2)如图(2),在AABC中的外角平分线相交于点。ZA=n°,求N5QC的度数.

(3)如图(3),/XABC的NA3C、NACB的平分线相交于点P,它们的外角平分线相交

A

于点。直接回答：二」

NBPC与ZBQC具有怎样的数量关系？

（4）如图（4）,△ABC中的内角平分线相交于

点P,外角平分线相交于点Q,延长线段BP、

图⑴A图（2夕E

QC交于点E,

△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2

倍，求NA的度数.

Q

图（3）图（4）

【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角

和定理计算.

(2)利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解.

(3)利用(1)(2)题结论得出.

(4)利用(3)题结论列方程求解.

【解答】解：(1)VZA=60°/.ZABC+ZACB=120°

•//ABC、ZACB的平分线相交于点P

.•.ZI=AZABC,Z2=AZACB

22

.*.Z1+Z2=ACZABC+ZACB)=60°

2

：.ZBPC=1SQ°-(Z1+Z2)

=180°-A(180°-NA)

2

=90°+AZA

2

=120°.

故答案为：90°+ln°.

2

(2)'：ZDBC=ZA+ZACB,ZFCB^ZABC+ZA,ZA^n

：.ZDBC+ZFCB=ZA+ZACB+ZABC+ZA

=180°+ZA

=180°+n.

VAABC的外角平分线相交于点Q.

：.ZQBC=1-ZDBC,ZQCB=^.ZFCB.

22

：.ZQBC+ZQCB=1.(NDBC+/ECB)

(180°+n°)=90°+X?°.

22

：.ZBQC=18Q0-(ZQBC+ZQCB)

=180°-(90°+A»°)

2

=90°-Aw°.

2

(3)由(1)知，ZBPC=90°+工〃°,

2

由(2)知：ZBQC=90°+kn°,

2

：.ZBPC+ZBQC=180°.

（4）;BQ,BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，

：.ZEBQ=90°.

当NE5Q=2NBQC时，90°=2X（90°-An°）.

2

・"=90.

/.ZA=90°.

当N3QC=2NE时，

VZBQC+ZE=90°.

：.ZBQC=60°.

.*.90°-L°=60°.

2

・"=60.

AZA=60°.

当NE5Q=2NE时，2NE=90°,

：.ZE=45°.

：.ZBQC=90°--1H°=45°

・"=90.

AZA=90°.

当NE=2N3QC时，

VZE+ZB2C=90°.

/.ZBQC=30°.

.•.90°-AH°=30°.

2

."=120.

AZA=120°.

综上：ZA=90°,60°,120°

11./MON=90°，点A,2