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文档简介

第14讲平面直角坐标系与几何图形的综合

【知识点睛】

❖平面直角坐标系知识网络系统图

第四章平面直角坐标系知识网络图

i1y

问题一:问题五:若也)、

A8B(x2,y2)

坐标平面内点的坐标特征是什么?①AB的中点坐标公式是什么?

②AB的两点间距离公式是什么?

第二象限第一象限

()()

问题二:0X

同一直线上各点的坐标特点是什么?

问题六:

确定一个点到X轴、y轴的距离的规律时什么?

第三象限第四象限

()()

问题七:

问题三:

坐标平面内不过则图形面积的耒解方法是什么?

坐标平面内点的对称规律是什么?

问题四:问题八:

坐标平面内点与图形平移的规律是什么?坐标平面内的规律题

各问题归纳总结

若点4(匹,%)、B(xv乂)、。(。,b)

问题一:若点P在x轴上,则b=0;若点P在y轴上,则a=0;

若点P在第一象限,则a>0,b>0;若点P在第二象限,则a<0,b>0;

若点P在第三象限,则a<0,b<0;若点P在第四象限,则a>0,b<0;

问题二:若点A、B在同一水平线上,则%=乃;若点A、B在同一竖直线上,则X1=X2;

若点P在第一、三象限角平分线上,则。=A;若点P在第二四象限角平分线上,则。=-6;

问题三:点尸(。,。关于x轴对称的点Pi坐标为双m-。);

点P(a,关于y轴对称的点入坐标为鸟(一小

点P(a,关于原点对称的点P3坐标为舄(-。,-乃;

问题四:点的平移口诀“左减右加,上加下减”;

问题五:线段AB的中点公式:旦,&±21

I22

若点A、B在同一水平线上,则AB=k-xJ;若点A、B在同一竖直线上,则AB=|M-%|;

若点A、B所在直线是倾斜的,则AB=A8=,(匹—/y+(%—%y(两点间距离公式)

问题六:点尸(。,。到x轴的距离=出|;点P(a,到y轴的距离=|a|;

问题七:割补法,优先分割,然后才是补全

问题八:周期型:①判断周期数(一般3到4个);

②总数+周期数=整周期……余数(余数是谁就和每周期的第几个规律一样)

注意横纵坐标的规律可能不同。

【类题训练】

1.如图,A(8,0),B(0,6),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点2,

则点C的坐标为()

A.(10,0)B.(0,10)C.(-2,0)D.(0,-2)

2.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,3),点B的坐标为(5,3),则线段42上

任意一点的坐标可表示为()

A.(3,x)(-1WXW5)B.(x,3)(-1WXW5)

C.(3,尤)(-5Wx(l)D.(尤,3)(-5WxWl)

3.如图,在四边形ABC。中,AD//BC//x^,下列说法中正确的是()

A.点A与点。的纵坐标相同B.点A与点B的横坐标相同

C.点A与点C的纵坐标相同D.点8与点£)的横坐标相同

4.如图,已知/AO8=30°,ZAOC=6Q°,ZAOD=9Q°,ZAO£=120°,ZAOF=150°,

若点B可表示为点2(2,30),点C可表示为点C(l,60),点E可表示为点E(3,120),

点尸可表示为点F(4,150),点8可表示为点8(2,30),则。点可表示为()

5.在平面直角坐标系中,若A(%+3,%-1),B(1-/77,3-机),且直线A8〃x轴,则机

的值是()

A.-1B.1C.2D.3

6.如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线,点尸

从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒三个单位长度,则第2022秒时,点

2

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

7.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),动点P

从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB-BC-CO-ZM-AB-…路线运动,当

运动到2022秒时,点P的坐标为()

}'A

4^C

0123

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

8.如图,在平面直角坐标系中,三角形48c三个顶点A、B、C的坐标A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),8C经过原点。,且CDJ_A8,垂足为点Q,则的值为()

A.10B.11C.12D.14

9.如图,在平面直角坐标系中,A,B,C三点坐标分别为(0,a),(0,3-a),(1,2),

且点A在点2的下方,连接AC,BC,若在AB,BC,AC若所围成区域内(含边界),

横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个,那么。的取值范围是()

TWaWlC.lWa<2D.0<aWl

10.如图,在平面直角坐标系中,0ABe是正方形,点A的坐标是(4,0),点尸为边

上一点,/CPB=60°,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内点2'处,则8,

A.(2,2«)B.(2,2-e)C.(2,4-273)D.(旦,4-273)

22

11.如图,在无轴,y轴上分别截取04OB,使。4=。8,再分别以点A,8为圆心,以

大于LAB长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为.

2

12.如图,△ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使与

△ABC全等,那么点。的坐标是.

13.教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标:在平面直角坐标系中,有两点A(xi,yi)、

B(X2,V2),所连线段AB的中点是M,则〃的坐标为(“/丝,,工+丝),如:点A

22

(1,2)、点2(3,6),则线段AB的中点M的坐标为(*3,空_),即M(2,4).利

22

用以上结论解决问题:平面直角坐标系中,若a),F(b,a-b),线段EF的

中点G恰好位于y轴上,且到无轴的距离是1,则4a+b的值等于.

14.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P(尤1,yi)与尸2(%2,”)的“非常距离”

给出如下定义:若|xi-X2|2|yi-泗,则点P1与点尸2的"非常距离"为|xi-尤2|;若|xi-

X2|<|J1-J2|,则点P与点尸2的''非常距离"为M-"I,例如:点尸1(1,2),点尸2(3,

5),因为|1-3|<|2-5|,所以点Pi与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图中线段

尸1。与线段P2Q长度的较大值(点。为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线尸2。

的交点).已知点A(4,0),8为y轴上的一个动点.

(1)若点A与点8的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;

(2)直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值

15.如图,在平面直角坐标系中,已知三点的坐标分别为A(0,4),B(2,0),C(2,5),

连接A3,AC,BC.

(1)求AC,AB的长;

(2)NCAB是直角吗?请说明理由.

16.对于某些三角形或四边形,我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积.下

面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法:

如图1,2所示,分别过三角形或四边形的顶点A,C作水平线的铅垂线/1,12,11,/2之

间的距离d叫做水平宽;如图1所示,过点B作水平线的铅垂线交AC于点D,称线段

BD的长叫做这个三角形的铅垂高;如图2所示,分别过四边形的顶点B,D作水平线13,

14,13,/4之间的距离/Z叫做四边形的铅垂高.

【结论提炼】

容易证明:”三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半",即"s=Lih”

【结论应用】

为了便于计算水平宽和铅垂高,我们不妨借助平面直角坐标系.

已知:如图3,点A(-5,2),B(5,0),C(0,5),贝1「△ABC的水平宽为10,铅垂

三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求,那四边形的面积是不是也可

以这样求呢?带着这个问题,我们进行如下探索:

(1)在图4所示的平面直角坐标系中,取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),。(-2,

-4)四个点,得到四边形ABCD运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四

边形A8CD面积的大小是;用其它的方法进行计算得到其面积的大小是,

由此发现:用liS=ldh),这一方法对求图4中四边形的面积.(填“适合”或“不

2

适合”)

(2)在图5所示的平面直角坐标系中,取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),D(-2,

-3)四个点,得到了四边形ABCD运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到

四边形A8C。面积的大小是,用其它的方法进行计算得到面积的大小是,

由此发现:用“S=Lh”这一方法对求图5中四边形的面积.(“适合”或“不

2

适合”)

(3)在图6所示的平面直角坐标系中,取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),。-1,

-5)四个点,得到了四边形ABCD.通过计算发现:用“S=、dh”这一方法对求图6

2

中四边形的面积.(填“适合”或“不适合”)

【归纳总结】我们经历上面的探索过程,通过猜想、归纳,验证,便可得到:当四边形

满足某些条件时,可以用“S=Lh”来求面积.那么,可以用“5=工防”来求面积的

22

四边形应满足的条件是:.

17.如图所示,在平面直角坐标系中,P(2,2),

(1)点A在x的正半轴运动,点8在y的正半轴上,且抬=尸8,

①求证:PALPB-,

②求OA+OB的值;

(2)点A在x的正半轴运动,点B在y的负半轴上,且

③求OA-OB的值;

④点A的坐标为(8,0),求点2的坐标.

18.如图,在平面直角坐标系xOy中,点8(1,0),点C(5,0),以BC为边在x轴的上

方作正方形48CD,点M(-5,0),N(0,5).

(1)点A的坐标为;点D的坐标为;

(2)将正方形ABCZ)向左平移机个单位,得到正方形AB'CTJ,记正方形48。。与4

OMN重叠的区域(不含边界)为W:

①当优=3时,区域内整点(横,纵坐标都是整数)的个数为;

②若区域卬内恰好有3个整点,请直接写出相的取值范围.

19.类比学习是知识内化的有效途径,认真读题是正确审题的第一步:对于平面直角坐标系

xOy中的点P(a,b)

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