浙教版八年级数学上册专项突破：平面直角坐标系与几何图形的综合（原卷版）

第14讲平面直角坐标系与几何图形的综合

【知识点睛】

❖平面直角坐标系知识网络系统图

第四章平面直角坐标系知识网络图

i1y

问题一：问题五：若也)、

A8B(x2,y2)

坐标平面内点的坐标特征是什么？①AB的中点坐标公式是什么？

②AB的两点间距离公式是什么？

第二象限第一象限

()()

问题二：0X

同一直线上各点的坐标特点是什么？

问题六：

确定一个点到X轴、y轴的距离的规律时什么？

第三象限第四象限

()()

问题七：

问题三：

坐标平面内不过则图形面积的耒解方法是什么？

坐标平面内点的对称规律是什么？

问题四：问题八：

坐标平面内点与图形平移的规律是什么？坐标平面内的规律题

各问题归纳总结

若点4(匹，％)、B(xv乂)、。(。，b)

问题一：若点P在x轴上，则b=0；若点P在y轴上，则a=0；

若点P在第一象限，则a>0,b>0；若点P在第二象限，则a<0,b>0；

若点P在第三象限，则a<0,b<0；若点P在第四象限，则a>0,b<0；

问题二：若点A、B在同一水平线上，则%=乃；若点A、B在同一竖直线上，则X1=X2；

若点P在第一、三象限角平分线上，则。=A;若点P在第二四象限角平分线上，则。=-6;

问题三：点尸(。，。关于x轴对称的点Pi坐标为双m-。)；

点P(a，关于y轴对称的点入坐标为鸟(一小

点P(a，关于原点对称的点P3坐标为舄(-。，-乃；

问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”；

问题五：线段AB的中点公式：旦，&±21

I22

若点A、B在同一水平线上，则AB=k-xJ；若点A、B在同一竖直线上，则AB=|M-%|；

若点A、B所在直线是倾斜的，则AB=A8=,（匹—/y+（%—%y（两点间距离公式）

问题六：点尸（。，。到x轴的距离=出|；点P（a,到y轴的距离=|a|；

问题七：割补法，优先分割，然后才是补全

问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；

②总数+周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）

注意横纵坐标的规律可能不同。

【类题训练】

1.如图，A（8,0）,B（0,6）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点2,

则点C的坐标为（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（-2,0）D.（0,-2）

2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,3）,点B的坐标为（5,3）,则线段42上

任意一点的坐标可表示为（）

A.(3,x)(-1WXW5)B.(x,3)(-1WXW5)

C.(3,尤)(-5Wx(l)D.(尤,3)(-5WxWl)

3.如图，在四边形ABC。中，AD//BC//x^,下列说法中正确的是（）

A.点A与点。的纵坐标相同B.点A与点B的横坐标相同

C.点A与点C的纵坐标相同D.点8与点£)的横坐标相同

4.如图，已知/AO8=30°,ZAOC=6Q°,ZAOD=9Q°,ZAO£=120°,ZAOF=150°,

若点B可表示为点2(2,30),点C可表示为点C(l,60),点E可表示为点E(3,120),

点尸可表示为点F(4,150),点8可表示为点8(2,30),则。点可表示为()

5.在平面直角坐标系中，若A(%+3,%-1),B(1-/77,3-机)，且直线A8〃x轴，则机

的值是()

A.-1B.1C.2D.3

6.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点尸

从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒三个单位长度，则第2022秒时，点

2

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

7.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),动点P

从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB-BC-CO-ZM-AB-…路线运动，当

运动到2022秒时，点P的坐标为()

}'A

4^C

0123

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

8.如图，在平面直角坐标系中，三角形48c三个顶点A、B、C的坐标A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),8C经过原点。，且CDJ_A8,垂足为点Q,则的值为()

A.10B.11C.12D.14

9.如图，在平面直角坐标系中，A,B,C三点坐标分别为(0,a),(0,3-a),(1,2),

且点A在点2的下方，连接AC,BC,若在AB,BC,AC若所围成区域内(含边界),

横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么。的取值范围是()

TWaWlC.lWa<2D.0<aWl

10.如图，在平面直角坐标系中，0ABe是正方形，点A的坐标是(4,0),点尸为边

上一点，/CPB=60°,沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点2'处，则8,

A.(2,2«)B.(2,2-e)C.(2,4-273)D.(旦，4-273)

22

11.如图，在无轴，y轴上分别截取04OB,使。4=。8,再分别以点A,8为圆心，以

大于LAB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为.

2

12.如图，△ABC中，点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使与

△ABC全等，那么点。的坐标是.

13.教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A(xi,yi)、

B(X2,V2),所连线段AB的中点是M,则〃的坐标为(“/丝,,工+丝),如：点A

22

(1,2)、点2(3,6),则线段AB的中点M的坐标为(*3,空_),即M(2,4).利

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用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若a),F(b,a-b),线段EF的

中点G恰好位于y轴上，且到无轴的距离是1,则4a+b的值等于.

14.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P(尤1,yi)与尸2(%2,”)的“非常距离”

给出如下定义：若|xi-X2|2|yi-泗,则点P1与点尸2的"非常距离"为|xi-尤2|;若|xi-

X2|<|J1-J2|,则点P与点尸2的''非常距离"为M-"I，例如：点尸1(1,2),点尸2(3,

5),因为|1-3|<|2-5|,所以点Pi与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图中线段

尸1。与线段P2Q长度的较大值(点。为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线尸2。

的交点).已知点A(4，0)，8为y轴上的一个动点.

(1)若点A与点8的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

(2)直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值

15.如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A(0,4),B(2,0),C(2,5),

连接A3,AC,BC.

(1)求AC,AB的长；

(2)NCAB是直角吗？请说明理由.

16.对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积.下

面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法:

如图1,2所示，分别过三角形或四边形的顶点A,C作水平线的铅垂线/1,12,11,/2之

间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D,称线段

BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B,D作水平线13,

14,13,/4之间的距离/Z叫做四边形的铅垂高.

【结论提炼】

容易证明：”三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半"，即"s=Lih”

【结论应用】

为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系.

已知：如图3,点A(-5,2),B(5,0),C(0,5),贝1「△ABC的水平宽为10,铅垂

三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可

以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：

(1)在图4所示的平面直角坐标系中，取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),。(-2,

-4)四个点，得到四边形ABCD运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四

边形A8CD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是,

由此发现：用liS=ldh),这一方法对求图4中四边形的面积.(填“适合”或“不

2

适合”)

(2)在图5所示的平面直角坐标系中，取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),D(-2,

-3)四个点，得到了四边形ABCD运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到

四边形A8C。面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是,

由此发现：用“S=Lh”这一方法对求图5中四边形的面积.(“适合”或“不

2

适合”)

(3)在图6所示的平面直角坐标系中，取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),。-1,

-5)四个点，得到了四边形ABCD.通过计算发现：用“S=、dh”这一方法对求图6

2

中四边形的面积.(填“适合”或“不适合”)

【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形

满足某些条件时，可以用“S=Lh”来求面积.那么，可以用“5=工防”来求面积的

22

四边形应满足的条件是：.

17.如图所示，在平面直角坐标系中，P(2,2),

(1)点A在x的正半轴运动，点8在y的正半轴上，且抬=尸8,

①求证：PALPB-,

②求OA+OB的值；

(2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且

③求OA-OB的值；

④点A的坐标为(8,0),求点2的坐标.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点8(1,0),点C(5,0),以BC为边在x轴的上

方作正方形48CD,点M(-5,0),N(0,5).

(1)点A的坐标为;点D的坐标为；

(2)将正方形ABCZ)向左平移机个单位，得到正方形AB'CTJ,记正方形48。。与4

OMN重叠的区域(不含边界)为W：

①当优=3时，区域内整点(横，纵坐标都是整数)的个数为；

②若区域卬内恰好有3个整点，请直接写出相的取值范围.

19.类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系

xOy中的点P(a,b)