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文档简介
专题02图形的初步(2)(分层训练)
讲台
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1.(2022下•四川成都•七年级成都市第十八中学校校考阶段练习)下列说法中正确的是()
A.不相交的两条直线叫平行线
B.从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离
C.平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直
D.同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可.
【详解】解:A:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,故4说法不符合题意;
B-.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离,故8说法不符合题意;
C:平面内两条直线的位置关系有相交和平行,故。说法不符合题意;
D:同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故。说法符合题意;
故选:D.
【点睛】此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位
置关系等是解题的关键.
2.(2022・山东济南・统考一模)如图,AB^CD,且被直线/所截,若如=54。,则回2的度数是()
A.154°B.126°C.116°D.54°
【答案】B
【分析】由平行线的性质得到国2与团3的关系,再根据对顶角的性质得到皿与团3的关系,最后求出团2.
【详解】解:EL450CZ),
032+133=180°.
003=01=54",
0l22=18Oo-03
=180°-54°
=126°.
故选:B.
【点睛】本题考查了平行线的性质,掌握"对顶角相等"和"两直线平行,同旁内角互补”是解决本题的关键.
3.(2023•广东珠海•珠海市文园中学校考模拟预测)如图,已知48团CD,02=100°,则下列正确的是()
B.03=80°C.04=80°D.04=100°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐个判断即可.(平行线的性质1.两直线平行,同位角相等.2.两直线平行,内
错角相等.3.两直线平行,同旁内角互补.)
【详解】根据平行线的性质可得:A错误,两直线平行,同旁内角互补,所以团1=80°;B错误,两直线平
行,内错角相等,所以回3=100。;C错误,两直线平行,同位角相等,所以回4=100。;D正确,两直线平行,
同位角相等,所以回4=100。故选D.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,关键在于识别同旁内角,同位角,内错角.
4.(2023上•陕西西安•七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习)如图,A.AOB=90°,OC是N&OB内
任意一条射线,OB,。。分别平分NC。。,乙BOE,下列结论错误的是()
AC
B
D
O
E
A.乙COD=(BOEB.Z-COE=3乙BOD
C.^AOC+ABOD=90°D.ABOE=Z.AOC
【答案】D
【分析】考查角平分线的定义、互为余角的意义,根据角平分线的定义,互余的意义和等量代换,逐个结
论进行判断即可得出答案.
【详解】解:回。B,。。分另IJ平分NC。。,/.BOE,
E1NCOB=Z.BOD=乙DOE,
SZ.COB+乙BOD=4BOD+乙DOE,
即:乙COD=LBOE,因此A正确,不符合题意;
乙COE=LCOB+乙BOD+乙DOE=3乙BOD,因止匕B正确,不符合题意;
团乙4OB=90°,
团/4。。+430。=90。=44。(7+48。£),因此C正确,不符合题意;
EIOC是心力。8内任意一条射线,
0ZXOC不一定会等于2NBOC,即乙4OC不一定会等于N80E,因此D不正确,符合题意;
故选:D.
5.(2022下•河北邢台,七年级校考期末)如图,下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是()
A.0Z2=Z4,04SHCO(内错角相等,两直线平行)
B.0/151|CD,0Z1=Z3(两直线平行,内错角相等)
C.SADWBC,回乙84。+4。=180。(两直线平行,同旁内角互补)
D.^DAM=^CBM,EL4DIIBC(两直线平行,同位角相等)
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及平行线的判定定理解答.
【详解】解:A.EZ2=Z4,^\AD\\BC(内错角相等,两直线平行),故选项错误,不符合题意;
B.SABWCD,001=03(两直线平行,内错角相等),故选项正确,符合题意;
C.回力D||BC,自NB4D+N4BC=180。(两直线平行,同旁内角互补),故选项错误,不符合题意;
D.SADWBC(同位角相等,两直线平行),故选项错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理,熟记定理是解题的关键.
6.(2023・福建厦门•统考一模)如图,在四边形2BCD中,4DIIBC,点E在4D边上,BD平分4EBC.下列角
中,与NBDE相等的是()
A.4ABEB.^AEBC.乙EBDD.乙BDC
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出.
【详解】解:•.・4DIIBC,
•••Z-BDE=Z.CBD,
aBD平分乙EBC,
•••Z.EBD=Z.CBD,
••・乙BDE=Z.EBD.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义,熟练平行线的性质和角平分线的定义是解此题
的关键.
7.(2023•山东滨州•统考一模)一条船从海岛/出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛
2处.灯塔C在海岛/的北偏西30。方向上,在海岛3的北偏西60。方向上,则海岛2到灯塔C的距离是()
A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里
【答案】C
【分析】根据题意作图,根据三角形外角性质求出NC=/.CAB=30。,根据等角对等边得出BC=48,进而
可得结果.
【详解】解:根据题意作图如下:
:./.C=乙CBD-4CAB=300=Z.CAB,
:.BCAB,
':AB=15X2=30(海里),
:.BC=30(海里),
:.海岛B到灯塔C的距离是30海里.
故选:C.
【点睛】本题考查了方向角,等腰三角形的判定和三角形的外角性质.解题的关键在于作图,数形结合求
解.
8.(2022•河北石家庄•校考二模)如图,有N,B,C三地,B地在/地北偏西36。方向上,AB1BC,贝!JB地
在C地的()
A.北偏东44。方向B.北偏东54。方向
C.南偏西54。方向D.南偏西90。方向
【答案】B
【分析】如图,过点8作8&/CD,根据方向角的概念及平行线的性质求出EDC3的度数即可得答案.
【详解】如图,过点3作BE//CD,
根据题意得:CD//AF,
^CDI/BE/IAF,
EEL48E=0SN尸=36°,
EL4B1BC,
EHC3£=90°-EL48£=54°,
aaDCB=[2C3£=54°,
IBB地在C地的北偏东54。方向上,
故选:B.
【点睛】本题考查方向角的概念、平行线的性质及角度的计算,熟练掌握相关知识是解题关键.
9.(2023下•福建福州•七年级统考期中)如图,下列条件:①回1=回3;②皿45=勖。。;③EL4DC+勖CD
=180°;(4)02=04,其中能判定4B||CD的有()
A.1个B.2个C.4个D.3个
【答案】A
【分析】依据同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行,进行判
断即可.
【详解】①由如=回3可判定ZOILBC,不符合题意;
②由皿不能判定48IICD,不符合题意;
③由西。。+勖。。=180。可判定/。||8(7,不符合题意;
④由回2=回4可判定4811cD,符合题意.
其中能判定4BIICD的有1个,
故选:A.
【点睛】此题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.
10.(2022下•浙江杭州•九年级校考阶段练习)如图,在A/BC中,05^C=6O°,EL8CE=40。,平分曲C,
CE酎5于点E,则HAD8的度数为()
A.100°B.90°C.80°D.50°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出站与曲。的度数即可求解.
【详解】解:EC£EL4S,
EB5EC=90°,
EESCE=40°,
005=50°,
团皿。=60°,ND平分回氏4C,
1
aa54D=-E2/C=30°,
2
0EL4r>5=18Oo-05-^BAD
=180°-50°-30°
=100°.
故选A.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
11.(2022下,湖北武汉,七年级统考期末)如图,把小河里的水引到田地4处,可以过点4向河岸I作垂线,垂
足为点B,沿4B挖引水沟即可,这样做的理由是()
A.两点之间,线段最短B.垂线段最短
C.点到直线的距离D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据垂线段最短解答即可.
【详解】解:根据题意,把小河里的水引到田地/处,则作/3回1,垂足为点8,沿N8挖水沟,可知理由
是:垂线段最短.
故选:B.
【点睛】本题考查了垂线段最短,读懂题意是解决问题的关键.
12.(2022・辽宁沈阳•统考一模)如图,已知点4B,C,Z)在。。上,2C平分NB4D/C4D=30°,^ACD=50°,
贝此4。8=()
A.60°B.50°C.70°D.80°
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质可求得4口48,再根据同圆中,同弧所对的圆周角相等可求得N4BD,再根据
三角形内角和即可求得答案.
【详解】解:;4C平分NBA。,/.CAD=30。,
•••4DAB=2ACAD=60°,
•••/LACD=50°,
4ABD=50。(同弧所对的圆周角相等),
•••乙ADB=180°-AABD-ADAB=180°-50°-60°=70°,
故选C.
【点睛】本题考查了角平分线的性质、圆周角定理和三角形内角和定理,熟练掌握角平分线的性质及圆周
角定理是解题的关键.
13.(2023下•福建福州•九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,点/(2,
5),B(5,1),C(加,-w),DCm-3,-加+4),当四边形/BCD的周长最小时,则加的值为()
A.3B.V2C.2D.|
【答案】C
【分析】首先证明四边形/BCD是平行四边形,再根据垂线段最短解决问题即可.
【详解】解:点N(2,5),B(5,1),C(m,-m),D(m-3,-m+4),
EL4B=J(5—2尸+(1—5T=V32+42=5,
CD=7[(m—3)—m]2+[(—m+4)+m]2=732+42=5
即AB=CD=5,
回点B向左平移3个单位,再向上平移4个单位得到4
点C向左平移3个单位,再向上平移4个单位得到。,
由平移的性质得:BC//AD,BC=AD,
0CCm,-m)
El点C在直线y=-x上运动,
MCE直线y=-x,
团直线8C平行直线了=为
El直线BC的解析式为y^x+b,
把5(5,1)代入y=x+b得:
1=5+6,
解得:b=-4,
团y=%—4,
联立方程组得:
y=x
解得:C二
团C(2,-2),
丽=2,
故选:C.
【点睛】本题考查轴对称最短问题,坐标与图形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,
属于中考常考题型.
14.(2023・广东梅州•统考二模)如图,将一块含有30。角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行
对边上,若Na=145°,贝亚0等于()
A.45°B.60°C.75°D.85°
【答案】D
【分析】利用两直线平行,同旁内角互补,计算Na的补角,利用平角的定义计算乙£的大小即可
【详解】回直尺的两边平行,
0Ea+l31=18O°,
盟12+册+团1=180°,
团团a二团2+回我,
团145°=60°+册,
册二85。,
故选D.
【点睛】本题考查了平行线的性质,补角的性质,平角的定义,灵活运用平行线的性质和补角的性质是解
题的关键.
15.(2022下•湖北武汉•八年级校考阶段练习)如图,点P是中斜边4C(不与4C重合)上一动点,
分别作PM1AB于点M,作PN1BC于点N,点。是MN的中点,若4B=9,BC=12,当点P在4c上运动时,
则B。的最小值是()
A.3B.3.6C.3.75D.4
【答案】B
【分析】证明四边形AWW是矩形,得BP=MN,由勾股定理求出/C=15,当APEL4c时,BP最小,然后由
面积法求出3尸最小值,即可解决问题.
【详解】解:连接BP,如图所示:
•••/.ABC=90°,PM14B于点M,PN1BC于点、N,
四边形8MPN是矩形,AC=>JAB2+BC2=V92+122=15,
:.BP=MN,BP与MN互相平分,
,•・点。是MN的中点,
BO=-MN,
2
当BPI/C时,BP最小
团S—RC=xBC=|i4CxBP
ccABXBC9X12rr
.・.BP=--------=------=7.2,
AC15
・•.MN=7.2,
.・.BO=-MN=3.6,
2
故选:B.
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质,垂线段最短,勾股定理及面积法等知识,熟练掌握矩形的判定
与性质是解题的关键.
二、填空题
16.(2023•宁夏银川・银川唐徐回民中学校考一模)如图,Rt财中,团6=90。,利用尺规在5C,54上分
别截取BE,BD,使BE=BD;分别以A,£为圆心、以大于打E的长为半径作弧,两弧在团CA4内交于点尸;
作射线交NC于点G.若CG=1,尸为48上一动点,则GP的最小值为
【分析】根据尺规作图可得8G平分由1BC,再利用角平分线的性质定理即可求解.
【详解】解:如图,过点G作于〃.
G,
由作图可知,GB平分EL48C,
EIG/fflRl,GEBC,
^GH=GC=1,
根据垂线段最短可知,GP的最小值为1,
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,垂线段最短,解题的关键在于能够准确判断出5G是EUBC的角
平分线.
17.(2023下•河北保定•七年级统考期末)直线a、b、c、d的位置如图所示,如果回1=72。,那么05=—°
(1)若回2=72。,则0与6的关系是
【分析】利用对顶角相等可得结论;
(1)利用同位角相等,两直线平行可以判定结论;
(2)利用平行线的性质和平角的意义可求结论.
【详解】解:回如与贴是对顶角,
005=01=72°.
故答案为:72;
(1)001=72°,02=72°,
001=02.
函116(同位角相等,两直线平行).
故答案为:平行;
(2)13ali6,
006=03(两直线平行,内错角相等).
003=68°,
036=68°.
0[?14=1800-06=1120.
故答案为:112.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,平角的意义,对顶角的性质.正确使用平行线的性质是解
题的关键.
18.(2023•上海奉贤•统考二模)如图,一艘轮船由西向东航行,在/处测得灯塔P在北偏东60。的方向,继
续向东航行40海里后到2处,测得灯塔P在北偏东30。的方向,此时轮船与灯塔之间的距离是—海里.
【答案】40
【分析】根据已知方向角得出曲=哂3=30。,进而得出对应边关系即可得出答案.
【详解】解:如图所示:由题意可得,07%2=30。,前5尸=30。,
故0P8E=6O。,
则SP=aR48=30°,
可得:48=8尸=40海里.
故答案为:40.
【点睛】此题主要考查了方向角及等腰三角形的判定,正确得出即=加3=30。是解题关键.
19.(2023下•云南玉溪,七年级统考期中)如图,将木条a,6与c钉在一起,01=70°,02=50°,要使木条
。与6平行,木条。旋转的度数至少是
【答案】20。/20度
【分析】根据同位角相等两直线平行,求出旋转后回2的同位角的度数,然后用回1减去即可得到木条a旋转
的度数.
【详解】解:EBAOC=[32=50°时,OA0b,
团要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是如旬AOC=70。-50。=20。.
故答案是:20。.
【点睛】本题考查了旋转的性质,平行线的判定,根据同位角相等两直线平行求出旋转后回2的同位角的度
数是解题的关键.
20.(2023・湖南衡阳校考模拟预测)如图,乙COD=4AOB=90。.假设=40°,那么乙。。8的大小为
【答案】40。/40度
【分析】根据NCOD=AAOB=90。可以推理得出"04=4BOD,从而得出答案.
【详解】解:0ZCOD=4AOB=90°,
团乙。。4+Z-AOD=(BOD+Z.AOD,
0ZCO/1=乙BOD=40°.
故答案为:40°.
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等,正确推出NC04=乙BOD=40。是解题的关键.
21.(2023,广西贺州•统考一模)比较大小:40.15°40。15'(用>、=、<填空).
【答案】<
【分析】把两个度数统一即可判断.
【详解】解:40.15°=40°+0,15°=40°+0.15X60'=40°9',
4009,<40°15',
故答案为:<.
【点睛】本题考查了角的度数的表示,正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键.
22.(2022•江苏苏州•苏州市第十六中学校考一模)如图,直线a||b,41=124。,贝此2的度数为1
【分析】根据邻补角求得43,根据平行线的性质即可求得42.
【详解】解:EIZ1=124°,
0Z3=180°-Z1=56°,
a
b
•・,a\\b,
z.2=z.3=56°.
故答案为:56.
【点睛】本题考查了平行线的性质,邻补角,掌握平行线的性质是解题的关键.
23.(2023上•广东深圳•八年级深圳市沙井中学校考期中)如图,皿5。中,SL4C5=90°,4C=4,BC=3,
射线CD与边交于点。,点£、尸分别为8。中点,设点£、厂到射线CD的距离分别为加、〃,则
m+n的最大值为.
【答案】2.5
【分析】连接CE,CF,作EM1CD,FN1CD,分别交CD于点A/和点N,首先根据中线的性质和三角形
面积公式得出S"CE=|SA4BC=3,然后证明出当CD的长度最小时,的值最大,然后根据垂线段最短
和等面积法求出CD的最小值,即可求出m+n的最大值.
【详解】解:连接CE,CF,作EM1CD.FN1CD,分别交CD于点M和点N,
回点E是/。的中点,点尸是的中点,
EICE是A/lCD中边上的中线,CF是ABCD中3。边上的中线,
11
回S44CE=S^DCE=2ACD)^ABCF=S^DCF=3sgCD,
团SAFCE=S^DCE+SADCF=~^^ACD+~^ABCD=JSRABC=2x2xxBC=3,
CD-EM+--CD+FN=3,
22
E|•CO-(EM+FN)=3,即)CD•(m+")=3,
0CZ)•(m+n)=6,
El当CD的长度最小时,加+〃的值最大,
团当C014B时,CO的长度最小,此时心+"的值最大,
EBA8C中,EL4C5=90°,/C=4,BC=3,
^AB=>JAC2+BC2=5,
^xCDxAB=6,解得:CD=y,
国将CD=£代入CD•O+n)=6得:m+n=2.5.
故答案为:2.5.
【点睛】此题考查了勾股定理,中线的性质,三角形面积的应用,垂线段最短等知识,解题的关键是根据
题意作出辅助线,正确分析出当CD14B时机+"的值最大.
24.(2023•广西防城港・统考三模)如图,在RL4BC中,N2CB=90。,NA=30。,AB=4A/3,点。是4B的
中点,点。是线段AC上任意一点(不含端点),连接。D,贝I。。的最小值为.
【分析】作CG||AB构造NGC4=乙CAB=30°,再过点。作。F1CG交AC于点、D,DF=^CD,所以。D+
|C£»=0D+DF=。尸最小,根据含30。直角三角形的性质即可求得OF的长.
【详解】解I2BN4CB=90°,乙4=30°,AB=4V3
SBC=-BC=2V3,
2
^AC=7AB2-BC2=6.
如图,过点。作CGIIAB,过点。作。FLCG交/C于点Q,
团乙/。。=Z.CFD=90°,
团CG||AB,L.A=30°,
回匕GCA=2LA=30°
⑦DF—CD,OD=-AD
22f
国根据垂线段最短可知:
OD+:CD的最小值为:OF=OD+DF=^AD+^CD=|XC=3,
故答案为3.
【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形,解决本题的关键是构造适当的辅助线.
25.(2012下•江苏无锡•七年级统考期中)如图,已知N8I3C。,P为直线N8,CD外一点,8/平分0A8P,
平分回CDP,8尸的反向延长线交。£于点£,若附ED=a,试用a表示即为.
【答案】即=360°-2a
【分析】根据角平分线的性质得出回1=团2,03=04,平行线的性质得出131=135,06=口尸。。=2回3,进而根
据三角形内角和得出田5、DFED,再得到□尸和a的关系,然后即可用。表示□尸.
【详解】解:延长N5交即于点G,延长产£交CO于点,,
站厂平分EL48P,£>£平分团CDP,
001=02,03=04,
EL4BECO,
瓯1=回5,回6=EPDC=2EI3,
aaP5G=180°-2E1,
0ELP5G=18OO-205,
005=90°--ELP5G,
2
1800-SHED,05=180°-BEHD,^EHD+WED+^3^180°,
0180°-05+180°-ELf'^Z)4-03=180",
00/^0=180°-E5+E3,
0EF£,D=18OO-(90。-如P8G)+与6=90。+工(E1P8G+EI6)=90。+工(180。-EP)=180°--0P,
22222
^FED=a,
0a=18O°-如P
2
回即=360°-2a.
故答案为:回尸=360°-2a.
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和,有一定的综合性,认真找出角的关
系是关键.
三、解答题
26.(2023下•江苏宿迁•七年级统考期中)如图,己知:41=63。,Z2=63°,且4。=40.
⑴判断CE与BD的位置关系,并说明理由;
⑵探索NF与N4的数量关系,并说明理由.
【答案]⑴CE||BD;理由见解析
(2)乙4=4尸;理由见解析
【分析】(1)根据内错角相等,两直线平行,即可得出结论;
(2)利用三角形内角和定理,即可得出结论.
【详解】(1)解:CE||BD-,理由如下:
EIZ1=63°,42=63°,
0Z1=Z2,
0CF||BD(内错角相等,两直线平行).
(2)回44+Z.C+Z1=180°,NF++/2=180°,
0zC=zD,zl=z2,
0Z.X=z.F.
【点睛】本题考查平行线的判定和三角形的内角和定理.熟练掌握内错角相等,两直线平行,三角形内角
和是180。,是解题得关键.
27.(2023下,湖南怀化•八年级统考期末)如图,在平行四边形N8CD,平分EL48C,。下平分0Aoe
(1)求证EUBEEBCDP.
(2)证明四边形防ED是平行四边形.
A,--------------------------,D
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】(1)由平行四边形的性质可得48=CD,乙4=NC,乙4BC=N4OC,再根据已知条件,利用角平
分线的性质可得N4BE=NCDF,根据ASA,即可证明△力BE三△CDF.
(2)由(1)可得BE〃FD,BE=FD,即可直接证明四边形防FD是平行四边形.
【详解】(1)••・四边形4BCD是平行四边形,
•••AB—CD,Z-A—乙C,2ABC—Z.ADC,
•••平分班5C,。尸平分蜘DC,
•••/.ABE=Z.EBC^-Z.ABC,/.ADF=4CDF=-/.ADC,
22
Z-ABC=Z.ADC,
Z.ABE=Z-CDF,
△ABE=ACDF;
(2)•••△ABE=△CDF,
・•.BE=DF,
i
•・•乙CDF=Z.ADF=-Z.ADC,
2
•・•四边形Z5co是平行四边形,
••.40//BC,/.ABC=/.ADC,
・・
•/-ADF=A.DFC=2-Z.ADC,
VAEBC=-^ABC,
2
•••Z-DFC=Z.EBC,
BE//DF,
.•・四边形EBFD是平行四边形.
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定,全等三角形的性质与判定,角平分线的定义,掌握平行四边
形的性质与判定是解题的关键.
28.(2022•江苏•统考一模)如图,已知四边形4BCD为平行四边形,点在对角线8。上,且8M=DN.
求证:
三4CDN;
(2)AM\\CN.
【答案】⑴见详解
(2)见详解
【分析】(1)根据平行四边形的性质易得48=CD,4ABM=4CDN,在根据已知条件8M=DN,最后利
用边角边即可完成求证.
(2)根据全等三角形的对应角相等,可得乙4MB=NCMD,最后根据内错角相等,两直线平行即可完成求
证.
【详解】(1)证明:回四边形/BCD是平行四边形,
^AB//CD,AB=CD,
=(CDN,
又回=DN,
[HAABM=△CDN.
(2)证明:0AABM=^CDNf
团zG4MB=乙CND,
国4MlicN.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线的判定,关键是灵活运用这
些知识.
29.(2023下•重庆•八年级统考期末)如图,EMBCD中,点E在2D上,4BCE=LDCE.
(1)利用直尺和圆规作出NB4D的平分线,交BC于点F;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:四边形4FCE是平行四边形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)①以4为圆心,任意长度为半径作弧,交43,4。于点M,N;②分别以M,N为圆心,大于为
半径作弧交4B4D的内部于点P,作射线4P,交于点F;
(2)根据(1)的作图,利用等量代换求得四边形2FCE对角相等,再根据平行线的性质与判定求得另一组
对边也平行,从而得证
【详解】(1)如图:①以4为圆心,任意长度为半径作弧,交48,4。于点M,N
②分别以MN为圆心,大于^MN为半径作弧交NB4D的内部于点P,作射线4P,交BC于点F;
(2)证明:,•・四边形4BCD是平行四边形
•••乙BAD=乙BCD
,・•AF平分NR4Q
1
Z.BAF=Z.FAD=-乙BAD
1
•・•乙BCE=乙DCE=辽乙BCD
・••Z.FCE=Z.FAE
•••AD/IBC
../.AEC+乙FCE=180°
•••^AEC+AFAE=180°
AF//FC
••・四边形4ECF是平行四边形
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线,角平分线的定义,平行线的性质与判定,平行四边形的性质与
判定,熟练作图及掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.
30.(2023上•贵州遵义•八年级统考期末)己知EL42c中,EL4cB的平分线CD交48于点。,DE//BC.
(1)如图1,如果点£是边NC的中点,AC=8,求DE的长;
(2)如图2,若。£平分的OC,EL45C=30°,在8c边上取点尸使8P=。尸,若BC=9,求。尸的长.
【答案】(1)DE=4;(2)DF=3.
【分析】(1)由角平分线的性质得到05co=mCD,再由两直线平行内错角相等得到回£Z)C=MCD,继而
解得血)C=^CD,再由等角对等边解得研)=EC,最后根据线段中点性质解题;
(2)由两直线平行同位角相等结合角平分线性质解得05=050再由等角对等边解得DB=DC,作DG^BC
于点G,由等腰三角形三线合一性质解得G8=4.5,最后根据含30。角的直角三角形性质解题即可.
【详解】解:(1)平分勖1C3,
^3\BCD=^ACD,
0DEHBC,
EHEDC=aBCr),
^3\EDC=BACD,
^ED=EC,
回点£是边/C的中点,NC=8,
蛇C=〃1C=4,
2
困)E=4;
(2)^DE//BC,
回匿4。£=团8,回CQE=®BCZ),
亚历平分的£>C,
^\ADE=^CDE,
^\B=^BCD,
^DB=DC,
如图,作DG鲂。于点G,
^DB=DC,DG^BC,
ii
HG5=-5C=-X9=4.5,
22
团d4BC=30°,BF=DF,
回勖。/=勖=30°,
mDFG=鼬+血)/=60°,
睡]FDG=30°,
MF=DF=2FG,
团G产=1.5,
^\DF=2FG=3.
【点睛】本题考查角平分线性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形性质等知
识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
31.(2023•浙江温州•统考二模)如图,AD平分NB4C,AB=AC,且4B〃CD,点E在线段力。上,BE的延长
线交CD于点F,连接CE.
(1)求证:AACE=AABE.
(2)当AC=AE,^CAD=36。时,求ADCE的度数.
【答案】(1)见解析;(2)36。
【分析】(1)根据SAS推出全等;
(2)由(1)中三角形全等以及平行的性质可以求得ADCE度数.
【详解】(1)证明:EL4D平分NB4C
0ZCXF=/-BAE
朋C=AB,AE=AE
团4/CE皂AABE
(2)^AACE=AABE
^CAE=/-BAE=36°
^AB//CD
团ND=乙BAE=36°
^AC=AE
^ACE=Z.AEC=72°
^DCE=36°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定的应用,应熟练掌握并灵活运用.
32.(2022•陕西西安•校考三模)如图,在匹4BCD中,点、E,尸分别在ZB,DC上,且ED1FB1BD.
求证:△AED=△CFB.
【答案】证明见解析
【分析】由题意知,乙EDB=4FBD=90°,则DE||BF,可证四边形BFDE是平行四边形,则DF=BE,BF=
DE,CF=AE,进而结论^AEDdCFB(SSS)得证.
【详解】解:由题意知,AB=CD,AB||CD,AD=BC,乙EDB=AFBD=90°,
SDE||BF,
又MF||BE,
回四边形BFDE是平行四边形,
0Z)F=BE,BF=DE,
EICF=AE,
在△25£>和4CFB中,
AD=BC
0OF=BF,
AE=CF
0AAEDdCFB(SSS).
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定,平行线的判定,全等三角形的判定等知识.解题的关键在
于找到证明三角形全等的条件.
33.(2023•湖北武汉•武汉市卓刀泉中学统考模拟预测)如图,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF交于点G,
乙4=41,CE||DF,
A
⑴求证:NE=NF;
s
(2)若4B:BC:CD=2:2:1,直接写出出处竺竺的值.
$四边形4BCE
【答案】(1)见解析
(2尚
【分析】(1)先根据条件证AEIIBF,再结合CEIIDF,由平行线的性质得出与NE,乙F,分别相等的角后即
可证得.
(2)证明△ACE~ABGC,得到丝迹的值,再求证△BGC-△BDF,得到包场的值,由辿绝竺=‘加…即
SABCGS&BCG$四边形ABGEl^ACE-SABCG
即可解答.
【详解】(1)乙4=41,
・•.AE||BF,
•••Z.E=z_2,
又团CE||DF,
・•・z.2=Z-F,
故"=Z-F.
(2)回/E||BF,
^ACE〜ABCG,
膜巫=(笠)2=4,
SxBCG\BCJ
团CE||DF,
ISABGC—△BFD,
3=闺=2,
S&BCGYBCJ4
设S"CG=4%,则S-CE=16%,SABDF=9x
S四边形GCDF_S^BDF—ShBCG_5
S四边形ABGES&ACE-S&BCG12
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,相似三角形的判定及性质,关键是掌握相似三角形的面积比等
于相似比的平方.
34.(2023下•浙江•七年级统考阶段练习)如图所示,射线CF、4E被直线GH所截,交点分别是。、B,连接
AD,CB,若乙1+Z2=180°,NA=zf,DA平分NBDF.
(1)证明4EIIFC.
(2)BC平分乙DBE吗?为什么?
【答案】([)见解析;(2)平分,理由见解析
【分析】(1)证明团1WCDB,利用同位角相等,两直线平行即可证得;
(2)先证明ADEIBC,再证EIFDA=EIA=[3CBE,0ADB=0CBD,即可得结论.
【详解】(1)证明:
001+02=180°,02+0CDB=18O°,
ffll=0CDB,
EIAEHFC
(2)平分.理由如下:
HAE0CF,
H3C=I3CBE(两直线平行,内错角相等),
又瓯A=I3C,
EBA=EICBE,
0AD0BC
ODA平分回BDF,
0OFDA=0ADB,
0AE0FC,AD0BC,
fflFDA=0A=0CBE,EADB=ECBD,
00EBC=ECBD,
I3BC平分EIDBE.
【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质、角平分线得到性质,熟练掌握判定定理是关键.
【能力提升】
35.(2023上,江苏南通•七年级校联考阶段练习)定义:如图1,射线。C在N40B的内部,图中共有3个角:
乙4。夙乙40c和ABOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线。C是乙40B的"妙分线".
⑴如图1,若/力。8=90。,且射线0C是/40B的“妙分线",求NZOC的度数.
(2)如图2,若NMPN=60。,射线PQ绕点尸从PN位置开始,以每秒4。的速度顺时针旋转,同时,射线PM绕
点P以每秒3。的速度顺时针旋转,当PQ与PN成180。时,射线PQ,射线PM同时停止旋转,设旋转的时间为t
秒,求t为何值时,射线PQ是NMPN的"妙分线".
【答案】⑴60。或30。或45。;
(2)当t为g或12或20时,射线PQ是NMPN的"妙分线"
【分析】本题考查了本题考查了角度的计算,一元一次方程的应用,妙分线定义;
(1)根据妙分线定义即可求解;
(2)分3种情况:当NMPQ=2NNPQ时,^i^MPN=2^NPQSi,当2/MPQ=NNPQ时,根据妙分线定义
即可求解.
【详解】(1)解:回乙4。8=90。,且射线OC在乙1。8的“妙分线",
0Z4OC=2乙BOC或乙BOC=或N4。B=2^AOC=24BOC,
0ZXOC=60°或30°或45°;
(2)解:根据题意得:
当NMPQ=24NPQ时,
1
4t=j(3t+60),
解得”―
当乙MPN=2ZJVPQ时,
4t=j(3t+60),
解得t=12;
当24MPQ=NNPQ时,
7
4t=|(3t+60),
解得t=20.
故当,为g或12或20时,射线PQ是NMPN的"妙分线".
36.(2023上•河北保定•七年级统考期末)【特例感知】如图1,已知线段MN=40cm,AB=2cm,点C和点
D分别是AM,BN的中点.若AM=16cm,贝!ICD=cm;
MCABDN
图1
【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样,如图2,已知乙4OB在NMON内部转动,射线。C和射线。。
分别平分乙4OM和NBON;
①若乙MON=150°,4A0B=30°,求NCOD的度数;
②请你猜想乙4。8,NC。。和NMON三个角有怎样的数量关系?请说明理由.
【类比探究】如图3,N40B在4MON内部转动,若乙MON=150°,AAOB=30°,4MOC=k^AOC,乙NOD=
此BOD,求NC。。的度数.(直接写出结果,用含有k的式子表示).
C
【答案】【特例感知】21;【知识迁移】①4C。。=90。;②4COD=34MON+34AOB,理由见解析;【类
比探究】等+30。
【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差;
【特例感知】欲求CD,需求4C+4B+BD.则需求4C+BD.根据点C和点。分别是AM,BN的中点,得
AC.BD,进而解决此题.
【知识迁移】①欲求NCOD,需求N40C+NA0B+NB0D.已知N40B,需求N40C+NB0D.由射线0C和
射线。。分别平分N40M和NBON,可求出NAOC/BOD,进而解决此题.②与①同理可证.
【类比探究】由NM0C=kN40C,乙NOD=k^BOD可得,AAOM=(1+k)Z.AOC,ABON=(1+k^BOD,
从而得到乙40C+乙BOD="OM+LBON=工f,再根据/。。。=AAOC+AAOB+/.BOD,即可求解.
k+1k+1
【特例感知】团MN=40cm,AB=2cm,AM=16cm,
国BN=MN-AB-AM=40-2-16=22cm,
回点C和点O分别是AM,BN的中点,
ii
团AC=-AM=8cm,BD=-BN=11cm,
22
团4c+BD=19cm.
团CD=AC+AB+BD=2+19=21cm.
故答案为:21.
[知识迁移]①回射线。C和射线。。分别平分NAOM和NBON,
11
团4AOC=-^AOM,/-BOD=~BON.
22
回41OC+乙BOD=-AAOM+-乙BON=-(乙4OM+乙BON).
又回4MON=150°,AAOB=30°,
团4AoM+乙BON=乙MON-乙AOB=150°-30°=120°.
回4AOC+乙BOD=60°,
・•・乙COD=乙4OC+^AOB+乙BOD=60°+30°=90°;
②乙COD=:4MON+34AOB.理由如下:
团射线OC和射线。。分另|J平分乙4OM和4BON,
回匕AOC=-AAOM,乙BOD=-乙BON.
22
111
团N/OC+乙BOD=-AAOM4--(BON=-^AOM+乙BON),
222'7
・•.Z.COD=Z.AOC+乙AOB+乙BOD
1
=-(乙4OM+乙BON)+AAOB
1
=-(乙MON一乙4。8)+乙4。8
11
=-^MON+-^AOB;
22
【类比探究】团NMON=150°,/,AOB=30°,
••・^AOM+乙BON=120°
团NMOC=k^AOC,Z.NOD=k乙BOD,
团440M=L.MOC+Z-AOC=(1+k)乙AOC,乙BON=(NOD+乙BOD=(1+k)乙BOD,
Z.AOM+Z.BON120。
乙4。。+乙BOD
k+1k+1
120°
JC。。="OC+"OB+NB。。=k+3。。.
37.(2024上•湖南衡阳•七年级统考期末)如图1,直线48与直线0、%分别交于C、。两点,点M在直线办上,
射线DE平分乙4DM交直线。于点Q,ZXCQ=2乙CDQ.
证明:川七;
(2)如图2,点P是CD上一点,射线QP交直线%于点F,UCQ=70°.
①若“FD=20。,则直接写出4FQD的度数是.
②点N在射线OE上,满足“CN=乙QFD,连接CN,如图3所示情况,探究NCND与NFQD满足的等量关系,
并加以证明.
【答案】⑴见解析
⑵①15。;②乙CND=4FQD,证明见解析
【分析】本题考查角平分线的定义,三角形外角的性质,平行线的性质与判断,掌握平行线的性质和判断
方法是解决问题的关键.
(1)根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可;
(2)①根据平行线的性质,角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可;
②证明NTIIFQ,即可得出结论.
【详解】(1)证明:,・•£)£平分乙4DM,
/.ADE=乙EDM=-Z.ADM,
2
又「乙4CQ=/.ADE+Z.CQD,Z-ACQ=2Z.CDQ.
•••Z.EDM=Z-CQD,
・•・Zill/2;
(2)解:①•••川跖
AAADM=AACQ=70°,
vDE平分"DM,
../.ADE=4EDM=-/.ADM=35°,
2
又•・•Z.EDM=乙QFD+(FQD,
・•.AFQD=35°-20°=15°;
②乙CND=乙FQD或乙CND-乙FQD=35°,
证明:•・・/加2,
・•・乙NCQ=乙CTD,
又•・•(QCN=(QFD,
•••Z.CTD=Z-QFD,
・•・NTWFQ,
・•.Z,CND=(FQD.
38.(2024上•陕西汉中•七年级统考期末)【问题情境】已知,41=42,EG平分NAEC交8。于点G.
【问题探究】(1)如图1,^MAE=45°,MEG=15°,乙NCE=75。.试判断EF与CD的位置关系,并说明
理由;
【问题解决】(2)如图2,^MAE=140°,/.FEG=30°,当A8||CD时,求NNCE的度数;
【问题拓展】(3)如图2,若4BIICD,试说明NNCE=NM4E-2NFEG.
【答案】(1)
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