中考数学一轮复习强化训练：二次根式（分层训练）解析版

专题04二次根式（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2223上•巴中•期末）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.V24B.V15C.D.V（L9

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.

【详解】解：A、岳=2伤，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、质是最简二次根式，符合题意；

C、2=与，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、历=（1=甯，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

71010

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

的二次根式，叫做最简二次根式.

2.（22-23下•永川•期末）若％=Jy-3-J6-2y+2,则|x—y|的值是（）

A.5B.1C.-1D.2

【答案】B

【分析】利用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入x=2可得尤的值，从而

得解.

【详解】解：依题意得：

（y-3>0

（6-2y20'

解得：y=3,

将y=3代入％=Jy-3-J6-2y+2得x=2,

0|x—y|=|2-3|=1,

故选B.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数

是解题的关键.

3.（2223上•南阳•期末）下列二次根式中，能与或合并的是（）

A.V12B.C.V20D.V9

【答案】B

【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案.

【详解】解：A.712=273,不能与迎合并，故该选项不符合题意；

B.£=争能与迎合并，故该选项符合题意；

C.V20=2y/5,不能与迎合并，故该选项不符合题意；

D.V9=3,不能与迎合并，故该选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次

根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.

4.（22-23上•新乡•期中）若式子7^二三在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x42B.%>2C.x<2D.%-2

【答案】C

【分析】根据二次根式的非负性解题即可.

【详解】解：回心工

02-%>0,解得：x<2

故选C.

【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，能够熟练根据性质列不等式计算是解题关键.

5.（22-23上•长春•期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V20B.V6C.V24D.V02

【答案】B

【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不

含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

【详解】A、V20=2V5,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；

B、连符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确；

C、V24-2V6,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；

D、V02=区=噌=等=哼，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误；

710V10105

故选：B

【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式必须满足的条件是解题的关键.

6.（22-23.全国.假期作业）计算（1一专一专一专）x（专+9+5+专）-（一专―专—a一京）x（专+专

+专）的结果等于（）

A.iB.渔C.且D.在

2532

【答案】B

【分析】设。=a+3+专，原式变形后计算即可求出值.

【详解】解：设a与+拚占

原式=（1-a）（a+*）~（1-a-xa

1nClnCl

『《「a西-"小忑

=V5

-5,

故选：B.

【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.（22-23下•南通•阶段练习）满足不等式鱼。-1）>V52-可的最小整数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集为无>同-2,然后估算出同-2的取值范围即可得到答案.

【详解】解：072（%-1）>V52-V18,

0%—1>V26—3,

团工>y[26—2,

[21V25<V26<V36>

团5<V26<6,

团2<V26-3<3,

团满足不等式鱼。-1）>V52-g的最小整数是3,

故选B.

【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，无理数的估算，二次根式的混合运算，正确求出不

等式的解集是解题的关键.

8.(22-23上•长沙•阶段练习)当x是怎样的实数时，二次根式右二W在实数范围内有意义()

A.%<5B.%>5C.%>5D.%<5

【答案】A

【分析】二次根式历有意义的条件是a>0,据此解题.

【详解】二次根式后三在实数范围内有意义的条件是5-x>0

•••%<5

故选：A.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

9.(22-23•浙江・自主招生)己知m=1+V2,n=1-V2,(m2-2m+a)(n2-2n-7)=12,则a的值为()

A.-5B.5C.-3D.3

【答案】C

【分析】根据题意得出爪2-2皿=1,1一2几=1,代入等式，解关于a的一元一次方程即可求解.

【详解】解：由n=1+&,几=1一夜

0(m-I)2=2,(n-I)2=2,

0m2—2m=1,n2—2n=1,

又(巾2—2m+a)(n2—2n-7)=12

0(1+a)(l-7)=12

解得：a=—3,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，得出巾2—2巾=1,n2-2n=1是解题的关键.

10.(2223下•武汉•期中)已知尤=2+百，y=2-V3,则代数式'+'的值为()

xy

A.7B.14C.8V3D.4A/3

【答案】B

【分析】根据题意将x、y的值分别代入，求出x+y和久y的值，最后计算可得答案.

【详解】解：当支=2+百，y=2一百时，x+y=4,xy=(2+73)(2+V3)=1

VX

---1---

xy

（x+y）2c

------------z

xy

=16-2

=14

故选:B.

【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入.

11.（2223上•太原•阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.V0?5B.—C.V8D.V3

【答案】D

【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论，二次根式满足被开方数不含分

母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式.

【详解】解：A、鹰=卡,被开方数含有分母，故本选项不符合题意；

B、后，被开方数含有分母，故本选项不符合题意；

C、我=后"，被开方数中含有能开方的因数，故本选项不符合题意；

D、班是最简二次根式，故本选项符合题意，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式满足被开方数不含分母，被开方数不含

开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式，是解答本题的关键.

12.（2324上•晋中•期中）已知a,b均为有理数，若（百—1）=a+bV3,则a—6的算术平方根是（）

A.V3B.2C.V5D.V6

【答案】D

【分析】由（百一=a+bB,可得3-2旧+1=4-2V5=a+bB,由a,b均为有理数，可得a=

4,b——2,a—b—6,然后求a-b的算术平方根5/a-6即可.

【详解】解：ffl（V3-l）Z=a+hV3,

03—2A/3+1=4—2V3=a+bV3,

回a,b均为有理数，

团a=4,b=—2,a—b=6,

0a-b的算术平方根为历，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算术平方根.解题的关键在于确定a、b的值.

13.（2223下•沙坪坝•期末）估计（何+VI耳）X1的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.7和8之间

【答案】C

【分析】先化简计算，再估算判断即可.

【详解】团（何+底）x*=后+碧=3+时，2<V5<3,

05<3+V5<6,

故选C.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算思想，熟练掌握二次根式的混合运算的法，正确

估算是解题的关键.

14.（2223上•南阳•阶段练习）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3V2—V2=3

C.V6+2=V3D.J（—4）X（—2）-V8=2V2

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算法则即可得到答案.

【详解】解：A、V2+V3=V2+V3,计算错误，不符合题意，选项错误；

B、3V2-V2=2V2,计算错误，不符合题意，选项错误；

C、旄+2=手，计算错误，不符合题意，选项错误；

D、V（-4）X（-2）=2V2,计算正确，符合题意，选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

15.（22-23下,滨州•阶段练习）下列各式计算正确的是（）

A.V6^（V3+V2）=^+^=V2+V3

22

B.（4-2V3）=16-（2V3）=4

C.V2+V3-?(V2+V3)=1

D.尸，=(遍+.(f-何=星—五

V5+V2V5+V2

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算进行计算即可得出结论.

【详解】解：A.&++/)=,m=3/-2百,故A选项不正确，不符合题意；

''(V3+V2八V3-V2J

22

B.(4-2V3)=16-16V3+(2V3)=16-16百+12=28-16次，故B选项不正确，不符合题意；

C.V2+V3(V2+V3)V2+,V2+3-V6,故C选项不正确，不符合题意；

^V3+V2)[y3—\/2)

D.建行=*嚼浮■耳=型守=西—/，故D选项正确，符合题意；

V5+V2(V5+V2J(V5-V2J3

故选：D.

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及分母有理化是解题的关键.

16.(22-23上•鹤壁•阶段练习)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a—1|一2j(a-2尸的

结果是()

a

--1-------1~>

012

A.3—aB.la—5C.3i2+3D.3a—5

【答案】D

【分析】根据实数。在数轴上的对应点位置，得到1<a<2,再利用二次根式性质将代数式化简为|a-1|-

2|a-2|,由a的范围得到a—l>0,a—2<0,利用绝对值的代数意义直接化简即可.

【详解】解：如图所示，可知l<a<2,

CL-1>0,CL—2V0,

\CL-11-2-2)2

=\CL—11-21a—21

=CL-1+2(a—2)

=a-1+2a—4

=3CL5,

故选：D.

【点睛】本题考查整式加减化简代数式，涉及到数轴的定义、绝对值的代数意义和二次根式性质等知识点,

熟练掌握二次根式的性质化简，并利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键.

17.（2223上•来宾，期末）计算（遍-2『°22x（W+2『°22的结果为（）.

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论.

［详解］解：（百—2）2°22*（百+2『°22

=［（V3-2）X（V3+2）］2°22

=［3-4］2022

=1.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的运算、平方差公式以及积的乘方，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结

合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键.

18.（22-23下•东营•期末）下列等式一定正确的是（）

A.V81=±9B.-，（一3尸=3C.D.V-33=-3

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质即可判断A、B、C,根据立方根的性质即可判断D

【详解】解：A.781=9,故本选项不符合题意；

B.-《3）2=-3,故本选项不符合题意；

C.当a<0时，Va--a,故本选项不符合题意；

D.V-33=-3,故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了立方根的性质和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注

意:当位0时，Va7-a,当a<0时，Va7--a.

19.（2223下德宏•期末）下列各式中，计算正确的是（）

A.4（-2）2=-2B.2+V2=2A/2C.V2+V3=V5D.V2XV3=V6

【答案】D

【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐一选项计算即可.

【详解】解：A.，口*=2,故计算错误，不符合题意；

B.2与鱼不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；

C.或与百不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；

D.V2XV3=V6,计算正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键.

20.（22・23下•浙江•阶段练习）已知x=/一=&+次，则代数式Jx?+2xy+y?+x-y-4的值

为（）

_V3_3_KYrVS—1

A-TB-;c-8TD--r

【答案】c

【分析】根据已知，得到刀+丫=鱼一75+/+乃=2/,％-丫=近一71-四一百=一2百，整体思

想带入求值即可.

【详解】解：fflx=V2-V3,y=V2+V3,

团%+y=V2—V3+V2+V3—2鱼,x—y=V2—V3—V2—V3=-2V3,

S-7%2+2xy+y2+x—y—4=^/（x+y）2+（%—y）—4

=J（2&）2-2V3-4

=J8-2V3-4

=-2V3

=J（A/3）2-2A/3+1

=J（V3-1/

=V3—1.

故选C.

【点睛】本题考查二次根式的化简求值.熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题

的关键.

二、填空题

21.（2223上•渭南•期中）若最简二次根式行方与有能合并，则£1=

【答案】3

【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可.

【详解】解：回最简二次根式后方与向能合并

0a+2=5

解得：a=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键.

22.（22-23下,三门峡•阶段练习）若g不I与京二I的被开方数相同，贝卜=.

【答案】2

【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可.

【详解】解：由题意得，2a+1=4a-3,

解得a=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式

称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

23.（22-23下•宿迁•期末）计算4-国的结果为.

【答案】_炳

【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解.

【详解】解：1一V20=V5-2V5=—V5.

故答案为：-瓜

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键.

24.（2223下•阳江・一模）若=T+|6+2|=0,则（a+人产必=.

【答案】一1

【分析】根据二次根式及绝对值的非负性得到a、b的值，再利用乘方的运算法则即可解答.

【详解】解：+2|=0,

团a—1=0,Z?+2=0,

M=1,b=-2,

0（a+b）2°23=（1-2）2023=（—1）2023=一1,

故答案为-1；

【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，乘方的运算法则，掌握二次根式及绝对值的非

负性是解题的关键.

25.(22-23下•天津•期中)计算J(—0.3)2的结果是.

【答案】0.3.

【分析】根据后=同得到J(-03)2=I-0.3|,脱去绝对值即可求解.

【详解】解：原式=|-0.3|=0.3.

故答案为：0.3

【点睛】本题考查了二次根式性质后的化简，熟知而=|可是解题关键.

26.(2223下•浙江•专题练习)下列二次根式化为最简二次根式：

(1)V45=；

(3)V0?5=

(4)jl|=——.

【答案】3函与乎学

【分析】根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：(1)V45=V9x5=3V5,

故答案为：3遍；

(2)曰=降=更,

故答案为：圣

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键.

27.(22-23下•驻马店•阶段练习)符号"*"表示一种新的运算,规定a*%=6•VF-篇，则4*2的值为

【答案】V2

【分析】根据题干信息列式计算即可.

【详解】解：4*2=V4xV2-^

-V8-V2

-2V2-V2

=V2.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算.

【分析】先根据勾股定理求出的长，再把半和1都进行平方，进行比较大小.

根据题意得EL4B=V22+22=2A/2,

/<1,

9

碎<1,

3

故答案为：V.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根式的大小比较，根据勾股定理得到A5的长是解题的关键.

29.（22-23上,鸡西,期末）函数y=痣中，自变量x的取值范围是—.

【答案】x<3且久H2

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】由丫=空可得：

'x-2

（3-x>0

1%-2W0，

解得：x<3且％W0.

【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是

解题的关键.

30.（22-23上•内江•阶段练习）若3<尤<5,则依一6%+9+V25+x2-10%=；

【答案】2

【分析】根据因式分解分别将根号内的多项式进行因式分解，再根据龙的取值范围，化简二次根式即可.

【详解】解：E3<%<5,

ElVx2—6%+9+A/25+x2—10%=yj（x-3）2+J（x—5/=（刀—3）+（5—%）=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查因式分解，二次根式的化简，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键.

31.（2223上•巴中•阶段练习）如果代数式4y2—2y+5的值为7,那么，J2y2+11—y的值是.

【答案】2V3

【分析】根据题意先求出2y2—y的值，再整体代入所求的式子当中即可.

【详解】由题意得4y2-2y+5=7,

4y2—2y—2,

•••2y2—y=1,

AJ2y2+11_y=V1+11=V12=2V3

故答案为：2次

【点睛】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，解题时要多注意观察，切记不要直接去解一元二次方

程求出y的值，这是解题的关键.

32.（22・23上■长沙■阶段练习）已知无=•^丝，y=巨婪，则4x?-3孙+4y2=____.

V17—35—V17

【答案】6

【分析】先把X和y的值分母有理化得到x=宇，丫=宇，贝卜一y=—%xy=l,再利用完全平方公

式变形原式得到4（久-y）2+5%y,然后利用整体代入的方法计算.

5-V17V17-3

【详解】解：•.x=-f=—,y---

V17-3y5-V17

_（5-V17）（V17+3）_V17_1_（V17-3）（5+V17）_V17+1

"X=（V17-3）（Vr7+3）=~T~'y=（5-V17）（5+Vi7）=~1~，

x—y=-1%y=«1,

・,・原式=4（x—y）2+5xy

1°

=4x（--）2+5x1

=6.

故答案为6.

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值；二次根式运

算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.

33.（22-23下・无锡•阶段练习）等式户=已成立的条件是______.

-u1-xvl-x

【答案】0Wx<l

【分析】由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可.

【详解】接：回户=言

y1-Xy/1-X

f—>0

1—x

“1-x>0，解得°<x<1.

、%>0

故答案为。<X<1.

【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数

为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零.

34.（22-23上•全国•单元测试）（1-2b）（1+2百）一（2百-1产的计算结果是（用最简二次根式表

示）

【答案】-24+4V3

【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项或同类二次根式化简.

【详解】（1—273）（1+2V3）-（2V3-I）2

=1-12-（12-4V3+1）

=1-12-12+473-1

=-24+473.

故答案为-24+4V3.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法

公式对二次根式的运算同样适应.

35.(22-23・北京•专题练习)已知<+2|+|1—幻=9一J(y—5尸一J(1+y)2,贝卜+y的最小值为

【答案】-3.

【分析】先对|%+2|+\l-x\=9——5尸—+丫尸变形,根据绝对值的意义得到+2|+|x—1|和

|y+1|+|y-5|为最小值时x、y的取值，进而得到x+y的最小值.

【详解】解：•；|x+2|+|1-x|=9-J(y-5尸一J(l+y)2,

|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-5|=9,

•••|x+2|+|x-1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到—2和1两点的距离之和；|y+1|+|y—5|可理解为

在数轴上，数y的对应的点到-1和5两点的距离之和，

二当一|x+2|+|x-1|的最小值为3；

当一l4y45时,|y+1|+|y—5］的最小值为6,

•••x的范围为-2<x<1,y的范围为-1<y<5,

当x=-2,y=-l时，x+y的值最小，最小值为一3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的

意义确定无、y的取值是解题关键.

三、解答题

36.(22-23下•武汉,期末)计算：

(1)V12-V18+V8(2)(2V3-2)(73+1)

【答案】⑴2V3-V2；(2)4

【分析】(1)先分别化简各项，再作加减法；

(2)先将括号展开，再化简各项，最后计算加减法.

【详解】解：(1)V12-V18+V8

=2百-3夜+2夜

=2V3-V2

(2)(2V3-2)(V3+1)

=2WxV3+2V3-2V3-2

=6-2

=4

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则.

37.（2223上•长春•期末）已知x,y为实数，且y=-9+A/9—%+4,求«+后的值.

【答案】5

【分析】根据二次根式有意义的条件求出K、y,根据算术平方根的概念计算即可.

【详解】解：回y=V7+5V+4,

0%—9>0,9—%>0,

=9,

团y=4,

回«+y[y—V9+V5=3+2=5.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

38.（2223上•资阳•阶段练习）（1）口

⑵（2V2+V6）（2V2-V6）-（V3-2）2+V48x|x

【答案】（1）3Vab-^a；（2）5A/3-5

【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；

（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答.

【详解】解：（1）三代庐+（—白麻）+工R

b3,2\a

1—21—yTab

=37ab+Vah）+——

32a

.—2,—2a

=3y/ab+（--Tab）--j=

=3y[ab--a；

3

（2）（2V2+A/6）（2V2-V6）-（V3-2）2+V48x|x

ll15

=8-6-（7—4V3）+4V3X-X-

54

=2-7+4V3+V3

=5V3-5.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

39.（22・23下•全国・专题练习）已知：a=«+2,b=近一2,求：

(1)〃的值;

(2)a2+b2—3ab的值；

⑶若能为a整数部分，〃为6小数部分，求工的值.

m+n

【答案】⑴3

⑵13

⑶等

【分析】(1)代入求值即可；

(2)代入求值，可将(1)的结果代入；

(3)根据题意估算出相、"的值，代入分式，化简计算.

【详解】(1)解：0a=V7+2,b=V7-2,

Elab=(V7+2)(V7-2)

=7-4

=3;

(2)解：•••a—V7+2,b—V7—2,ab—3,

a2+b2-3ab

=a2+b2-2ab—ab

=(a-b)2—ab

=[(V7+2)-(V7-2)]2-3

=(夕+2-夕+2)2—3

=42-3

=16-3

=13

(3)解：回机为〃整数部分，孔为。小数部分，a=V7+2,b=小一2,

0m=4,n=y/7—2

回二一=一J

m+n4+V7-2

1

-2+^7

_V7-2

—,

3

国上的值”.

m+n3

【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化.

40.（22-23上•巴中,阶段练习）已知a+工=3,求a2+2+VH+%的值.

【答案】7+V5

2

【分析】利用完全平方公式可得（。+£）=小+2+*=9进而可以求出小+[=7,同理可得

（VH+；）=a+2+-=5,求出五+%=函即可得到答案.

【详解】解：回。+工=3,

a

团（a+1）=4+2+二=32=9,a>0,

\aJaz

回—-=7,

az

团（VHd—尸=a+2H—=3+2=5,

\ya/a

HVtt+-^=V5,

7a

团--+-\/HH—F=7+A/^.

azVa

2

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确根据题意得到（a+£）=小+2+*,

=a+2+[是解题的关键.

\yjaja

41.（22・23下•贺州■期中）已知久=2+V7,y=2-夜'，求代数式*一久2y2的值.

【答案】13

【分析】将无、y的值代入代数式求值即可.

【详解】解：依题意，可得

x2+y2-x2y2=（2+V7）2+（2-V7）2—（2+V7）2x（2-V7）2

=4+4V7+7+4-4V7+7-[22-（⑺

=4+7+4+7-（—3）2

=13.

【点睛】本题考查了代数式的求值计算，涉及根式的混合运算，运用完全平方公式和平方差公式简化运算

是解题的关键.

42.（22-23上•资阳•期中）化简求值：[（%-2y）2-（2%+y）（久一4y）-（-%+3y）（%+3y）]+其中

Vx—4+V4—x_

V=2------2-

【答案】一枭+|y,-21

【分析】先通过乘法公式和整式的混合运算法则，化简，再根据二次根式的非负性，求出x,y的值，代入

求解即可.

【详解】原式二—4xy+4y2—（2x2—8xy+xy—4y2）—（9y2—%2）]+

=[x2—4xy+4y2-2x2+8xy-xy+4y2-9y2+x2]+（一|y）

=[3xy-y2]+（一|y）

=——9x+,-3y,

22,

0Vx-4+V4-xr

0y=2—2,

0x-4>O,4-x>O,BP：x=4,

团y=-2,

团原式二一~x+—y=——x4+—x（—2）=—18+（—3）=-21

【点睛】本题主要考查整式的化简求值以及二次根式的非负性，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算

法则，是解题的关键.

43.（22-23•杭州・）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a,

b,则面积为[ab,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2>2ab,当且仅当a=6时取等号.在

a2+b2>2ab中，若a>0,b>0,用府、VF代替a,b得,a+b>2y[ab,即与士>4ab（*）,我们把（*）

式称为基本不等式.利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值.我们以“已知X6R,求丫=筌的最小

Vx2+1

值”为例给同学们介绍.

解：由题知y=粤二=A/^TI+sVx^Tl>0,74=>0，

vx2+lvx2+lVx2+1

2

[Uy=Vx+1+-?==>2/A//+i•::=28,当且仅当J/+1=J=时取等号,即当％=±四时,

JVx2+17Vx2+1Vx2+1

函数的最小值为2，5.

总结：利用基本不等式等之技(。>0/>0)求最值，若仍为定值，则Q+b有最小值.

请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应久的取值.

(1)若%>0,求函数y=2%+1的最小值；

(2)若久>2,求y=%+27；的最小值；

(3)若久>0,求函数y=*+第;*的最小值.

【答案】(1)x=1,ymin=4；(2)%=3,ymin=4；(3)x=1,ymin=6

【分析】(1)仿照上面的例子变形得到y=2无+：=2x+/,求出最小值即可；

(2)仿照上面的例子变形得到y=x+±=x—2+£+2,求出最小值即可；

(3)仿照上面的例子变形得到y=/岁==百+2+言？求出最小值即可.

【详解】解：⑴由题知y=2x+：=2x+亲

0%>0,

国2x>0

Sy=2x+^>2〔2%.[=4,当且仅当2%=/时取等号，

即当％=1时，函数的最小值为4；

(2)由题知y=%+二=%—2+白+2,

0x>2,

团％—2〉0

团y=%—24------F2之2/（X—2）------F2=2+2=4,当且仅当久—2=—时取等号，

'x-27'x-2x-2

即当％=3时，函数的最小值为4；

（3）由题知y=学出=%+4\+4+9=专四=«+2+/,

V^+2yJX+2.yjX+lyJX+2

Hx>0,

^\[x+222

0y==Vx+2+>2/（Vx+2）=6,当且仅当y+2=时取等号，

JVx+27''VX+2Vx+2

即当x=l时，函数的最小值为6.

【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.

44.（22-23下•东莞•阶段练习）计算：（/-3）2+（国+2遥）七百

【答案】11-V2

【分析】利用完全平方公式和二次根式除法计算，再进行实数的混合运算即可.

【详解】解：（/-3）?+（回+2乃）+百

lV542V6

=2—6v2+9-1——4——

V3V3

=2-6V2+9+3V2+2V2

=11-72

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

45.（2324上•汉中•阶段练习）计算：V24-V6+V8.

【答案】4

【分析】根据二次根式的除法，立方根的定义进行计算即可.

【详解】解：V24-V6+V8

=2\/64-V6+2

=2+2

=4.

【点睛】本题考查了二次根式的除法，立方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键.

46.（22-23下•临沂•期中）计算：

⑴JI+遮一居

(2)V3-2V2-|V2-V3|

【答案】⑴:

(2)-V2

【分析】(1)运用二次根式的运算性质化简求值即可；

(2)利用二次根式的运算法则和绝对值的运算性质求解即可；

【详解】(1)原式W+2—9

5

———•

4’

(2)原式=百一2近一rV3-V2；

=旧-2V2-V3+V2

=­V2.

【点睛】本题考查二次根式的加减运算和去绝对值的技巧.熟练掌握二次根式的运算技巧是解决本题的关

键.

47.(22-23下•昆明・期末)阅读下列计算过程：

11X(V2-1)「

-ZZ-----=-^-=------、,L-----T=V2—1

V2+1(V2+1)(72-1)

1义(1&)7T

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

」-=1(")=近一2

V5+2(V5+2)(V5-2)

(1)根据上面运算方法，直接写出修丁=；

Vn+1+Vn---------------------------

(2)利用上面的解法，请化简：

1111

―;==-----+—-------------+—-------------+-I-------------------

V2021+V202042020+V2019V2019+V2018V2+1

(3)根据上面的知识化简小〒

Vn+l+Vn

【答案】(1)-n+1—匹;(2)V2021—1；(3)7n+1-瓜

【分析】(1)观察上面的所给实例，直接写出结果即可；

(2)对每个式子进行化简，然后合并即可；

(3)观察实例，对式子化简即可.

【详解】解：(1)观察实例可以得到-L=一匹

vn+l+vn

(2)/——一~/+广…一一~/+/----------~……--+…+-p—

V2021+V2020V2020+V2019V2019+V2018<2+1

=(V2021+V2020)+(V2020-V2019)+(V2019-72018)+...+(迎-1)

=72021-1

(3)1__+1-诉

Vn+l+Vn(Vn+1+Vn)(y/n+1-Vn)

Vn+1—Vn

(n+1—n)

=Vn+1—y/n

【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，观察例题掌握有理化的方法是解题的关键.

48.(2223上•成都•阶段练习)计算：

(1)7184-V3xV2

(2)V27-+V12

⑶G)+x(_^3)-|2-V6|

【答案］⑴2次

''3

(3)4-3V6

【分析】(1)运用二次根式的性质公式及乘除法运算法则处理；

(2)运用二次根式的性质公式及加减法法则处理；

(3)运用负整数指数累运算法则、绝对值性质公式、二次根式乘法法则及实数的混合运算法则处理.

【详解】(1)原式=V6xV2

=2V3；

(2)原式=

=-14-V-3-

3，

(3)原式=2—遮x遥―(迎一夜)

=2-2V6-V6+2

=4-376.

【点睛】此题主要考查实数的混合运算以及二次根式的化简、绝对值的化简、负整数指数嘉；熟练掌握运

算法则是解本题的关键.

49.(22-23下♦武汉•阶段练习)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2夜=(1+或)，善于思考的小明进行了以下探索：设a+&b=(m+&n)(其中°、

b、m、九均为正整数)，则有a+/力=巾2+2/+二a=zu?+2声，b=2mn.这样小明就找到

了一种把部分a+的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

2

⑴当〃、b、m、n均为正整数时，若a+y/6b=(m+V6n),用含m、n的式子分别表示〃、b,得：a=,

b=；

(2)若a+4v=(m+百切,且“、相、”均为正整数，求a的值；

⑶化简：V21+V80.

【答案】⑴小2+6n2；2mn

(2)a=13或7；

(3)275+1

【分析】(1)利用完全平方公式展开得到(m+n九)2=病+6/+2n小几，从而可用m、n表示a、b；

(2)直接利用完全平方公式，变形得出答案；

(3)直接利用完全平方公式，变形化简即可.

【详解】(1)解：•・,(TH+yj6n)=m2+6n2+2V6mn,a+y/6b=(m+V6n),

•••a=m2+6n2,b=2mn.

故答案为：m2+6n2；2mn.

22

(2)解：v(m+V3n)=m2+3n2+2y/3mn,a+4A/3=(m4-V3n),

a=m24-3n2,mn=2,

vm>九均为正整数，

m=1>n=2或7n=2,n=1,

a=13或7；

(3)解：V21+V80=720+4V5+1=J(2V5+if=2^5+1.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式.

50.(22-23下•六安•阶段练习)观察下列运算：

①由(a+1)(/一1)=1,得六=四一1;

由(旧+鱼)(百一/)=1,得病匕=,一夜；

由(〃+百)(>/%-V5)=1,得=四一百；

⑴由上述规律，直接化简：金=_;

(2)通过观察你得出什么规律？用含〃(n20且为整数)的式子表示出来：焉+二=_；

⑶利用⑵中你发现的规律计算：京+高+春+春〜

【答案】⑴4一2

(2)Vn+1—Vn

(3)6-2A/5

【分析】(1)根据题目中给出的式子，可以直接写出所求式子的结果；

(2)根据题目中的例子，利用平方差公式，可以写出所求式子的结果；

(3)根据(2)中的结果和所求式子的特点，可以计算出所求式子的值

【详解】(1)解：由题意可得，

金=*-2，

(2)解：号诉

Vn+1—Vn

(yjn+1+Vn)(Vn+1—Vn)

=Vn+1—Vn,

(3)解：V6+V5+V7+V6+2V2+V7+V9+2V2

=2(V6-V5+V7-V6+V8-V7+V9-V8)

=2(V9-V5)

=6—2^5.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

【能力提升】

51（2223下•福州•期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

例如迎与迎，a+1与&-1.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母

的有理化因式的方法就可以了，例如：

V2_V2XV3_V62_2（3+V3）_2（3+B）_2（3+何_3+^3

V3-V3XV3-3'3-V3-（3-V3）（3+V3）-9-3-6-3

⑴请你写出3+夕的有理化因式：；

（2）请仿照上面给出的方法简化号（根丰1）；

⑶已知Q=求刊引+3+2的值.

【答案】⑴3-夕

（2）1—y/m

（3）275

【分析】（］）根据有理化因式的定义即可解答；

（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；

（3）通过分母有理化可化简a、b,从而求出a+b、ab,根据Va?+板+2=+。产-2ab+2,将a+b,

ab的值代入即可求解.

【详解】（1）解：•・•（3+V7）（3-夕）=9一7=2,

.•・3-夕是3+夕的有理化因式，

故答案为：3—V7；

⑵解:磊

（1—m）（l—4m）

（1+—Vni）

（1—m）（l—y/m）

1—m

=1—Vm；

（3）解：•»•a=J2=V5+2,b==V5—2,

••・a+b=V5+2+V5—2=2星,ab=(V5+2)(V5—2)=1,

・••yja2+b2+2

=J(a+b)2-2ab+2

=J(2⑹2-2x1+2

=V20